指派问题(含非标准指派问题)

指派问题(含非标准指派问题)

第五章 整数规划

§1 整数规划的数学模型及特点

要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。 其模型为：

Max(或min)z=∑=n

j j

j

x c 1

s.t

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=≥=≥=≤∑=n

j n

j i ij ij x

x x n

j x m i b x a ,,,2,10,2,1),(211

若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。

§5 指 派 问 题 一． 指派问题的标准形式及数学模型

在现实生活中，有各种性质的指派问题。例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的

中部分或全

标准形式。

指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人作第j 件事的费用为)

,2,1,(n j i c

ij

=，要求确定人和事之间的一一对

应的指派方案，是完成这n 件事的总费用最少。 为了建立标准指派问题的数学模型，引入2

n 个0-1变量：

⎩⎨⎧=1

ij

x

这样，问题的数学模型可写成

∑∑===n i n

j ij

ij x c z 11

min

（5.1）

s.t

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧======∑∑==n j i x n i x n j x ij n j ij n

i ij ,2,1,1,0,2,11,2,111

1

（5.3）

其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。 注：○1

指派问题是产量（i

a ）、销量（j

b ）相

等，且i

a =j

b =1，i ，j=1,2,…n 的运输问题。

○2

有时也称ij

c 为第i 个人完成第j 件工作所

若指派第i 人若不指派第i i

，（5

（5

需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。并称矩阵 C= n

n ij c ⨯)(=

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c 2122221112

11

（5.5）

为效率矩阵（或价值系数矩阵）。 并称决策变量ij

x 排成的n ×n 矩阵

X=n

n ij x

⨯)(=

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛nn n n n n x x x x x x x x x 2

1

2222111211

（5.6）

为决策变量矩阵。

(5.6)的特征是它有n 个1，其它都是0。这n 个1位于不同行、不同列。每一种情况为指派问题的一个可行解。共n!个解。 其总的费用 z =C ⊙X

这里的⊙表示两矩阵对应元素的积，然后相加。

问题是：把这n 个1放到X 的2

n 个位置的什么

地方可使耗费的总资源最少？（解最优） 例1 已知效率矩阵

C= ⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛0084765000320205

则 X

（1）=

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛01000001

1000

0010，

X （2）=

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛100000010100

0010

都是指派问题的最优解

例12/P-149：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司A i （i=1，2，…5）对新商店B j （1，2，…5）的建造费用的报价（万元）为ij

c （i ，j=1,2,…5）,见表5-9。商业

公司应当对5家建筑公司怎样分派建筑任务，才能使总的建筑费用最少？ 表5-9

ij

c B 1 B 2 B 3 B 4 B 5

A 1 4 8 7 15 12 A 2 7 9 17 14 10 A 3 6 9 12 8 7 A 4 6 7 14 6 10 A 5 6 9 12 10 6

解：这是一标准的指派问题。若设0-1变量

ij

x =⎩⎨⎧0

1

则问题的数学模型为

Min z=411

x +812

x +…+1054

x +655

x

s.t

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧======∑∑==5,2,1,1,05,2,115,2,1151

5

1 j i x i x j x ij j ij i ij

若看成运输问题，且ij

x 如上所述，则表5-9为

商店 公司 B 1

B 2 B 3 B 4 B 5 任务

A 1 （4） 11

x （8） 12

x （7） 13x （15） 14x

（12） 15

x 1

A 2 （7） 21

x (9)

22x

(17)

23x

(14) 24x

(10) 25

x

1 A 3 (6) 31x

(9) 32x

(12) 33x

(8) 34x

(7) 35

x

1 A 4 (6) 41x

(7) 42x

(14) 43x

(6) 44x

(10) 45

x

1 A 5

(6) (9) (12) (10) (6)

1

当A i 承当A i 不承i,j=