4.5 指派问题
指派问题的解法
指派问题的解法总结问题引入：在工作的时候，常常需要对一些人进行工作安排，由于某些条件的限制，每个人只能进行一种工作，怎么安排才能使得总工作时间最小。
我们把这一类问题称为指派问题。
在这里，我只对人和工作刚好一对一的指派问题的解法进行总结，而对于不是一对一的，则可以通过文献1中的一些方法进行变换。
目前问题解法的总结。
1：最广泛应用的解法：匈牙利算法。
算法简介：库恩（fW．W．Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法．他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数。
这个解法称为匈牙利解法。
匈牙利算法虽是运用最广泛的算法，但其操作过程却过于复杂。
在划0的时候也不方便记忆，对于初学者来说掌握不便。
于是国内很多学者对指派问题给出了几个较简单，方便易记的算法。
2：指派问题新解法——目标值子矩阵法。
算法描述：任取变量矩阵X某一行中的最小元素，为该行元素目标值的最优解(但不一定是系统目标函数的最优解)，应该是系统目标函数满意解中的一个元素，记作a11 划去a11 所在的行和列，取剩下的子矩阵中某一行的最小元素，记作a22。
依次类推，直到最后一个元素a nn．这些元素相加得系统目标函数的一个满意解，此为一次运算．第二次运算取变量矩阵X中含a 以外的任一行，做与上面相同运算，又可以得到系统的第二个满意解．相同地，对于n行做n次运算，共得到系统的n个满意解，系统的最优解即应该是这 n个满意解当中的最小值．若第i的最小元素在前面以被取用过，则在进行第i的运算时，不选取该元素，取该行中未被选用过的元素中最小的一个进行运算。
算法分析：相对于匈牙利算法，此算法简单，方便操作。
但不能给出所有最优解，得出的最优解唯一，若要给出全部最优解，则算法的次数将大大增加。
当矩阵维数较大的时候，可以对矩阵进行划分，以更快计算。
算法举例：对于变量矩阵x；3：递归思想在指派问题中的运用算法描述：对目标函数的解，等于min{a1+A1，a2+A2,a3+A3，…..a n+An}；其中a i为第一行中的第i个元素，A i为除去第i个元素所在行和列的子矩阵。
第四章 常用生产系统模型
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定义如下决策变量：
MinZ cij xij
i j
（4-1）
xij 1 i V j i xij 1 j V i j s.t. xij | S | 1 S V i , jS x {0,1} i, j V ij
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（3）r-Opt算法 r-Opt算法一般是对构造算法和插入算法产生的线路进行改 进的算法。主要用于对称型旅行商问题的求解。核心思想是 对给定的初始回路，每次通过交换r条边来改进当前的解。 通常，r增大可以使改进的结果更优秀。但是，通过大量的 仿真实验，发现3-Opt比2-Opt好，但是4-Opt和5-Opt却并不 比3-Opt优秀，但计算量却增大很多。
4.2.2 背包问题的模型和分类
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1.背包问题的模型 背包问题可以描述为：有n物品，一个最大承受重量为C的 背包，每件物品的价值是 p j ( j 1,2, , n)。物品的重量是 wj ( j 1,2, , n) 。要求在不超过背包最大承受重量的前提下，使装载的物品 总价值最高。数学模型如下： n （4-3） max z px
第四章 常用的生产系统模型
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
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TSP问题模型
背包问题模型 指派问题模型 切割与布局问题模型 车辆路径问题模型 生产调度问题模型
项目调度问题模型
思考与练习题
4.1 TSP问题模型
4.1.1 TSP问题概述
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旅行商问题（ Traveling Salesman Problem ， TSP ）又 称旅行推销员问题、货郎担问题，简称 TSP 问题，是最基本 的组合优化问题。该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，
指派问题
-2 -4 -9 -7
0 13 11 6 0 10 0 5 7 0 1 4
-4
2 11 4 2
-2
x14 1, x22 1, x31 1, x43 1
其余全为0。
步骤2：用圈0法确定 C1 中的独立0元素。若独立零元素个 素有n个，则已得最优解。若 独立零元素的个数 < n, 则转
min Z 4x11 8x12 10x54 6x55
5 xij 1 i 1,2, 5 j5 1 s.t. xij 1 j 1,2, 5 i 1 xij 0 或1
B1
B2
B3
B4
B5
C
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
入步骤3。
在只有一个0元素的行（或列）加圈，表示此人只能做该事
（或此事只能由该人来做），每圈一个“0”，同时把位于同 列（或同行）的其他零元素划去。表示此时已不能再由他
人来做（或此人已不能做其它事）。如此反复，直到矩阵
中所有零元素都被圈去或划去为至。
在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中
注：指派问题是一种特殊的LP问题，是一种特殊的运输问题。 下用目前认为最简洁的方法—匈牙利法求解 (The Hungarian
Method of Assignment )。
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成
营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
公司 Ai (i 1,2,,5) 对新商店 B j ( j 1,2,,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j 1,2,,5) ，见下矩阵。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
第4章整数规划——指派问题
4 指派问题
解： 可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称 为独立零元素； ｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也 是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素 组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线， 即得到覆盖当前0元素的最少直线数。 第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小 元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个 数，返回第二步。 【例5】 求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不 指 派 Ai 承 建 商 店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指 派 Ai 承 建 商 店 B j
指派问题的求解方法
指派问题的求解方法嘿，咱今儿就来聊聊指派问题的求解方法。
你说这指派问题啊，就好像是给一群小伙伴分任务，得让每个人都能分到最合适的事儿，这可不容易嘞！咱先来说说啥是指派问题。
就好比有一堆工作，有几个人可以去做，每个人对不同工作的效率或者效果不一样。
那咱就得想办法，怎么把这些工作分配给这些人，才能让总的效果达到最好呀。
那咋求解呢？有一种方法叫匈牙利算法。
这就好比是一把神奇的钥匙，能打开指派问题的大门。
咱就把那些工作和人当成一个个小格子，通过一些计算和摆弄，找到最合适的搭配。
你想想啊，如果随便分，那可能就浪费了某些人的特长，或者让一些工作没被最合适的人去做，那不就亏大啦？用了这个匈牙利算法，就能一点点地把最合适的工作和人配对起来。
就像你去拼图，得找到每一块的正确位置，才能拼成一幅完整漂亮的图。
这匈牙利算法就是帮咱找到那些正确位置的好帮手呀！它能让那些工作和人都找到自己的“最佳搭档”。
还有啊，咱在生活中也经常会遇到类似的指派问题呢。
比如说，家里要打扫卫生，每个人擅长打扫的地方不一样，那怎么分配任务才能又快又好地打扫完呢？这不就是个小小的指派问题嘛。
或者说在公司里，有几个项目要分给不同的团队，哪个团队最适合哪个项目，这也得好好琢磨琢磨，才能让项目都顺利完成，取得好成果呀。
总之呢，指派问题的求解方法可重要啦，就像我们走路需要一双好鞋一样。
掌握了这些方法，咱就能在面对各种指派问题的时候，不慌不忙，轻松应对，找到那个最优解。
你说是不是很厉害呀？所以啊，可别小瞧了这指派问题的求解方法哦，说不定啥时候就能派上大用场呢！。
指派问题详解
第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配， 所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)， 对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖， 定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。
指派问题
4个人5个任务指派问题建模
4个人5个任务指派问题建模（最新版）目录1.问题背景和需求2.解决方案：4 个人 5 个任务的指派问题建模3.建模方法和步骤4.结果分析和优化5.总结和展望正文1.问题背景和需求在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要对人员和任务进行合理分配的问题。
例如，一个团队有 4 名成员，需要完成 5 个任务，如何合理地分配任务，使得任务能够高效地完成，同时又能保证团队成员的能力和兴趣得到充分发挥？为了解决这个问题，我们需要对任务分配问题进行建模。
2.解决方案：4 个人 5 个任务的指派问题建模针对这个问题，我们可以采用组合优化的方法进行建模。
具体来说，我们可以将任务分配问题转化为一个 0-1 整数线性规划问题，用数学模型来描述这个问题，并求解最优解。
这里，我们用 xij 表示第 i 个任务是否分配给第 j 个成员（如果分配，则 xij=1；否则，xij=0）。
3.建模方法和步骤（1）定义决策变量：xij（i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）（2）目标函数：最小化总时间，即∑(ti*xiyj)，其中 ti 表示第 i 个任务需要的时间。
（3）约束条件：a.每个任务只能分配给一个成员，即∑xij=1，i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4。
b.每个成员最多分配一个任务，即∑xij<=4，i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4。
c.总时间不能超过 24 小时，即∑(ti*xiyj)<=24。
（4）求解问题：通过线性规划算法求解上述问题的最优解，得到每个任务的最优分配方案。
4.结果分析和优化根据求解结果，我们可以得到每个任务的最优分配方案，以及对应的总时间。
如果总时间超过 24 小时，我们可以通过调整任务分配方案来优化结果。
例如，可以重新分配一些任务，使得某些成员承担更多的任务，或者调整任务的时间估计。
5.总结和展望通过以上建模方法，我们可以有效地解决 4 个人 5 个任务的指派问题。
第4章 线性整数规划_指派问题
由此可见，最优分配方案所对应的原效应矩阵中元素值之 和，等于进行变换过程中行和列所加减数字的代数和(加为 负，减为正) 。此例中目标函数S的最小值即为：
n
n
n
S ui v j
i 1 j 1
n
n
由于上式后面两项均为常数，且指派问题的约束条件与效 率矩阵无关，故由 [ c ij ] 确定的指派问题与 [ c ij ] 的指派问 题有相同的最优解。证毕。
14
匈牙利法
该定理是对指派问题进行同解变换的依据。 定理 3：若矩阵 A 的元素可分成 0与非 0 两部分，则覆盖 0元 素的最少直线数等于位于不同行、不同列的 0元素 的最大个数。 所谓用直线覆盖是指用一条横线划去矩阵的一行元素或用 一条竖线划去一列元素，划去的元素就称为被覆盖。这个 定理实际上回答了这样一个问题：至少要多少条直线(横线 和竖线)才能覆盖矩阵A中的所有0元素?
0 8 7 5 11 0 10 4 2 3 5 0 0 11 9 5
0 8 11 0 2 3 0 11 2 5 5 4 0 0 4 5
S1+S2＝21+5＝26
19
匈牙利法
(2) 第二步：为了给每个教师分配一个任务，以实现完整的任 务分配，希望每行每列只有一个零元素，现在有的行或列 超过一个零元素，如何分配呢？这需要用检验的办法决定 取舍。 先进行行检验，如图 l 所示。碰到 每行只有一个 0 元素的先打△，有 两个 0 元素不作记号，例如第一行 只有一个0，就在0处打△，这就表 示把第一门课 ( 微积分 )分配给教师 Al ，因此，对第一列其它的 0 元素 打×；同理第二行打一个△；第三 行有两个0，不作记号。
0 13 4 0
指派问题及实现代码示例
a
i 1 j 1
n
n
ij
xij （工时）
xij 1(每人做一件事) jn 1 s.t. xij 1(每事由一人做) i 1 （ xij 只取0或者1 i , j 1 n）
二. 定理
1.从效率矩阵（aij）n 每一行（或列）加一个常数ui (v j )， n 所得的新的矩阵（bij）n的最优指派与原矩阵的最优指 n 派相同。
2 ） 在没有红圈的右下角如果有 0 11 8 0 3 5 0 4 0 0 零，一定是新的独立零元素 3 4 0 0 2 7 7 3 0 1 3 2 1 0 2 3 ） 用直线覆盖红圈所在行
0 11 8 0 3 5 0 4 0 0 3 4 0 0 2 7 7 3 0 1 3 2 1 0 2
• •
(4) 重复 (2), (3), 直到无勾可打为止. (5) 对没有打勾的行画一横线, 对打勾的列画 一竖线. • 这样剩下没有画线的元素中没有零元素. •
第三步：加0元
• 求出其中的最小元素. 各行都减去这个最小 元素（同一个数）, 这时在已被划横线的元 素中的零元素变成负元素, 在它们所在的列 中加上这个最小元素. 还不够所需0元，转 步骤2.
两个简便的方法
• 1.先列后行 • 2.max-min（不是很严谨） • 只是对匈牙利方法不能直接给出解答的带 来方便。 • （1）行最小 • （2）最小元中的最大先指派，划去行列 • （3）重复
• 关于指派问题还有很多内容，限于水平、 时间等就不多掰了
Matlab 线性规划的解法
• 在用矩阵求解方程组时，不一定要确切的数值代入， Matlab中可以用字母来表示。 • 比如：计算行列式：
4.5 指派问题
23
OR:SM
五、非标准指派问题
工作
例：现有4份工作，6个人应聘，由
1 2 3 4 56
人
于个人的技术专长不同，他们承担
1 12 7 9 7 0 0
各项工作所需时间如下表所示，且
2 7 17 12 14 0 0
规定每人只能做一项工作，每一项
3 15 14 6 6 0 0
工作只能由一个人承担，试求使总
75 50 150 230 50 25 0 100 180
65 70 170 250 65 0 5 105 185
82 55 200 280 55 27 0 145 225
然后找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有：
0 11 122 202 0 11 22 22
25
0
100
180
25
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第四章 整数规划
内S容ub提ti要tle
问题背景与数学描述
一般
的ILP
分枝定界法 原理
求解 割平面法
步骤
整数
规划 特殊的ILP
0-1规划 指派问题
进一步讨论
建模 求解 特点分析
整数规划应用
今天要研究 的内容？
2
2013-5-29
2
引例1：趣味问题
( 0) 6 17 17
30 ×0 ( 0) ×0
×0 ×0 ×0 (0)
32
( 0)
45
45
(0 ) 6 17 17
或 30 ×0 ×0 (0)
×0 ×0 (0) ×0
32
( 0)
45
45
指派问题
13 0 5 1
7 6 3 0
0 9 ( b ij ) 2 0
第二步： 进行试指派，以寻求最优解。为此，按以 下步骤进行。 经第一步变换后，系数矩阵中每行每 列都已有了0元素；但需找出n个独立的0 元素。若能找出，就以这些独立0元素对 应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0， 这就得到最优解。当n较小时，可用观察 法、试探法去找出n个独立0元素。若n较 大时，就必须按一定的步骤去找，常用 的步骤为：
•减数得零—求初始匹配 •圈零划线—查是否最大匹配 •找数调整—求新的最优匹配 运筹学
指派问题的解法
第一步： 使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中 都出现0元素。 (1) 从系数矩阵每行元素减去该行的最小元素； (2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列 的最小元素。 若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。
④
7 4 0 11 0
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
0 0 5 0 4
2 0 0 4 3
运筹学
已具有n个独立0元素。这 就得到了最优解，相应的解 矩阵为： 由解矩阵得最优指派方案 甲—B，乙—D，丙—E，丁—C，戊—A
0 0 0 0 1
想想看！
运筹学
指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及 一系列完成任务的被指派者（assignees）， 所需要解决的问题就是要确定出哪一个人 被指派进行哪一项任务，使总的效率最高？
运筹学
指派问题的假设
被指派者的数量和任务的数量是相同的 每一个被指派者只完成一项任务 每一项任务只能由一个被指派者来完成
表1
任 人员 甲 乙 丙 丁 务
4.5 指派问题
4.5 指派问题有n项任务要分给n个人去完成，每人完成一项.由于任务的性质以及个人的专长不同，因此，各人完成不同任务的效率就有差别，如何分配这些工作任务，使总的效率最高？这类问题称为指派问题.在现实生活中，诸如若干项合同要选择若干个投标者来承包，若干班级要安排在各教室上课等等均属于这类指派问题.如果我们记x ij= 1,当指派第i人做第j项工作；0,不指派第i人做第j项工作.那么指派问题的数学模型可以表示为在x ij=0或1，以及x ij=1（j=1,2,…n）, ∑x ij=1(i=1,2,…n)的约束条件下求目标函数z=∑∑c ij x ij的最大（或最小）值，其中c ij表示第i个人完成第j项任务的效率（或成本、时间、费用等）.可以看出，指派问题是特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题，因此，它可以用多种方法来解.[案例13]附表给出五位工人完成五种工作所能取得的效益，试求出分配该五位工人分别担任一项工作的方案，使取得的效益最大.（上海市第五届中学生数学知识应用竞赛决赛试题五）分析（1）按题目要求，应选取表中的不同行、不同列的五个数据，还要求选取的这五个数的和最大，如果逐一验算,需考5!=120种方案.实际上,这是一个典型的“指派问题”。
(2)要求目标函数最大.为此,可将表中最大的一个数减去表中每一个数,由此可将最大化问题化归为最小化问题.表1表2解 (l) 将表中最大数80减去表中每一个数得表1.(2) 每列减去本列的最小数,并在有0的位置上考虑安排工作,得表2.(3) 第3、4行未满足,减去本行中最小数,得表3.(4) 由于第四列己满足,故将第1、3行减1,第四列加1.此时(3,1)格为0,但(5,1)格已安排工作,注意到(5,5)为0,故可作简单调整得表4.表3表4（5）现在只有第4行未满足,减去本行最小数得表5.表5至此,我们已得到问题的解: x14=1, x22=1, x31=1, x43=1, x55=1,即分配工人A做第4、B做第2、C做第1、D 做第3、E做第5件工作,可以取得最大效益为17＋50十18十28＋80=193.[案例14]某商业公司计划开办五家新商店,为了尽早建成营业,商业公司决定由5家建筑公司分别承建已知建筑公司A i(i=1,2,…5)对新商店B j(j=1,2,…，5)的建造费用的报价(万元)为c ij(i,j=1,2.…，5)，见下表.试问商业公司应当对这5家建筑公司怎样分配建造任务,才能使总的建造费用最少?解这是最小化指派问题,可直接利用表上作业法进行操作，见表1-3.最优方案为:让A1承建B3,A2承建B2,A3承建B1,A4承建B4,A5承建B5,此时能使总的建造费用最少,为7＋9＋6＋6＋6=34万元表1表2说明将表1第2、3行减去本行最小数后，（2，2）格为0，与（4，2）格冲突，但（4，4）格为0，于是调整为（2，2）、（4，4）安排任务，（4，2）不做安排，这就得到了表2.表2到表3也使用了这种微调的技巧.表3。
《指派问题》课件
指派问题的扩展研究
多目标指派问题
应用场景：生产调度、资源 分配等
解决方法：线性规划、启发 式算法等
定义：指派问题在多个目标 下的扩展
挑战：如何在多个目标之间 找到最优解
动态指派问题
动态指派问题的定 义
动态指派问题的应 用场景
动态指派问题的求 解方法
动态指派问题的优 化策略
大规模指派问题
问题定义：大规模 指派问题是指在给 定一组任务和一组 资源，如何将任务 分配给资源，使得 总成本最小化或总 收益最大化。
混合算法
混合算法的概念： 将多种算法进行 组合，以获得更 好的优化效果
混合算法的优点： 能够充分利用各 种算法的优点， 提高优化效果
混合算法的应用： 在指派问题中， 混合算法可以结 合多种算法，如 遗传算法、模拟 退火算法等，以 提高优化效果
混合算法的挑战： 如何合理选择和 组合各种算法， 以获得最佳的优 化效果
应用场景：大规 模指派问题广泛 应用于物流、供 应链、生产调度 等领域。
研究方法：大规 模指派问题的研 究方法包括启发 式算法、遗传算 法、神经网络等。
挑战与展望：大规 模指派问题的挑战 在于如何设计高效 的算法，以及如何 解决大规模问题中 的优化问题。未来 的研究方向包括分 布式计算、并行计 算等。
禁忌搜索法：在搜索过程中引入禁忌表，避免重复搜索已搜索过的解
元启发式方法
基本概念：元启发式 方法，也称为元启发 式算法，是一种基于 启发式策略的优化方 法。
特点：元启发式方 法具有自适应性、 鲁棒性和易于实现 等特点。
应用：元启发式方法 在指派问题、路径规 划、调度等问题中都 有广泛的应用。
实例：遗传算法、模 拟退火算法、蚁群算 法等都是元启发式方 法的典型代表。
指派问题求解方法
指派问题求解方法
指派问题的求解方法主要包括以下步骤：
1. 建立效率矩阵：对于n个任务和n个执行任务的人，建立一个nn的效率矩阵，矩阵中的元素表示第i个人完成第j项任务时的效率或所需时间、成本等。
2. 对效率矩阵进行归一化处理：通过行归约和列归约，使效率矩阵中每行每列都出现0元素。
行归约是指找出每行的最小元素，分别从每行中减去这个最小元素；列归约是指找出每列的最小元素，分别从每列中减去这个最小元素。
3. 指派任务：从归一化后的效率矩阵中找出独立的零元素，即每行每列各有一个元素为0。
将任务指派给这些独立零元素所在的行或列中对应的人。
若某行（列）中只有一个零元素，对该零元素标1，表示这个任务就指派给某人做。
每标一个1，同时将该零元素同列的其他零元素标为2，表示此任务已不能由其他人来做。
如此反复进行，直到系数矩阵中所有的零元素都已经被标为1或者2为止。
4. 确定最优解：将0（1）所在位置记为1，其余位置记为0，则获得了该问题的最优解。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
指派问题
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
5 2
3 10 8
2 0 5 0
0 0 7 0
2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
5 2
3 10 8
2 0 5 0
Ø
0 7 0
2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
对没有打行画横线，有打列 画纵线，就得到覆盖所有0元素的 最少直线数。
的个数m=4,而n=5, m<n，转下一步。
第四步：在没有被直线覆 盖的部分中找出最小元素， 然后在打行各元素都减 去这最小元素，而在打 列中各元素都加上这最小 元素，以保证原来0元素 不变，这样得到新的系数 矩阵（它的最优解和原问 题相同）。若得到n个独 立的0元素，则已经得到 最优解。否则回到第三步 重复进行。
5 2
3 10 8
2 0 5 0
Ø
0 7 0
2
2 4
9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
5 2
3 10 8
2
Ø Ø
7 0
2
Ø
5 0
2 4
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
5 2
3 10 8
2
Ø Ø
《指派问题》课件
什么是指派问题
指派问题是一种在实际生活和工作中常见的问题，涉及到任务分配和资源调 度。考虑如何最优地分配任务或者资源，以达到特定的目标。
指派问题的应用场景
工作管理
有效分配工作任务，提高团队效率。
比较与总结
不同算法之间有各自的特点，选择合适的解决方法需要考虑问题的性质和目 标。解决指派问题时，我们需要根据具体情况选择最合适的算法。
总结
指派问题是一个具有挑战性的问题，并且有广泛的应用领域。算法在解决指 派问题的应用和发展中发挥着重要的作用。展望未来，我们期待能够进一步 提升算法在指派问题中的性能和效果。
暴力搜索是一种穷举所有可能解的方法，通过对比所有解决方案，选择最优 解。尽管时间复杂度较高，但可以保证找到最优解。
贪心算法
贪心算法是一种根据当前情况选择最优解的方法，不考虑未来可能出现的情 况。它的时间复杂度相对较低，但可能无法达到最优解。
分支界定算法
分支界定算法通过限制搜索空间来快速找到最优解。它可以大大减少搜索时间，但仍需权衡精确 度与效率。
运输调度
合理安排运输车辆和货物，降低成本，提高效率。
任务分配
根据工作需求分派任务给不同的人员，确保工作顺利完成。
指派问题的解决方法
暴力搜索
尝试所有可能的解决方案， 选择最优解。
贪心算法
根据当前情况，选择当前最 优解，不考虑未来可能出现 的情况。
分支界定算法
通过限制搜索空间，快速找 到最优解。
暴力搜索
指派问题(含非标准指派问题)
第五章 整数规划§1 整数规划的数学模型及特点要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。
其模型为：Max(或min)z=∑=nj jj xc 1s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=nj nj i ij ij xx x n j x m i b x a ,,,2,10,2,1),(211若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。
§5 指 派 问 题 一． 指派问题的标准形式及数学模型在现实生活中，有各种性质的指派问题。
例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。
诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。
由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。
指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人作第j 件事的费用为),2,1,(n j i c ij =，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n 件事的总费用最少。
为了建立标准指派问题的数学模型，引入2n 个0-1变量：⎩⎨⎧=10ij x这样，问题的数学模型可写成 ∑∑===ni nj ij ijx cz 11min （5.1）s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======∑∑==n j i x n i x n j x ij n j ij ni ij ,2,1,1,0,2,11,2,1111 （5.3）其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。
注：○1 指派问题是产量（i a ）、销量（j b ）相等，且i a =j b =1，i ，j=1,2,…n 的运输中部分或全部取整数 若指派第i 人作第j 件事若不指派第i 人作第j 事i ，j=1,2,…n（5.2）（5.4）问题。
○2 有时也称ijc 为第i 个人完成第j 件工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。
指派问题
0
0 8 3 5 0
11 8
0
0
4
0 4 1 4 3
7 0 2 0 2
4
3
0
0
0
0 8 3 5 0
11 8
0
0
4
0 4 1 4 3
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
解为： 0 0 0 0 1
0
0
0
1
0
1 0 0 0 0
指派问题 assignment problem
【例3】某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个 工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示．求最优生产配置方 案．
匈牙利法的条件是：问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负
匈牙利算法的步骤：
第一步：变换系数矩阵，使其每行每列都出现0元素。 首先每行减去该行最小数，再每列减去该列最小数。
2 15 13 4 -2
cij
10 9
4 14
14 16
15 13
-4 -9
7
8
11
9
-7
0 13 11 2
6 0 10 11
mm
min(max)Z
cij xij
i1 j1
m
xij
1
j1
m
xij
1
i1
xij
0或1
i 1,, m
j 1,, m i, j 1,m
分配模型的标准形
如果一个分配模型满足以下三个条件： 1)目标要求为min 2)系数矩阵(cij)为n阶方阵 3)系数矩阵中所有元素cij≥0,且为常数
④重复②、 ③，直到得不出新的打√号的行、列为止。
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i1
xij＝0或1(i，j 1,2, , n)
OR:SM
一、指派问题及其数学模型
例1：某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个工厂的单
位产品成本（元/件）如表所示．求最优生产配置方案
工厂/产品
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4
产品1 58 75 65 82
产品2 69 50 70 55
HOORM:SME
课堂练习：求解下列指派问题
练习1：
7 9 10 12 13 12 16 17 15 16 14 15 11 12 15 16
18
算 法 ： step1 ： 矩 阵 变 换 ； setp2 ： 画 线 检 验 ； step3 ： 方 案 调 整 ； step4：最优指派！
为 了 建 立 数 学模型，引
入0-1变量xij：
1
i做j
xij
0 i不做j
8
于是，指派问题的数学模型 可写成：
nm
MinZ
cij x一ij个人只能做
j 1 i1
一件事
n
xij 1
j 1
一件事只能由 一个人来做
m
s.t xij 1
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第四章 整数规划
内S容ub提ti要tle
问题背景与数学描述
一般
的ILP
分枝定界法 原理
求解 割平面法
步骤
整数
规划 特殊的ILP
0-1规划 指派问题
进一步讨论
建模 求解 特点分析
整数规划应用
今天要研究 的内容？
2
2013-5-29
甲 85 92 73 90
乙 C＝
95
87
78
95
丙 82 83 79 90
丁 86 90 80 88
21
OR:SM
五、非标准指派问题
解: M＝95，令
C (95 c ) ij
10 3 22 5
C
＝
0
8 17 0
13 12 16 5
9 5 15 7
练习1参考答案
7 9 10 12 13 12 16 17 15 16 14 15 11 12 15 16
48
OR:SM
课堂练习：求解下列指派问题
练习2：
3 8 2 10 3
8
7
29
7
6 4 2 7 5
8 4 2 3 5
9
10
6
75 50 150 230 50 25 0 100 180
65 70 170 250 65 0 5 105 185
82 55 200 280 55 27 0 145 225
然后找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有：
0 11 122 202 0 11 22 22
11
OR:SM
指派 问题
算法流程
1、行、列变换
矩阵变换
4、行或列零最少
画线检验
是 最优指派
循
2、直线数=n？
环
否
结束
方案调整
3、找、减、加、不变
12
返回目录
OR:SM
四、指派问题求解举例
【例1】某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个工 厂的单位产品成本（元/件）如表所示，求最优生产配置方案。
1、说出什么是指派问题 2、讲清对其求解的原理
1、写出指派问题的数学模型 2、画出求指派问题的算法图
1、算出指派问题的最优解 2、对非标准指派问题转换
OR:SM
一、指派问题及其数学模型
设有n项任务需要m个人来完成，规定一项任务只能由一个人完成，一个人只能完 成一项任务；由于每个人的专长不同，每个人完成各项任务的效率（可以是时间，成 本，费用等）不同，应指派哪个人完成哪些任务，使m个人完成n项任务总的效率最高 （所需总时间最少，所需成本最少、所需费用最低）这类问题称为指派问题。
6
5
4
7
10 13 16 17
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
0 0 0 0
23
OR:SM
五、非标准指派问题
工作
例：现有4份工作，6个人应聘，由
1 2 3 4 56
人
于个人的技术专长不同，他们承担
1 12 7 9 7 0 0
各项工作所需时间如下表所示，且
解最优。 返回目录
OR:SM
三、匈牙利法的求解步骤
第一步
第二步
第三步
第四步
矩阵变换 画线检验 方案调整 分派任务
进 行 行 列 变 换 ， 用尽可能少的直
使矩阵的每行 线覆盖尽可能多
及每列至少有 的零元素。如果
一个零元素， 直线等于m，则
同时不出现负 求得最优解，转
元素。
第四步，否则转
第三步。
增加零元素数：指 派 的 原 则 是 ①未画线中找 在经过检验的 最小，②未画 矩阵中选择零 线原值减，③ 元素最少的行 交叉加， ④其 或 列 优 先 分 配 余 不 变 ， 然 后 任务。 转第二步；
9
10
返回目录
19
练习2参考答案
3 8 2 10 3
8
7
2
9
7
6 4 2 7 5
8 4 2 3 5
9
10
6
9
10
21
OR:SM
五、非标准指派问题
非标准型的指派问题：
匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。 当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法 是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求 解。
人员/评分/工作 张 王 李 赵 钱
平车 1.3 0 1.0 0 1.0
考克 0.8 1.2 0 1.05 0.9
卷边 0 1.3 0 0 0.6
绷缝 0 1.3 1.2 0.2 0
打眼 1.0 0 0 1.4 1.1
4
第五节 指派问题
模型
原理
步骤
实例
非标准型
练习
5
OR:SM
说 写 算
6
学生能力的培养
( 0) 6 17 17
30 ×0 ( 0) ×0
×0 ×0 ×0 (0)
32
( 0)
45
45
(0 ) 6 17 17
或 30 ×0 ×0 (0)
×0 ×0 (0) ×0
32
( 0)
45
45
16
OR:SM
四、指派问题求解举例
得到两个最 优解：
1
1
X (1)＝
1
，X (2)＝
1
1 1
1
1
方案一
工厂1→产品1 工厂2→产品3 工厂3→产品4 工厂4 →产品2
17
方案二
工厂1 →产品1 工厂2 →产品4 工厂3 →产品3 工厂4 →产品2
目标函数
单件产品总成 本 ： Z＝ 58 ＋ 150 ＋ 250 ＋ 55 ＝513
2
引例1：趣味问题
聘礼
女儿/追求者 D
E
F
A
3
27
1
B
5
10
4
C
26
28
7
答案之一：
C->E,B->D,A->F 贪婪法，34
3
答案之二：
A->E,B->F,C->D
匈牙利法，57
引例2：工作安排问题
现有5项工作要分给5个人去完成，每个人 完成各项工作的能力评分如下表所示，请问如 何分派，才能使得总得分最大？
产品3 180 150 170 200
产品4 260 230 250 280
一个工厂只能生产一种产品
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
30 0 0
0
0 0 0 0
32 0 45 45
OR:SM
四、指派问题求解举例
0 6 17 17
30 0 0
0
0 0 0 0
32 0 45 45
回到第二步，重新画线进行最 优性检验。通过则转第四步，否 则继续第三步。
第四步：试指派。覆盖所有零元素最少需要4条直 线，表明矩阵中存在4个不同行不同列的零元 素．容易看出4个“0”的位置：
有若干项任务 需要若干个人
来完成
7
这些问题的共同特 点是在满足特定的 指派要求的前提下， 使指派方案的总体 效果最佳。
有若干台机器需 要安装在若干个
不同的位置上
有若干个讲座 需要安排在若 干不同的教室
OR:SM
一、指派问题及其数学模型
每 个 指 派 问 题都有一个 已知的效率矩阵，其元素 cij≥0，表示第i个人完成第j 项任务的效率（如时间、 成本、费用等）
5 9 10
11
6
3
8 14 17