数列必会常见题型归纳

数列必会基础题型
题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A ）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；
2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，
中间两数之和为36，求这四个数. 5在等差数列{a n }中，
(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．
6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
7、已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．
B ）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、
{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5
5b a
. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ） 4、等差数列{}n a ,{}n
b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n
T n =+,则n n
a b =（ ）
5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S ..
6、已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．
题型二：求数列通项公式： (A ）给出前n 项和求通项公式
1、⑴n n S n 322
+=； ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3，求数列{}n a 的通项公式
B ）给出递推公式求通项公式
⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；
1
1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
1.已知数列{}n a 满足1
41
,212
11-+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4.设数列}{n a 满足21=a ，1
2123-+⋅=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式 （2）、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法.
1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

3.已知31=a ，n n a n n a 2
3131
+-=+ )1(≥n ，求n a 。

（3）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 1. 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。

C ）构造新数列待定系数法
1. 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

2.在数列
{}
n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项
n a =______________
3.已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式； 4.已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差
例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n n
S b n
n .求证：数列{}n b 是等差数列.
例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2
1
.求证：{n S 1}
是等差数列； B ）证明数列等比
1、设{a n }是等差数列，b n ＝n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21，求证：数列{b n }是等比数列；
2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n
n n ba b S -=-
⑴证明：当2b =时，{}
12n n a n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式
3、已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111
*44
...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.
题型四：求数列的前n 项和 基本方法： 1）公式法，
d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()
1(11q q
q a q na S n n 公比含字母时一
定要讨论
例：1.已知等差数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S
2. 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
3.已知等比数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S 2）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111
()()n n k k n n k
=-++；
n n n n -+=++11
1；
例1、求和：S =1+
n
++++++++++ 32113211211
2数列{a n }的通项公式是a n ＝1
1++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为（ ）
3、求和：
n
n +++++++++11
341231121 . 3）错位相减法，
例、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S
例：1．求和2
1123n n S x x nx -=+++
+
2.求和：n n a
n a a a S ++++=
32321 3.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，
3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n S ．
题型五：数列单调性最值问题
基础知识：在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+00
1
n n
a a 可解得S n 达到最 值时n 的值．
⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
可解得S n 达到最小值时n 的值．
基本题型练习：
1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，
=n . 2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；
3、数列{}n a 中，12832
+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值. 4、数列{}n a 中，22+-=n n a n ，求数列{}n a 的最大项和最小项.
5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的
取值范围．。