高中数列题型大全
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。
(完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典)
数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
高考数列题型总结（优秀范文五篇）
高考数列题型总结（优秀范文五篇）第一篇：高考数列题型总结数列1.2.3.4.5.6.坐标系与参数方程 1.2.34..5.6.(1)(2)第二篇：数列综合题型总结数列求和1.（分组求和）(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）2.(裂相求和)++Λ+1⨯44⨯7(3n-2)(3n+1)3.（错位相减）135+2+3+222+2n-12n1⨯2+2⨯22+3⨯23+Λ+n⨯2n4.（倒写相加）1219984x)+f()+Λ+f()=x 求值设f(x），求f(1999199919994+25.（放缩法）求证：1+数列求通项6.（Sn与an的关系求通项）正数数列{an}，2Sn=an+1，求数列{an}的通项公式。
7．（递推公式变形求通项）已知数列{an }，满足，a1=1,8.累乘法an+1=5an求{an }的通项公式 5+an11++2232+1<2n2数列{an}中，a1=122，前n项的和Sn=nan，求an+1.2222a=S-S=na-(n-1)a⇒(n-1)a=(n-1)an-1 nnn-1nn-1n解：⇒∴∴an=ann-1=an-1n+1，anan-1a2n-1n-2111⋅Λ⋅a1=⋅Λ⨯=an-1an-2a1n+1n32n(n+1)an+1=1 (n+1)(n+2)9累加法第三篇：数列题型及解题方法归纳总结文德教育知识框架⎧列⎧数列的分类⎪数⎪⎪⎨数列的通项公式←函数⎪的概念角度理解⎪⎪⎩数列的递推关系⎪⎪⎧⎧等差数列的定义an-an-1=d(n≥2)⎪⎪⎪⎪⎪等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d⎪⎪⎪等差数列⎪⎨n⎪⎪⎪等差数列的求和公式Sn=2(a1+an)=na1+n(n-1)d⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎩等差数列的性质an+am=ap+aq(m+n=⎪⎪p+q)⎪两个基⎪⎧等比数列的定义an=q(n≥⎪本数列⎨⎪⎪a2)n-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪等比数列的通项公式an-1⎪n=a1q数列⎪⎪等比数列⎨⎨⎧a1-anq=aqn1(1-)⎪⎪⎪等比数列的求和公式S(q≠1)n=⎪⎨1-q1-q⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩na1(q=1)⎪⎪⎪⎩等比数列的性质anam=apaq(m+n=p+q)⎪⎩⎪⎧公式法⎪⎪分组求和⎪⎪⎪⎪错位相减求和⎪数列⎪⎪求和⎨裂项求和⎪⎪倒序相加求和⎪⎪⎪⎪累加累积⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪⎪⎪数列的应用⎧分期付款⎨⎩⎩其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
高中数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。
2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。
3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。
^2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . %（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
数列综合讲义十三种题型归纳梳理
数列综合讲义第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项 题型1 累加法1．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若1111(2)3(2,*)n n n n n a a a a a n n N -+-++=∈，则数列{}n a 的通项n a = ．【解析】111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N +-+-++=∈，∴1111112()n n n n a a a a +--=-，2111312a a -=-= ∴数列111{}n n a a +-是等比数列，首项与公比都为2，∴1112n n na a +-= 2n ∴时，1212122212121n n n n n a ---=++⋯⋯++==--，则数列{}n a 的通项121n n a =-∴则数列{}n a 的通项121n n a =- 2．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则1220172018201911111a a a a a ++⋯+++= ． 【解析】由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋯+-+(1)(1)(2)212n n n n n +=+-+-+⋯++=∴12112()(1)1n a n n n n ==-++ 则1220172018201911111111111120192(1)22334201920201010a a a a a ++⋯+++=-+-+-+⋯+-= 3．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且*111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N -+-++=∈（1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 （2）求数列1{2n n a a +}n 的前n 项和【解析】（1）证明：当2n 且*n N ∈时，在111123n n n n n n a a a a a a -+-++=两边同除以11n n n a a a -+，得11123n n n a a a +-+=，1111112()n n n n a a a a +--=-，1111211n nn n a a a a +--=-为常数，且21112a a -= 所以数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）设数列{}12nn n a a +的前n 项和为n S由（1）知1112n n n a a +-=，1111112221n n n n a a a ++-=-=⋯=-=-，∴11121n n a ++=-，11121n n a ++=- 又由1112n n n a a +-=，112n n n n n a a a a ++=-，所以122311111()()()121n n n n n S a a a a a a a a +++=-+-+⋯+-=-=-- 题型2 累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，则(n a = ) A ．1n + B ．n C ．1n -D ．2n -【解析】数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，可得11321111321n n n a a a a a an n n +-===⋯====+- 可得n a n =，选B2．已知数列{}n a 满足1(2)(1)n n n a n a ++=+，且213a =，则(n a = )A ．11n + B ．121n - C ．121n n -- D ．11n n -+ 【解析】1(2)(1)n n n a n a ++=+，∴112n n a n a n ++=+，∴3234a a =，4345a a =，11n n a n a n -⋯=+ 以上各式两边分别相乘得1(2)1n a n n =+，由1n =时也适合上式，所以11n a n =+，选A 3．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12n n n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb b b b a a a a +++⋯+的值是( ) A ．122n n +- B ．(1)22n n -+ C ．(1)22n n +- D ．1(1)22n n +-+【解析】根据题意，数列{}n a 满足2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，变形可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+= 又由数列{}n a 是首项为1的正项数列，则有1(1)0n n n a na ++-=，变形可得：11n n a na n +=+ 则有11n n a n a n --=，则有1211211211112n n n n n a a a n n a a a a a n n n -----=⨯⨯⋯⋯+⨯=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=-，故1n a n= 数列{}n b 满足12n n n b b +=+，即12n n n b b +-=，则有112n n n b b ---=则有12112211()()()22222n n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-+⋯⋯+-+=++⋯⋯++=，故2n n b = 则2n n n b n a =⨯，设312123n n nbb b b S a a a a =+++⋯+，则212222n n S n =⨯+⨯+⋯⋯⨯，① 则有231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯⋯⨯，②-②可得：231112(21)2(222)22(1)2221nn n n n nS n n n +++--=+++⋯⋯-⨯=-⨯=---变形可得：1(1)22n n S n +=-+，选D4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则4a = 14，n a = ． 【解析】2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，11[(1)]()0n n n n n a na a a ++∴+-+= 又0n a >，1(1)n n n a na +∴+=，11a =，111n na a ∴=⨯=，1n a n ∴=，414a =，故答案为：14；1n5．已知数列{}n a 满足123a =，12n n na a n +=+，求通项公式n a ． 【解析】12n n n a a n +=+，∴12n n a n a n +=+ 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯12321211433n n n n n n ---=⋯⨯+-43(1)n n =+，43(1)n a n n ∴=+．6．已知数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，求n a 的通项公式． 【解析】数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，∴134(2)31n n a n n a n --=-， 13211221n n n n n a a a aa a a a a a ---∴=⋯3437523313485n n n n --=⋯--631n =-，当1n =时也成立，631n a n ∴=-题型3 差商法1．已知数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，则3(a = ) A ．32B ．3C ．9D ．94【解析】因为数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，所以3n =时，21233a a a =，2n =时，2122a a =，所以394a =．选D ． 2．已知数列满足11222()2n n na a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求证221n S n n +-．【解析】()1I n =时，112a =，112222n n n a a a -++⋯+=，2n ∴时，21211222n n n a a a ---++⋯+=两式相减可得，1122n n a -=，∴12n n a = ()II 解：2n n nnb n a ==，∴231222322n n S n =+++⋯+，231212222n n S n +=++⋯+ 两式相减可得，23112(12)22222212n nn n n S n n ++--=+++⋯+-=--∴1(1)22n n S n +=-+()III 证明：由()II 可知，12(1)2(1)(11)n n n S n n +-=-=-+0110112111111(1)()(1)()(1)(3)23n n n n n n n n n C C C n C C C n n n n ++++++++=-++⋯+-++=-+=+-∴2223n S n n ---，∴221n S n n +-3．已知数列n a 满足21*123222()2n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n n nb a =求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】（Ⅰ）1n =时，112a =，21123222..2n n n a a a a -+++⋯+=⋯（1） 2n ∴时，22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=⋯．（2） （1）-（2）得1122n n a -=即12n n a =，又112a =也适合上式，∴12n n a = （Ⅱ）2n n b n =，∴231222322n n S n =+++⋯+（3），23121222(1)22n n n S n n +=++⋯+-+（4） （3）-（4）可得231121212122nn n S n +-=+++⋯+-1112(12)222212n n n n n n +++-=-=---∴1(1)22n n S n +=-+4．已知数列{}n a 满足112324296n n a a a a n -+++⋯+=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2||(3log )3n n a b n =-，探求使123111116n m b b b b -+++⋯+>恒成立的m 的最大整数值．【解析】（1）当1n =时，1963a =-=，当2n 时，112324296n n a a a a n -+++⋯+=-，① 2123124296(1)n n a a a a n --+++⋯+=--，②①-②得，126n n a -=-，232n n a -∴=-；23,13,22n n n a n -=⎧⎪∴=⎨-⎪⎩，（2）．2||(3log )3n n a b n =-，1231(3log )33b ∴=-=，1113b =；2n 时，2||(3log )3n n a b n =-223||2(3log )(3(2))3n n n n --=-=--(1)n n =+；1111n b n n =-+； ∴123111116n m b b b b -+++⋯+>可化为：11111111()()()3233416m n n -+-+-+⋯+->+； 即11112316m n -+->+恒成立，即511616m n -->+恒成立，故1136m ->成立，故m 的最大整数值为2．5．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（Ⅰ）求2a 的值； （Ⅱ）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值； （Ⅲ）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围【解析】（Ⅰ）由题意，数列{}n na 的前n 项和(1)(41)6n n n n S +-=．当1n =时，有1111a S ⋅==，所以11a =． 当2n 时，1(1)(41)(1)(45)66n n n n n n n n n na S S -+---=-=-22[(1)(41)(1)(45)][(431)(495)](21)66n nn n n n n n n n n n =+----=+---+=-．所以，当2n 时，21n a n =-； 又11a =符合，2n 时n a 与n 的关系式，所以21n a n =-，所以2a 的值为3． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =-． 可令11111111()(21)(21)22121n n n n n c a a a a n n n n ++===-⋅-+-+因为111nn i i i T a a =+=∑所以12233411111n n n T a a a a a a a a +=+++⋯+11111111[(1)()()()]2335572121n n =-+-+-+⋯+--+11(1)22121n n n =-=++ 所以2020T 的值为20204041． （Ⅲ）由111b a ==，359b a ==得29q =．又1q >，所以3q = 所以1113n n n b b q --==，123n n n n c b λλ+==-⋅因为{}n c 是递减数列，所以1n n c c +<，即112323n n n n λλ++-⋅<-⋅．化简得232n n λ⋅> 所以*n N ∀∈，12()23nλ>⋅恒成立 又12()23n ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭是递减数列，所以12()23n ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的最大值为第一项1121()233a =⨯=所以13λ>，即实数λ的取值范围是1(,)3+∞6．已知数列{}n a 满足12a =，1121222(*)n n n n a a a na n N -+++⋯+=∈ （Ⅰ）求{}n a （Ⅱ）求证：1223111132(*)61112n n a a a n n n N a a a +----<++⋯+<∈--- 【解析】（Ⅰ）由1121222n n n n a a a na -+++⋯+=可得3121212222n n n na a na a a +-+++⋯+= 所以当2n 时，3121211(1)2222n n n n a a n a a a ----+++⋯+= 因此，有111(1)(2)222n n nn n n a na n a n ----=-，即122(1)n n n a na n a +=--，整理得12(2)n n a a n +=，又12a =，212a a = 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求得2n n a =（Ⅱ）记1111212112121212n nn nn n n a b a +++---==<=---，故122311111111112222n n a a a na a a +---++⋯+<++⋯+=---， 又112111212111111122121212222422232n nn nn n n n nn a b a ++++----====-=------⨯-⨯，所以1223111(1)1111111326211112233223612n n nn a a a n n n n a a a +-----++⋯+-=-+⨯>-=----． 综上可得：122311113261112n n a a a n n a a a +----<++⋯+<---． 7．已知数列{}n a 满足11121(22)2(*)n n n a a a n N n -+++⋯+=∈．（1）求1a ，2a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 【解析】（1）由题意得1112222n n n a a a n -+++⋯+=，所以：21124a =⨯=，312222a a +=⨯．解得：26a =．由1112222n n n a a a n -+++⋯+=， 所以212122(1)2(2)n n n a a a n n --++⋯+=-，相减得1122(1)2n n n n a n n -+=--， 得22n a n =+，1n =也满足上式．所以{}n a 的通项公式为22n a n =+． （2）数列{}n a kn -的通项公式为：22(2)2n a kn n kn k n -=+-=-+说以：该数列是以4k -为首项，公差为2k -的等差数列，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时，n S 取得最大值，所以4524(2)2025(2)20a k k a k k -=-+⎧⎨-=-+⎩解得12552k ． 所以实数k 的取值范围是125[,]52．8．（1）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -+++⋯+=，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，求数列{}n a 的通项公式． 【解析】（1）由211233333n n n a a a a -+++⋯+=①，得113a =，且22123113333n n n a a a a ---+++⋯+=②①-②得：1133n n a -=，∴1(2)3n n a n =，验证1n =时上式成立，∴13n n a =（2）设等比数列{}n a 的公比为q由12231a a +=，23269a a a =，且0n a >，得1122342319a a q a a +=⎧⎨=⎩，∴134(23)13a q a a +=⎧⎨=⎩，解得：113a q ==，∴13n n a = 第2讲 已知n S 求n a1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n n a =B ．3122n n n a n =⎧=⎨⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=【解析】由2log (1)1n S n +=+，得112n n S ++=，当1n =时，113a S == 当2n 时，12n n n n a S S -=-=，所以数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨⎩，选B2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =-，1n n a S +=，那么5(a = ) A ．4- B ．8- C ．16- D ．32-【解析】2n 时，1n n a S +=，1n n a S -=，可得：1n n n a a a +-=，化为12n n a a +=，1n =时，212a a ==-∴数列{}n a 从第二项起为等比数列，公比为2，首项为2-，那么352216a =-⨯=-，选C3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．*2()n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈C ．*2()n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈∴当2n =时，22121(21)22a S a a a +==+⇒=，把1n =代入检验，只有答案A B 成立，排除CD 当3n =时，331233(31)62a S a a a a +==++⇒=；排除B ，选A 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = ) A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【解析】14121n n S a n +-=-，1(21)41n n n a S +∴-=-①，1(23)41(2)n n n a S n -∴-=-② ①-②得：1(21)(23)4(2)n n n n a n a a n +---=，整理得：121(2)21n n a n n a n ++=- 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯21232553123252731n n n n n n ---=⋯---21(2)n n =-，11a =，符合上式21n a n ∴=-，选C5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(-∞，2] B ．(-∞，1] C ．1(,]4-∞ D ．1(,]2-∞【解析】22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，2n ∴时，22112()121n n n n n a a S S a +--=-+=+化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0na >，11n n a a +∴=+，即11n n a a +-= 1n =时，212224a a +==，解得11a =，∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1 11n a n n ∴=+-=，∴123111111111222n n n a n a n a n a n n n nn +++⋯+=++⋯⋯+=+++++++ 对任意的*n N ∈，123111120n n a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，122λ∴，解得14λ ∴实数λ的取值范围为(-∞，1]4，选C6．已知数列{}n a 满足：12a =，21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有12(1)(1)(1)n S S S n ++⋯+恒成立，则的最大整数值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】当1n 时，由条件21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈可得21(1)n n n nS S S S +--=-，整理得221(21)n n n n n S S S S S +-=--+，化简得：121n n n S S S +=-从而111n n n S S S +--=-，故111111n n S S +-=-- 由于：1111S =-，所以：数列1{}1n S -是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列，则：11n n S =-， 整理得：1n n S n+=，依题只须12(1)(1)(1)()n min S S S n++⋯+12(1)(1)(1)()n S S S f n n ++⋯+=，则12(1)(1)(23)1()1(1)n n S f n n n f n n n ++++==>++，故11()(1)31ninS f n f +=== 3max∴=，选B7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22(*)n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a = n ．设211(1)nn n n n a b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T =（ ）．【解析】22(*)n S n n n N =+∈，212(1)1(2,*)n S n n n n N -∴=-+-∈，两式相减得：22n a n =，即(2)n a n n =又212112a =+=，11a ∴=，也符合上式，n a n ∴=，又2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++1111111(1)()()(1)()223341n n T n n ∴=-+++-+-⋯+-++121,,1111,,11n n n n n n n n n n +⎧⎧---⎪⎪⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪-+-⎪⎪++⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数8．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）． 【解析】当2n 时，12n n S a -=①，12n n S a +=②②-①得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，故数列{}n a 从第二项起为等比数列，又22a =，则223n n a -=⨯ 当1n =时，11a =，故2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⨯∈⎩9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+，则数列{}n a 的通项公式n a = 【解析】数列{}n a 的的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+① 当2n 时，12111122n n S S S n--++⋯+=② ①-②得122221(1)n n n S n n n n -=-=++，所以(1)2n n n S += 故1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=（首项1符合通项）， 故n a n =10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）．【解析】231122n S n n =++，可得113a S ==当2n 时，22131311(1)(1)1312222n n n a S S n n n n n -=-=++-----=-则数列{}n a 的通项公式3,131,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，故答案为：3,131,2n n n =⎧⎨-⎩ 11．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则n a =（ ）【解析】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S对任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列，22n n n S a a ∴=+，21112n n n S a a ---=+两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=+--，111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+- 又n a ，1n a -为正数，11n n a a -∴-=，2n ，{}n a ∴是公差为1的等差数列 当1n =时，21112S a a =+，得11a =，或10a =（舍)，n a n ∴=． 第3讲 构造辅助数列求通项1．已知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）．【解析】知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则设14()n n a p a p ++=+，整理得13p =，所以113413n n a a ++=+（常数），则数列1{}3n a +是以1113a +=为首项，4为公比的等比数列．所以11143n n a -+=，整理得1143n n a -=-（首项符合通项）．故数列的通项公式：1143n n a -=-．2．已知数列{}n a 的首项12a =，1122n n n a a ++=+，则{}n a 的通项n a =（ ）． 【解析】由1122n n n a a ++=+两边同除以12n +可得，11122n n n n a a ++=+，即11122n nn na a ++-=， 所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列所以2n n a n =，所以2n n a n =． 3．数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为（ ）．变式：已知数列{}n a 中12a =，312n n a a +=，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为（ ）．【解析】由11)(2)1)2n n n a a a +=+=+，得11)(n n a a +=，120a =，∴数列{n a -构成以21为公比的等比数列，则11)(21)1)nn n a --=，则1)n n a =故答案为：1)n n a = 变式：由12a =，312n n a a +=，可知0n a >，两边取对数，得132n n lga lga lg +=+，∴11123(2)22n n lga lg lga lg ++=+， 11322022lga lg lg +=≠，∴数列1{2}2n lga lg +构成以322lg 为首项，以3为公比的等比数列，则11332322222n n n lga lg lg lg -+==，∴31122(31)2222n n n lga lg lg lg =-=-，则1(31)22n n a -=． 4．已知数列{}n a 满足12a =，且*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，则n a = 221nn n - ．【解析】由*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，可得：11122n n n n a a --=+，于是1111(1)2n n n n a a ---=-，又11112a -=-，∴数列{1}n n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，故112n n n a -=-，*2()21n n n n a n N ∴=∈-． 5．已知数列{}n a 满足1a a =，*121()n n a a n N +=+∈． （1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{1}n a +是等比数列，并求通项公式n a ．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，1a a =，121(*)n n a a n N +=+∈，设数列的公差为d ，则(1)n a a n d =+-． 2((1))1a nd a n d ∴+=+-+，即21nd d a =--对*n N ∈成立，于是0d =． n a a ∴=，且21a a =+，解得1a =-．1n a ∴=-；证明：（2）2a =，121(*)n n a a n N +=+∈，112(1)n n a a +∴+=+．1130a +=≠，∴数列{1}n a +是以3为首项，公比为2的等比数列．∴1132n n a -+=．∴1321n n a -=-．6．已知数列{}n a 满足：132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-． （1）求1212nna a a ++⋯+的值； （2）求证：*2151()263n n a a a n n N n++⋯++-∈； （3）设*()nn a b n N n=∈，求证：122n b b b ⋯<．【解析】（1）132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-，∴112113n n n a n a na --+-=，121133n n n n a a --=+⨯．∴1312n n n n a a --=+，113(1)1n n n n a a --∴-=-． 故可得{1}n n a -是以13-位首项，以13为公比的等比数列，∴1111()33n n n a --=-，∴11()3n n n a =-．∴1211[1()]1211133()122313n n n n n n a a a -++⋯+=-=-+-．（2）11()3n n n a =-，∴3121131313n n n n n a n ==++--， 1*2121[1()]11115193()()1222336313n n nn a aa n n n n N n--∴++⋯+++=++-=+-∈-． （3）331n n n n a b n ==-，现用数学归纳法证明122n b b b ⋯<313n n-，(2)n ． 当2n =时，1239271623191169b b ==<=--919-．假设当n k =(2)k 时，122k b b b ⋯<313k k -，当1n k =+时，1212k k b b b b +⋯<11313331k kk k ++--．要证明 2 11113133123313k k k k k k +++--<-，只需证明1133(k k ++1231)3(31)k k k +-<-， 只要证133k +⨯(1231)(31)k k +-<-，222221333231k k k k ++++-<-⨯+，即证213231k k ++>⨯-，即证131k +>-． 而131k +>- 显然成立，1n k ∴=+ 时，112113123k k k k b b b b ++-⋯<，综上得1121131223k k k k b b b b ++-⋯<<．又当1n =时，12b <，所以1212k k b b b b +⋯< 第4讲 分组求和1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，⋯最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{}:1n a ，2，1，6，9，10，17，⋯，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请计算123a a a ++，234a a a ++，345a a a ++．并依此规律求数列{}n a 的第n 项n a =（ ）．（2）31n S +=（ ）．（请用关于n 的多项式表示，其中2222(1)(21)123)6n n n n +++++⋯+=【解析】（1）由题意得11a =，22a =，31a =，46a =，59a =，610a =，717a =，计算：1234a a a ++=，2349a a a ++=，34516a a a ++=，⋯ 可归纳得数列{}n a 满足的递推关系式为212(1)n n n a a a n ++++=+，由212(1)n n n a a a n ++++=+，2123(2)n n n a a a n +++++=+，两式相减得323n n a a n +-=+． 可得1211,23n n n n a a a n --=⎧=⎨+⎩． （2）由212(1)n n n a a a n ++++=+可得2222212345678932313(11),(41),(71),(31)961n n n a a a a a a a a a a a a n n n --++=+++=+++=+⋯++=-=-+ 312345632313()()()n n n n S a a a a a a a a a --∴=++++++⋯+++，222329(12)6(12)(1)(21)(1)319636222n n n n n n n n n n n n=++⋯+-++⋯+++++=-+=+- 由323n n a a n +-=+得：41213a a -=+，74243a a -=+，107273a a -=+，⋯，31322(32)3n n a a n +--=-+， ∴2311(321)2(1432)323322n n n a a n n n n n +-+-=++⋯+-+=+=+，∴231321n a n n +=++ ∴322323133131933321312222n n n S S a n n n n n n n n ++=+=+-+++=+++． 2．求数列的前n 项和：2111111,4,7,,32,n n a a a -+++⋯+-⋯．【解析】设21111(11)(4)(7)(32)n n S n a a a -=++++++⋯++-将其每一项拆开再重新组合得21111(1)(14732)n n S n a a a-=+++⋯+++++⋯+- 当1a =时，(31)(31)22n n n n n S n -+=+=，当1a ≠时，111(31)(31)12121n n n n n a a n n a S a a-----=+=+-- 3．数列{}n a 中，*1112,,()22n n n a a a a n N n +-=-=∈+，n P 为抛物线24y x =与直线n y a =的交点，过n P 作抛物线的切线交直线1x =-于点n Q ，记n Q 的纵坐标为n b ． （Ⅰ）求n a ，n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．（附2222(1)(21):123)6n n n n +++++⋯+=【解析】（Ⅰ）*1,()2n n n a a n N n +=∈+，由112a =易得0n a ≠，11,(2)1n n a n n a n --=+，1212111232121143(1)n n n n n a a a a n n n a a a a n n n n n ------⨯⨯⋯⨯==⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+-+，112a =， 故1(2)(1)n a n n n =+，经检验1n =时也符合，故n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+．对24y x =两边取导数，可得2y y'=，0(x ，0)y 处切线斜率为002(0)k y y =≠，切线方程为0000022()2y y x x y x y y =-+=+， 与1x =-的交点的纵坐标为0022y y -+，故n b 的通项公式为*212(1)()22(1)n n n a b n n n N a n n =-+=-++∈+． （Ⅱ）2111111112(1)22()2(1)21nn n n n k k k k S k k k k k k k k =====-++=--+-++∑∑∑∑ (1)(21)112(1)(1)621n n n n n n ++=-⨯-++-+(1)(24)32(1)n n n n n ++=-++．4．已知数列{}n a 满足11a =，2*12(1)()n n na n a n n n N +-+=+∈．（1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列：（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解析】（1）由212(1)n n na n a n n +-+=+，两边同除以(1)n n +得1211n n a an n+-⨯=+，∴11222(1)1n n n a a an n n++=⨯+=++．11201a +=≠，∴10n a n +≠，∴11121n na n a n+++=+， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）有12nn a n+=，∴2n n a n n =-，1212(1).12222(123)122222n n n n n S n n n +=⨯+⨯+⋯+-+++⋯+=⨯+⨯+⋯+-． 令1212222n n T n =⨯+⨯+⋯+，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+，∴231112(12)222222(1)2212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++⋯+-=-=---，∴1(1)22n n T n +=-+．则前n 项和1(1)(1)222n n n n S n ++=-+-． 5．已知正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．（1）求A ，B 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足122(1)()222n n nb b b n a n N ++=++⋯+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． （参考公式：222112(1)(21))6n n n n ++⋯+=++【解析】（1）正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．分别令1n =，2，可得：222122(3)S S A B -=++，2232233(2442)S S A B -=++，又111S a ==，23a =，35a =，24S =，39S =．24212(3)A B ∴-⨯=++，2229343(2442)A B ⨯-⨯=++， 化为：427A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得3A =，1B =．（2）由（1）可得：22321(1)(1)(33)n nnSn S n n n n +-+=+++化为：22213311n n S S n n n n+-=+++．∴22222222222112211()()()3[(1)(2)1]3(121)11221n n n n n S S S S S S S S n n n n n n n n n ---=-+-+⋯+-+=-+-+⋯++++⋯+-+--- (1)(21)(1)3362n n n n n n ---=⨯+⨯+3n =，0n S >．2n S n ∴=．（3）由（2）可得：2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-． 数列{}n b 满足122(1)()222n n n b b b n a n N ++=++⋯+∈，即122(1)(21)()222n n b b b n n n N ++-=++⋯+∈， 1n ∴=时，122b =，解得14b =．当2n 时，11221(23)222n n b b bn n ---=++⋯+，可得：412n nb n =-，即(41)2n n b n =-． ∴数列{}n b 的前n 项和23472112(41)2n n T n =+⨯+⨯+⋯+-．231243272(45)2(41)2n n n T n n +=-+⨯+⨯+⋯+-+-，231112(21)84(222)(41)24(41)2(54)2821n n n n n n T n n n +++-∴-=+++⋯+--=⨯--=---，1(45)28(1n n T n n +∴=-+=时也成立）．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1322a a a +=，知3239S a ==，即23a =． 又由4565327a a a a ++==，得59a =．52932523a a d --∴===-．2(2)32(2)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-； （2）由222(21)441n nb a n n n ==-=-+． ∴2224(12)4(12)n T n n n =++⋯+-++⋯++(1)(21)(1)4462n n n n n n +++=⨯-⨯+3(1)(21)14[441]623n n n n nn +++-=⨯-⨯+⨯=7．已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考公式：22221123(1)(21)6n n n n +++⋯+=++．【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，1n ∴=时，113a S ==．2n 时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯．13,123,2n n n a n -=⎧∴=⎨⨯⎩． （2）数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈，即121n n b b n +-=-． 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-+⋯+-+(23)(25)311n n =-+-+⋯++-2(231)22n n n n --==-． （3）数列{}n b 的前n 项和22221(1)(1)(25)1232(12)(1)(21)2626n n n n n n T n n n n n ++-=+++⋯+-++⋯+=++-⨯=．8．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)32(32)nn a nn a b n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=，① 当2n 时，1231(1)258(34)2n n n a a a n a --+++⋯+-=，② ①-②得：(1)(1)(31)22n n n n n n a n +--=-=，故(2)31n n a n n =-，当1n =时，解得112a =，首项符合通项，故31n n a n =-．（2）由（1）得：(31)3311222()(32)(31)(32)3132nn a n n n n a b n n n n n n -=+=+=+-+-+-+， 所以12111111(222)()25583132nn T n n =++⋯++-+-+⋯+--+2(21)1121232n n ⨯-=+--+1132322n n +=--+ 9．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)22nn a n nn b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=，① 当2n 时，1231(1)258(34)2n n n a a a n a --+++⋯+-=，② ①-②得：(1)(1)(31)22n n n n n n a n +--=-=，故(2)31n n a n n =-，当1n =时，解得112a =，首项符合通项， 故31n na n =-． （2）设(31)2222(31)nn a n n n n b n a -=+=+-，所以122(21)(231)2232212n n n n n T n n +-+-=+⨯=++--．10．已知数列{}n a 满足*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(2)1(1)(1)(1)n n n n a b n n n ++=≠+-，记23n n T b b b =++⋯+，求n T ．【解析】（1）*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =．∴111n n S S n n +=++，即111n n S Sn n+-=+， ∴数列{}n S n 是等差数列，首项为1，公差为1．∴1(1)n Sn n n=+-=，2n S n ∴=． ∴当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时也成立，21n a n ∴=-．（2）2n 时，(2)1(2)(21)111232()(1)(1)(1)(1)11n n n n a n n n b n n n n n n n +++-+===++-+-+--+，23(1)(523)1111111112[(1)()()()()]232435211n n n n T b b b n n n n -++∴=++⋯+=+-+-+-+⋯+-+---+2111342(1)21n n n n =+-++--+24231(1)n n n n n +=+--+．11．在数列{}n a 中，13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈． （1）求证：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的与前n 项和n S ．【解析】（1）证明：13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈．12(1)n n a n a n -∴+=+-，∴数列{}n a n +是等比数列，首项为4，公比为2．11422n n n a n n -+∴=⨯-=-．（2）{}n a 与前n 项和231(222)(12)n n S n +=++⋯+-++⋯+4(21)(1)212n n n -+=--22242n n n ++=-- 12．单调递增数列{}n a 满足21231()2n na a a a a n +++⋯+=+． （1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 【解析】（1）21231()2n n a a a a a n +++⋯+=+，①∴当1n =时，2111(1)2a a =+，解得11a =，当2n 时，2123111(1)2n n a a a a a n --+++⋯+=+-，② ①-②并整理，得2211(1)2n n n a a a -=-+，∴221(1)0n n a a ---=，解得11nn a a --=或11(2)n n a a n -+= 又{}n a 单调递增数列，故11n n a a --=，{}n a ∴是首项是1，公差为1的等差数列，n a n ∴=⋯ （2）111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，∴13212(242)[1232(21)2]n n T n n n -=++⋯++⨯+⨯+⋯-⨯+ 1321(1)[1232(21)2]n n n n n -=++⨯+⨯+⋯-⨯+，记13211232(21)2n n S n -=⨯+⨯+⋯-⨯③ 352141232(21)2n n S n +=⨯+⨯+⋯-⨯④，由③-④得4622132222(21)2n n n S n +-=+++⋯+--，∴24622132222(21)22n n n S n +-=+++⋯+---，214(14)3(21)2214n n n S n +--=----，∴214(14)(21)22933n n n n S +--=++，21(65)21099n n n S +-=+，∴2122(65)210299n n n T n n +-=+++．⋯（13分）第5讲 裂项求和1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1{}n S 的前20项的和为( )A ．1920 B ．2021C ．2122D ．2223【解析】由912162a a =+及等差数列通项公式得1512a d +=，又214a a d ==+，12a d ∴==，2(1)222n n n S n n n -∴=+⨯=+，∴1111(1)1n S n n n n ==-++， ∴数列1{}n S 的前20项的和为1111111120112233420212121-+-+-+⋯+-=-=，选B 2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，则数列11{}n n a a +的前10项的和为 ． 【解析】数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，可得1n =时，111a S ==， 2n 时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，上式对1n =也成立，故n a n =，*n N ∈， 11111(1)1n n a a n n n n +==-++，则数列11{}n n a a +的前10项的和为111111101122310111111-+-+⋯+-=-=． 3．数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11{}n na a -+的前n 项和为5，则n = ． 【解析】数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，2214n n a a +∴=+，1n a +∴ 12a =，2a ∴=3a ∴=4a =，⋯由此猜想n a =．11142,n n n n a a a a a ++=-=+，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，∴21321111()(2)544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=，22∴=，解得1121n +=，120n ∴=． 4．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2n n n n a a n n a +-==-，3，4，)⋯． （1）求3a 、4a 的值；（2）设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式； （3）设*1sin3()cos cos n n n c n N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【解析】（1）数列{}n a 中，11a =，214a =， 且1(1)(2nn nn a a n n a +-==-，3，4，)⋯，∴2321(21)1412724a a a -===--，34312(31)17131037a a a ⨯-===--，∴317a =，4110a = （2）当2n 时，1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +---=-==----，∴当2n 时，11n n n b b n -=-， 故*11,n n n b b n N n++=∈，累乘得1n b nb =，13b =，3n b n ∴=，*n N ∈ （3）1sin 3cos cos n n n c b b +=sin(333)tan(33)tan3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+，12n n S c c c ∴=++⋯+(tan6tan3)(tan9tan6)(tan(33)tan3)n n =-+-+⋯++-tan(33)tan3n =+-5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n n a a =+，33S =，数列{}n b 为等比数列，13310b b a +=，24610b b a +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11(1)(1)(1)n n n n n b c b b b -+=+++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得2116n T λλ<-恒成立的实数λ的取值范围．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，223n n a a =+，33S =，21123a a a d ∴=+=+，1333a d +=， 解得11a =-，2d =．12(1)23n a n n ∴=-+-=-．设等比数列{}n b 的公比为q ，13310b b a +=，24610b b a +=．∴21(1)103b q +=⨯，31()109b q q +=⨯， 解得13b =，3q =．3n n b ∴=．（2）1111113311[](1)(1)(1)(31)(31)(31)8(31)(31)(31)(31)n n n n n n n n n n n n n b c b b b -+-+-+===-++++++++++， ∴数列{}n c 的前n 项和13113[]824(31)(31)64n n n T +=-<⨯++，2116n T λλ<-恒成立，化为2316416λλ-，即264430λλ--，解得：14λ，或316λ-． 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5125S S =，212n n a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b a =，且n b，2n ，*n N ∈，求证：{}n b 的前n 项和n T <．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，5125S S =，212n n a a -=，11545252a d a ⨯∴+=，111(1)[(21)1]2a n d a n d +-=+--，解得11a =，2d =．12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）证明：2(121)2n n n S n +-==．n b =，2n ，*n N ∈，则：{}n b 的前n项和1n T b =+⋯⋯+11==222()2()a b a b ++，a ，0b >，a b ≠．1∴+=．n T ∴<．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 【解析】（1）2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+，① ∴2312111(1)(1)23122n S S S S n n n -+++⋯+=-+--，2n ，② ①②两式相减得nS n n=，2n 故2n S n =，2n ，又11S =，从而2n S n =，*n N ∈ 易得11,11,1,221,2n nn S n n a S S n n n -==⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩，21n a n ∴=-．（2）由（1）得1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，故12311111111(1)(1)2335212122121n n nT b b b b n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=-+++．由715n T >得7n >， 又当*n N ∈时，n T 单调递增，故所求最小正整数n 为8．。
高考数列常考题型归纳总结汇总
n
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=
p q
∙
a n q
n
+
1q
引入辅助数列
{b n }（其中b n
=
a n q
n
），得：b n +1=
p q
b n +
1q
再待定系数法解决。
例:已知数列{a n }中，a 1=解：在a n +1=
52
⋅⋅3=85
n -3。1
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1
(n ≥2，则{a n }的通项a n =⎨
⎧1⎩___
n =1
n ≥2
解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1+na n，用此式减去已知式，得当n ≥2时，a n +1-a n =na n，即a n +1=(n +1 a n，又a 2=a 1=1，
1
56
, a n +1=
1
1n +1
a n +(，求a n。32
1n +12n n +1
a n +(两边乘以2n +1得：2∙a n +1=(2∙a n +1 323
22
令b n =2n ∙a n，则b n +1=b n +1,解之得：b n =3-2( n
高中数学--数列大题专项训练(含详解)
高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
高中数学：数列的22个必考题型，看看你都会做吗？方法真的不难
高中数学：数列的22个必考题型，看看你都会做吗？方法真
的不难
数列在高考中常以选择题、填空题、解答题的形式考到，在整个高中数学体系中算是相对简单的题型，所以对于想拿提高成绩的同学来说，是一定不能丢分的部分。
导数、函数已经不会了，数列再丢分，想及格都难，更别提拿高分！
总结多年高考真题，我们可以发现，数列的必考题型共计22个，只要我们研究透这22种题型，数列题再怎么考都不怕！今天小哥给大家分享一份由清北学霸整理的【高中数学·数列22个必考题型】，每一种题型都有对应的例题。
最厉害的解析中会教给大家每种题型的多种解题方法。
学会这些，数列问题通通都能搞定！
以上仅为部分展示，完整版不仅包含22个题型，还有全部的解析！高中数学难度值爆表，导数、函数、解析几何都搞不太懂，一做题就蒙！这些都搞不懂可以慢慢来。
但是如果数列你也不会，那问题可就大了！高中数学考试满分150分，数列一项就占了17分，而且数列题真的不难，只要多花一点时间，都能学会！。
高考数列10大题型
高考数列10大题型
1. 等差数列求和问题：已知等差数列的首项和公差，求前n项的和。
2. 等差数列通项问题：已知等差数列的首项和公差，求第n项的值。
3. 等比数列求和问题：已知等比数列的首项和公比，求前n项的和。
4. 等比数列通项问题：已知等比数列的首项和公比，求第n项的值。
5. 递推数列求和问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求前n项的和。
6. 递推数列通项问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求第n项的值。
7. 斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n项的值。
8. 拆分数列：已知一个数列中的某一项满足特定条件，求拆分数列中满足条件的项数。
9. 数列特性问题：已知一个数列满足特定条件，求满足条件的项数或项的值。
10. 数列推理问题：已知一个数列的部分项或规律，推理出数列的通项式或递推关系。
数列题型总结(全)
11、设平面内的向量 点 是直线 上的一个动点，求当 取最小值时， 的坐标及 的余弦值。
12、设向量 ， ， ， ， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的值。
参考答案
二、1、1、 ∥ ，
2、(1) ．
= =
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ max= ．
(2)由已知 ，得 ．
一：定义法：
例：（1）设 是等差数列，证明：数列 （c>0, 是等比数列。（2）设 是正项等比数列，证明
（c>0, 是等差数列。
变式一：数列 的前n项和记为 ，已知 （n=2,3,4…）,证明：数列 是等比数列。
变式二：已知定义在R上的函数f(x)和数列 满足下列条件： ， ，其中a为常数，k为非零实数。令 是等比数列。
数列题型归纳（全）
题型一：求等差数列的公差或取值范围
例一：等差数列 的前n项和 ，若 =4， =20，则该数列的公差d等于
变式一：等差数列 中， ，则该数列的 的公差为
变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是
题型二：求等比数列的公比
例一：在等比数列 中， ，则公比q的值为
=
= ．
3、（1）
由 得 又
（2）由 ，得
又 =
所以， = 。
三、1—6 B D A D A A
7、. 8、 9、只要满足 即可10、（5，2）或（-5，-2）
11、设 点 在直线 上， 与 共线，而
即 有 .
故当且仅当 时， 取得最小值 ，此时
于是
12、
变式一：设数列 ， 都是等差数列，若
变式二：在等差数列 中，已知 ，则该数列前11项和等于
高中数列常考题型(超经典])
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一．选择题（共10小题）1．（2006•重庆）在等差数列{a n }中，若a 4+a 6=12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为（ ）BA ． 48B ． 54C ． 60D ． 662．（2006•广东）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）CA ． 5B ． 4C ． 3D ． 23．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =kn 2+n ，n ∈N *，其中k 是常数，则a n 为（ ）BA ． 2kn+k+1B ． 2kn ﹣k+1C ． 2kn ﹣k ﹣1D ． 2kn ﹣k4．（2009•安徽）已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是（ ）BA ． 21B ． 20C ． 19D ． 185．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 5•a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于（ ）BA ． 8B ． 10C ． 12D ． 2+log 356．已知等比数列{a n }满足a 1=3，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则此数列的公比等于（ ）DA ． 1B ． ﹣1C ． ﹣2D ． 27．（2009•广东）已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n=1，2，…，且a 5•a 2n ﹣5=22n （n ≥3），则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n ﹣1=（ ）BA ． （n ﹣1）2B ． n 2C ． （n+1）2D ． n 2﹣18．数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1，则数列{a n }的通项公式为（ ）CA ． a n =2n ﹣1B ．C ．D ．9．（2007•福建）数列{a n }的前n 项和为s n ，若，则s 5等于（ ）B A ． 1 B ． C ． D ．10．（2011•闸北区）数列{a n }中，a 1=20，a n+1=a n +4n ，则a 6=（ ）CA ． 120B ． 100C ． 80D ． 6011．已知{}n a 是等差数列，9321=++a a a ,24654=++a a a ,则69S S -=____________12．已知{}n a 是等比数列，6321=++a a a ，18654=++a a a ，则69S S -=____________13．若等差数列{}n a 中,24121n n a n a n -=-,则 2n nS S = 基础练习：已知等差数列{}n a 的首项21=a ，145=a ，求通项公式及前n 项和已知等比数列的首项为2，544=a ，求通项公式及前n 项和求通项公式n a 的方法1．1+n a =n a +)(n f 型（累加法）n a =（n a －1-n a ）+（1-n a －2-n a ）+…+（2a －1a ）+1a已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n 2（n ∈N +），求n a . n a =n 2－1 （n ∈N +）对应练习：已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n 2（n ∈N +），求n a2．)(1n g a a n n =+型 （累乘法）n a =1-n n a a .21--n n a a (1)2a a ·1a 已知数列{n a }满足n a a n n =+1（n ∈N +），1a =1，求n a . n a =（n －1）！对应练习：已知数列{n a }满足n nn a a 21=+（n ∈N +），1a =1，求n a .3．1+n a =p n a +q 型（p 、q 为常数） 令1+n a －n a =)(1--n n a a p ，构造等比数列已知{n a }的首项1a =a （a 为常数），n a =21-n a +1（n ∈N +，n ≥2），求n a . n a =（a+1）·12-n －1已知{n a }的首项1a =2，n a =21-n a +1（n ∈N +，n ≥2），求n a .4．1+n a =p n a +)(n f 型（p 为常数） 变形得11++n n p a =n n p a +1)(+n p n f ，则{n n p a }可用累加法求出，由此求n a .已知{n a }满足1a =2，1+n a =2n a +12+n .求n a n a =n ·n 2对应练习：已知{n a }满足1a =3，1+n a =3n a +13+n .求n a已知{n a }满足1a =3，1+n a =3n a +n 3.求n a （变形后错位相减求和）5.“已知n S ，求n a ”型 n a =n S －1-n S （注意1a 是否符合） n S 为{n a }的前n 项和，n S =23（n a －1），求n a （n ∈N +） n a =n 3（n ∈N +）对应练习：n S 为{n a }的前n 项和，n S =3（n a －1），求n a （n ∈N +）6．倒数变形法，重新重成等差或等比数列已知数列{a n }中，,21,111nn n a a a a +==+求这个数列的第n 项n a总结：对于特殊的数列关系式，求通项公式n a 的核心思想是变形构造成等差或等比数列数列求和的方法1． 分组求和法例：)12()1(7531--+⋯++-+-=n S n n练习:(2011·安徽高考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案：A例：求数列1，2+21，3+41，4+81+…+121-+n n练习:已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn .答案：n n n a 213+-= 22)13(211-++=+n n n n S总结：1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和2、n n n c b a +=，{}n a 、{}n b 是等差或等比数列，则采用分组求和法裂项相消求和法若数列)1(1,,431,321,211+⨯⋯⨯⨯⨯n n ,则此数列的前n 项和为____________若数列)(1,,)3(31,)2(21,)1(11k n n k k k +⨯⋯+⨯+⨯+⨯,则此数列的前n 项和为____________若数列的通项公式为)12()12(1+⨯-=n n b n ,则此数列的前n 项和为______________若数列11,,321,211++⋯++n n ，则此数列的前n 项和为_______________若数列k n n k k ++⋯++++1,,221,111，则此数列的前n 项和为_______________错位相减法（乘以式中的公比q ，然后再进行相减）化简：21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）化简：n n n S 2222121⨯+⋯+⨯+⨯=化简：S n = n+(n －1)×2+(n －2)×2 2+…+2×2 n －2+2 n －1求数列1,(1+2),(1+2+22)，…，(1+2+2 2+…+2 n －1)前n 项的和数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N*)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n . (注意分n=1及n 1≠讨论)一．选择题（共10小题）1．（2006•重庆）在等差数列{a n}中，若a4+a6=12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9的值为（）A．48 B．54 C．60 D．66考点：等差数列的通项公式．分析：等差数列的等差中项的特点，由第四项和第六项可以求出第五项，而要求的结果前九项的和可以用第五项求出，两次应用等差中项的意义．解答：解：在等差数列{a n}中，若a4+a6=12，则a5=6，S n是数列的{a n}的前n项和，∴=9a5=54故选B．点评：观察具体的等差数列，认识等差数列的特征，更加理解等差数列的概念，对本问题应用等差中项要总结，更好培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力．2．（2006•广东）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2考点：等差数列的通项公式．分析：写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．解答：解：，故选C．点评：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数．3．设S n为数列{a n}的前n项和，S n=kn2+n，n∈N*，其中k是常数，则a n为（）A．2kn+k+1 B．2kn﹣k+1 C．2kn﹣k﹣1 D．2kn﹣k考点：等差数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：题目给出了数列{a n}的前项和，除a1直接求出外，由a n=S n﹣S n﹣1（n＞1）求通项．解答：解：当n=1时，a n=S1=k+1，当n＞1时，aa n=S n﹣S n﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1，该式对于n=1成立，所以a n=2kn﹣k+1．故选B．点评：本题考查的是知道数列的前n项和求通项问题，解答的关键是分类，区分n=1和n＞1两种情况，若当n＞1时适合n=1，则通项公式整体写，否则分写．4．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．解答：解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴s n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选B．点评：求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．5．在各项都为正数的等比数列{a n}中，若a5•a6=9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于（）A．8B．10 C．12 D．2+log35考点：等比数列；等比数列的性质．分析：根据等比数列的性质：a5•a6=a2•a9=a3•a8=a4•a6，再由对数运算法则求解．解答：解：∵log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=log3a1•a2…a10=log3（a5•a6）5=10故选B点评：本题主要考查等比数列的性质及对数的运算法则．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于（）A．1B．﹣1 C．﹣2 D．2考点：等比数列；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由已知4a1，2a2，a3成等差数列可得4a2=4a1+a3，结合等比数列的通项公式可求公比q的值．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a2=4a1+a3，设数列{a n}的公比为q，则a2=a1q，a3=a1q2，∴4a1q=4a1+a1q2．∵a1≠0，∴4q﹣q2﹣4=0，∴q=2．故选D．点评：本题主要考查了等比数列的性质、通项公式及等差数列的性质，以及运算能力．属基础题．7．（2009•广东）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n =（）﹣1A．（n﹣1）2B．n2C．（n+1）2D．n2﹣1考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．解答：解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选B．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式．属基础题．8．数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n﹣1 B．C．D．考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：由a n+1=2a n+1，可得a n+1+1=2（a n+1），a1+1=2，从而可得{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求所求．解答：解：∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列根据等比数列的通项公式可得，a n+1=2•2n﹣1=2n即a n=2n﹣1故选C．点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了构造法，同时考查了计算能力，属于基础题．9．（2007•福建）数列{a n}的前n项和为s n，若，则s5等于（）A．1B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据通项公式的特点，拆成的形式求s5．解答：解：∵=，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=，故选B点评：本题所用的方法在求和中常用，称为裂项相消法．10．（2011•闸北区）数列{a n}中，a1=20，a n+1=a n+4n，则a6=（）A．120 B．100 C．80 D．60考点：数列递推式．专题：计算题．分析：数列{a n}中，由a1=20，a n+1=a n+4n，分别令n=1，2，3，4，5，能够依次求出a2，a3，a4，a5，a6．解答：解：数列{a n}中，∵a1=20，a n+1=a n+4n，∴a2=20+4×1=24，a3=24+4×2=32，a4=32+4×3=44，a5=44+4×4=60，a6=60+4×5=80，故选C．点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推思想的合理运用．。
高中数列精选大题50题(带详细答案)
高中数列精选大题50题（带详细答案）1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值.3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由． 8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
数列的12类典型题型
高三数学数列最值得做的12类题题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2. (1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；（3）若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n 2=a n ,又依a 1>0,可以推得a n >0并解出：a n =32.即a 1=a 2=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32. （Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1 即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列}{n a 满足：11=a ,a n +1=a n 2a n +1(n ∈N ) )(N n ∈,数列}{nb 的前n 项和S n =12-12(23)n(n ∈N ). (1) 求数列}{n a 和{b n }的通项公式；(2) 设c n =b n a n,是否存在N m ∈,使c m ≥9成立？并说明理由.解答：（1）由2111211+=⇒=+++nn n n a a a a n a ,∴12)1(211-=-+=n n na ,121-=n n a )(N n ∈.由n n S )(121232-=及1321)(1212---=n n S )2(≥n ,可得1321)(4--=-=n n n n S S b )2(≥n , 令1=n ,则412123211=⋅-==S b 也满足上式,∴132)(4-=n n b )(N n ∈.（2）132132)()12(4)(4)12(---=⋅-==n n a b n n n C nn,设m C 为数列}{n C 中的最大项,则 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+≥--≥⋅-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥--≥-⇒⎩⎨⎧≥≥---+-252732323213223213211)12(1232)12()()12(4)()12(4)()32(4)()12(4m m m m m m m m m m C C C C m m m m m m m m ,∴3=m .即3C 为}{n C 中的最大项.∵9)(209802323<==C ,∴不存在N m ∈,使9≥m C 成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。
高一数学数列题型总结
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 3、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn4、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ² b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得n nn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S（裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+²²²+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+²²²+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+²²²+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个 （找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n（裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 一、选择题1、若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列 (C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列 2、等差数列{a n }中，a 1=3,a 100=36,则a 3＋a 98等于 ( )(A)36 (B)38 (C)39 (D)423、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)n n 12+ (B)n n 1+ (C)n n 1- (D)nn 21+ 4、设等差数列的首项为a,公差为d ，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是 ( )(A)a ＞0,d ＞0 (B)a ＞0,d ＜0 (C)a ＜0,d ＞0 (D)a ＜0,d ＜0 5、在等差数列{a n }中，公差为d ，已知S 10＝4S 5，则da 1是 ( ) (A)21 (B)2 (C)41(D)4 6、设{a n }是公差为－2的等差数列，如果a 1+ a 4+ a 7+……+ a 97=50，则a 3+ a 6+ a 9……+ a 99= ( )(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84 7、等差数列{a n } 中，S 15=90，则a 8= ( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)128、等差数列{a n }中，前三项依次为xx x 1,65,11+，则a 101= ( ) (A)3150 (B)3213 (C)24 (D)3289、数列{a n }的通项公式nn a n ++=11，已知它的前n 项和为S n =9，则项数n=( )(A)9 (B)10 (C)99 (D)100 10、等差数列{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，求a 2+a 8= ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 11、已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)2412、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)1213、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 14、等差数列{a n }的公差为21，且S 100=145，则奇数项的和a 1+a 3+a 5+……+ a 99=( ) (A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值15、等差数列{a n }中，a 1+a 2+……a 10=15，a 11+a 12+……a 20=20，则a 21+a 22+……a 30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)4516、等差数列{a n }中，a 1=3，a 100=36，则a 3+a 98= ( ) (A)36 (B)39 (C)42 (D)4517、{a n }是公差为2的等差数列，a 1+a 4+a 7+……+a 97=50，则a 3+a 6+……+ a 99= ( ) (A)－50 (B)50 (C)16 (D)1.82 18、若等差数列{a n }中，S 17=102，则a 9= ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 19、夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是 ( ) (A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)180020、若x ≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么=--31b y xa( )(A)43 (B)34 (C)32(D)值不确定 21、一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是 ( )(A)4 (B)8 (C)12 (D)2022、等差数列{a n }中如果a 6=6，a 9=9，那么a 3= ( )(A)3 (B)32 (C)916(D)4 23、设{a n }是等比数列，且a 1=32，S 3=916，则它的通项公式为a n = ( )(A)1216-⎪⎭⎫⎝⎛∙n (B)n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙216 (C)1216-⎪⎭⎫⎝⎛-∙n (D)1216-⎪⎭⎫⎝⎛-∙n 或23 24、已知a 、b 、c 、d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22= ( )(A)1 (B)21 (C)41 (D)8125、已知等比数列{a n } 的公比为q ，若21+n a =m （n 为奇数），则213+n a = ( )(A)mq n －1(B) mq n(C) mq(D)8126、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )(A)60 (B)70 (C)90 (D)12627、若{a n }是等比数列，已知a 4 a 7=－512，a 2+a 9=254，且公比为整数，则数列的a 12是 ( )(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－512 28、数列{a n }、{b n }都是等差数列，它们的前n 项的和为1213-+=n n T S n n ，则这两个数列的第5项的比为 ( )(A)2949 (B)1934 (C)1728 (D)以上结论都不对 29、已知cb b a ac lg lg 4lg2∙=，则a ，b ，c ( ) (A)成等差数列 (B)成等比数列(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列30、若a+b+c ，b+c －a ，c+a －b ，a+b －c 成等比数列，且公比为q ，则q 3+q 2+q 的值为 ( )(A)1 (B)－1 (C)0 (D)231、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( ) (A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( ) (A)2113(B)04111或 (C)2110 (D)219 33、数列1，211+，3211++，……，n+⋅⋅⋅++211的前n 项和为 ( ) (A) n n 12+ (B)122+n n (C)12++n n (D)12+n n 34、设数列{a n }各项均为正值，且前n 项和S n =21（a n +na 1），则此数列的通项a n 应为 ( )(A) a n =n n -+1 (B) a n =1--n n(C) a n =12+-+n n (D) a n =12-n 35、数列{a n }为等比数列，若a 1+ a 8=387，a 4 a 5=1152，则此数列的通项a n 的表达式为( )(A) a n =3³2n -1 (B) a n =384³（21）n -1 (C) a n =3³2n -1或a n =384³（21）n -1 (D) a n =3³（21）n -1 36、已知等差数{a n }中，a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450，则a 1+ a 9= ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)30037、已知等比数列{a n }中，a n ＞0，公比q ≠1，则 ( )(A)26242723a a a a +〉+ (B)26242723a a a a +〈+ (C)26242723a a a a +=+ (D)的大小不确定与26242723a a a a ++38、在等比数列中，首项89，末项31，公比32，求项数 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)639、等比数列{a n }中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)2140、某厂产量第二年增长率为p ，第三年增长率为q ，第四年增长率为r ，设这三年增长率为x ，则有 ( ) (A)3r q p x ++=(B)3r q p x ++< (C)3r q p x ++≤ (D)3r q p x ++≥ 二、填空题1、已知等差数列公差d ＞0,a 3a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20=_______2、数列{a n }中，若a 1,a 2,a 3成等差数列,a 2,a 3,a 4成等比数列,a 3,a 4,a 5的倒数又成等差数列，则a 1,a 3,a 5成_______数列3、已知{a n }为等差数列,a 1=1,S 10=100,a n =_______.令a n =log 2b n ,则的前五项之和S 5′=_______4、已知数列 )2)(1(1,,201,121,61++n n 则其前n 项和S n =________. 5、数列前n 项和为S n =n 2+3n,则其通项a n 等于____________.6、等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为187, 则n 的值为____________.7、已知等差数列{a n }的公差d ≠0, 且a 1,a 3,a 9成等比数列, 1042931a a a a a a ++++的值是________. 8、等差数列{a n }中, S 6=28, S 10=36(S n 为前n 项和), 则S 15等于________.9、等比数列{a n }中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a 3+a 6+a 9+…a 99等于________.10、等差数列{a n }中, a 1=1,a 10=100,若存在数列{b n }, 且a n =log 2b n ,则b 1+b 2+b 3+b 4+b 5等于____________.11、已知数列1, ,3,2,1nn n n n n --- , 前n 项的和为____________. 12、已知{a n }是等差数列,且有a 2+a 3+a 10+a 11=48, 则a 6+a 7=____________.13、等比数列{a n }中, a 1+a 2+a 3+a 4=80, a 5+a 6a 7+a 8=6480, 则a 1必为________.14、三个数a 1、1、c 1成等差数列，而三个数a 2、1、c 2成等比数列， 则22c a c a ++等于____________.15、已知1lg 2, lgy 成等比数列, 且x ＞1,y ＞1, 则x 、y 的最小值为________. 16、在数列{a n }中, 5221-=+n n n a a a , 已知{a n }既是等差数列, 又是等比数列,则{a n }的前20项的和为________.17、若数列{a n }, )1)(2(1,3211+++==+n n a a a n n 且 (n ∈N), 则通项a n =________. 18、已知数列{a n }中, n n a a a )12(,22314-=-=+(n ≥1), 则这个数列的通项公式a n =________.19、正数a 、b 、c 成等比数列, x 为a 、b 的等差中项, y 为b 、c 的等差中项, 则a c x y +的值为________.20、等比数列{a n }中, 已知a 1²a 2²a 3=1,a 2+a 3+a 4=47, 则a 1为________. 三、解答题1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和,(1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除.2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由.3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值.4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式na 及前n 项和n S .5、已知数列{n a }的前n 项和31=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{na 1}的前n 项和.6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;(2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 11+n m ,…也成等差数列.7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a 1=2时,试求c 100的值.8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.9、有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列{log 2x n }的第m 项等于n ，第n 项等于m(其中m ≠n)，求数列{x n }的前m ＋n项的和。
数列考试题型及答案详解
数列考试题型及答案详解一、选择题1. 已知数列\( a_n \)的通项公式为\( a_n = 2n - 1 \)，该数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 常数数列答案：A2. 若数列\( b_n \)满足\( b_n = b_{n-1} + 3 \)，且\( b_1 = 1 \)，则\( b_5 \)的值为：A. 10B. 13C. 16D. 19答案：B二、填空题3. 给定数列\( c_n \)的前几项为\( c_1 = 1, c_2 = 3, c_3 = 6 \)，若数列\( c_n \)是等差数列，则\( c_4 \)的值为______。
答案：104. 若数列\( d_n \)的前\( n \)项和为\( S_n = 2n^2 - n \)，求\( d_4 \)的值。
答案：15三、解答题5. 已知数列\( e_n \)的前\( n \)项和为\( S_n = 3n^2 + n \)，求证数列\( e_n \)是等差数列，并求出其首项和公差。
证明：由题意知，\( S_1 = e_1 = 3 \times 1^2 + 1 = 4 \)。
当\( n \geq 2 \)时，\( e_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + n) - [3(n-1)^2 + (n-1)] = 6n - 2 \)。
又\( e_1 = 4 \)，满足上述等式，故\( e_n = 6n - 2 \)。
由\( e_n \)的表达式可知，\( e_n - e_{n-1} = 6 \)，即数列\( e_n \)的公差为6，首项为4，因此\( e_n \)是等差数列。
6. 已知数列\( f_n \)的通项公式为\( f_n = 3^n - 2^n \)，求\( f_{10} \)的值。
解答：根据题意，\( f_{10} = 3^{10} - 2^{10} \)。
计算得\( f_{10} = 59049 - 1024 = 58025 \)。
高中数学：数列经典题目集锦及答案经典及题型精选
数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造1、 数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N *.(1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列；(3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时， 数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．类型二： 整体构造2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列．二、两次作差法证明等差数列3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ，且*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）．(1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,nn b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，求λ的取值范围.四、隔项（分段）数列问题6. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.(1) 是否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n .7.若{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=(d 为常数)，则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列． （Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．五、数阵问题8.已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10， b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n .数列经典题目集锦答案1.证明：(1) 设数列{a n }的公差为d ，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－2a n ＋2)－(a n －2a n ＋1)＝(a n ＋1－a n )－2(a n ＋2－a n ＋1)＝d －2d ＝－d ， ∴ 数列{b n }是公差为－d 的等差数列． (4分) (2) 当n ≥2时，c n －1＝a n ＋2a n ＋1－2，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ a n ＝b n ＋c n －12＋1，∴ a n ＋1＝b n ＋1＋c n2＋1，∴ a n ＋1－a n ＝b n ＋1＋c n 2－b n ＋c n －12＝b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12.∵ 数列{b n }，{c n }都是等差数列，∴b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12为常数， ∴ 数列{a n }从第二项起为等差数列． (10分)(3) 结论：数列{a n }成等差数列．证明如下： (证法1)设数列{b n }的公差为d ′， ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ 2n b n ＝2n a n －2n ＋1a n ＋1，∴ 2n －1b n －1＝2n －1a n －1－2n a n ，…，2b 1＝2a 1－22a 2，∴ 2n b n ＋2n －1b n －1＋…＋2b 1＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，设T n ＝2b 1＋22b 2＋…＋2n －1b n －1＋2n b n ，∴ 2T n ＝22b 1＋…＋2n b n －1＋2n ＋1b n ，两式相减得：－T n ＝2b 1＋(22＋…＋2n －1＋2n )d ′－2n ＋1b n ，即T n ＝－2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ， ∴ －2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，∴ 2n ＋1a n ＋1＝2a 1＋2b 1＋4(2n －1－1)d ′－2n ＋1b n ＝2a 1＋2b 1－4d ′－2n ＋1(b n －d ′)， ∴ a n ＋1＝2a 1＋2b 1－4d′2n ＋1－(b n －d ′)． (12分) 令n ＝2，得a 3＝2a 1＋2b 1－4d′23－(b 2－d ′)＝2a 1＋2b 1－4d′23－b 1， ∵ b 1＋a 3＝0，∴2a 1＋2b 1－4d′23＝b 1＋a 3＝0，∴ 2a 1＋2b 1－4d ′＝0，∴ a n ＋1＝－(b n －d ′)，∴ a n ＋2－a n ＋1＝－(b n ＋1－d ′)＋(b n －d ′)＝－d ′，∴ 数列{a n }(n ≥2)是公差为－d ′的等差数列． (14分) ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 数列{a n }是公差为－d ′的等差数列． (16分)(证法2)∵ b n ＝a n －2a n ＋1，b 1＋a 3＝0，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，(12分) ∴ b n ＋1＝a n ＋1－2a n ＋2，b n ＋2＝a n ＋2－2a n ＋3，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝(2a n ＋1－a n －a n ＋2)－2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)． ∵ 数列{b n }是等差数列，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝0， ∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)．(14分) ∵ a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝0， ∴ 数列{a n }是等差数列．(16分)2.解析：(1) 若λ＝1，则(S n ＋1＋1)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，a 1＝S 1＝1.∵ a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ＋1＋1S n ＋1＝a n ＋1a n ，(2分) ∴S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1＋1S n ＋1＝a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n ，化简，得S n ＋1＋1＝2a n ＋1. ①(4分) ∴ 当n ≥2时，S n ＋1＝2a n . ② ①－②，得a n ＋1＝2a n ，∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)．(6分) ∵ 当n ＝1时，a 2＝2，∴ n ＝1时上式也成立，∴ 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(8分) (2) 令n ＝1，得a 2＝λ＋1.令n ＝2，得a 3＝(λ＋1)2.(10分) 要使数列{a n }是等差数列，必须有2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝0.(11分) 当λ＝0时，S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，且a 2＝a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＋1(S n －S n －1)＝(S n ＋1)(S n ＋1－S n )，整理，得S 2n ＋S n ＝S n ＋1S n －1＋S n ＋1，S n ＋1S n －1＋1＝S n ＋1S n ，(13分) 从而S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1S n －1＋1＝S 3S 2·S 4S 3·…·S n ＋1S n ，化简，得S n ＋1＝S n ＋1，∴ a n ＋1＝1.(15分) 综上所述，a n ＝1(n ∈N *)，∴ λ＝0时，数列{a n }是等差数列．(16分)3.解析：(1)由11,6,1321===a a a ，得18,7,1321===S S S ．把2,1=n 分别代入*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，得⎩⎨⎧-=+-=+48228B A B A ， 解得，8,20-=-=B A ．(2)由(1)知，82028)(511--=---++n S S S S n n n n n ，即82028511--=--++n S S na n n n ，① 又8)1(2028)1(5122-+-=--++++n S S a n n n n ． ②②-①得，20285)1(51212-=---+++++n n n n a a na a n ，即20)25()35(12-=+--++n n a n a n ． ③ 又20)75()25(23-=+-+++n n a n a n ．④④-③得，0)2)(25(123=+-++++n n n a a a n ，520n +≠，∴02123=+-+++n n n a a a ，又32215a a a a -=-=，所以32120a a a -+=， 因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． 故45)1(51-=-+=n n a n ．4.解析：(1) 0λ=时,111n n n n naS S a a +++=+∴1n n n na S S a +=∵0n a >，∴0n S > ∴ 1n n a a +=，∵11a =，∴1n a =(2) ∵()11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+ 0n a > ，∴1131nn n n nS S a a λ++-=⋅+ 则212131S S a a λ-=⋅+，2323231S S a a λ-=⋅+， ，11131n n n n n S S a a λ----=⋅+()2n ≥ 相加，得()2113331n nnS n a λ--=+++-则()3322n n n S n a n λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭，该式对1n =也成立， ∴()*332n n n S n a n N λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭． ③ ∴()1*13312n n n S n a n N λ++⎛⎫-=++⋅≥ ⎪⎝⎭． ④ ④－③，得1113333122n n n n n a n a n a λλ+++⎛⎫⎛⎫--=++⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即11333322n n n n n a n a λλ++⎛⎫⎛⎫--+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵0λ≥，∴133330,022n n n n λλ+--+>+> . ∵112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立， ∴332nn λ-+1133()22n n λ+-<+对一切*n ∈N 恒成立． 即233nnλ>+对一切*n ∈N 恒成立． 记233n n nb =+,则()()()111423622233333333n n n n n n n n n n b b +++-⋅-+-=-=++++ 当1n =时，10n n b b +-=； 当2n ≥时，10n n b b +->∴ 1213b b ==是{}n b 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是13λ>. 5. 解析：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ……4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分（3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--， 即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*）∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**）则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--，（***）∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分 212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >；3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减， 又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =， 71162λ∴<≤. ……………16分 6. 解析：(1) 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ.(2分)若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q (常数)，即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋(q －1)λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，(5分) 此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分)(注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分) (2) 由(1)得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32.(8分)由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，(10分)所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2[13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ]－6(1＋2＋…＋n )＋9n＝－2·13[1－⎝⎛⎭⎫13n ]1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3(n －1)2＋2，(12分)显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ， 同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2.(16分) 7.解析：（Ⅰ）易得数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n前15项之和53527)6517(28)593(=⨯++⨯+=……………………………4分 （Ⅱ）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（1） ， )1(221+=+++n a a n n （2）（1）-（2）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； …8分②当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． ……………………………12分 故当k n 2=时，222k S k =，a k k S k ++=+22212，222)1(2+=+k S k ，由()222212++⋅=k k k S S S ，则2222)1(22)22(+⋅=++k k a k k ，解得0=a ．所以存在实数0a =，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）……………………………16分8. 解析：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)。
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高中数列题型大全Newly compiled on November 23, 2020
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=
a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 2
3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．
类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：
),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b
a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。
32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)
2()1(11n S S n S a n n n 与 例：已知数列{}n a 前n 项和2214--
-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公
式n a .
类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例:已知31=a ，n n a n n a 2
3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。
解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．
类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：
),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b
a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。
32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。
又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13212+=++，求n a 。
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n
n 与
例：已知数列{}n a 前n 项和2214--
-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通
项公
式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式=n a。