4.5 指派问题

产品3 180 150 170 200
产品4 260 230 250 280
一个工厂只能生产一种产品
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
9
10

返回目录
19
练习2参考答案
3 8 2 10 3

8
7
2
9
7

6 4 2 7 5


8 4 2 3 5

9
10
6
9
10

21
OR:SM
五、非标准指派问题
非标准型的指派问题：
匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。 当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法 是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求 解。
人员/评分/工作 张 王 李 赵 钱
平车 1.3 0 1.0 0 1.0
考克 0.8 1.2 0 1.05 0.9
卷边 0 1.3 0 0 0.6
绷缝 0 1.3 1.2 0.2 0
打眼 1.0 0 0 1.4 1.1
4
第五节 指派问题
模型
原理
步骤
实例
非标准型
练习
5
OR:SM
说 写 算
6
学生能力的培养
2 7 17 12 14 0 0
甲 85 92 73 90
乙 C＝
95
87
78
95
丙 82 83 79 90


丁 86 90 80 88
21
OR:SM
五、非标准指派问题
解: M＝95，令
C (95 c ) ij
10 3 22 5
C
＝
0
8 17 0
13 12 16 5


9 5 15 7
HOORM:SME
课堂练习：求解下列指派问题
练习1：
7 9 10 12 13 12 16 17 15 16 14 15 11 12 15 16
18
算 法 ： step1 ： 矩 阵 变 换 ； setp2 ： 画 线 检 验 ； step3 ： 方 案 调 整 ； step4：最优指派！
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4
产品1 58 75 65 82
产品2 69 50 70 55
产品3 180 150 170 200
产品4 260 230 250 280
13
OR:SM
四、指派问题求解举例
第一步：求机会成本矩阵：先找出效率矩阵每行的最小元素， 并分别从每行中减去最小元素，有：
min
58 69 180 260 58 0 11 122 202
解最优。 返回目录
OR:SM
三、匈牙利法的求解步骤
第一步
第二步
第三步
第四步
矩阵变换 画线检验 方案调整 分派任务
进 行 行 列 变 换 ， 用尽可能少的直
使矩阵的每行 线覆盖尽可能多
及每列至少有 的零元素。如果
一个零元素， 直线等于m，则
同时不出现负 求得最优解，转
元素。
第四步，否则转
第三步。
增加零元素数：指 派 的 原 则 是 ①未画线中找 在经过检验的 最小，②未画 矩阵中选择零 线原值减，③ 元素最少的行 交叉加， ④其 或 列 优 先 分 配 余 不 变 ， 然 后 任务。 转第二步；
10
D.Konig
1955年库恩（Kuln） 利用匈牙利数学家康 尼格（D.Konig）的关 于矩 阵中独立“ 0”元 素的定理，提出了求 解指派问题的一种方 法，习惯上称之为匈 牙利法。匈牙利法的 条件是：问题求最小 值、人数与工作数相 等及效率非负.
定理2
独立零元素定理。若 矩阵A的元素可分成 “0”与非“0”两部分， 则覆盖“0”元素的最 少直线数等于位于不 同行不同列的“0”元 素的最大个数。如果 最少直线数等于m， 则 存 在 m个 独 立 的 “0”元素，令这些零 元 素 对 应 的 xij 等 于 1 ， 其余变量等于0，这 时目标函数值最小，
25
0
100
180

25
0
0
0

0 5 105 185 0 5 5 5



27 0 145 225 27 0 45 45
14
100 180
OR:SM
四、指派问题求解举例
第二步：最优检验。用最少 的直线覆盖所有“0”，得：
0 11 22 22
25 0
0
0

0 5 5 5


27 0 45 45
第三步：方案调整。这里直线数等 于3（等于4时停止运算），要进行下 一轮计算．从矩阵未被直线覆盖的数 字中找出一个最小数k并且减去k，矩 阵中k＝5．直线相交处的元素加上k， 被直线覆盖而没有相交的元素不变， 得到左边所示矩阵。
15
0 6 17 17
11
OR:SM
指派 问题
Байду номын сангаас
算法流程
1、行、列变换
矩阵变换
4、行或列零最少
画线检验
是 最优指派
循
2、直线数=n？
环
否
结束
方案调整
3、找、减、加、不变
12
返回目录
OR:SM
四、指派问题求解举例
【例1】某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个工 厂的单位产品成本（元/件）如表所示，求最优生产配置方案。
2
引例1：趣味问题
聘礼
女儿/追求者 D
E
F
A
3
27
1
B
5
10
4
C
26
28
7
答案之一：
C->E,B->D,A->F 贪婪法，34
3
答案之二：
A->E,B->F,C->D
匈牙利法，57
引例2：工作安排问题
现有5项工作要分给5个人去完成，每个人 完成各项工作的能力评分如下表所示，请问如 何分派，才能使得总得分最大？
9
x13 x23 x33 x43 1 x14 x24 x34 x44 1
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OR:SM
二、匈牙利法的原理
定理1
矩阵变换定理。如果 从分配问题效率矩阵 [cij]的 每 一 行 元素 中 分别减去（或加上） 一个常数ui（被称为 该行的位势），从每 一列分别减去（或加 上 ） 一 个 常 数 vj ， 得 到一个新的效率矩阵 [bij] ， 其 中 bij=cij－ ui － vj,则 [bij] 的 最 优 解 等价于 [cij]的 最优解， 这里cij、bij均非负．
1、说出什么是指派问题 2、讲清对其求解的原理
1、写出指派问题的数学模型 2、画出求指派问题的算法图
1、算出指派问题的最优解 2、对非标准指派问题转换
OR:SM
一、指派问题及其数学模型
设有n项任务需要m个人来完成，规定一项任务只能由一个人完成，一个人只能完 成一项任务；由于每个人的专长不同，每个人完成各项任务的效率（可以是时间，成 本，费用等）不同，应指派哪个人完成哪些任务，使m个人完成n项任务总的效率最高 （所需总时间最少，所需成本最少、所需费用最低）这类问题称为指派问题。
为 了 建 立 数 学模型，引
入0-1变量xij：
1
i做j
xij
0 i不做j
8
于是，指派问题的数学模型 可写成：
nm
MinZ
cij x一ij个人只能做
j 1 i1
一件事
n
xij 1
j 1
一件事只能由 一个人来做
m
s.t xij 1
30 0 0
0

0 0 0 0


32 0 45 45
OR:SM
四、指派问题求解举例
0 6 17 17
30 0 0
0

0 0 0 0


32 0 45 45
回到第二步，重新画线进行最 优性检验。通过则转第四步，否 则继续第三步。
第四步：试指派。覆盖所有零元素最少需要4条直 线，表明矩阵中存在4个不同行不同列的零元 素．容易看出4个“0”的位置：
20
OR:SM
五、非标准指派问题
1. 最大化指派问题
处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。
令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和原
问题有相同的最优解。
例4.9 某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
5 9 10

11
6
3

8 14 17


6 4 5
3
2
1
5 9 10 0 0
11 6
3
0
0

8 14 17 0 0


6 4 5 0 0
3 2 1 0 0
当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
15 20 10 9
有若干项任务 需要若干个人
来完成
7
这些问题的共同特 点是在满足特定的 指派要求的前提下， 使指派方案的总体 效果最佳。
有若干台机器需 要安装在若干个
不同的位置上
有若干个讲座 需要安排在若 干不同的教室
OR:SM
一、指派问题及其数学模型
每 个 指 派 问 题都有一个 已知的效率矩阵，其元素 cij≥0，表示第i个人完成第j 项任务的效率（如时间、 成本、费用等）
( 0) 6 17 17
30 ×0 ( 0) ×0
×0 ×0 ×0 (0)
32
( 0)
45
45
(0 ) 6 17 17
或 30 ×0 ×0 (0)
×0 ×0 (0) ×0
32
( 0)
45
45
16
OR:SM
四、指派问题求解举例
得到两个最 优解：
一种产品只能由一个工厂生产
解：引入0-1变量xij ，xij =1：产品j指 派工厂i去生产，xij =0：产品j不派工 厂i去生产，则依题有：
x11 x21 x31 x41 1 x12 x22 x32 x42 1
MinZ=58x11+69x12+180x13+260x14+75x21+50x22+ 150x23+230x24+65x31+70x32+170x33+250x34+82x41 +55x42+200x43+280x44
1

1

X (1)＝

1


，X (2)＝
1

1 1


1



1

方案一
工厂1→产品1 工厂2→产品3 工厂3→产品4 工厂4 →产品2
17
方案二
工厂1 →产品1 工厂2 →产品4 工厂3 →产品3 工厂4 →产品2
目标函数
单件产品总成 本 ： Z＝ 58 ＋ 150 ＋ 250 ＋ 55 ＝513

6
5
4
7

10 13 16 17
15 20 10 9

6
5
4
7

10 13 16 17


0 0 0 0
23
OR:SM
五、非标准指派问题
工作
例：现有4份工作，6个人应聘，由
1 2 3 4 56
人
于个人的技术专长不同，他们承担
1 12 7 9 7 0 0
各项工作所需时间如下表所示，且
i1
xij＝0或1(i，j 1,2, , n)
OR:SM
一、指派问题及其数学模型
例1：某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个工厂的单
位产品成本（元/件）如表所示．求最优生产配置方案
工厂/产品
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4
产品1 58 75 65 82
产品2 69 50 70 55
75 50 150 230 50 25 0 100 180
65 70 170 250 65 0 5 105 185




82 55 200 280 55 27 0 145 225
然后找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有：
0 11 122 202 0 11 22 22
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第四章 整数规划
内S容ub提ti要tle
问题背景与数学描述
一般
的ILP
分枝定界法 原理
求解 割平面法
步骤
整数
规划 特殊的ILP
0-1规划 指派问题
进一步讨论
建模 求解 特点分析
整数规划应用
今天要研究 的内容？
2
2013-5-29
用匈牙利法求解C’，最优解为：
0 1 0 0
X ＝1
0
0
0

0 0 0 1


0 0 1 0
即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做
第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357
22
OR:SM
五、非标准指派问题
2. 不平衡的指派问题
当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如：
练习1参考答案
7 9 10 12 13 12 16 17 15 16 14 15 11 12 15 16
48
OR:SM
课堂练习：求解下列指派问题
练习2：
3 8 2 10 3

8
7
29
7

6 4 2 7 5


8 4 2 3 5

9
10
6