新初中数学四边形综合练习
2020年人教版初中数学八年级下册第18章《平行四边形》单元综合测试题含答案
平行四边形一．选择题（共10小题）1．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC2．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．下列说法正确的有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角互补；③平行线间的线段相等；④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；⑤平行四边形的四内角之比可以是2：3：2：3．A．1个B．2个C．3个D．4个5．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34 B．26 C．8.5 D．6.56．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），则点B坐标为（）A．（0，2）B．（0，）C．（0，1）D．（0，2）7．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．2.69．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断10．把一张长方形纸片ABCD按如图方式折一下，就一定可以裁出（）纸片ABEF．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形二．填空题（共8小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E、F两点，AB＝6，BC＝10，则EF的长度是．12．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC ＝∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是．（填写一组序号即可）13．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使∠ABC＝45°，则四边形ABCD的面积为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝时，四边形APQD 也为矩形．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为．16．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝．17．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝．18．如图，正方形OABC在直角坐标系中，点B（﹣2，2），点D为BC的中点，点E在线段OC上运动，射线ED交AB延长线于点F，设E（0，t），当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，点E的坐标是．三．解答题（共7小题）19．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE 的长．20．在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：四边形DFBE是平行四边形；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边或对角线的所有平行四边形．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．22．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．23．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB 的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．（1）求证：四边形BDCF为菱形；（2）若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC＝，求CF的长．25．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．第《18章平行四边形》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；【解答】解：∵CM＝MA，CNB，∴MN∥AB，MN＝AB，∵MN＝18m，∴AB＝36m，故A、B、D正确，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．2．【分析】根据平行四边形的性质得到∠DAB+∠ABC＝180°，由角平分线可得∠BAO+∠ABO＝90°，根据三角形的内角和定理得∠AOB＝90°，即可得到所选选项．【解答】解：▱ABCD的∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于O，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAO＝∠BAO＝∠DAB，∠ABO＝∠CBO＝∠ABC，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合利用性质进行证明是解此题的关键．3．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．4．【分析】根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断．【解答】解：①正确；②平行四边形的对角相等，命题错误；③平行线间的平行线段相等，命题错误；④正确；⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理以及性质定理，正确理解定理的内容是关键．5．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝13，所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．6．【分析】根据菱形的性质可得∠OAB＝∠BAD＝60°，∠AOB＝90°，解直角△AOB，求出OB，即可得到点B坐标．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），∴∠OAB＝∠BAD＝60°，∠AOB＝90°，在直角△AOB中，∵OA＝2，∴OB＝OA•tan∠OAB＝2×＝2，∴点B坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．也考查了锐角三角函数定义，坐标与图形性质．7．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ACD均正确，而B不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选：B．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．8．【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴AM′＝＝．∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝＝2.4．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．9．【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，再再证明AB＝BC即可解决问题．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片．【解答】解：由已知，根据折叠原理，对折后可得：∠FAB＝∠B＝∠AFE＝90°，AB＝AF，∴四边形ABEF是正方形，故选：D．【点评】此题考查了正方形的判定和折叠的性质，关键是由折叠原理得到四边形有三个直角，且一组邻边相等．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据平行四边形的性质可知∠DEC＝∠ECB，又因为CE平分∠BCD，所以∠DCE＝∠ECB，则∠DEC＝∠DCE，则DE＝DC，同理可证AF＝AB，那么EF就可表示为AF+ED﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DEC＝∠ECB，又CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，同理可证：AF＝AB，∴2AB﹣BC＝AF+ED﹣BC＝EF＝2．故答案为2．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．12．【分析】根据AD∥BC可得∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO＝DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：可选条件①③，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：①③．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．13．【分析】根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．则AE＝AF＝2．∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是2，∴S四边形ABCD＝BC×2＝CD×2，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．∴四边形ABCD的面积为2×2×＝4．故答案是：4．【点评】本题主要考查菱形的性质和特殊角的三角函数值，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．14．【分析】四边形APQD为矩形，也就是AP＝DQ，分别用含t的代数式表示，解即可．【解答】解：根据题意，当AP＝DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t＝20﹣t，解得t＝4（s）．故答案是：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质．此题利用了矩形的对边相等的性质进行解题的．15．【分析】由平行四边形的性质和角平分线证出AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF 的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由AAS证明ADF≌△ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，又F为DC的中点，∴DF＝CF，∴AD＝DF＝DC＝AB＝4，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，则AF＝2AG＝2，∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝2×2＝4，故答案为：4【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键．16．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DAE，推出AB＝BE，根据已知条件推出∠ADF＝∠ADC，得到∠DFC＝∠CDF，推出CF＝CD，于是得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵EF＝4，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣4＝10，∴AB＝7；②如图2，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵EF＝4，∴BC＝BE++EF+CF＝2AB+EF＝2AB+4＝10，∴AB＝3；综上所述：AB的长为7或3．故答案为：7或3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE＝CF＝CD．17．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝2，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝2，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2∴GP＝＝2∴GH＝GP＝故答案为：【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．18．【分析】由ASA证明△DBF≌△DCE，得出BF＝CE＝2﹣t，得出AF＝AB+BF＝4﹣t，即可得出点F的坐标；分两种情况：①当AE＝AF时，根据勾股定理得出AE2＝OA2+OE2，得出方程22+t2＝（4﹣t）2，解方程即可求出t的值；②当AE＝EF时，点E在AF的垂直平分线上，得出OE＝AF，即t＝（4﹣t），解方程即可求出t的值，从而求解．【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB＝BC＝OC＝2，∠AOC＝∠ABC＝∠BCO＝90°，∴∠FBD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△DBF和△DCE中，，∴△DBF≌△DCE（ASA），∴BF＝CE＝2﹣t，∴AF＝AB+BF＝4﹣t，∴D的坐标为（﹣2，4﹣t），当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当AE＝AF时，∵AE2＝OA2+OE2，∴22+t2＝（4﹣t）2，解得：t＝1.5；②当AE＝EF时，点E在AF的垂直平分线上，∴OE＝AF，即t＝（4﹣t），解得：t＝．综上所述：当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，点E的坐标是（0，1.5）或（0，）．故答案为：（0，1.5）或（0，）．【点评】考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．三．解答题（共7小题）19．【分析】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝CF，然后求解即可．【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝CF＝×4＝2．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．20．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF，即可得出四边形DFBE是平行四边形；（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形DFBE是平行四边形；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE；以GH为对角线的平行四边形有GFHE．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．21．【分析】由矩形的性质可得出BA＝CD、∠A＝∠D，由AM＝DN可得出AN＝DM，进而即可证出△ABN≌△DCM（SAS），根据全等三角形的性质可证出BN＝CM．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BA＝CD，∠A＝∠D．∵AM＝DN，∴AN＝DM．在△ABN和△DCM中，，∴△ABN≌△DCM（SAS），∴BN＝CM．【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理SAS 证出△ABN≌△DCM是解题的关键．22．【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME（SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．【解答】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．在△AQM和△FME中，，∴△AQM≌△FME（SAS），∴AM＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．23．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE＝DE，根据等腰三角形的性质，可得结论；（2）根据题意可得BE＝5，BF＝3，根据勾股定理可求EF的长【解答】证明：（1）连接BE，DE∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝AC，DE＝AC∴BE＝DE∵点F是BD的中点，BE＝DE∴EF⊥BD（2）∵BE＝AC∴BE＝5∵点F是BD的中点∴BF＝DF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝＝4【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键．24．【分析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF＝AD＝BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD＝BD，根据菱形的判定得出即可；（2）设CE＝2x，AC＝3x，求出BC＝4x，DF＝AC＝3x，根据菱形的面积公式求出x，求出EF和CE，根据勾股定理求出CF即可．【解答】（1）证明：DE⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠BED＝∠ACB，∴DF∥AC，∵CF∥AB，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AD＝CF，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，∵BD∥CF，∴四边形BDCF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴DC＝BD，∴四边形BDCF是菱形；（2）解：∵tan∠EAC＝＝，∴设CE＝2x，AC＝3x，∵四边形BDCF是菱形，∴BE＝CE＝2x，∴BC＝4x，∵四边形ADFC是平行四边形，∴DF＝AC＝3x，∵四边形BDCF的面积为24，∴＝24，解得：x＝2（负数舍去），∴CE＝4，DF＝6，∴DE＝EF＝×6＝3，∵DE⊥BC，∴∠CEF＝90°，∴由勾股定理得：CF＝＝＝5．【点评】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．25．【分析】（1）过G作GH⊥CD于H，根据三角形的内角和得到∠CDE＝60°，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝2，得到∠ADC＝120°，解直角三角形即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，推出∠DFA＝∠C，在DH上截取HM＝AH，得到∠HAM＝∠HMA，求得∠DAM ＝∠H，根据全等三角形的性质即可得到结论．．【解答】解：（1）如图1，过G作GH⊥CD于H，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CDE＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝2，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA＝30°，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝GF，∵CD＝2，∴DF＝，∴HF＝DF＝，∴GF＝1；（2）∵AH⊥AD，DE⊥BC，∴∠DAH＝∠DEC＝90°，在△ADE与△DEC中，，∴△ADE≌△DEC（SAS），∴∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DAB＝∠C，∠DFA＝∠BAF，∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DFA＝∠C，如图2，在DH上截取HM＝AH，∴∠HAM＝∠HMA，∴∠H＝180°﹣2∠HAM，∵∠MAD＝90°﹣∠HAM，∴∠DAM＝∠H，∴∠MAD＝∠GFD，在△ADM与△FDG中，，∴△ADM≌△FDG（ASA），∴DM＝DG，∵AB＝CD＝DH＝HM+DM，∴AB＝AH+DG．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
河北省中考数学复习 四边形 第28讲 正方形与四边形综合试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
第28讲正方形与四边形综合1. (2013，某某) 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若∠3＝50°，则∠1＋∠2的度数为(B)第1题图A. 90°B. 100°C. 130°D. 180°【解析】如答图．∠BAC＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠ABC＝180°－60°－∠3＝120°－∠3，∠ACB＝180°－60°－∠2＝120°－∠2.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB ＝180°，∴90°－∠1＋120°－∠3＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝150°－∠3.∵∠3＝50°，∴∠1＋∠2＝150°－50°＝100°.第1题答图2. (2015，某某，导学号5892921)如图所示的是甲、乙两X不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)第2题图A. 甲、乙都可以B. 甲、乙都不可以C. 甲不可以，乙可以D. 甲可以，乙不可以【解析】甲、乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形，所拼图形如答图所示．第2题答图3. (2016，某某)关于▱ABCD的叙述，正确的是(C)A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形【解析】∵在▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形．故选项A错误．∵在▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形．故选项B错误．∵在▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故选项C正确．∵在▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形．故选项D错误．4. (2017，某某)如图所示的是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A)第4题图A B C D【解析】该正方形的对角线的长是10 2 cm≈14.14 cm，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都要小于14.14 cm.正方形的性质例1 (2018，某某二模)如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P作PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出以下4个结论：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP.其中正确的结论是(C)例1题图A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①③④【解析】 如答图，连接PC .∵P 为正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∴PA ＝PC ，∠BCD ＝90°.∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∴∠PEC ＝∠DFP ＝∠PFC ＝∠BCD ＝90°.∴四边形PECF 是矩形．∴PC ＝EF .∴PA ＝EF .故②正确．∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠BDC ＝∠DBC ＝45°.∵∠PFD ＝∠BCD ＝90°，∴PF ∥BC .∴∠DPF ＝∠DBC ＝45°.∴△FPD 是等腰直角三角形．故①正确．在△PAB 和△PCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△PAB ≌△PCB .∴∠BAP ＝∠BCP .易证∠PFE ＝∠BCP ，∴∠PFE ＝∠BAP .故④正确．∵P 是正方形对角线BD 上任意一点，∴AD 不一定等于PD .故③错误．例1答图针对训练1 (2018，某某丰南区二模)如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 的度数为(B)训练1题图A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∠BAF ＝45°.∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE ＝60°，AD ＝AE .∴∠BAE ＝90°＋60°＝150°，AB ＝AE .∴∠ABE ＝∠AEB ＝12×(180°－150°)＝15°.∴∠BFC ＝∠BAF ＋∠ABE ＝45°＋15°＝60°.正方形的判定例2 (2018，某某灌阳县模拟)如图，在△ABC 中，O 是AC 上一动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠ACD 的平分线于点F .若点O 运动到AC 的中点，要使四边形AECF 是正方形，则∠ACB 的度数是(D)例2题图A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【解析】∵CE，CF分别为∠ACB，∠ACD的平分线，∴∠ECF＝90°.∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠ECB.∵∠ECB＝∠ECO，∴∠FEC＝∠ECO.∴OE＝OC.同理OC＝OF.∴OE＝OF.∵点O 运动到AC的中点，∴OA＝OC.∴四边形AECF为矩形．若∠ACB＝90°，则AC⊥EF.∴四边形AECF为正方形.针对训练2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.添加一个条件，能使菱形ABCD 成为正方形的是(C)训练2题图A. BD＝ABB. AC＝ADC. ∠ABC＝90°D. OD＝AC【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：①有一个内角是直角；②对角线相等.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系例3 (2018，某某)如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是(A)例3题图A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 由三角形中位线定理可知四边形的四边中点组成的四边形是平行四边形．本题中，当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；当AC ＝BD 且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是正方形．反之，四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 互相垂直且相等．只有说法④正确.针对训练3 (2018，某某盐都区模拟)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F ，G ，H 分别为AD ，BC ，BD ，AC 的中点，顺次连接E ，G ，F ，H .(1)求证：四边形EGFH 是菱形；(2)当∠ABC 与∠DCB 满足什么关系时，四边形EGFH 为正方形，并说明理由；(3)猜想：∠GFH ，∠ABC ，∠DCB 三个角之间的关系．(直接写出结果)训练3题图【思路分析】 (1)根据三角形中位线的性质得到EG ＝12AB ，EH ＝12CD ，HF ＝12AB ，GF ＝12CD .根据菱形的判定定理即可得到结论．(2)根据平行线的性质得到∠ABC ＝∠HFC ，∠DCB ＝∠GFB .根据平角的定义得到∠GFH ＝90°，于是得到结论．(3)由平行线的性质得到∠ABC ＝∠HFC ，∠DCB ＝∠GFB .根据平角的定义即可得到结论．(1)证明：∵E ，F ，G ，H 分别为AD ，BC ，BD ，AC 的中点，∴EG ＝12AB ，EH ＝12CD ，HF ＝12AB ，GF ＝12CD . ∵AB ＝CD ，∴EG ＝EH ＝HF ＝GF .∴四边形EGFH 是菱形．(2)解：当∠ABC ＋∠DCB ＝90°时，四边形EGFH 为正方形．理由：∵E ，F ，G ，H 分别为AD ，BC ，BD ，AC 的中点，∴HF ∥AB ，GF ∥CD .∴∠ABC ＝∠HFC ，∠DCB ＝∠GFB .∵∠ABC ＋∠DCB ＝90°，∴∠HFC ＋∠GFB ＝90°.∴∠GFH ＝90°.∴菱形EGFH 是正方形．(3)解：∠GFH ＋∠ABC ＋∠DCB ＝180°.一、 选择题1. (2018，某某二模)如图，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则∠1的度数可能是(A)第1题图A. 44°B. 45°C. 46°D. 47°【解析】 如答图．∵四边形为正方形，∴∠2＝45°.∵∠1＜∠2，∴∠1＜45°.第1题答图2. (2018，某某)如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积为(B)第2题图A. 1B. 12C. 13D. 14【解析】 根据对称性，可知四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等．∴S 阴影＝ 12S 正方形ABCD ＝12.3. (2018，某某)如图，在正方形ABCD 中，A ，B ，C 三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)．将正方形ABCD 向右平移3个单位长度，则平移后点D 的坐标是(B)第3题图A. (－6，2)B. (0，2)C. (2，0)D. (2，2)【解析】∵在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，∴点D的坐标为(－3，2)．∴将正方形ABCD向右平移3个单位长度，平移后点D的坐标是(0，2)．4. (2018，湘西州)下列说法中，正确的有(B)①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】①对顶角相等，故①正确．②两直线平行，同旁内角互补，故②错误．③对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故③错误．④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确．5. (2018，某某)如图，已知E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH 是(B)第5题图A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形【解析】由菱形对角线的性质和三角形中位线定理可得四边形EFGH是矩形．6. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE 的长为(A)第6题图A. 2－1B.22C. 1D. 1－22【解析】 如答图，过点E 作EF ⊥DC 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵CE 平分∠ACD ，∴EO ＝EF .∵正方形ABCD 的边长为1，∴AC ＝ 2.∴CO ＝12AC ＝22.∴CF ＝CO ＝22.∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22.∴DE ＝2DF ＝2－1.第6题答图7. 如图，正方形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D (5，3)在边AB 上．以点C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是(C)第7题图A. (－2，0)B. (－2，10)C. (2，10)或(－2，0)D. (10，2)或(－2，10)【解析】 因为点D (5，3)在边AB 上，所以AB ＝BC ＝5，BD ＝5－3＝2.①若把△CDB 顺时针旋转90°，则点D ′在x 轴上，OD ′＝2，所以D ′(－2，0)．②若把△CDB 逆时针旋转 90°，则点D ′到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，所以D ′(2，10)．综上，旋转后点D 的对应点D ′的坐标为(－2，0)或(2，10)．8. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)第8题图A. 12B. 33C. 1－33D. 2－1 【解析】 ∵绕顶点A 顺时针旋转45°，∴∠D ′CE ＝45°，∠CD ′E ＝90°.∴CD ′＝D ′E .∵AC ＝12＋12＝2，∴CD ′＝2－1.∴正方形重叠部分的面积是12×1×1－12×(2－1)×(2－1)＝2－1.二、 填空题9. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接EC ，过点E 作EF ⊥EC ，交AB 于点F ，则tan ∠ECF ＝（ 12）.第9题图【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴CD＝AD＝2AE.∵∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE.∴EFEC＝AEDC＝12.∴tan∠ECF＝EFEC＝12.10. 如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.第10题图【解析】∵AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2×75°＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋30°＝120°.∵AB＝AD，∴AB＝AE.∴∠AEB＝1 2(180°－∠BAE)＝12×(180°－120°)＝30°.11. (2018，某某)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是30°或150°.【解析】如答图①.∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD ＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°.∴∠BAE＝∠CDE＝150°.∴∠AEB＝∠CED＝15°.∴∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝30°.如答图②.同理∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°.∴∠CED＝∠ECD＝12×(180°－30°)＝75°.∴∠BEC＝360°－75°×2－60°＝150°.第11题答图12. (2018，某某)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5)．第12题图【解析】 如答图，过点E 作x 轴的垂线EH ，垂足为H ，过点G 作x 轴的垂线GM ，垂足为M ，连接GE ，FO 相交于点O ′.∵四边形OEFG 是正方形，∴OG ＝EO .易证∠GOM ＝∠OEH ，∠OGM ＝∠EOH .∴△OGM ≌△EOH (ASA)．∴GM ＝OH ＝2，OM ＝EH ＝3.∴G (－3，2)．∴O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52.∵点F 与点O 关于点O ′对称，∴点F 的坐标为(－1，5)．第12题答图三、 解答题13. (2018，某某)如图，已知E 为正方形ABCD 的边AD 上一点，连接BE ，过点C 作⊥BE ，垂足为M ，交AB 于点N .(1)求证：△ABE ≌△B ；(2)若N 为AB 的中点，求tan ∠ABE .第13题图【思路分析】 (1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明即可．(2)根据全等三角形的性质和三角函数解答即可．(1)证明：如答图．∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠CBN ＝90°，∠1＋∠2＝90°.∵CM ⊥BE ，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.在△ABE 和△B 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CBN ，AB ＝BC ，∠1＝∠3，∴△ABE ≌△B (ASA)． (2)解：∵N 为AB 的中点， ∴BN ＝12AB .∵△ABE ≌△B ， ∴AE ＝BN ＝12AB .在Rt △ABE 中，tan ∠ABE ＝AE AB ＝12AB AB ＝12.第13题答图14. (2018，某某)如图，在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点E ，F 满足BE ＝DF ，连接AE ，AF ，CE ，CF .(1)求证：△ABE ≌△ADF ；(2)试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．第14题图【思路分析】 (1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明即可．(2)四边形AECF 是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形即可判断．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD . ∴∠ABD ＝∠ADB . ∴∠ABE ＝∠ADF .在△ABE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． (2)解：四边形AECF 是菱形．理由：如答图，连接AC . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥EF . ∴OB ＋BE ＝OD ＋DF . ∴OE ＝OF .∴四边形AECF 是菱形．第14题答图15. (2018，某某)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点．(1)求证：△BGF ≌△FHC ；(2)设AD ＝a ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．第15题图【思路分析】 (1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可．(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．(1)证明：∵F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点， ∴FH ∥BE ，FH ＝12BE ，GE ＝BG ＝12BE ，BF ＝FC .∴∠CFH ＝∠CBG ，FH ＝BG . ∴△BGF ≌△FHC .(2)解：如答图，连接EF ，GH .当四边形EGFH 是正方形时，得EF ⊥GH 且EF ＝GH . ∵在△BEC 中，G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴GH ＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH ∥BC .∴EF ⊥BC .∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝EF ＝GH ＝12a .∴矩形ABCD 的面积为AB ·AD ＝12a ·a ＝12a 2.第15题答图16. (2018，某某)如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE )，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线相交于点M ，OF ，AB 的延长线相交于点N ，连接MN .(1)求证：OM ＝ON ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．(结果保留根号)第16题图【思路分析】 (1)证△OAM ≌△OBN 即可得．(2)作OH ⊥AD ，由正方形的边长为4且E 为OM 的中点知OH ＝HA ＝2，HM ＝4，再根据勾股定理得OM ＝2 5.由等腰直角三角形的性质知MN＝2OM .(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝∠OBA ＝45°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°. ∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON .∴△OAM ≌△OBN (ASA)．∴OM ＝ON . (2)解：如答图，过点O 作OH ⊥AD 于点H .∵正方形ABCD 的边长为4， ∴OH ＝HA ＝2. ∵E 为OM 的中点， ∴HM ＝4.∴OM ＝22＋42＝2 5. ∴MN ＝2OM ＝210.第16题答图1. (2018，某某)如图，已知E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G ，H 都在边AD 上．若AB ＝3，BC ＝4，则tan ∠AFE 的值为(A)第1题图A. 37B. 33C. 34 D. 随点E 位置的变化而变化 【解析】 ∵EF ∥AD ，∴∠AFE ＝∠FAG .∴HE ∥CD .∴△AEH ∽△ACD .∴EH AH ＝CD AD ＝34.设EH ＝3x ，AH ＝4x ，∴HG ＝GF ＝3x .∴tan ∠AFE ＝tan ∠FAG ＝GF AG ＝3x 3x ＋4x ＝37. 2. (2018，某某)如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 （342）.(结果保留根号) 第2题图【解析】 ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAE ＝∠D ＝90°，AB ＝AD .∵AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF (SAS)．∴∠ABE ＝∠DAF .∵∠ABE ＋∠BEA ＝90°，∴∠DAF ＋∠BEA ＝90°.∴∠BGF ＝∠AGE ＝90°.∵H 为BF 的中点，∴GH ＝12BF .∵BC ＝5，CF ＝CD －DF ＝5－2＝3，∴BF ＝BC 2＋CF2＝34.∴GH ＝12BF ＝342.3. (2018，某某，导学号5892921)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE ＝DF ，BE ，CF 相交于点G .若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3，则△BCG 的周长为15＋3.(结果保留根号)第3题图【解析】 ∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3，∴阴影部分的面积为23×9CE ＝DF ，BC ＝CD ，∠BCE ＝∠CDF ＝90°，可得△BCE ≌△CDF ，∴△BCG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为12×3＝32.易证∠BGC ＝90°.设BG ＝a ，CG ＝b ，则12ab ＝32.又∵a 2＋b 2＝32，∴a 2＋2ab ＋b 2＝9＋6＝15，即(a ＋b )2＝15.∴a ＋b ＝15，即BG ＋CG ＝15.∴△BCG 的周长为15＋3.4. (2018，，导学号5892921)如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH .(1)求证：GF ＝GC ；(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．第4题图【思路分析】 (1)连接DF ，根据对称的性质，得△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论．(2)作辅助线，构建AM ＝AE ，先证明∠EDG ＝45°，得DE ＝EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM ＝BH ，根据勾股定理得EM ＝2AE ，得结论．(1)证明：如答图，连接DF . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA ＝DC ，∠A ＝∠C ＝90°. ∵点A 关于直线DE 的对称点为F ， ∴△ADE ≌△FDE .∴DA ＝DF ，∠DFE ＝∠A ＝90°.∴DF ＝DC ，∠DFG ＝90°.在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DG ，DF ＝DC ，∴Rt △DFG ≌Rt △DCG (HL)． ∴GF ＝GC . (2)解：BH ＝2AE .证明：如答图，在线段AD 上截取AM ，使AM ＝AE . ∵AD ＝AB ， ∴DM ＝BE .由(1)知∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠ADC ＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°. ∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG ＝45°. ∵EH ⊥DE ， ∴∠DEH ＝90°.∴∠AED ＋∠BEH ＝∠AED ＋∠1＝90°，△DEH 是等腰直角三角形． ∴∠1＝∠BEH ，DE ＝EH . ∴△DME ≌△EBH . ∴EM ＝BH .在Rt △AEM 中，∠A ＝90°，AM ＝AE ， ∴EM ＝2AE . ∴BH ＝2AE .第4题答图。
初中数学中考一轮05、四边形的综合应用(学生版)
四边形的综合应用学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容平行四边形的性质与判定特殊平行四边形的性质与判定图形变换课型一对一/一对N教学目标熟练应用特殊四边形的性质与判定熟练的解决以特殊四边形为背景的综合题重、难点熟练的解决以特殊四边形为背景的综合题课首沟通1、知识点回顾2、作业检查3、询问学校进度及掌握情况知识导图课首小测1.[单选题] 下列命题中，正确的是()． A.两组角相等的四边形是平行四边形B.一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形C.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.[单选题] 对角线互相垂直平分的四边形是（）A.平行四边形、菱形B.矩形、菱形C.矩形、正方形D.菱形、正方形3.[单选题] 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．A.对角相等B.对角互补C.邻角互补D.内角和是4.如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且∥时，这个四边形是平行四边形．5.若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为cm²。
6.已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则该菱形的周长为cm。
7.（2015年四川广安中考）在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．8.（2013年广东广州中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.9.（2015年广州中考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF.求证：BE=AF.导学一：平行四边形的性质与判定知识点讲解 1：平行四边形的性质与判定证：.例 1. [单选题] （2015年广州中考）下列命题中，真命题的个数有（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． A. 3个 B. 2个C.1个D.0个例 2. [单选题] （ 2014年广东中考）如图，▱ABCD 中，下列说法一定正确的是（ ）A.AC=BDB. AC⊥BDC. AB=CDD.AB=BC例 3. （2014年广州中考）如图， 的对角线 、 相交于点 ，过点 且与、 分别交于点 、 ，求我爱展示1. （2015年梅州中考）如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于cm ．2. （2015年大连中考）在□ABCD中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，AC 垂直于BC ，且AB=10cm ，AD=8cm ， OB=cm ．3. [单选题] （2014年昆明中考）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是 （）A.AB∥CD，AD∥BCB. OA=OC ，OB=ODC.AD=BC ，AB∥CDD.AB=CD ，AD=BC4. [单选题] （2015年绵阳中考）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3， AC=10，则四边形ABCD 的面积为（）A. 6B.12C.20D.245.（2012年荔湾一模）已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：（1）△AOC≌△BOD；（2）四边形AFBE是平行四边形．导学二：矩形的性质与判定知识点讲解 1：矩形的性质与判定应用例 1. [单选题] （2015年益阳中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A.∠ABC=90°B. AC=BDC.OA=OBD.OA=AD例 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为。
初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)
特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。
初中数学 第19章 平行四边形综合检测题(三)及答案
第19章 平行四边形综合检测题(三)一、选择题（每题3分，共30分）1、一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ）A.三角形的三条角平分线的交点B.三角形的三条高线的交点C.三角形的三条中线的交点D.三角形的三条边的垂直平分线的交点 2、如图1，如果□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对3、平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）A.4cm 和6cmB.6cm 和8cmC.8cm 和10cmD.10cm 和12cm4、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CDB.AD //BC ，∠A ＝∠CC.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC5、如图2，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ）A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形6、如图3，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A.S 1 > S 2B.S 1 = S 2C.S 1<S 2D.S 1、S 2 的大小关系不确定 7、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（ ）A.3cm 2B. 4cm 2C. 12cm 2D. 4cm 2或12cm 28、如图4，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ） A.123m B.20m C.22m D.24m图3A DCBHEFG图2OABD C图19、如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( ) A ．3B ．23C ．5D ．2510、如图6，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ） A.36 m B.48 mC.96 mD.60 m二、填空题（每题3分，共30分）11、如图7, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.12、如图8，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.13、如图9，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1，则PP ′＝＿＿＿.14、已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2.图6图4FEDCBA图5D CBA 图7图9图8 KNM Q CB15、如图10，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.16、如图11，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.17、如图12，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿. 18、将一张长方形的纸对折,如图13所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕.三、解答题（共40分）19、如图14，等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC =45°,翻折梯形ABCD ,使点B 重合于D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ,若AD =2,BC =8.求BE 的长.……第一次对折第二次对折第三次对折图13图11A 1B 1C 1D 1D ABC D ABCEF图12FE DCBA 图14图10ED CB A20、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有＿＿＿组；（2）请在图15的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （3）由上述实验操作过程，你发现所画的饿两条直线有什么规律？21、如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G . （1）线段AF 与GB 相等吗？（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.ABCDABCDDCBA图15图1622、如图17，已知□ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点E .（1）试说明线段CD 与F A 相等的理由；（2）若使∠F ＝∠BCF ，□ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).23、如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．ECDBAOABCDE F图1724、已知：如图19，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE ＝BF .请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）. （1）连结____________；（2）猜想：______=______； （3）证明：25、如图20，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F .(1)试说明OE ＝OF ；(2)如图21，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.O C图19DABEF图20EM F CO DBA图21EFOCMDAB参考答案一、1，C ；2，D ；3，D ；4，C ；5，C ；6，A ；7，D ；8，B ；9，D ；10，C .二、11，30°；12，＝；13，14，；15，1212S S =；16，20；17，7；18，15、2n －1.三、21，由题意得△BEF ≌△DFE,∴DE=BE,∵在△BDE 中,DE=BE,∠DBE=45°,∴∠BD E=∠DBE=45°,∴∠DEB=90°,∴DE ⊥BC.∴EC=12(BC -AD)= 12(8-2)=3.∴BE=5；22，（1）无数；（2）只要两条直线都过对角线的交点即可；（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）； 23，：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=．又ACE △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即DB AC ⊥．∴平行四边形ABCD 是菱形；（2）ACE △是等边三角形，60AEC ∴∠=．EO AC ⊥，1302AEO AEC ∴∠=∠=．2AED EAD ∠=∠，15EAD ∴∠=．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠=．四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠=．∴四边形ABCD 是正方形．24，（1）说明△CED ≌△CEA 即可，（2）BC ＝2AB ，理由略；25，（1）四边形ABCD 是矩形.连结OE .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DO =OB ，∵四边形DEBF 是菱形，∴DE =BE ，∴EO ⊥BD ，∴∠DOE = 90°，即∠DAE = 90°，又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形.（2）解：∵四边形DEBF 是菱形，∴∠FDB =∠EDB ，又由题意知∠EDB =∠EDA ，由（1）知四边形ABCD 是矩形，∴∠ADF =90°即∠FDB +∠EDB +∠ADE =90°，则∠ADB = 60°，∴在Rt △ADB 中，有AD ∶AB =1：3，即3=BCAB；26，（1）连结AF ；（2）猜想AF =AE ；（3）连结AC ，交BD 于O ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD 于O ，DO =BO ，因为DE ＝BF ，所以EO ＝BO 所以AC 垂直平分EF ，所以AF ＝AE ；27，(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BOE =∠AOF ＝90°，OB ＝OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA +∠MAE ＝90°=∠AFO +∠MAE ，所以∠MEA ＝∠AFO ，所以Rt △BOE 可以看成是绕点O 旋转90°后与Rt △AOF 重合，所以OE =OF ；(2)OE ＝OF 成立.证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠BOE=∠AOF＝90°，OB＝OA又因为AM BE，所以∠F+∠MBF＝90°＝∠B+∠OBE，又因为∠MBF＝∠OBE，所以∠F＝∠E，所以Rt△BOE可以看成是由Rt△AOF绕点O旋转90°以后得到的，所以OE=OF；。
人教版初中数学四边形技巧及练习题附答案
人教版初中数学四边形技巧及练习题附答案一、选择题∆绕点A顺时针旋转90︒到1．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE∆的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）ABFA．4 B．25C．6 D．26【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【详解】∆绕点A顺时针旋转90︒到ABFADE∆的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴==，AD DC25DE=，2∴∆中，2226Rt ADEAE AD DE=+=故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C【解析】【分析】 根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．4．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（ ）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可：∵AD=DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线．∴OD=OC ．∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，AD=DE ，OD=OD ，∴△AOD ≌△EOD （HL ）．∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，AD=BC ，OD=OC ，∴△AOD ≌△BOC （HL ）．∴△BOC ≌△EOD ．综上所述，B 、C 、D 均正确．故选A ．5．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是( )A ．8B ．9C ．10D ．12【答案】A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数． 解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A ．考点：多边形内角与外角．6．如图，在矩形ABCD 中，AB m =，6BC =，点E 在边CD 上，且23CE m ．连接BE ，将BCE 沿BE 折叠，点C 的对应点C '恰好落在边AD 上，则m =（ ）A ．33B ．3C 3D ．4【答案】A【解析】【分析】设AC′=x ，在直角三角形ABC′和直角三角形DEC′中分别利用勾股定理列出关于x 和m 的关系式，再进行求解，即可得出m 的值.【详解】解：设AC′=x ，∵AB=m ，BC=6，23CEm ， 根据折叠的性质可得：BC′=6，EC′=23CE m ， ∴C ′D=6-x ，DE=13m ，在△ABC ′中，AB 2+AC′2=BC′2，即2226x m +=，在△DEC ′中，C′D 2+DE 2=C′E 2，即()22212633x m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：()2236x m -=，代入2226x m +=中，得：()222366x x -=-，解得：x=3或x=6，代入2226x m +=，可得：当x=3时，m=33或33-（舍），当x=6时，m=0（舍），故m 的值为33，故选A.【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，有一定难度，解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解.7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】 先根据菱形的性质求出其边长，再作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F 的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=2234+=5，作E 关于AC 的对称点E′，连接E′F ，则E′F 即为PE+PF 的最小值，∵AC 是∠DAB 的平分线，E 是AB 的中点，∴E ′在AD 上，且E′是AD 的中点，∵AD=AB ，∴AE=AE ′，∵F 是BC 的中点，∴E ′F=AB=5．故选C ．8．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ，∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422AE BC ==⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，BC 长为10cm ．当小莹折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE )．则此时EC =( )cmA ．4B 2C ．22D ．3【答案】D【解析】【分析】 根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，设CE=x ，则DE=EF=8﹣x ，在Rt △CEF 中利用勾股定理得到:42+x 2=（8﹣x ）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD 折纸，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ），∴AF=AD=10，DE=EF ，在Rt △ABF 中，AB=8，AF=10，∴226AF AB -=∴CF=BC ﹣BF=4．设CE=x ，则DE=EF=8﹣x ，在Rt △CEF 中，∵CF 2+CE 2=EF 2，∴42+x 2=（8﹣x ）2，解得x=3∴EC 的长为3cm ．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，23），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23DOB=60°，∴点D的坐标为（33∵点A的坐标为（﹣1，0），∴22+=(3)419故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．11．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．12．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFCABCDS S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．13．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB，∵AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质14．如图，在ABCD 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD 的面积为( )A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=，即AC BD ⊥，得出ABCD 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，∴90AOD ∠=，即AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形，∴ABCD 的面积11862422AC BD =⨯=⨯⨯=； 故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．15．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD ，并在A 与C 、B 与D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC ，用左手向右推动框架至AB ⊥BC （如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（ ）A ．∠BCA ＝45°B ．AC ＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A．35B．23C．38D．45【答案】A【解析】试题分析：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，∴MD=MB=2a-b=53 b，∴3553AM b MD b ==. 故选A.考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质．17．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1， 则菱形ABCD 的周长等于（ ）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A的坐标，从而求得菱形周长.18．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作//EF BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD，若1AE=，8PF=，则图中阴影部分的面积为（）A．5B．6C．8D．9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE=12×1×8=4，∴S阴=4+4=8，故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．考点：多边形内角与外角．。
初中数学竞赛——三角形四边形综合
三角形四边形综合1. 如图，已知ABC △中，AD BC AB CD AC BD ⊥+=+，．求证：AB AC =．2. 两个全等的3060︒︒、角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E A C 、、三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME MC 、，试判断EMC △的形状，并说明理由。
3. 如图，已知AD 是ABC △的中线，且1356AB AC AD ===，，，则ABC △的面积为_______．4. □ABCD 中，DE AB ⊥于E 交AC 于F ，且12AD FC =．求证：3DAB ACD ∠=∠． CDBAEF CBADCDBAMBEACD5. 平面上有3个正ABD BCE ACF △、△、△，两两共有一个顶点．求证：CD 与EF 互相平分．6. 在ABC △中，BD 是ABC ∠的平分线．在ABC △外取一点E ，使得EAB ACB ∠=∠，AE DC =，并且线段ED 与线段AB 相交，交点记为K ．求证：KE KD =．7. 正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为CD 上的点，且AF CD CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．8.ABC △是等腰直角三角形，90ACB ∠=，D 是AC 的中点，连结BD ，作ADF CDB ∠=∠，连结 CF 交BD 于E ．求证：BD CF ⊥．F E DCBACFEDBAFE CDBACAKBDE9. 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若 2.7AD =，4AF =，6AB =，求CF 的长.10. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD =，2ABC BCD ∠=∠，点E 在DC 上，且BEF A ∠=∠.求证：BE EF =.11. 如图，已知AD 为ABC △的角平分线，AB AC ＜，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为BC 、AE 的中点．求证：MN AD ∥．NMD CBAEFDC BAEFEDCBA12. 如图，已知ABC △中，D 在AC 上，DC AB =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长交BA 的延长线于G ，求证：AF AG =．13. 如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA CB 、到E F 、，使得DE DF =，过E F 、分别作CF 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：PAE PBF ∠=∠．14. 如图，90BAC DAE ∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证：AM CD ⊥． DCBAF EG ECD BAMDCB AFMP15. 如图，在ABC ∆中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，求证：AD DE =．16. ．分别以ABC △的边AC BC 、为一边，在ABC △外作正方形ACDE CBFG 、，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半．17. 在ABC △中，789BC CA AB ===，，，P 为三角形内一点，PD BC ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF AB ⊥于F ，且12BD CE AF ++=，求BD BF +的值．C DEBACP EDFABQP BCAFGED18. 四边形ABCD 中，135ABC ∠=，120BCD ∠=，6AB =，53BC =-，6CD =，求AD .19. 如图，在四边形ABCD 中，10545ACB BAD ABC ADC ︒︒∠=∠=∠=∠=，，求证：CD AB =。
初中数学解四边形题练习题及答案
初中数学解四边形题练习题及答案在初中数学中，四边形是一个重要的几何形状，而解四边形题是数学练习中常见的一项任务。
解四边形题需要我们运用几何知识和数学技巧，灵活运用各种公式和定理，以求正确地解出问题。
下面为大家提供一些初中数学解四边形题的练习题及答案，希望对你的学习有所帮助。
1. 问题描述：在四边形ABCD中，已知AB = 5cm，BC = 6cm，CD = 8cm，DA = 9cm，求解四边形ABCD的周长和面积。
解答：首先，计算四边形的周长。
根据题意已知AB = 5cm，BC = 6cm，CD = 8cm，DA = 9cm，因此周长为：周长 = AB + BC + CD + DA = 5cm + 6cm + 8cm + 9cm = 28cm接下来，计算四边形的面积。
根据题意已知AB = 5cm，BC = 6cm，CD = 8cm，DA = 9cm，可以将四边形划分为两个三角形。
设AC为对角线，由正弦定理可知：sin∠A = BC / ACAC = BC / sin∠A = 6cm / sin∠A同理，由正弦定理可知：sin∠C = AB / ACAC = AB / sin∠C = 5cm / sin∠C由此得出：6cm / sin∠A = 5cm / sin∠Csin∠A / sin∠C = 6cm / 5cm根据三角恒等式可知：sin∠A / sin∠C = 1因此，6cm / 5cm = 1解得AC = 5cm进而，根据海伦公式可得到四边形的面积。
设半周长s为：s = (AB + BC + CD + DA) / 2 = 28cm / 2 = 14cm面积S = √(s(s - AB)(s - BC)(s - CD)(s - DA))= √(14cm (14cm - 5cm)(14cm - 6cm)(14cm - 8cm)(14cm - 9cm)) = √(14cm × 9cm × 8cm × 6cm × 5cm)= √(15120cm²)≈ 123cm²因此，四边形ABCD的周长为28cm，面积约为123cm²。
平行四边形练习题及答案
平行四边形练习题及答案平行四边形是初中数学中的重要概念之一，它具有特殊的性质和特点。
通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握平行四边形的相关知识。
本文将为大家提供一些平行四边形的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 练习题一：已知平行四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，角A的度数为60°，求AD的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边长度相等。
因此，AD = BC =8cm。
2. 练习题二：已知平行四边形EFGH中，EF = 10cm，GH = 15cm，角E的度数为120°，求FG的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边长度相等。
因此，FG = EH =15cm。
3. 练习题三：已知平行四边形IJKL中，IJ = 12cm，KL = 18cm，角I的度数为135°，求JK的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边长度相等。
因此，JK = IL = 18cm。
4. 练习题四：已知平行四边形MNOP中，MN = 5cm，NO = 7cm，角M的度数为45°，求OP的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边长度相等。
因此，OP = MN = 5cm。
5. 练习题五：已知平行四边形QRST中，QR = 9cm，ST = 12cm，角Q的度数为30°，求RS 的长度。
解答：由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边长度相等。
因此，RS = QT =9cm。
通过以上练习题，我们可以发现平行四边形的一个重要性质：平行四边形的对边长度相等。
这个性质在解题过程中起到了关键的作用，帮助我们求解未知的边长。
除了对边长度相等外，平行四边形还具有其他一些重要的性质。
例如，平行四边形的对角线互相平分，即对角线互相等长。
这个性质在解题过程中也经常被用到。
练习题只是帮助我们巩固平行四边形的相关知识点，实际问题中，平行四边形的应用非常广泛。
初中数学教案解平行四边形与菱形的计算题综合题
初中数学教案解平行四边形与菱形的计算题综合题在初中数学的学习中，解平行四边形与菱形的计算题是非常重要的一部分。
通过解题可以帮助学生更好地理解平行四边形和菱形的属性，并应用到实际问题中。
本文将结合解题的方法与教学案例，帮助教师更好地设计教案以提高学生对这两种特殊四边形的理解与计算能力。
一、平行四边形的计算题1. 已知平行四边形ABCD中，AB = 6 cm，AD = 8 cm，CE = 4 cm，求CE的长度。
解析：首先，根据平行四边形的性质，得到CE ∥ AB，因此CE也与AD平行。
然后，根据平行线的性质，可以得到三角形CDE和三角形BAD的对应边分别平行，且对应边的比例相等。
设CE = x，则按照比例关系可以得到：6/8 = 4/(4+x)。
通过交叉相乘化简方程，可以得到24 + 6x = 32。
解方程得到x = 2。
所以，CE的长度为2 cm。
2. 平行四边形EFGH中，EF与GH平行，EF = 3 cm，GH = 6 cm。
若面积为12 cm²，求EB的长度。
解析：首先，EF与GH平行，则EB与FG也平行。
令EB = x，则根据平行四边形的性质，FG = x。
同时，根据平行四边形的面积计算公式：面积 = 底 ×高，可以得到3x = 12。
解方程得到x = 4。
所以，EB的长度为4 cm。
二、菱形的计算题1. 已知菱形ABCD的对角线AC = 10 cm，BD = 12 cm，求菱形的周长和面积。
解析：首先，根据菱形的性质，对角线相交的那个点是菱形的顶点，且顶点到菱形的四个顶点的距离相等。
由题目可知，AC = 10 cm，BD = 12 cm，根据菱形性质可得AB = BC = CD = AD = 10/2 = 5 cm。
菱形的周长 = 2(AB + BC) = 2(5 + 5) = 20 cm。
菱形的面积 = (AC × BD)/2 = (10 × 12)/2 = 60 cm²。
初中数学四边形、三角形几何综合题目汇总(动点、旋转)大全
初中数学几何四边形、三角形综合题大全（含动点、旋转等类型）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．(1)若AB＝4，BC＝6，求EC的长；(2)若∠F＝55°，求∠BAE和∠D的度数．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．(1)求证：AD＝EC．(2)当∠BAC＝90°时，证明四边形ADCE是菱形．如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB 交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）如果AC=BC．试判断四边形BDCF的形状．并证明你的结论．已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm．（1）如图①，O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求四边形MONC的面积；（2）连接线段MN,探究当MN取到最小值时,判断MN与对角线BD 的数量关系和位置关系，并说明你的理由．已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）若∠EOD =30°，求CF 的长．已知，如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ．(1)△ADE ∽△FDB 吗?为什么?(2)你能推出结论CD 2=DE ·DF 吗?请试一试．如图，在四边形ABCD 中，AC 、BC 相交于点O ，∠ABD=∠ACD ，试找出图中的相似三角形，并加以证明．如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE =CF ．请你以点F 为一个端点与图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并说明它与图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）．（1）连结；（2）猜想：=；（3）证明：如图，将?ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠D ，连接AC 、BE ，求证：四边形ABEC 是矩形．ODCBABCDE FA在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．(1)求证：BM=MN；(2) ∠BAD=60°，AC平分∠BAD ，AC=2，求BN的长。
初中数学平行四边形练习题及答案
练习1一、选择题（3'x 10=30'）1 •下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）•A .内角和为360°B .外角和为360°C .不确定性D .对角相等2. 二ABCD中，/ A=55°，则/ B/ C的度数分别是（）.A . 135°, 55 °B . 55°, 135°C . 125°, 55°D . 55 ° , 125°3. 下列正确结论的个数是（）.①平行四边形内角和为360 °;②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补.A . 1B . 2C . 3D . 44. 平行四边形中一边的长为10cm,那么它的两条对角线的长度可能是（）.A . 4cm和6cmB . 20cm 和30cmC . 6cm和8cmD . 8cm和12cm25. 在UABCC中，AB+BC=11cm/ B=30°, S Y ABC=15CRI，贝U AB与BC的值可能是（）.A . 5cm 和6cmB . 4cm 和7cmC . 3cm 和8cmD . 2cm 和9cm6. 在下列定理中，没有逆定理的是（）.A .有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；B .直角三角形两个锐角互余；C .全等三角形对应角相等；D .角平分线上的点到这个角两边的距离相等•7. 下列说法中正确的是（）.A .每个命题都有逆命题B .每个定理都有逆定理C .真命题的逆命题是真命题D .假命题的逆命题是假命题& 一个三角形三个内角之比为 1 : 2: 1，其相对应三边之比为（）.A . 1 : 2: 1B . 1: •- 2 : 1C . 1 : 4: 1D . 12: 1 : 29. 一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个.A . 2B . 3C . 4D . 510 .如图所示，在△ ABC中，M是BC的中点，AN平分/ BAC丄AN 若AB=?14, ?AC=19,贝U MN的长为（）.A. 2 B . 2.5 C . 3 D . 3.5二、填空题（3'x 10=30'）11 .用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3: 4,短边的比为_________ ，长边的比为_________12 .已知平行四边形的周长为20cm, —条对角线把它分成两个三角形,?周长都是18cm,则这条对角线长是 __________ cm .13 .在二ABCD中, AB的垂直平分线EF经过点D,在AB上的垂足为E, ?若二ABCD的周长为38cm, △ ABD的周长比UABCD勺周长少10cm,则丫ABCD勺一组邻边长分别为____ 14 .在匚ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE又AE的延长线交DC的延长线于点F .若/ F=65°U DABC ［的各内角度数分别为 _____________ . 15•平行四边形两邻边的长分别为20cm, 16cm ，两条长边的距离是 8cm, ?则两条短边的距离是 _____ cm.16. ________________________________________________ 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的 ____________________________________________ 和 _______ , ?那么这两个命题是互为逆命题.17•命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 _____________ . 18•在直角三角形中，已知两边的长分别是 4和3,则第三边的长是 ___________ .19.直角三角形两直角边的长分别为8和10,则斜边上的高为 ___________ ，斜边被高分成两 部分的长分别是 ___________ .20上ABC 的两边分别为5,12,另一边c 为奇数，且a+b+?c?是3?的倍数，？则c?应为 __________此三角形为 _________ 三角形. 三、解答题(6'x 10=60')21.如右图所示， 在二 ABCD 中, BF 丄 AD 于 F , BE X CD 于 E , 求丫 ABCD 的周长.22.如图所示，在 二ABCD 中，E 、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF. 求证：(1) AE=CF (2)AE// CF.CB?的延长线于点 F , DE 的长是3,求(1)Z C 的大小；(2) DF 的长.# — E护24. 如图所示， 二ABCD 中，AQ BN CN DQ 分别是/ DAB / ABC / BCD ? / CDA 的平分 线，AQ与BN 交于P , CN 与DQ 交于M 在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述 条件推出的结若/ A=60°, AF=3cm CE=2cm23.如图所示, 二ABCD 的周长是 10、3 +6 2 , AB 的长是5 . 3 , DEI AB 于 E , DF X CB 交论，并给出证明过程（要求：？推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）.25. 已知△ ABC的三边分别为a, b, c, a=n2-16 , b=8n , c=n2+16 ( n>4) 求证：/ C=90°.26. 如图所示，在△ ABC 中，AC=8 BC=6 在厶ABE 中，DEL AB 于D, DE=12 S MBE=60,求/ C的度数.AD27. 已知三角形三条中位线的比为3: 5: 6，三角形的周长是112cm, ?求三条中位线的长.28. 如图所示，已知AB=CD AN=ND BM=CM求证：/ 仁/ 2.29. 如图所示，△ ABC的顶点A在直线MN上, △ ABC绕点A旋转，BEL MN于E, ?CD?L MN 于D, F为BC中点，当MN经过△ ABC的内部时，求证：(1) FE=FD (2)当厶ABC继续旋转，？使MN不经过△ ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？B30. 如图所示，E 是二ABCD 的边AB 延长线上一点， DE 交BC 于F ,求证：S M BF =S ^EFC .答案：一、 1. D 2 . C 3 . C 4 . B 5 . A 6 . C 7 . A 8 . B 9 . C 10 . C二、 11. 3cm 4cm 12 . 8 13 . 9cm 和 10cm 14 . 50°, 130°, 50°, 130° ? ? 15 . 10 16 .结论 题设17 .同旁内角互补，两直线平行 18 . 5 或 J 7 19 . 空丿^?^41 20 . 13 直角 41 ‘41‘41三、 21.二ABCD 的周长为 20cm 22 .略 23 . (1)/ C=45°(2) DF=^-^ 24 .略225 . ?略 26 . / C=90° 27 .三条中位线的长为： 12cm ； 20cm ； 24cm28 .提示：连结 BD 取BD?的中点G 连结MG NG 29 . (1 )略 (2)结论仍成立.提示：过F 作FG 丄MN 于G 30 .略练习2、填空题（每空2分，共28分）1•已知在二ABCD 中,AB=14cm ,BC=16cm ,则此平行四边形的周长为 ____________ cm . 2•要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是 形,再说明（只需填写一种方法）3•如图，正方形ABCD 的对线 AC 、BD 相交于点 O. 那么图中共有 _____________________ 个等腰直角三角形•4. 把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入 下列相应（1）正方形可以由两个能够完全重合的 ______________________D拼合而成B （第3题） C的空格上•(2) 菱形可以由两个能够完全重合的 _________________________ 拼合而成； (3) 矩形可以由两个能够完全重合的 _________________________ 拼合而成• 5.矩形的两条对角线的夹角为 _____________________ 60 较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .6. 若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外 ,其余两个内角的度数分别为 ______ :和 _____ ::7. 平行四边形的周长为 24 cm ，相邻两边长的比为 3:1,那么这个平行四边形较短的边长为____ cm .8. 根据图中所给的尺寸和比例，可知这个“十”字标志的周长为 _______________ m .16.如图矩形ABCD 沿着AE 折叠，使 D 点落在BC 边上的F 点处，如果• BAF =60 ［则.DAE 等 于 ()A.15：B.30：C.45：D.60:O _ D第10题)12 cm 和6 cm ，那么这个平行四边(已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为的面积为 _________ cm 2.10.如图,1是四边形 ABCD 的对称轴，如果AD// BC 有下列结论:(1)AB// CD;(2)AB=CD(3)AB 丄 BC(4)AO=OC 其中正确的结论是 ____________________ . (把你认为正确的结论的序号都填上 )二、选择题(每题3分，共24分)11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是(A 、三角形B 、四边形 12. 下列说法中，错误的是A.平行四边形的对角线互相平分 C.平行四边形的对角相等13. 给出四个特征(1)两条对角线相等 9. 、五边形 D 、六边形 但不是中心对称图形 A.1个 14. 四边形ABCD 中, A 、3: 5: 6:15. 如图，直线a ABC 的面积 A.变大//( ) B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形(，其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有B.2个C.3个D.4个 AD//BC ，那么的值可能是(B 、3: 4: 5: 6C 、4: 5: 6: 3D 、6: 5: )3: 4b,A 是直线a 上的一个定点，线段BC 在直线b 上移动，那么在移动过程中 ()不变B.变小C.D.无法确定(B 第15题)CB EC第16题)17. 如图，在ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE// AB交AC于点E,DF// AC交AB于点F,那么四边形 AFDE 的周长是 A.5B.10C.15D.2018. 已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点0,如果只给条件“ AB // CD'，那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法： (1) 如果再加上条件 ⑵如果再加上条件 (3)如果再加上条件 ⑷如果再加上条件 其中正确的说法是 A.(1)(2)B.(1) (3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4)三、解答题(第 19题8分第20~23题每题10分，共48分)19. 如图， ABCC 中，DB=CD. C =70:；AE 丄 BD 于 E.试求.DAE 的度数.20.如图， ABCD 中，G 是CD 上一点，BG 交AD 延长线于 E AF=CG DGE = 100 ?.(1) 试说明DF=BG (2) 试求.AFD 的度数. 21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行 ：(1) 先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH (2) 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是(3)将直角尺靠紧窗框的一个角 (如图③)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格，这时窗框是 ___________ 形，根据的数学道理是：—BC=AD'，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； .BAD=/BCD ” ,那么四边形ABCD 一定是平行四边形； A0=0C'，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； .DBA =/CAB ” ,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 )C22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘 ，在它的四个角上均有一棵大柳树，李大伯开挖池塘，使池塘面积扩大一倍，又想保持柳树不动，如果要求新池塘成平行四边形的形状 .请问李大伯愿望能否实现？若能，请画出你的设计；若不能，请说明理由.答案1.60.2.平行四边形；有一组邻边相等.3.8. 提示:它们是.AOB, • BOC, • COD,. AOD, . ABD,. ABC, • BCD,. ACD.4.(1)等腰直角三角形；(2)等腰三角形；(3)直角三角形. 8.4.提示:如图所示，将"十”字标志的某些边 进行平移后可得到一个边长为 1 m 的正方形，所以它的周长为 4m .9. 36.提示：菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半 10. (1)(2)(4).提示:四边形ABCD 是菱形. 11.B.12.D. 13.C. 14.C.15. C .提示：因为「ABC 的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线 a,b 之间的距离也不变，所 以UABC 的面积不变.116. A.提示：由于/FAE 是由乙DAE 通过折叠后得到的，所以ZFAE ZDAE 90、ZBAF .217. B. 提示：先说明 DF=BF,DE=CE,所以四边形 AFDE 的周长 =AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18. C. 19. 因为BD=CD 所以• DBC 二/C,又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD // BC ,所以ND=NDBC,因为 AE 丄 BD,所以在直角 MED 中,ZDAE =90°—Z D =90°—70°=20°20. (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AB=DC 又AF=CG 所以AB -AF=DC-CG 即卩GD=BF,又DG / BF 所以四边形 DFBG 是平行四边形，所以DF=BG(2) 因为四边形DFBG 是平行四边形，所以DF// GB,所以.GBF 二/AFD ,同理可得(图①)(图②) ( 图③) (图④)第21题)Z GBF Z DGE ,所以Z AFD E DGE=100〔21. (1)平行四边，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2) 矩,有一个是直角的平行四边形是矩形•22.如图所示,连结对角线AC BD,过A、B、C D分别作BD AC BD AC的平行线,且这些平行线两两相交于E、F、G H四边形EFGF即为符合条件的平行四边形•练习31把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H (如图)•试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.2、四边形ABCD DEFGTE是正方形，连接AE CG (1)求证：AE=CG ( 2)观察图形，猜想AE 与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为挑战自我:1、（2010年眉山市）.如图，每个小正方形的边长为1，A B C 是小正方形的顶点，则/2、 （ 2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形3.（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是 （）A. 9 B . 8 4、（2010年福建福州中考）如图 4,在口ABCD 中，对角线 AC BD 相交于点 O,若AC=14,BD=8 AB=10,则厶OAB 的周长为 _____________ 。
初中数学平行四边形练习题(含答案和解析)
一般平行四边形习题1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C 向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
初中数学平行四边形性质练习题及答案
初中数学平行四边形性质练习题及答案练习题一：1. 证明平行四边形的对角线互相平分。
2. 若平行四边形的一条对角线被平分，那么这个平行四边形是什么形状？3. 怎样判定一个四边形是平行四边形？答案一：1. 证明：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
要证明对角线AC和BD互相平分，只需证明AO=CO和BO=DO。
首先，由平行四边形的性质可知，AB∥CD，AD∥BC。
根据平行线性质，AO=CO（对应角相等）同理，BO=DO所以，平行四边形的对角线互相平分。
2. 若平行四边形的一条对角线被平分，那么这个平行四边形是矩形。
证明：设平行四边形ABCD的对角线AC被平分于点O。
要证明ABCD是矩形，只需证明∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
由平行四边形的性质可知，AB∥CD，AD∥BC。
由对角线互相平分的性质可知，AO=CO，BO=DO。
因此，∠AOC=∠COA，∠BOC=∠COD。
又∠AOC+∠BOC=180°（补角定理）所以，∠AOC=90°（相等补角）。
同理，∠COA=90°，∠BOC=90°，∠COD=90°。
所以，ABCD是矩形。
3. 判定平行四边形的方法：方法一：判定对边平行若四边形ABCD满足AB∥CD及AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
方法二：判定对角线互相平分若四边形的对角线互相平分，则四边形是平行四边形。
方法三：判定边长及对角线长度关系若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相等，则四边形ABCD是平行四边形。
练习题二：1. 证明平行四边形的相邻角互补。
2. 若平行四边形的一组相邻角是补角，那么这个平行四边形是什么形状？3. 如何判断一个四边形是菱形？答案二：1. 证明：设平行四边形ABCD的两组相邻角为∠A和∠B，∠B和∠C，∠C和∠D，∠D和∠A。
要证明平行四边形的相邻角互补，只需证明∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。
新初中数学四边形基础测试题含答案(2)
新初中数学四边形基础测试题含答案(2)一、选择题1．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.2．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF∠=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．3．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.4．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：①EF 是ABC V 的中位线；②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①③④ 【答案】A【解析】【分析】根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=12AB ，AF=12AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，∴AO=DO=12AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，∴∠AOF=∠ADC=90°，∴EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， 12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线，故①正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴△AEF 的周长是△ABC 的一半，根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，故②正确；∵EF 是△ABC 的中位线，∴AE=12AB ，AF=12AC ， 若四边形AEDF 是菱形，则AE=AF ，∴AB=AC ，故③正确； 根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．5．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠ ∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠ 2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒ 故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．6．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC 2D 3 【答案】C【解析】【分析】 根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°， ∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=22a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =7．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C8．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，且BE ∥AC ，CE ∥DB ，连接DE ，则tan ∠EDC ＝（ ）A ．14B ．16C ．26D ．310【答案】B【解析】【分析】过点E 作EF ⊥直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC 是菱形，则OE 与BC 垂直平分，易得EF=12x ，CF=x ．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ：BC ＝2：1，∴BC ＝AD ，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x+＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．9．如图，在四边形ABCD中，90,150,BAD BCD ADC∠=∠=︒∠=o连接对角线BD，过点D作//DE BC交AB于点,E若23,AB AD CD=+=，则CD=（）A．2B．1C．13+D3【答案】B【解析】先根据四边形的内角和求得∠ABC 30︒=，再根据平行线的性质得到∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC ，然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC ，进而得到EB=ED ，最后在Rt ADE V 中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在四边形ABCD 中∵90,150,BAD BCD ADC ∠=∠=︒∠=o∴∠ABC 30︒=∵//DE BC∴∠AED 30︒=，∠EDB=∠DBC在Rt ABD V 和Rt BCD △中 ∵AD CD BD BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABD Rt BCD ≅V V∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED ∵23AB =+在Rt ADE △中，设AD=x,那么DE=2x,AE=232x +-()2222322x x x ++-=解得：121;73x x ==+（舍去）故选：B ．【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用，熟练进行逻辑推理是解题关键．10．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，M 、N 分别是BC 、CD 上的动点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM ＋PN 的最小值是（ ）A ．95B ．125C ．165D ．245【答案】D【解析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可得答案.【详解】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，DB=8，∴OA=3，OB=4，AC⊥BD，在Rt△AOB中，22OA OB+，∵S菱形ABCD=12AC BD AB NQ=g g，∴18652NQ ⨯⨯=，∴NQ=245，∴PM+PN的最小值为245，故选D.【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．11．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠B+C=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．12．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）.A．25°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=12BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A．13．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（）A．45 B．48 C．63 D．64【答案】C【解析】【分析】由中央小正方形的边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x厘米，其余几个边长分别是x-1、x-2、x-3，根据长方形中几个正方形的排列情况，列方程求出最大正方形的边长，从而求得长方形长和宽，进而求出长方形的面积．【详解】因为小正方形边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x厘米，因为图中最小正方形边长是1厘米，所以其余的正方形边长分别为x−1，x−2，x−3，3(x-3)-1=x解得：x=5；所以长方形的长为x+x−1=5+5-1=9，宽为x-1+x−2=5-1+5-2=7长方形的面积为9×7=63(平方厘米)；故选：C【点睛】本题考查了对拼组图形面积的计算能力，利用了正方向的性质和长方形面积的计算公式．14．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =V V , ∴18EFCABCD S S =V 四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=V V 四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥【答案】D【解析】【分析】 根据AE ＝CE ，EF ＝DE 可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用中位线定理可得DE ∥BC 结合AC ⊥BC 可证得AC ⊥DF ，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E 是AC 中点，∴AE ＝CE ，∵AE ＝CE ，EF ＝DE ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∵点D 、E 是AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ACB ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴AC ⊥DF ，∴平行四边形ADCF 为菱形故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．16．如图，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，点E H ，在ADCD ，边上，点F G ，在对角线AC 上，若6AB =，则EFGH 的面积是( )A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝22EH＝22EF，EF＝22AE，即可得到结论．【详解】解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，∴∠AEF＝∠DEH＝45°，∴AF＝EF，DE＝DH，∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，∴AF＝EF 2 AE，同理可得：DH＝DE＝22EH又∵EH＝EF，∴DE 2EF22AE＝12AE，∵AD＝AB＝6，∴DE＝2，AE＝4，∴EH2DE＝2，∴EFGH的面积为EH2＝（2）2＝8，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键．17．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=3；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．。
四边形单元测试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载
四边形单元测试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第十九章四边形单元测试卷一、精心选一选(每小题2分，共20分)1.如图1，在ABCD中，EF∥BC，GH∥AB,EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的平行四边形有（）对.A.3B.4C.5D.62.下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）.A.AC=BD,AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∥A=∥CC.AO=BO=CO=DOD.AO=CO，BO=DO，AB=BC4．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）.A. AB∥CD, AD=BCB.∥A=∥B，∥C=∥DC.AB=CD，AD=BCD. AB=AD，CB=CD5.在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）.A.以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两邻边B.以6cm、10cm为对角线，8cm为一边C.以20cm、36cm为对角线，22cm为一边D.以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两邻边6.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）.A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直7.下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；⑥对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.其中错误的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个8.如果平行四边形四个内角的平分线能围成一个四边形，那么这个四边形是（）.A.矩形B.正方形C.菱形D.等腰梯形9.如图2，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积（）.A.B.C. D.10.如图3，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（）A.12B.13C.14D.15二、耐心填一填（每小题3分，共30分）11.如图4所示，木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边上刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，其根据是__________________________________________________。
初中数学 四边形综合
一、四边形综合【例1】 （2009湖北十堰）如图1，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F .⑴ 求证：DE BF EF -=．⑵ 当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．⑶ 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）． 图2图1ABCDG G F EDCB A ABCDE FG【例2】 （2009大兴二模）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=︒，且1AB =，2BC =，tan 2ADC ∠=．⑴ 求证：DC BC =；⑵ E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且EDC FBC ∠=∠，DE BF =， 当:1:2BE CE =，135BEC ∠=︒时，求sin BFE ∠的值．FEDCBA例题精讲四边形综合【例3】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，DC AB =，点,,E F G 分别在,,AB BC CD 上， 且GC GF AE ==.（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）当EFB FGC ∠=∠2时，求证：四边形AEFG 是矩形.G CFE D BA【补充】（2008上海）正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC于点G ，BAE ∠的平分线交射线BC 于点O ．⑴ 如图，当23CE =时，求线段BG 的长；⑵ 当点O 在线段BC 上时，设CEx ED=，BO y =，求y 关于x 的函数解析式；⑶ 当2CE ED =时，求线段BO 的长．GOED CB A【例4】 （2008威海）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，7AB =，1CD =，5AD BC ==．点M N ，分别在边AD BC ，上运动，并保持MN AB ∥，ME AB ⊥，NF AB ⊥，垂足分别为E F ，．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形.若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．NMFE D C BA【例5】 (2008辽宁)如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，BC =另有一等腰梯形DEFG （GF DE ∥）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB AC ，上，且G F ，分别是AB AC ，的中点． ⑴ 求等腰梯形DEFG 的面积；⑵ 操作：固定ABC ∆，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D 与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF G ''（如图）． 探究1：在运动过程中，四边形BDG G '能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 探究2：设在运动过程中ABC ∆与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与的函数关系式．FGC(E)(D)B A二、向外作正多边形问题【例6】 如图，以ABC ∆的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结EC 交AB 于点H ，连结BG 交CE 于点M ，求证：BG CE ⊥．H MF EDGCBA【变式】 如图，以ABC ∆的边AB 、AC 向三角形外分别作正方形ABDE 和正方形ACFG ，设1O 、2O 是两个正方形对角线的交点，点M 为BC 的中点，则能推得1O M 与2O M 在数量以及位置方面的关系如何?MFDCB【例7】 如图，以ABC ∆的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，ABC∆的边BC 的中点为M ，连结EG ，则MA 与EG 的位置关系如何?MFDC B【变式】 在例题中再以EA 、AG 为边向外作平行四边形AEHG ，并使AD BE 、交于点O ，则CO 与OH 的位置会如何?【例8】 (07年北达资源期中试题)分别以ABC ∆的三边长为边长，在形外作正方形ABMN ，ACHK ，BCFE ，连接NK ，ME ，FH ．⑴若ABC ∆为任意三角形时，以NK ，ME ，FH 为边能否构成三角形？为什么？ ⑵如果能，试探究以NK ，ME ，FH 为边构成的三角形的面积与ABC ∆的面积关系．HMFE K NCBA【变式】 例题中已知条件不变，分别取三个正方形ABMN ，ACHK ，BCFE 的中心1O 、2O 、3O ． 证明：123O O AO ⊥，123O O AO =．HMF E【例9】 （2009河北）在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．⑴ 如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM MH =，FM MH ⊥；⑵ 将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH ∆是等腰直角三角形； ⑶ 将图2中的CE 缩短到图3的情况，FMH ∆还是等腰直角三角形吗？ （第⑶问基础、提高班直接写出结论，精英班需要证明）ABCDEFG HM NABC DEFG HM NHG (N )FEDC (M )BA图3图2图1【例10】 （2004年全国联赛试题）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF . 设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M . 求证：点M 为EF 的中点.M Gl FEDCBA【变式1】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG .过A 作AH BC ⊥于H ，AH 与EG 交于P . 求证：2BC AP =.GABCDEFH P【变式2】【变式1】中已知条件不变，证明：PE PG =.【变式3】例题中已知条件不变，取AB 中点P ，连接CP ，求证：12CP FH =.【变式4】【例5】中已知条件不变，连接AF 、BH ，证明：AF BH ⊥，AF BH =.【变式5】例题中已知条件不变，分别取三个正方形ABMN ，ACHK ，BCFE 的中心1O 、2O 、3O .证明：123O O AO ⊥，123O O AO =.【补充】在ABC ∆的边AB 、AC 向形外作正方形ABEF 、ACGH ，BG 、CE 相交于O ．求证：AO BC ⊥．DN O M GHEFCBA【例11】 (山东省数学竞赛试题) 如图所示，分别以ABC ∆的边AC 、BC 为一边，在ABC ∆外作正方形ACDE和CBFG ，点P 是EF 的中点.求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半.【补充】在ABC ∆的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ，则MQ QN ⊥．NMQGFCBDEA【例12】 (2004年全国数学联合竞赛C 卷试题) 如图所示，梯形ABCD 中，//AD BC ，分别以两腰AB 、CD为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，连接EF ，设线段EF 的中点为M ，求证MA MD =.M HGFEDBA【例13】 如图所示，在ABC ∆每一条边上分别向形外作正方形AGFC ，正方形BCED 和正方形ABKH .连接EF 、HG 、DK ，CM 是ABC ∆的中线.求证：2EF CM =.KM HC BAEFD G【例14】 如图，在三角形ABC 的三边向外作正方形，三个正方形的中心分别是1O ,2O ,3O ,求证：13O O 和2O B 相等且垂直.O 3O 2O 1CBA【补充】在凸四边形ABCD 的边上向形外分别作正方形，四个正方形的中心依次是1O ,2O ,3O ,4O ．求证：13O O 与24O O 垂直且相等．【备选1】 （2009年湘西自治州）在下列命题中，是真命题的是（ ）A ．两条对角线相等的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【备选2】 （“五羊杯”初三竞赛题）如图，正方形ABCD 的边长为2，从各边分别向外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 （ ）A. 42622+B. 22622+课后作业EC. 42342++D. 22342++【备选3】 （2008年佛山市改编）如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件． ⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCB A【备选4】 （2009山东淄博）如图，在矩形ABCD 中，20cm BC =，P ，Q ，M ，N 分别从A 、B 、C 、D 出发沿AD BC CB DA ，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若()cm 0BQ x x =≠，2cm AP x =，3cm CM x =，2cm DN x =．⑴ 当x 为何值时，以PQ MN ，为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形⑵ 当x 为何值时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形；⑶ 以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．ABDCPQMN月测备选。
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新初中数学四边形综合练习一、选择题1．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】【分析】 首先根据矩形的特点，可以得到S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ，最终得到S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,即可得S △PEB =S △PFD ，从而得到阴影的面积．【详解】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN∴S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,又∵S △PBE = 12S 矩形EBNP ，S △PFD =12S 矩形MPFD ， ∴S △DFP =S △PBE =12×2×8=8， ∴S 阴=8+8=16，故选C ．【点睛】 本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．2．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC .若4AB =,6AC =，则BD 的长为（ ）A．11B．10C．9D．8【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理先求出BO的长，再根据平行四边形的性质即可求解.【详解】∵6AC=，∴AO=3，∵AB⊥AC，∴BO=2234+=5∴BD=2BO=10，故选B.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用.3．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10 B．20 C．40 D．48【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴22169AO BO++，∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.4．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】 根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,<Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（ ）A．29 B ．34 C．52 D ．41【答案】D【解析】 解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =22AB AE + =2254+=41，即PA +PB 的最小值为41．故选D ．6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且AE=BF=1，CE 、DF 交于点O ，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE ，③CE=DF ，④tan ∠OCD=43，⑤S △DOC =S 四边形EOFB 中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】 分析：由正方形ABCD 的边长为4，AE =BF =1，利用SAS 易证得△EBC ≌△FCD ，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC =90°正确，③CE =D F 正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD =∠DFC ，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD 的边长为4，∴BC =CD =4，∠B =∠DCF =90°．∵AE =BF =1，∴BE =CF =4﹣1=3．在△EBC 和△FCD 中，BC CD B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC ≌△FCD （SAS ），∴∠CFD =∠BEC ，CE =DF ，故③正确，∴∠BCE +∠BEC =∠BCE +∠CFD =90°，∴∠DOC =90°；故①正确；连接DE ，如图所示，若OC =OE ．∵DF ⊥EC ，∴CD =DE ．∵CD =AD ＜DE （矛盾），故②错误；∵∠OCD +∠CDF =90°，∠CDF +∠DFC =90°，∴∠OCD =∠DFC ，∴tan ∠OCD =tan ∠DFC =DC FC =43，故④正确； ∵△EBC ≌△FCD ，∴S △EBC =S △FCD ，∴S △EBC ﹣S △FOC =S △FCD ﹣S △FOC ，即S △ODC =S 四边形BEOF ．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．故选D ．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．7．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=38432⨯=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．8．如图，正方形ABDC 中，AB ＝6，E 在CD 上，DE ＝2，将△ADE 沿AE 折叠至△AFE ，延长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG＝CG，故②正确；又BG＝CG，∴1802FGC FCG-∠∠=o又∵Rt△ABG≌Rt△AFG∴1802FGC AGB-∠∠=o∴∠FCG=∠AGB∴AG∥CF，故③正确；过点F作FM⊥CE，∴FM∥CG∴△EFM∽△EGC∴FM EFGC EG=即235FM=解得65 FM=∴S∆FCG＝116344 3.6225ECG ECFS S-=⨯⨯-⨯⨯=V V，故④错误正确的共3个故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】试题分析：设CH ＝x ， 因为BE ：EC ＝2：1，BC ＝9，所以，EC ＝3， 由折叠知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x ＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10．下列说法中正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.11．下列结论正确的是（ ）A ．平行四边形是轴对称图形B ．平行四边形的对角线相等C ．平行四边形的对边平行且相等D ．平行四边形的对角互补，邻角相等【答案】C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A错误；B、平行四边形的对角线不相等，故B错误；C、平行四边形的对边平行且相等，故C正确；D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D错误．故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键．∆绕点A顺时针旋转90︒到12．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE∆的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）ABFA．4 B．5C．6 D．26【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【详解】Q绕点A顺时针旋转90︒到ABFADE∆∆的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴==AD DC25Q，DE=2∴∆中，2226Rt ADEAE AD DE=+=故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．13．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A ．∠ADE=20°B ．∠ADE=30°C ．∠ADE=12∠ADCD ．∠ADE=13∠ADC 【答案】D【解析】【分析】【详解】 设∠ADE=x ，∠ADC=y ，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y =，即∠ADE=13∠ADC ． 故答案选D ．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．14．已知ABCD Y (AB BC >)，用尺规在ABCD 内作菱形，下列作法错误的是( )A ．如图1所示，作对角线AC 的垂直平分线EF ，则四边形AECF 为所求B ．如图2所示，在AB DC ，上截取AE AD DF DA ==，，则四边形AEFD 为所求 C ．如图3所示，作ADC ABC ∠∠、的平分线DE BF ，，则四边形DEBF 为所求 D ．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA ∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF 为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、根据线段的垂直平分线的性质可知AB＝AD，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．16．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是（）A．100°B．160°C．80°D．60°【答案】D【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠B=180°，求得∠A的度数，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，如图，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝240°，∴∠A＝120°，∴∠B＝180°﹣∠A＝60°．故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．17．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A．∠BCA＝45°B．AC＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．19．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．20．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( ) A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC, OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．。