数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)
(完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典)
数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列的19种经典题型
数列的19种经典题型一、公差不等于零的等差数列1. 前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，Sn=n/2*(a1+an)；2. 等比数列的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为等比数列的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；3. 概率的前n项和：求出前n项的和Sn=a1+a2+…+an，若q为概率的公比，则Sn = a1(1-q^n)/(1-q)；4. 等差数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若d为等差数列的公差，则Pn = (a1 + (n-1)*d) * (a1 + (n-2)*d) * … * a1；5. 等比数列的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn = a1*a2*…*an，若q为等比数列的公比，则Pn = a1 *q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；6. 概率的前n项乘积：求出前n项的乘积Pn =a1*a2*…*an，若q为概率的公比，则Pn = a1 * q^(n-1) * q^(n-2) * … * a1；7. 等差数列的通项公式：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，则an = a1+(n-1)*d；列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；9. 概率的通项公式：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，则an = a1*q^(n-1)；10. 等差数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等差数列，若d为该数列的公差，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
11. 等比数列中某项的值：若a1,a2,…,an为等比数列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
12. 概率的某项的值：若a1,a2,…,an为概率的序列，若q为该数列的公比，若知a1的值，则求出an的值，只需要把an的表达式代入即可。
数列常见题型总结经典(超级经典)
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。
2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。
3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。
2。
形如)(1n f a a n n =-+型(累加法）（1）若f （n ）为常数，即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2)若f （n)为n 的函数时，用累加法.例 1。
已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式。
2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.3。
形如)(1n f a a nn =+型(累乘法） （1）当f （n ）为常数，即:q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =11-⋅n q a . (2）当f （n)为n 的函数时,用累乘法。
例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式.4。
(完整word版)数列常见题型总结经典(超级经典)
高中数学《数列》常有、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前 n 项和法（知 S n 求 a n ） a nS 1(n 1)S n S n 1(n 2)例 1、已知数列 { n } 的前 n 项和 S n 12nn 2 ，求数列{| a n|} 的前 n 项和T na1、若数列 {a n } 的前 n项和 S2n，求该数列的通项公式。
n2、若数列 { a n } 的前 n 项和 S n3 a n 3 ，求该数列的通项公式。
23、设数列 {} 的前，知足 T2Sn 2，a n n 项和为S n ，数列{ S n } 的前n 项和为T nnn求数列 { a n } 的通项公式。
2. 形如 a n 1 a nf (n) 型（累加法）（ 1）若 f(n) 为常数 , 即： a n 1 a n d , 此时数列为等差数列，则 a n =a 1(n 1)d .（ 2）若 f(n) 为 n 的函数时，用累加法 .例 1. 已知数列｛ a n ｝知足 a 1 1, a n3n 11. 已知数列a n 的首项为 1，且 a n 1a n 2. 已知数列 { a n } 知足 a 1 3 ， a na n 13. 形如an 1( )f n 型（累乘法）a na n 1 ( n 2) , 证明 a n 3n122n(n N * ) 写出数列a n 的通项公式 .1 ( n 2) ，求此数列的通项公式 .n(n 1)（ 1）当 f(n) 为常数，即：a n 1q （此中 q 是不为 0 的常数），此数列为等比且 a n = a 1 q n 1 .a n（ 2）当 f(n) 为 n 的函数时 , 用累乘法 .例 1、在数列 { a n } 中 a 11, a nn a n 1 (n 2) ，求数列的通项公式。
n 1 1、在数列 { a n } 中 a 11, a n n 1a n 1 (n 2) ，求 a n 与 S n 。
数列题型总结(全)
11、设平面内的向量 点 是直线 上的一个动点，求当 取最小值时， 的坐标及 的余弦值。
12、设向量 ， ， ， ， ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的值。
参考答案
二、1、1、 ∥ ，
2、(1) ．
= =
∵ ，∴ ，∴ ．
∴ max= ．
(2)由已知 ，得 ．
一：定义法：
例：（1）设 是等差数列，证明：数列 （c>0, 是等比数列。（2）设 是正项等比数列，证明
（c>0, 是等差数列。
变式一：数列 的前n项和记为 ，已知 （n=2,3,4…）,证明：数列 是等比数列。
变式二：已知定义在R上的函数f(x)和数列 满足下列条件： ， ，其中a为常数，k为非零实数。令 是等比数列。
数列题型归纳（全）
题型一：求等差数列的公差或取值范围
例一：等差数列 的前n项和 ，若 =4， =20，则该数列的公差d等于
变式一：等差数列 中， ，则该数列的 的公差为
变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是
题型二：求等比数列的公比
例一：在等比数列 中， ，则公比q的值为
=
= ．
3、（1）
由 得 又
（2）由 ，得
又 =
所以， = 。
三、1—6 B D A D A A
7、. 8、 9、只要满足 即可10、（5，2）或（-5，-2）
11、设 点 在直线 上， 与 共线，而
即 有 .
故当且仅当 时， 取得最小值 ，此时
于是
12、
变式一：设数列 ， 都是等差数列，若
变式二：在等差数列 中，已知 ，则该数列前11项和等于
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数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列常见题型及解题技巧
数列常见题型及解题技巧
数列常见题型及解题技巧
一、等差数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn−n(d+a2)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=Sn−n(d+a1)
3、求和：求出数列前n项和可用公式：Sn=n(a1+an)2
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1+(n-1)d
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1+(k-1)d
二、等比数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn(qn−1)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=a1qn−1
3、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1(1−qn)1−q
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1qn−1
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1qk−1
三、复合数列
1、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1+a2+…+an
2、求某项：求出第k项可用公式：ak=ak−1+ak
解题技巧：
1、利用性质转化：根据所给的条件，尝试将原数列转换成更简单的形式，如等差数列、等比数列或者复合数列。
2、利用关系性：通过对数列中一些特殊项的求出，可以确定整个数列的情况，比如求出第一项和最后一项，就可以确定数列的前n项和。
3、利用规律性：数列中的每一项都有一定的规律性，依靠这一点可以得到数列的通项公式，进而求出数列的其他项。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
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数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列全部题型归纳(非常全面,经典!)
页脚内容1数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么页脚内容24、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈. 求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式页脚内容3（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a页脚内容44）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式页脚内容5(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a页脚内容62 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a页脚内容7（2）1222,(3)1,3n n a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41n n n a a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a页脚内容8拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析页脚内容91已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式n a 是什么页脚内容10 4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
(完整版)数列题型全归纳(附知识点)
数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，…数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
例：画出数列12+=n a n 的图像.（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
数列常见题型总结计划经典超级经典
一、数列的定义与性质1.数列的定义：数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的序列。
2.数列的性质：（1）有限数列：数列中的项数是有限的。
（2）无限数列：数列中的项数是无限的。
（3）严格递增数列：数列中的每一项都小于它后面的项。
（4）严格递减数列：数列中的每一项都大于它后面的项。
（5）等差数列：数列中相邻两项的差是常数。
（6）等比数列：数列中相邻两项的比是常数。
二、数列的通项公式与求和公式1.数列的通项公式：数列的第n项与序号n之间的关系式。
2.数列的求和公式：数列前n项的和与序号n之间的关系式。
（1）等差数列的求和公式：$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ （2）等比数列的求和公式：$S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}$三、数列的常见题型及解题方法1.求数列的通项公式（1）等差数列：已知前几项或公差，求通项公式。
（2）等比数列：已知前几项或公比，求通项公式。
（3）其他数列：根据题意，找出数列的规律，求通项公式。
2.求数列的前n项和（1）等差数列：利用求和公式求解。
（2）等比数列：利用求和公式求解。
（3）其他数列：根据题意，找出数列的规律，求和。
3.数列的单调性（1）判断数列的单调递增或单调递减。
（2）证明数列的单调性。
4.数列的周期性（1）判断数列的周期性。
（2）求数列的周期。
5.数列的极限（1）求数列的极限。
（2）判断数列的收敛性。
6.数列的错位相减法（1）应用错位相减法求数列的和。
（2）证明错位相减法的正确性。
四、经典题目解析1.题目：已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=2,a_6=10$，求数列的通项公式。
解析：根据等差数列的性质，可知$a_6=a_1+5d$，代入已知条件，解得$d=2$，进而求得通项公式$a_n=2n$。
2.题目：已知数列$\{b_n\}$是等比数列，且$b_1=2,b_3=8$，求数列的通项公式。
解析：根据等比数列的性质，可知$b_3=b_1\cdotq^2$，代入已知条件，解得$q=2$，进而求得通项公式$b_n=2^n$。
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数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a34）1a +求数列a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 1a =（4（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（1（2（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展21（1 (2)23已知{n a 是首项为１的正项数列，并且11n n n n ++，则它的通项公式n 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么7 数列{}n a 满足()11n n p S a -=-，其中p 为正实数，12n S a a =++…()*n a n N +∈(1)证明：{}n a 为等比数列，并求出它的通项；(2)数列{}n b 中，11b =，1n n n b b a +=+，求{}n b 的通项公式数列求最值的方法（一）化为函数方法转化为耐克函数（1）如果数列{}n a 的通项公式是n a =24n n n ++，此数列的哪一项最小？并求其最小值（2）如果数列{}n a 的通项公式是n a =2156nn +，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为分式函数（3（4如果数列(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1的自然数n ，不等式12log (1)123n a a a >++恒成立求a 的取值范围？（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（1）恒成立，（2）m a ≤恒（3*N ，有n m a a ≤（1） 求n a 的通项公式（2） 求n S 的通项公式（3） 说说n 为何值时，n S 取得最小值？数列的求和（一）倒序相加法：（1（2） S（二） 求和：12（三） 公式求和法（1）数列{}n a 中，148,2a a ==且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈，1234n S a a a a =++++…n a +，求n S ．（2（3（1（2+++…（3） )(,32114321132112111*N n n ∈+++++++++++++++（4（四）. 1. （1）112（2） 1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n2.奇偶分组（3）已知()()654n nn nan⎧-⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数求数列{}n a的前n项和．3（4）-4.（5（6数列的极限5个“三”三个定义极限（1）∞→n lim C =C （C 为常数）;（2）∞→n lim n 1=0;（3）∞→n lim q n =0（|q |＜1）n n n （1n lim →n(2)n（3若31n a →∞++三个待定形1）00型比较 2213lim 12n nn n n→∞++和2213lim 14n n n n n →∞++2）∞∞型 比较223）∞→n limn →∞n →∞S =例1（1）求证数列{}n a 不是等比数列，并求该数列的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n a 的前n 2项和为n S 2，若n n n a S ka 222)1(3•≤-对任意*∈N n 恒成立，求k 的最小值.例2定义1x （1（2（3）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n 对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．例3设满足条件)(2:*12N n a a a P n n n ∈≥+++的数列组成的集合为A ，而满足条件)(2:*12N n a a a Q n n n ∈<+++的数列组成的集合为B .（1）判断数列n a a n n 21:}{-=和数列n n n b b 21:}{-=是否为集合A 或B 中的元素？（2）已知数列3)(k n a n -=，研究}{n a 是否为集合A 或B 中的元素；若是，求出实数k 的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知*231(1)log (,)i n a n i Z n N =-⋅∈∈，若}{n a 为集合B 中的元素，求满足不等式60|2|<-n a n 的n 的值组成的集合.例类数列{2=n x 时}{n x （1}{n a 是周期为6（2① 若0>n a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；② 若01<+n n a a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；例5已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。
（1）求1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；（3）求数列{}n c 的通项公式。
例6如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．（1）若（2（3(nf=)A ==A =A （1（2*N ，n p 8q +总成立？若存在，求出（3） 若常数t 满足0t ≠且1t >-，1231~()()().....()()-=n nn n n n n n d t C C C C C ，求1limnn n d d →∞+.(1)(2)c令a+1（1（2（3n挑战五S满足n =Sn（1（2（3{}n b挑战六（1（2: 数列n n b a =⋅23((1)(2)(3)(x、的实数(3)(n H比较挑战八已知函数()311223log ,(,),(,)1x f x M x y N x y x =-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+（O 为坐标原点）.（1）求证：12y y +为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，，求1149lim49n n n n S S S S n ++→∞-+的值； （3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.挑战九本题共有满分 ……、12-n 11=c ，22=c （1（2（3）设（1（2（3）设正整数n挑战十一将数列{an} 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：①在数列{bn} 中，b1=1，对于任何n∈N*，都有（n+1）bn+1﹣nbn=0；②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；③．请解答以下问题：（1）求数列{bn} 的通项公式；（2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）；（3）若关于x的不等式在上有解，求正整数k的取值范围。