运筹学指派问题

运筹学作业

-----关于指派问题的求解算法设计

学院:计算机科学与技术学院

班级:信息与计算科学1202班

学号:1208060220

姓名:韩雪平

2014、7、3

1.问题描述与数学模型:

在现实生活中,有各种各样的指派问题。例如,有若干项工作(或者任务,事情)需要分配给若干人(或者部门,设备等)来完成;有若干项合同需要选择若干个投标者来承包;有若干条交通线(如航空线,航海线,公路线等)需要配置若干交通运输工具(如飞机,船只,汽车等)来运营;有若干班级需要安排在不同的教师里上课;等等/诸如此类问题,它们的基本要求就是来满足特定的指派要求时,使指派方案的总体效果最佳。由于指派总就是多样性的,有必要定义指派的特定问题的标准形式。

指派问题的标准形式(以人与事为例):设有n个人与n件事,已知第i个人做第j件事的费用为cij(i,j=1,2,、、、、n),求人与事之间一一对应的指派方案,使完成的这n件事的总费用最少。

一般称矩阵

c11 c12 c13 c14 (1)

c21 c22 c23 c24 (2)

c31 c32 c33 c34 (3)

C= 、、、、、

、、、、、

、、、、、

cn1 cn2 cn3 cn4……cn5

为指派问题的系数矩阵。在实际问题中,根据cij的具体意义,矩阵C可以有不同的名称,如费用矩阵,成本矩阵,时间矩阵等。系数矩阵C中,第i行各元素表示第i人做各事的费用,第j列各元素表示第j件事由各个人做的费用。

为建立标准的指派问题的数学模型,引入n^2个0-1变量

1 当指派第i人去做第i件事时

Xij=｛ (i,j=1,2,3……,n)

0 当不指派第i人去做第j件事时

然后对矩阵进行化解,当然作为可行解,矩阵中每一列都有且只有一个1,每行有且仅有一个1,以满足约束条件

2.算法思想:

标准的指派问题就是特殊的整数规划问题,也就是特殊的0—1规划问题与特殊的运输问题。因此它可以用很多相应的解法来求解。匈牙利解法的依据就是指派问题的最优解的一下性质:设指派问题的系数矩阵C=(cij)n*n、若将C的一行或列分别减去一个常数K,则得到一个新的矩阵C'=(c'ij)n*n,那么C’为系数矩阵的指派问题与以C为系数矩阵的原指派问题有相同的最优解。

虽然不要求指派问题系数矩阵中无负元素,但就是匈牙利解法求解指派问题时,为了从已变换后的系数矩阵中判别能否得到最优指派方案,要求此时的矩阵中无负元素因为只有这样,才能使用总费用为零这一特征来判断指派问题就是否为最优方案。

3、算法流程或步骤:

步骤1 变换系数矩阵,使各行与各列皆出现零元素。

如各行各列分别减去本行及本列最小元素,这样可以保证每行及每列都有零元素,同时也避免出现负元素。

步骤2 求能覆盖所有零元素的最少数目的直线集合。若直线数等于n,则可得出最优解。否则,转步骤3。

步骤3 变换系数矩阵,使未被直线覆盖的元素中出现零元素。回到步骤2。

4、算法源程序:

/*设计算法用匈牙利法求解指派问题:

比如:

4 8 7 1

5 12

7 9 17 14 10

C= 6 9 12 8 7

6 7 14 6 10

6 9 12 10 6

求出它的最优指派问题////////

*/

////////////////////////////

////////////////////////

///////////////////

////////////

#include

int main(void)

{

int i,j,min,a[5][5],m=0,cnt1=0,cnt2=0;

printf("请输入一个二维数组:\n");

for(i=0;i<5;i++) //输入目标矩阵

for(j=0;j<5;j++)

scanf("%d",&a[i][j]);

for(i=0;i<5;i++)//对每行进行减去行中最小值处理{

min=a[i][0];

for(j=1;j<5;j++)

{

if(a[i][j]

min=a[i][j];

}

for(j=0;j<5;j++)//对列进行减去减去列中最小值处理a[i][j]=a[i][j]-min;

}

for(j=0;j<5;j++)

{

min=a[0][j];

for(i=1;i<5;i++)

{

if(a[i][j]

min=a[i][j];

}

for(i=0;i<5;i++)

a[i][j]=a[i][j]-min;

}

//while(m!=5)

//{

/* for(i=0;i<5;i++)//记录每行的零个数

{

for(j=0;j<5;j++)

{

if(a[i][j]==0)

// i1++;

cnt1++;//记录输入的每行元素个数

}

c[i]=cnt1;

cnt1=0;//清零

}

for(j=0;j<5;j++)//记录每列的零个数

{

for(i=0;i<5;i++)

{ if(a[i][j]==0)

// j1++;

cnt2++;