数学建模例题

建模课程设计-考试题目1. 蠓虫的分类实验目的: 学习利用向量夹角余弦建模方法进行生物种类的判别, 熟悉回代误判率与交叉误判率的计算, 熟练掌握Matlab关于向量的内积, 范数, 均值的计算, 提高综合编程能力.问题描述两种蠓虫Af和Apf已由生物学家根据触角长度和翅长加以区分, 现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长, 翅长的数据如下:Apf: (1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20, 1.86), (1.26, 2.00), (1.28, 2.00), (1.30, 1.96)Af: (1.24, 1.72), (1.36, 1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38, 1.90), (1.40, 1.70), (1.48, 1.82), (1.54, 1.82), (1.56, 2.08)问题1. 如何依据以上数据, 制定一种方法, 正确区分两类蠓虫.2. 将你的方法用于触长, 翅长分别为(1.24, 1.80), (1.28, 1.84), (1.40, 2.04) 的3个样本进行识别.3. 设Af 是宝贵的传粉益虫, Apf是某种疾病的载体, 是否应该修改分类方法.4. 衡量两个向量之间的接近程度还有哪些方法, 据此建立新的判别方法, 并与上述方法进行比较, 由此你有何发现?2. 最速落径实验目的1. 熟悉用计算机模拟解决物理中的极小值问题2. 进一步熟悉多元函数求极值问题实验内容及要求问题提出: 如下图所示:图1设A, B 是不在一条铅垂线上的两点, 在连接A, B 两点的所有光滑曲线中, 找出一条曲线, 使得初速度为零的质点, 在重力作用下, 自A 点下滑到B 点所需的时间最短.分析: 由A 到B 的曲线如果是直线AB, 质点沿直线AB 的运动是匀加速的,0,A B v v ==平均速度()/22A B v v v =+=, 所需总时间为T =问题1: 对从A 到B 的曲线, 如果是a) 圆弧, b) 抛物线, 计算所需的时间, 圆弧和抛物线的选择不是唯一的, 你可任选一条, 看哪种方案所需时间少些. 时间与曲线的选择有关吗?问题3: 作图, 将模拟出来的最速落径曲线和理论曲线arccos(1)x y =-相比较, 比较模拟效果如何.问题4: 理论推导最速落径曲线方程: arccos(1)x y =-提示: 根据费马定律, 光在媒质中总是走最省时间的路线, 是否可以让质点模拟光的行为, 按照光的折射定律运行, 这样走出的轨迹就是最速路径.3. 投资的收益与风险实验目的: 学会利用线性规划建立数学模型的方法, 利用Matlab 在给定风险的条件下求解最大收益的投资方案, 建立风险与收益的函数关系.实验内容及要求1. 问题描述: 市场上有n 种资产(如股票, 债券等等), , (1,2,,)i S i n =供投资者选择, 某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资, 公司财务人员对这n 种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r , 并预测出购买i S 的风险损失率为i q , 考虑到投资越分散, 总的风险就越小, 公司确定, 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量.购买i S 要付交易费, 费率为i P , 并且当购买额不超过给定值i u 时, 交易费按购买额i u 计算, (不买无需付费), 另外, 假定同期银行存款利率是0r , 既无交易费又无风险0(5%)r = (1) 已知4n =时的相关数据如表1:表1M 息, 使净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.(2) 试就一般情况对以上问题进行讨论, 并利用下表的数据进行计算2. 问题的分析与模型的建立建立一个确定投资比例的向量模型, 使资产组合的净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.设01234,,,,x x x x x 分别是银行存款和投资于1234,,,s s s s 的投资比例系数, 由于银行存款既无交易费又没有风险, 故000,0p q == 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量, 于是投资组合总体风险为04max{}i i i F x q ≤≤=由于题设给出M 为相当大的一笔资金, 为了简化模型, 认为该公司投资每一项资产都超过给定的定值i u , 于是资产组合的平均收益率为40()i i i i R x r p ==-∑为了使平均收益率尽可能大, 而总体风险尽可能小, 采取固定总体风险的一个上界q , 使得总体收益取得最大, 运用Matlab 软件, 对总体风险的上界从[0,3], 取步长为0.01, 计算301种不同风险时的总体收益的最大值及相应的投资比例系数. 问题:1. 绘制投资方案的净收益率与风险损失率的关系曲线, 并分析之. 对该曲线给出函数描述.2. 计算风险为0.1,0.2,,2.5时的投资比例系数与收益.3. 建立一般情况下的投资组合模型, 并利用2中数据进行计算.4. 湖泊水质富营养化的综合评价实验目的： 学习利用距离函数建模的方法，掌握客观性圈中的变异系数法以及综合评价的基本方法，熟练掌握Matlab 处理矩阵的各种方法。

实验内容及要求： 近年来，我国淡水湖水质富营养化的污染日益严重，如何对湖泊水质的富营养化进行综合评价与治理是摆在我们门前的一项重要任务，下面两表分别为我国5个湖泊的实测数据和湖泊水质的评价标准：问题1. 试利用以上数据, 分析总磷, 耗氧量, 透明度和总氮这4种指标对湖泊水质富营养化所起的作用, 哪个所起作用最大.问题2. 对上述5个湖泊的水质进行综合评估, 确定水质等级.5. 足球赛排名问题实验目的:1. 学习建立效益型矩阵的方法, 利用各向量与理想点Mahalanobis距离函数进行排序.2. 熟练掌握Matlab中处理矩阵, 进行秩和比检验的方法实验内容及要求问题下表给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩, 要求:1. 设计一个依据这些成绩排除诸对名次的算法, 并给出用该算法排名次的结果.2. 把算法推广到任意N个队的情况3. 讨论: 数据应具备什么样的条件, 用你的方法才能排出诸队的名次.对上表的说明如下:1. 12支球队依次记为T1, T2,, T12.2. 符号⨯表示两队未曾比赛3. 表中的数字表示两队比赛结果.6. 水中倒影实验目的: 模拟微幅波浪水中的倒影, 探究影响倒影长度的有关因素, 解释日常生活所观察到的现象. 问题描述：站在岸边看水中倒影, 仔细观察不难看出, 同样高的灯柱, 人灯间距越大, 灯光倒影越长; 人灯间距不变, 灯柱越高, 灯光倒影越长; 人站得越高, 所看到的同一个灯柱灯光的倒影越短; 波浪越大, 灯光倒影拉得越长; 灯光倒影根部清晰明亮, 顶部稀疏黯淡.问题1. 根据光的反射定律, 建立水中虚像的坐标 (,)P x y 与人, 物间距s , 物点高度a , 观察者高度b , 波浪大小θ(波浪表面与水平面的夹角)之间满足的方程式, 并用软件求出该方程的数值解, 画出物点在水中的虚像, 解释日常生活所观察到的这一物理现象. 参考数据：05, 1.8,100,10a m b m s m θ====问题2. 如果波浪不是对称的，比如迎风角与背风角相差几度， 那么，迎风与背风所看到同一个物体（这里假设,,a b s 都一样）的倒影长度是否一样长呢？请你观察风成波的形状，模拟计算并画出迎风和背风所看到的倒影图像，合理解释这一现象。

提示: 这里只考虑由风力所形成的微幅波, 波形曲线微圆余摆线, 参数方程为()sin 22cos 2h x t vt hy λθθθ=+-=其中, 波速为v7. 资源优化配置问题实验目的: 学习动态规划方法, 利用软件编程计算最优决策序列和总利润的最大值，并且掌握利用inline 建立编程函数的方法.试验内容及要求:问题：某公司新购置了某种设备6台, 欲分配给下属的4个企业. 已知各企业获得这种设备后年创利润如下表所示, 单位为千万元, 问应如何分配这些设备能使年创总利润最大, 最大利润为多少?8. 应聘问题实验目的: 随机模拟方法问题描述: 设想一个经理要从N个应聘者中雇佣一名秘书. 按照某种标准, 可以用1,2,,N 分别表示这些应聘者的优劣的绝对名次. 1表示最优者, N表示最劣者. 假设这些应聘者是逐个到来接受经理面试的, 并且应聘者到来的优劣次序是随机的.经理每次会见一名应聘者, 面试后决定录用与否. 如果录用到当时面试的应聘者, 则停止下面的会见, 否则面试下一位. 假定每个当时不被录用的应聘者是不能事后再召回录用的. 在经理每次面试后, 他只知道当时的应聘者与先前已面试者比较的相对名次, 而不知道当时应聘者的绝对名次. 现在要问经理要怎样决定他的录用策略, 或者说经理在何时停止他的会见(录用当时的应聘者) 是最优的. 当然这里最优要有一个标准, 通常采用下面的两种标准:(1) 第一标准: 使录用到最优应聘者的概率最大;(2) 第二标准: 使录用的应聘者的绝对名次尽量的小。

问题1.在以上两种不同标准之下, 分别讨论录用策略.问题2. 对N=100, 分别对不同的G(1,2,,100)G 做模拟, 求出成功的概率, 然后找出最优的G值, 并求出此时录用到第一名的概率。

问题3. 分别给出N=50, 100, 200, 300, 400时的最优的G值(用*()G N表示)及相应的成功概率,观察N趋向于无穷大时,*()G NN的值以及成功概率有无极限。

9. 猪的最佳销售问题一般从事猪的商业性饲养和销售总是希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润是饲养者必须首先考虑的问题。

如果把饲养技术水平、猪的类型等因素视为不变的，且不考虑市场需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。

也许有人认为，猪养的越大，售出后获利越大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就越多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。

试做适当的假设，引入相应的参数，建立猪的最佳销售时机的数学模型。

预备知识：盈亏平衡原理在一个追求最大利润的经济活动中，设X(t)为t时刻保有某种价值的对象所增加的价值，Y(t)为保有者t时刻所支付的费用，X(t),Y(t)分别为随时间递减和递增的函数，且X(0)>Y(0).保有者可以在某个时刻将保有对象出售以获得利润，那么保有者获得最大利润的出售时刻为盈亏时刻t*，t*满足表达式X(t*)=Y(t*).实验要求：1、设猪开始进行商业性饲养的时刻t=0, x(0)为t=0猪的体重，x(t)为猪在时刻t体重，X为猪在时刻t最大体重，y(t)为一头猪t时刻共消耗的饲养费用，x s为猪可售出的最小体重，小于x s的猪，收购站不予收购，t s为猪从重x(0)长到x s所需时间，C为猪的单位重量售价，C0为刚出生小猪的单位价格假设：（1）由于开始进行商业性饲养时已有一定体重，所以可以假设猪体重增长的速度将不断减慢，设反映猪体重增长速度的参数为α.（2）由于猪的体重越大，单位时间消耗饲养费用就越多，达到最大体重后，单位时间消耗的饲养费接近某一常数γ。