第5章 函数

函数的表示
因为函数是二元关系，所以可以用关系图和关系矩 阵来表达函数。
f
x1 x2 y1 y2
x5 X = f 的域
x4
x3
f ( x) y3
Y = f 的陪域
函数f: X→Y的图解
函数的表示
例： 设集合X={a,b,c,d}和Y={1,2,3,4,5}，并且有 f={<a,1>,<b,3>,<c,4>,<d,4>} 试求出Df，Rf 和f的矩阵表达式。 解：Df={a,b,c,d} Rf={1,3,4}
第五章 函数
主要内容
函数的基本概念 函数的性质 函数的合成、合成函数的性质 特殊函数 反函数、特征函数 基数 二元运算
5.1函数的基本概念和性质
函数（或称映射）是满足某些条件的关系，关系又 是笛卡尔乘积的子集。 定义：设X和Y是两个任意的集合，并且f是从X到Y的 一种关系。如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈ ∈ Y，使得<x,y>∈f，则称关系f为函数或映射，并记作 ∈ f: X→Y。 对于函数来说f:X→Y，如果有<x,y>∈f ，则称x ∈ 是自变量；与x相对应的y，称为在f作用下x的 象点，或称y是函数f在x处的值。通常用y=f(x) 表示<x,y>∈f 。 ∈
注意：有时为了某种需要，要特别强调函数的任 意性和唯一性性质：函数f的域Df中的每一个x，在 值域Rf中都恰有一个象点y，这种性质通常被称为 函数的良定性 良定性。
函数的相等
定义： 给定函数f: X→Y和g: Z→W。如果f和g具有同 样的域和陪域，亦即X=Z和Y=W，并且对于所有的x ∈X或x∈Z都有f(x)=g(x)，则称函数f和g是相等的，记 ∈ 作f=g。
定理：函数的合成运算是可结合的，即如果f,g,h都 是函数，则应有 h ( g f ) = (h g ) f
(h g ) f
y f x
g f
h g
g
w
h z
h (g f )
函数的合成和合成函数的性质
因为函数的合成运算是可结合的，所以在表达合成 函数时，可以略去圆括号，即 h g f = h ( g f ) = (h g ) f 推广：设有n个函数：f1: X1 →X2，f2: X2→X3， …， fn: Xn→Xn+1，于是无括号表达式唯一地表达了从X1 到Xn+1的函数。如果X1=X2=…=Xn=Xn+1=X和 f1=f2=…=fn=f，则可用fn表示从X到X的合成函数 fnfn-1…f1。
5.2函数的合成和合成函数的性质
定义：设f: X→Y和g: Y→Z是两个函数。于是，合成 关系fg为f与g的合成函数，并用gf表示。即
g f = { x, z ( x ∈ X ) ∧ ( z ∈ Z ) ∧ ( y )( y ∈ Y ∧ y = f ( x) ∧ z = g ( y ))}
注意：合成函数gf与合成关系fg实际上表示同一个 集合。这种表示方法的不同有其方便之处： 对合成函数gf，当z=(gf)(x)时，必有z=g(f(x)) gf与g(f(x)) 的次序是理想的。
函数的基本概念
从X到Y的函数f，是具有下列性质的从X到Y的二元关 系： (1) 每一个元素x∈X ，都必须关系到某一个y∈Y ； ∈ ∈ 也就是说，关系f的域是集合X本身，而不是X的 真子集。 (2) 如果有<x,y>∈f ，则函数f在x处的值y是唯一的， ∈ 亦即
x, y ∈ f ∧ x, z ∈ f y = z
函数的构成
设A和B都是有限集合，且|A|=m和|B|=n，因为任何函 数f: A→B的域都是集合A， 所以每个函数中都恰有m 个序偶。而且，任何元素x ∈ A，都可以在B的n个元 素中任选其一作为自己的象点。因此，应有nm 个可 能的不同函数，亦即 |BA|=|B||A|=nm
例：设A为任意集合，B为任意非空集合。 （1）因为存在唯一的一个从Ф到A的函数，所 以AФ={Ф}。 （2）因为不存在从B到Ф的函数，所以ФB=Ф。
函数的扩大和缩小
例：令X1={0,1},X2={0,1,2},Y={a,b,c,d}。定义从X12到 Y的函数f为： f={<0,0,a>,<0,1,b>,<1,0,c>,<1,1,b>}。 g=f ∪ {<0,2,a>,<2,2,d>}是从X12 ∪{<0,2>,<2,2>}到Y 的函数。 于是f=g/X12，因此f是g在X12上的缩小（或称限制）， g是f到X12 ∪{<0,2>,<2,2>}上的扩大（或称延拓）。
函数的合成和合成函数的性质
例：设集合X={x1,x2,x3,x4}, Y={y1,y2,y3,y4,y5}， Z={z1,z2,z3}。函数f: X→Y和g: Y→Z分别是 f = { x1 , y2 , x2 , y1 , x3 , y3 , x4 , y5 } g = { y1 , z1 , y2 , z2 , y3 , z3 , y4 , z3 , y5 , z2 } 试求出函数gf=X→Z，并给出它的图解。 解：g f = { x1 , z2 ,s x2 , z1 , x3 , z3 , x4 , z2 } f fos
X Y Z → →
X Z →
x1 x2 x3 x4
y2
y1
z1 z2 z3
x1 x2 x3 x4
z1 z2 z3
y3 y4 y5
函数的合成和合成函数的性质
例：设集合X={1,2,3}，函数f: X→Y和g: Y→Z分别为
f = {1, 2 , 2,3 , 3,1} g = {1, 2 , 2,3 , 3,3}
也称f(x)是函数f的象点 注意：函数f的象点与自变量x的象点是不同的。 我们这里给出的函数的定义是全函数的定义， 所以Df=X.
函数的基本概念和性质
例：设E是全集，ρ(E)是E的幂集。对任何两个集合 X,Y∈ρ(E)，它们的并运算和相交运算都是从ρ(E)× ρ(E)到ρ(E)的映射；对任何集合X∈ρ(E)的求补运算， ∈ 则是从ρ(E)到ρ(E)的映射。 例：试说明下列二元关系是否是函数？
(1) exp = { x, e x x ∈ R} (2) arcsin = { x, y x, y ∈ R ∧ sin y = x}
(1)是函数，(2)不是函数
函数的基本概念和性质
例：设N是自然数集合，函数S: N→N定义成S(n)=n+1。 显然，S(0)=1，S(1)=2，S(2)=3…。这样的函数，通 常称为皮亚诺后继函数 皮亚诺后继函数。
函源自文库的合成和合成函数的性质
例：设I是整数集合，并且函数f: I→I给定成 f(i)=2i+1。试求出合成函数f3(i)。 解：合成函数f3(i)是一个由I到I的函数，于是有
f 3 (i ) = f 2 (i ) f (i ) = ( f (i ) f (i )) f (i ) = f ( f ( f (i )) = f ( f (2i + 1)) = f (4i + 3) = 2(4i + 3) + 1 = 8i + 7
试求出合成函数fg, gf, ff, gg 解：
f g = {1,3 , 2,1, 3,1} g f = {1,3 , 2,3, 3, 2} g g = {1,3 , 2,3, 3,3} f f = {1,3, 2,1, 3, 2}
函数的合成关系是不可交换的，但是是可结合 的
函数的合成和合成函数的性质
函数的合成和合成函数的性质
证明: (1)假设x∈X和z1,z2∈Z，再假设<x,z1>∈gf和 <x,z2>∈gf。这个假设要求存在y∈Y，能使y=f(x)， z1=g(y)以及z2=g(y)。因为g是一个函数，所以由函数 值的唯一性可知，除非z1=z2，否则不可能有z1=g(y) 和z2=g(y)。也就是说，仅能有z1=z2=z和<x,z> ∈ gf。 因此gf是一个从X到Z的函数，且 (gf)(x)=z=g(y)=g(f(x))
函数的基本概念
例：设A＝{1, 2, 3, 4},B={2, 3, 4, 5, 6},A到B的关系 ρ={<2, 2>,<2, 4>,<2, 6>,<3, 3>,<3, 6>,<4, 4>}
ρ是否是由A到B的函数？
若调整为f＝{<1,2>,<2,6>,<3,6>, <4,4>}或g={<1,3>,<2,2>,<3,6>, <4,5>}呢？
函数的扩大和缩小
定义：给定函数f: X→Y，且有A X。 (1) 试构成一个从A到Y的函数
g = f ∩ ( A×Y )
通常称g是函数f的缩小 缩小，并记作f/A。 (2)如果g是f的缩小，则称f是g的扩大 扩大。 从定义可以看出，函数f/A: A→Y的域是集合A， 而函数f的域则是集合X。f/A和f的陪域均是集合 Y。于是若g是f的缩小，则应有 Dg Df和g f 并且对于任何x∈Dg都有g(x)=(f/A)(x)=f(x)。 ∈
a 1 b 3 Mf = c 4 d 4
函数的构成
设X和Y是任意的两个集合。在X×Y的所有子集中， 并不全都是从X到Y的函数，仅有一些子集可以用来 定义函数。 定义：设A和B是任意两个集合，记 BA={f|f: A→B}
函数的构成
例：设集合X={a,b,c}和集合Y={0,1}。试求出所有 可能的函数f: X→Y。 解：首先求出的X×Y所有序偶，于是应有
函数的表示
由函数的定义可知，在关系矩阵的每一个行上，都 有且仅有一个元素的值是1，而此行上的其他元素 都必定为0。因此，可以用一个单独的列来代替关 系矩阵。在这个单独的列上，应标明所对应的给定 函数的各个值。这样，该列上的各元素也说明了自 变量与其函数值之间的对应关系。 上例中f的简化关系矩阵为：
X × Y = { a, 0 , b, 0 , c, 0 , a,1 , b,1 , c,1}
于是，有26 个可能的子集，但其中仅有下列23个子 集可以用来定义函数： f 0 = { a, 0, b, 0 , c, 0}, f1 = { a, 0 , b, 0 , c,1}
f 2 = { a, 0, b,1 , c, 0}, f 4 = { a,1 , b, 0 , c, 0}, f 6 = { a,1, b,1 , c, 0}, f3 = { a, 0 , b,1 , c,1} f5 = { a,1 , b, 0 , c,1} f 7 = { a,1 , b,1 , c,1}
函数的合成和合成函数的性质
函数f的值域是函数g的域Y的子集，亦即Rf Dg 。条 件Rf Dg能确保合成函数gf是非空的。否则，合成 函数gf是空集。如果gf非空，则能保证gf是从X到 Z的函数。 定理：设f: X→Y和g: Y→Z是两个函数： （1）合成函数gf 1 g f是从X→Z的函数，并且对于每一 X→Z 个x∈X，都有(gf)(x)=g(f(x)) ∈ （2）Dgf =f-1[Dg], Rgf=g[Rf] 其中f-1[Dg]表示g的域在下的原象集，g[Rf]表 示f的值域在g下的象点集。
等幂函数
定义：给定函数f: X→X，如果有f2=f，则称f是个等 幂函数。 例：设I是整数集合和Nm={0,1,2,…m-1}，并且函数f: I→Nm是f(i)=i(mod m)。试证明，对于n≥1都有fn=f。 证明： （归纳证法）当n=2时
f2= f f = f ( f (i )) = f (i (mod m)) = (i (mod m))(mod m) = i (mod m) = f
函数的合成和合成函数的性质
证明： (2)若 x∈Dgf，则存在z∈Z使<x,z>∈ gf。因 此，必有y∈Y使<x,y>∈f且<y,z> ∈ g。但由<y,z> ∈g知 y∈Dg，再由<x,y> ∈f，即得x∈f-1[Dg]。另一 方面，若x∈f-1[Dg] ，则有y∈Dg使<x,y>∈f。但由y ∈Dg知，有z∈Z使<y,z>∈g，所以<x,z>∈ gf，这表 明x∈Dgf。 同理可证Rgf=g[Rf]。
函数的定义域和值域
设f是从X到Y的函数，函数的定义域 f=X,而不会是X 定义域D 的真子集。 函数的值域 值域满足Rf Y. 对于函数f,常用 f(X)表示Rf。集合Y称作f的陪域 陪域。
f ( X ) = R f = { y y ∈ Y ∧ ( x)( x ∈ X ∧ y = f ( x))}