一次函数的图像与性质

一次函数的性质和图像

目录一、函数的定义

（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义

二、函数的性质

（一）、一次函数的性质

（二）、正比例函数的性质

三、函数的图像

（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置

（二）、一次函数的图像

1、一次函数图像的形状

2、一次函数图像的画法

（三）、正比例函数的图像

1、正比例函数图像的形状

2、正比例函数图像的画法

3、举例说明正比例函数图像的画法

四、k、b两个字母对图像位置的影响

K、b两个字母的具体分工是：

（一次项系数）k决定图象的倾斜度。

（常数项）b决定图象与y轴交点位置。

五、解析式的确定

（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次

（二）用待定系数法确定解析式

六、两条函数直线的四种位置关系

两直线平行，k1= k2，b1≠b2

两直线重合，k1= k2，b1=b2

两直线相交，k1≠ k2

两直线垂直，k1×k2= －1

（一）两条函数直线的平行

（二）两条函数直线的相交

（三）两条函数直线的垂直

一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数

这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。

在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。

函数是初中数学最难的内容，特别是四种函数都学完之后，把各种函数甚至几何图形综合出题，考查你对函数基本知识如概念、性质、图像等的掌握，对公

式的记忆和你的综合分析能力，也是出题最后环节大应用题的精彩压轴戏。尽管大纲要求降低对学生掌握函数难度的要求，但应试教育下函数仍应该引起同学们对函数学习的足够重视。

从上面初中数学代数知识结构框架图可以看出，初中所学函数包括一次函数、反比例函数和二次函数。一次函数是入门课，而且在八年级下学习反比例函数，九年级下学习二次函数时，都还要解决这后面学习的两种函数与一次函数的交叉计算的问题，所以学好一次函数和正比例函数，对打好函数的基础十分重要。

一、函数的定义

（一）、一次函数的定义

一次函数定义

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，当b=0时，即y=kx，这时就是正比例函数。

关键词：

①、自变量x的次数只能为1次；；

②、k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1

③、一次项系数k不为0，而且x不能为分母（那就成为反比例函数了），

判断一个函数是不是一次函数，首先对式子进行化简后，判断标准是：未知数的次数只能是1次，而且未知数x不能在分母或者根号里面。自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b，则此时称y是x的一次函数。

（二）、正比例函数的定义

正比例函数定义

一般地，形如定义式y=kx(k是常数，k≠0)，自变量x与函数y之间是k 倍关系的函数，叫做正比例函数。

其中，k叫做比例系数。

一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数是一次函数解析式b＝0（即所谓“y轴上的截距”为零）时的特殊情况。当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函数。

正比例函数解析式的判断

根据正比例函数y=kx+b的定义来判断：①、判断是否能化成y=kx自变量次数为1的定义式。②、看它是否符合定义的这些条件“k为常数且≠0，自变

量次数为1”。

试判断下列函数中是正比例函数的是

答：①是反比例函数；②自变量系数为0，不是函数；③是一次函数；④是。

正比例函数是一次函数解析式b＝0（即所谓“y轴上的截距”为零）时的特殊情况。当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函数。

（三）、一次函数与正比例函数的关系正比例函数属于一次函数。

（四）、自变量x取值范围的确定

自变量X的取值范围应使解析式有意义。

整式，x取一切实数；

分式，x取分母不为零的数；

二次根式，x取使被开方数为非负数的数；

实际问题则需要根据实际情况来确定.

（五）、求函数y的取值范围：

根据自变量的取值范围确定函数的取值范围

1、解不等式法

2、图象法

二、函数的性质

（一）、一次函数的性质

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，是增函数（即y 随着x的增大而增大）。当b＞０时，直线必通过第二象限；当b＜0时，直线必通过第四象限

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，是减函数（即y 随着x的增大而减少）。当b＞０时，直线必通过第一象限；当b＜0时，直线必通过第三象限。

（二）、正比例函数的性质

一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.。

正比例函数y=kx(k≠0)的性质：

当k＞0时，函数图像经过第一、三象限；自变量x逐渐增大时，函数值y