线性代数总结材料汇总情况+经典例题
线性代数知识重难点和常考题型汇总
②、
a11 a21
a12
a22
a1 n a2 n
x1
x2
b1
b2
Ax
b
（向量方程，
A为mn
矩阵， m
个方程， n 个未知数）
am1
am 2
amn xm
bm
⑦、 r( AB) min(r( A), r(B)) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； 3
Ⅱ、 r( A) r(B) n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r( AB) r( A) r(B) n ；
③、 a1
a2
an
x1
x2
（全部按列分块，其中
b1 b2
）；
xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3，代数余子式和余子式的关系：
M ij (1)i j Aij
Aij (1)i j M ij
4，设 n 行列式 D ：
n ( n 1)
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
线性代数总复习及典型例题共63页文档
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
线性代数总复习及典型例题
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留Байду номын сангаас的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
线性代数知识点全面总结
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。 3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。 4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
0 D= B
1 x1 x
2 1
A (1)mn A B 。 0
1 x2 x2
2
4、范德蒙得行列式 1 xn xn
2
( xi x j )。
n i j 1
x1n-1
x2 n-1 xn n-1
四、典型例题
1、3～4阶的行列式
2、简单的n阶行列式
3、用公式
5、若A可逆，则存在有限个初等方阵P1,P2,…,Pl,使 A ＝ P1P2…Pl 。 6、n 元齐次线性方程组Am×nx = 0 有非零解的充分必 要条件是系数矩阵的秩r(A) < n 。
7、n 元非齐次线性方程组Am×nx = b 有解的充分必要 条件是系数矩阵的秩r(A) 等于增广矩阵r(A，b) 的秩。
秩：矩阵非零子式的最高阶数.
线性代数应用题总结分类及经典例题
线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。
以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
线性代数部分重点及典型问题举例
线性代数部分重点及典型问题举例第二章，矩阵考试要求：⑴ 了解矩阵概念，理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念；⑵ 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；⑶ 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．⑷ 理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．重点：矩阵概念，矩阵可逆与逆矩阵概念，矩阵可逆的条件，矩阵秩的概念及求法；矩阵的运算和矩阵的求逆，矩阵的初等行变换。
典型例题一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 答案:A2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T T T )(A B AB =C . 1T 11T )()(---=B A ABD . T 111T )()(---=B A AB 答案：B3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB =C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(BD .111)(---=A B AB 答案：D4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）．A ．B AB = B ．BA AB =C ．I AA =D ．I A =-1 答案D5．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.A .B B . 1+BC . I B +D . ()I AB --1 答案C6．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 答案 D7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0 答案：B二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .答案：同阶矩阵2．若矩阵A = []21-，B = []12-，则A T B=．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2412 3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 答案：0=a4．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 答案：3-≠a5．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X ． 答案A B I 1)(--6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ． 答案：n7．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．答案：22.计算题（1）设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 （2）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=843722310A ，I 是3阶单位矩阵，求1)(--A I ． 解：由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I 利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ →----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111→---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111即 ()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111 （3）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-7641121461351341B A第三章 线性方程组考试要求：⑴ 了解线性方程组的有关概念，熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解；⑵ 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理．重点：线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解非齐次线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )． 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ； AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．典型例题：一、单项选择题1．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．1-C ．2D ．21 (答案D)2． 若非齐次线性方程组A m ×n X = b 的( )，那么该方程组无解． A ．秩(A ) ＝ n B ．秩(A )＝m C ．秩(A ）≠ 秩 (A )D ．秩(A ）= 秩(A )(答案C)3．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 答案 A4． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解 答案B5．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解 答案B6．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定 答案C二、填空题1．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b ． 答案：无解2．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-02121x x x x λ有非零解，则=λ．答案：-1=λ3．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．答案：r n -4．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .5．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A 则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.答案：1-=d三.计算题1．求解线性方程组的一般解⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=++-0232022023432143214321x x x x x x x x x x x x解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----010030101031020031101231311031101231232121211231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→010********* 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧===03834241x x x x x (4x 是自由未知量) 2．求当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的一般解．解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---1000010511102121119102220105111021211114796371221211λλλ 所以，当1=λ时，方程组有解，且有无穷多解，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00000105111084901 答案：⎩⎨⎧++-=--=43243151110498x x x x x x 其中43,x x 是自由未知量．3．求当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-λ432143214321114724212x x x x x x x x x x x x 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---273503735024121114712412111112λλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→500003735024121λ 当5=λ时，方程组有解，且方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=432431575353565154x x x x x x其中43,x x 为自由未知量．。
线性代数重要知识点和典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。
推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。
推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。
化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
《线性代数的认识》知识点归纳与典型习题
《线性代数的认识》知识点归纳与典型习题.txt线性代数的认识知识点归纳线性代数是一门研究线性方程组、向量空间和线性变换的数学学科。
以下是线性代数的几个重要知识点归纳：1. 线性方程组：线性方程组是由一系列的线性方程组成的。
解线性方程组的方法有高斯消元法、矩阵法和行列式法等。
2. 矩阵与向量：矩阵是由若干行若干列数组成的矩形阵列，通常用括号表示。
向量是具有方向和大小的量，也可以看作是一个特殊的矩阵。
3. 行列式：行列式是矩阵的一个重要概念，可以用来计算矩阵的特征值、特征向量和逆矩阵等。
它由矩阵的元素按一定的规律组成。
4. 向量空间：向量空间是由满足一定性质的向量组成的集合。
向量空间需要满足加法封闭性、标量乘法封闭性以及向量加法和标量乘法的结合律和分配律等。
5. 线性变换：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
它可以用矩阵表示，并具有一些重要的性质，如保持向量线性组合和向量数量的比例关系等。
典型题以下是线性代数的一些典型题，供研究和练：1. 计算线性方程组的解：2x + 3y - z = 1x - y + 2z = 43x + 2y - 2z = -32. 计算给定矩阵的逆矩阵。
3. 计算给定矩阵的行列式。
4. 判断给定向量组是否线性相关。
5. 求线性变换的基变换矩阵。
这些典型题涉及了线性代数的各个方面，通过解答这些题，可以加深对线性代数知识点的理解和掌握。
总结：线性代数是一门重要的数学学科，它的知识点主要包括线性方程组、矩阵与向量、行列式、向量空间和线性变换等。
通过练典型题，可以巩固和应用这些知识点，提高线性代数的研究效果。
线性代数重要考点总结
线代重要考点总结： 一 求逆序数练习：1.135…（2n-1）246…(2n) 2.135…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 3.245318764.246...(2n) （2n-1） (531)二 写出行列式含有某些项的项 练习:1.四阶行列式)det(ij a 展开中含有因子2411a a 且带正号的项为2.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项 三 判断项的符号 练习 1 n11)-2(n 1n ...a a a2 41342213a a a a3选择k ，l ，使.a 5a a a a a ij 5l 42342k 13中带有负号的项阶行列式成为四 计算行列式练习：1．计算4阶行列式2010411063143211111；231111311113111133．计算n 阶行列式xa a a x aa a x.4．计算n 阶行列式 D n =12211000000000100001a x a a a a x x x x n n n+-----5.0a a a a 1111a 1111a 1n 21n21≠+++ ，其中63333222d c b a dcbad c b a 1111２711111000000000000032211n n a a a a a a a ----五、余子式，代数余子式 练习1已知A=34653021864212963,求44424144424132,32M M M A A A ++++六、矩阵运算 练习1、设，计算：，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101012121234B 432112122121A （1）2A+3B ；（3）T T AB BA - 1若三阶矩阵A的伴随矩阵为*A ，已知21=A ，则=-*-A A 2)3(1 。
2.设Λ=-AP P 1，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2001,114-1P ，则=11A 。
线性代数整理汇总
一例1确定五阶行列式中项的符号.解由于项的行下标和列下标均不是按自然顺序排列，因此它的符号由它的行下标和列下标的逆序数之和来确定，而行下标的逆序数，列下标的逆序数，故的符号为正.当然此题也可也先将调换顺序，使其行下标或列下标成自然顺序，如变为，则其符号由列下标的逆序数确定，由于，故的符号也即的符号为正.例2写出5阶行列式中所有带负号且含有因子的项.解使项的行下标保持自然顺序，由于因子的元素的列下标分别为1,3，还剩下三个列下标2,4,5来排，故5阶行列式中含有因子的项只能为或或或或或经验证可知：列下标排列的逆序数为奇数的为：，，，故符合条件的项为，及.例3证明：若在一个n阶行列式中等于零的元素的个数大于，则该行列式为零.证由于n阶行列式中共有个元素，若等于零的元素的个数大于,则不等于零的元素的个数小于n，而n阶行列式中的每一项都是n个不同元素的乘积，所以必为零，从而该行列式的值也为零.例4计算下列n阶行列式⑴；⑵解⑴由定义，n阶行列式等于其所有不在同一行不在同一列的n个元素的乘积的代数和，共有n!项，而D1中由于零元较多，不为零的项显然只有一项：，又，故⑵由定义，D1中不为零的项也只有一项：而，故.例5已知，求f (x)中x3的系数.解由行列式的定义，f (x)是一个三次多项式，显然含x3的项共有两项，即主对角线上四个元素的乘积x3和对应于的项，故f (x)中x3的系数为（－2）+1=－1.例6计算下列行列式：⑴⑵解⑴此行列式刚好只有n个非零元素，故D1中不等于零的项只有一项，又，故⑵由行列式的定义，此行列式的非零项只有两项和，故习题1、填空题：⑴排列2 1 7 9 8 6 3 5 4的逆序数为________（答案：18）⑵若排列3 9 7 2 i1 5 j 4为偶排列，则i=________，j=_________.（答案：6，8）⑶在6阶行列式中的项带的符号应为________，带的符号应为_________.（答案：正号，正号）⑷5阶行列式中包含并带正号的所有项为____________________________（答案）2、设求 f (x)中x3的系数.（答案：只有四个元素相乘才能出现x3项，而，故x3 的系数为－1）.二例1计算行列式解例2计算行列式.解例3证明证:左右例4计算行列式其中.解将D n的第二列乘以加到第一列，将D n的第三列乘以加到第一列，…，得例5计算n阶行列式.解将D n的第一行加到D n的下面各行，得.例6计算n阶行列式.解将D n的第二行乘以(－１)后分别加到D n的第一行，第三行，…第n行，得：例7计算n阶行列式.解将行列式D n的第二列，第三列，…第n列均加到第一列，得：习题1、计算下列行列式：⑴；⑵；⑶；⑷.（答案：⑴；⑵2.94×107；⑶1；⑷－8 ）2、计算下列n阶行列式：⑴；⑵.（答案：⑴；⑵3、证明下列各式⑴；⑵；⑶.三例题例1计算行列式的代数余子式A24和A32.解，.例2设,求D的第四行各元素的代数余子式之和A41+A42+A43+A44.解构造新的行列式，将行列式D1按第四行展开可得D1=1×A41+1×A42+1×A43+1×A44= A41+A42+A43+A44.又显然D1的第二行与第四行相同，故D1=0，从而A41+A42+A43+A44=0.注意：要求行列式某行或某列的代数余子式之和时，常可采用例2中的方法构造新的行列式D1，这只要将D的某行（列）全部换成1即得D1，通过计算新行列式D1的值，即可知某行（列）的代数余子式之和，这种方法通常要比直接计算各代数余子式再相加的方法简便一些.例3求行列式的第二行各元素的余子式之和M21+M22+M23+M24.解法一：M21+M22+M23+M24解法二：构造新行列式将D1按第二行展开，可得D1=－1×(－1)2+1M21+1×(－1)2+2M22+(－1)×(－1)2+3M23+1×(－1)2+4M24= M21+M22+M23+M24.又故M21+M22+M23+M24=－112.比较两种方法，显然方法二计算简便些.例4计算四阶行列式解例5证明，其中证当n=1时，，结论成立，当n=2时，，结论仍成立.假设n=k时结论成立，即，对于n=k+1，将D k+1按最后一列拆开，有所以n=k+1时，结论亦成立，由数学归纳法知原命题得证.例6计算n阶行列式解将D n按第一列展开，得由此递推得例7计算n阶行列式（）. 解将D n按第一列展开，得即.故是以为公比的等比数列(n=3,4,…)，而首项为，故由的对称性可得：上两式消去，得例8用克莱姆法则解方程组其中为互不相等的常数.解其系数行列为范德蒙行列式，所以方程组有唯一解，又故方程组的解为例9当取何值时，齐次线性方程组有非零解？解由克莱姆法则的推论知，该齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式D=0，又故只有当或时，原方程组有非零解.例10证明：含有n个未知量n+1个方程的线性方程组如果有解，那么行列式.证：如果方程组(4)有解，则下列齐次线性方程组有非零解，从而由克莱姆法则的推论可知，方程组(5)的系数行列式必为零，即D=0. 习题1、设行列式求第四行各元素的代数余子式之和A41+A42+A43+A44及第二行各元素的余子式之和M21+M22+M23+M24.（答案：6，64）2、计算下列各行列式的值：⑴；⑵；⑶；⑷.（答案：⑴0；⑵0；⑶；⑷）.3、计算下列行列式的值：⑴（答案：n为奇数时，D n =0；n为偶数时,）⑵（答案：）4、用克莱姆法则解线性方程组（答案：，，，）5、问取何值时，齐次线性议程组有非零解？（答案：时，方程组有非零解）四例1设在D中取第二、四两行及第三、五两列，则它们交叉处的元素的构成D的一个三阶子式.而划去这两行两列，余下的元素构成的三阶行列式便是N的余子式.定义2 如果行列式D的子式N所在行的序号数分别为所在列的序号数为则称与N的余子式M的乘积称为子式N的代数余子式，记为A，即如例1中N的代数余子式为拉普拉斯(Laplace)展开定理在n阶行列式D中，任取k行k列，则这k行k列上所有k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于D，即D=N1 A1 +N2 A2 +…+N S A S.（证明从略）.利用Laplace展开定理计算行列式，当行列式的某些行（列）上的零元素很多，因而这些行（列）上许多子式都等于零，只有极少数子式不为零，按这些行（列）展开，将大大减少计算量，特别是只有一个子式不为零时，例如的前k行只有一个k阶子式不为零，按前k阶展开，则例2计算行列式解: .例3计算2n阶行列式.解将D2n按第一行和第2n行展开可得：习题利用Laplace展开计算下列行列式.⑴；⑵.（答案：⑴60；⑵128）行列式单元综合测试题Ⅰ（60分钟）1、求下列排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性.（每小题5分，共10分）⑴134782695；⑵n(n-1)…21.2、写出4阶行列式中含因子的项，并指出它们所带的正、负号.（10分）3、由行列式定义计算：中与的系数，并说明理由.（10分）4、计算下列行列式.（每小题10分，共60分）⑴；⑵；⑶；⑷；(5)；(6)5、证明下列n阶行列式（10分）行列式单元综合测试题Ⅰ答案1、解⑴，此排列为偶排列.⑵当n=4k或n=4k+1时，为偶数，故此时排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，为奇数，故此时排列为奇排列.2、解由行列式的定义，4阶行列式中含因子的项共有项，分别为：；；；；；.3、解含的项只有，其系数为2；含的项只有，其系数为－１.4、解⑴⑵.⑶.⑷当n=1时，D1= a1+b1；当n=2时，D2=(a1–a2) (b2–b1) ；当n≥3时，把第1行的－1倍分别加到第i行，i=2,3,…,n，行列式不变，得.综上可得⑸⑹5、证明：利用教学归纳法证明.当n=2时，有命题成立.设命题对时成立，下面证明命题对也成立.将按第一行展开，有这即证明时命题成立.综上可得命题成立.行列式单元综合测试题Ⅱ（60分钟）1、求下列排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性.（每小题5分，共10分）⑴217986354；⑵135…(2n-1)246…(2n)2、证明下面的2001阶行列式不等于零（10分）3、设有行列式D中的元素a ij都是实数，且至少有一个不等于零，证明：如果D的每一个元素都等于它自己的代数余子式，那么D n-2=1.（10分）4、计算下列行列式（每小题10分，共60分）⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.5、设f (x)=C0+C1x+C2x2+…+ C n x n，证明：若f (x)有n+1个互异零点，则.（10分）行列式单元综合测试题Ⅱ答案1、解⑴，此排列为偶排列.⑵当n=4k或n=4k+1时，为偶数，故此时排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，为奇数，故此时排列为奇排列.2、证明：题中行列式次对角线下的元素都是偶数.由定义可知，D的每一项由不同行不同列的元素的乘积得到，故除去次对解线元素这一项外，其余每项必有次对角线的元素，故这些项都为偶数.而次对角线上元素的乘积为奇数，从而所有项的代数和为奇数，故D的值为奇数，所以D不等于零.3、证明：因为且，所以有故由题意a ij都为实数，且至少有一个不为零，故，从而.4、解⑴⑵⑶⑷⑸⑹故5、证明：设是f (x)的n+1个互异零点，则有(1)式是关于的线性齐次方程组，其系数行列式为由克莱姆法则知(1)只有唯一零解，即，故f (x)=0.。
线性代数总复习带例题
(2) 若矩阵A有一个r阶子式不为零，则R(A)≥r (3) 若矩阵A有一个r+1阶子式不为零，则R(A)≤r
• 3规定掌零握矩阵线的性秩方为程零组。的判定方法
• 对n阶方阵 A (aij ) ， 若 aij 0，则R(A)=n，称A为满秩矩阵； 若 aij 0，则R(A)<n，称A为降秩矩阵。
把方程组1化成
容易求解的同
会用高斯消元法解线它简性元称方都最为简程零形组的。梯矩阵，称为最简梯矩阵，
解方程组，
即得到能直接
求出解或者能
够直接判2断其 掌握矩阵的秩的概念并求矩阵的秩
无解的同解方
程组
矩阵的初等变换
3 掌握线性方程组的判定方法
ri rj ci c j ，kri kci
L
a0 xn a1xn1 L an
本课程的内容
1
行列式
2
线性方程组
3
矩阵
4
向量空间
5
相似矩阵
6
二次型
线性方程组
本章的知识点 1.满足下列两个条件的矩阵称梯矩阵。 （1）若有零行则零行位于非零行下方；
（2）每个首非零元前面零的个数逐行增
基本思想是通
加。
过消元变形，
2.首非零元为1，且首非零元所在列的其
2 掌握行列式按行(列)展开定理
n阶行列式任一行（列）的各元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 L ain Ajn 0, i j;
a1i A1 j a2i A2 j L ani Anj 0,
线性代数总结汇总+经典例题
线性代数总结汇总+经典例题（⼀）⾏列式概念和性质线性代数知识点总结1 ⾏列式1、逆序数：所有的逆序的总数2、⾏列式定义：不同⾏不同列元素乘积代数和3、⾏列式性质：（⽤于化简⾏列式）（1））⾏列互换（转置），⾏列式的值不变（2））两⾏（列）互换，⾏列式变号（3））提公因式：⾏列式的某⼀⾏（列）的所有元素都乘以同⼀数k，等于⽤数k 乘此⾏列式（4））拆列分配：⾏列式中如果某⼀⾏（列）的元素都是两组数之和，那么这个⾏列式就等于两个⾏列式之和。
（5））⼀⾏（列）乘k加到另⼀⾏（列），⾏列式的值不变。
（6））两⾏成⽐例，⾏列式的值为0。
（⼆）重要⾏列式4、上（下）三⾓（主对⾓线）⾏列式的值等于主对⾓线元素的乘积5、副对⾓线⾏列式的值等于副对⾓线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则7、n 阶（n≥2）范德蒙德⾏列式数学归纳法证明★8、对⾓线的元素为a，其余元素为 b 的⾏列式的值：（三）按⾏（列）展开9、按⾏展开定理：（1））任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式乘积之和等于⾏列式的值（2））⾏列式中某⼀⾏（列）各个元素与另⼀⾏（列）对应元素的代数余⼦式乘积之和等于0（四）⾏列式公式10、⾏列式七⼤公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A| ·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A -1|=|A| -1（5）|A*|=|A| n-1（6））若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ，则（7））若 A 与B 相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1 ）⾮齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0 ，那么⽅程为唯⼀解（2））如果⾮齐次线性⽅程组⽆解或有两个不同解，则它的系数⾏列式必为0 （3））若齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0，则齐次线性⽅程组只有0 解；如果⽅程组有⾮零解，那么必有D=0。
2 矩阵（⼀）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1））矩阵乘法要求前列后⾏⼀致；（2））矩阵乘法不满⾜交换律；（因式分解的公式对矩阵不适⽤，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以⽤交换律）（3））AB=O不能推出A=O 或B=O。
线性代数整理
线性代数整理线性代数知识总结实验1301 刘先凤爱心小提示：线代在考前应当将知识点理清，前后融会贯通。
个人认为可以先看一遍书，再做一下往年的试卷，在做试卷时可对照着书把相关知识点写在题目边上，以便考前再过一遍。
做完题目后，最后将书再看一遍。
尤其注意书上经典例题及平时作业中出现的问题（应当反复看并多加思考）。
一、矩阵的基本性质 1.单位矩阵n E 或n I ①n E ×n n A ?=n nA ?×n E ；②单位矩阵经过初等行变换（三种）转化为初等矩阵，初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵： ij 1-ij E E =，)k (1-)(ij -=ij k E E ，()()k ij k ij E E -=1-； 2.数量矩阵n A =n E λ（即对角线上元素相等） 3.对角矩阵，简记为diag []n 21...λλλdiag []n a a ...a 21diag []n b b ...b 21=[]n n b a b a b ...a diag 22114.零矩阵元素全为零5.对称矩阵：A A T=；反称矩阵：-A A T= 6.负矩阵：-A=[]n m ij ?a -7.运算①数乘：n m A ?k =[]n m ij a ?)(k②加法：[]nnm nb a BA +=+m ③乘法：A=[]nm ij ?a ，B=[][]tm ij t n ij c AB C ??==，b其中++=j i j i ij b a b a 2211c …nj in b a +，(AB)C=A(BC)，A(B+C)=AB+BC ， (B+C)A=BA+CA ，注：AB ≠BA(除非A,B 可逆) 7.若，，00≠≠B A 但AB=0，则A ，B 互称为零因子8.10==E AA 的矩阵多项式：f(A)=+++--...a 11m m m m A a A E A a 01a +9.矩阵的转置T T T TT T T T TT A B AB A A B A B A A A ==+=+=)(k )k ()()(10.矩阵的逆：AB=BA=I=E 1-1-1-1-1-1-1-k1k )(A A A B AB A A ===）（）（1-11-21-1-n 21......A A A A A A n =）（ T T A A )(1-1-=）（求A 的逆矩阵：[][]1-A EE A→?初等行变换；A 满秩则可逆；11.分块矩阵：=???O A B O O B A O B OO A B O O A 1-1-1-1-1-1-， [][]t t B B B d i a g B A A A d i a g A ......2121==①AB=diag []t t B A B A B A ...2211②[]mtmmA A A diag A ...21m=③A 可逆，则i A 均可逆，且[]1-1-21-11-...diag t A A A A =12.A 可逆?A 的行（列）向量组线性无关 13.矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩：经过一系列初等变换得到阶梯形矩阵中不全为零组成行的个数r 即为矩阵的秩。
线性代数总复习
性质1
例5---相似矩阵 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3, 求 (1)A的特征值; (2) 解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值
分别为 (2) 因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的 特征值分别为 所以6B-E的特征值为
3---特征向量的性质 1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。
1、定义 由m×n个数
排成的m行n列数表
(i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n)
称为一个m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵，
矩阵的秩（续） 3、关于秩的重要结论：
例题2 ---(矩阵3)
解
例题3---(逆阵2)
解
2）
例题3---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，
6---例8（1）---几个证明1 1、设A～B,证明: A2～B2; tA－E～tB-E, t是实数
2. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1， 2必线性无关；
3. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1 2 必不是 A的特征向量
3）正交向量组必是线性无关组。
4---n阶方阵A可对角化的条件、方法 1、一个充分必要条件： n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2、两个充分条件： 1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化 2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。
3、对角化方法：
4、正交对角化
5---例6---对角化 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q， 将矩阵A对角化。 解 1）
向量4---例题4
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点 归纳整理 诚毅学生 编01、余子式与代数余子式- 1 -02、主对角线- 2 -03、转置行列式- 2 -04、行列式的性质- 2 -05、计算行列式- 2 -06、矩阵中未写出的元素- 3 -07、几类特殊的方阵- 3 -08、矩阵的运算规则- 3 -09、矩阵多项式- 5 -10、对称矩阵- 5 -11、矩阵的分块- 5 -12、矩阵的初等变换- 6 -13、矩阵等价- 6 -14、初等矩阵- 6 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 6 -16、逆矩阵- 6 -17、充分性与必要性的证明题- 7 -18、伴随矩阵- 7 -19、矩阵的标准形：- 8 -20、矩阵的秩：- 8 -21、矩阵的秩的一些定理、推论- 9 -22、线性方程组概念- 9 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 9 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 10 -25、线性方程组的向量形式- 10 -26、线性相关与线性无关的概念- 10 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 10 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 11 -29、线性表示与线性组合的概念- 11 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 11 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 11 -32、最大线性无关组与向量组的秩- 11 -33、线性方程组解的结构- 11 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数典型习题总结
第二章 行列式例题1．根据行列式的定义，计算下列行列式（1）44333223211211000000000a a a a a a a D =解：()()()()44332112213444322311132411a a a a a a a a D ττ-+-=4433211244322311a a a a a a a a --=（2）00000100000004000000300000020 n D =解：()()1134231212341n n n n a a a a a D --= τ()()!11234111n n n n ---=-=2．计算下列行列式（1）11111111332222211111n n n n a x a a a a a xa a a a a x a a a a a x --- 解：11111111332222211111n n n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ---111110000000000111332322211nn n nn nn a x a a a a a a a x a a a a a x a a a x ----------=--- ()()()()n a x a x a x a x ----= 321（2）λλλλλλλλλ---x x x解：()()()λλλλλλλλλλλλλλλλλλ--+--+-+=---x n x x n x n x x x x222()[]λλλλλλλ---+=x x n x1112()[]λλλ2010210012---+=x x n x()[]()122---+=n x n x λλ（3）443322110000000a b a b b a b a 解：()()000100010000000433224114332211144332211b a b b a b a a b b a a a b a b b a b a ++-+-= ()()()()32324141332213413322334111b b a a b b a a a b b a b b a b b a a a -+=-+-=++ 3．用克莱姆法则解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142321321321x x x x x x x x x解：由于 027113215421≠-=-=D ，由克莱姆法则知，方程组有惟一解。
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线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=A T+B T（2）（kA）T=kA T（3）（AB）T=B T A T（4）|A|T=|A|（5）（A T）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0)（2）（AB）-1=B-1·A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（A T）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij -1=Eij（i，j两行互换）；E i -1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）E ij -1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩阵的秩9、秩的定义：非零子式的最高阶数注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O（2）r（An×n）=n（满秩）←→ |A|≠0 ←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质：（7条）（1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）（2）r（A±B）≤r（A）±（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（A T）=r（A T A）=r（AA T）（7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数（五）伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：（8条）（1）AA*=A*A=|A|E →★A*=|A|A-1（2）（kA）*=k n-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n-1（5）（A T）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A| n-2·A★（8）r（A*）=n （r（A）=n）；r（A*）=1 （r（A）=n-1）；r（A*）=0 （r（A）＜n-1）（六）分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆：3 向量（一）向量的概念及运算1、向量的积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义： ||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1 （二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。
★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。
7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0 （三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）α线性相关←→α=0（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）←→ r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn|=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn|≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
（2）若n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。
←→r（β1，β2，β3）=3 ←→ r（C）=3 ←→ |C|≠0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数★注:向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★16、极大线性无关组的求法（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）18、坐标变换公式：向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，x n ）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+ x2α2+ … +xnαn=y1β1+ y2β2+ …+yn βn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1，α2，α3线性无关（1）正交化令β1=α1（2）单位化4 线性方程组（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，…，cn）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推广】（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+ksηs为Ax=b的解（当Σki=1）Ax=0的解（当Σki=0）（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs -η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。