认识二元一次方程组

一、教材分析

从教材作用上看，初中阶段方程问题共出现了三次：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程。本节的概念教学作为多元方程的开端，为二元一次方程组的解法和应用打下基础，既是对一元一次方程内容的充实与提高，又为以后学习一次函数、一元一次不等式组和一般线性方程组做了必要的准备。

本节教材编写从现实问题出发，创设了具有趣味性的问题情境以引出二元一次方程的概念；利用“做一做”引发学生自主探究，从而体会二元一次方程解的无穷多性，同时便于学生观察出二元一次方程组的解的公共性，自然导出二元一次方程组解的概念。本节教材的最大特点便是将抽象的数学概念还原回具体的现实生活中，让学生从“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题中去自主探索数学知识。

二、学情分析

1、知识基础：在七年级上册已学过一元一次方程，学生已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础，为本节的学习已做好知识储备，估计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题。

2、生活经验：本节所涉及的实际问题包括：CBA篮球联赛的积分方法、公园的门票问题、三个和尚挑水问题等，学生中的体育爱好者会对球赛积分问题很熟悉，其余两个问题均为全体学生所熟悉的情境。

三、教学目标

知识技能：通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。

数学思考：学生通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

解决问题：学生能初步具备利用数学知识分析解决实际问题的意识能力，同时发展交流合作、归纳概括能力。

情感与态度：初步认识数学与人类生活的密切联系，体会数学的趣味性。

四、教学活动

1、预学汇报、生活引入

问题一：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分。

四班打了5场比赛，共积了4分，问我班赢了几场，输了几场？

问题二：星期天，我们8个人去香山公园玩，有大人和儿童，买门票一共花了65元。每张成人票10元，每张儿童票5元，你知道我们到底去了几个大人，几个儿童吗？ 教师提问：（1）实际问题中的已知量和未知量分别是什么？

（2）实际问题中的等量关系是什么？

（3）用已知量和未知量将等量关系表示出来？

[说明] 估计大部分学生会直接用一元一次方程解决问题，小部分学生在预习的前提下也会列出二元一次方程。无论采用哪种方程，学生都要进行未知数的确定、寻找等量关系、用已知量和未知量将等量关系表示出来这些过程，这一过程就是一个体会方程是刻画现实世界有效模型的过程!

教师总结： 刚刚同学们用方程将实际问题转化成为了数学问题，做的都非常棒。的确是这样，诗人用优美的诗句描绘世界，画家用色彩展现自然界的美，歌唱家用曲调表达情感，数学家用方程模型描绘现实生活。我们今天继续走进方程的世界，在七年级学习一元一次方程的基础上，结识新的方程成员。

2、 探究发现，归纳概括

（1）观察特征，尝试分类。

5,248,53343102m n m n x y x y y x x +=-=+=+=-=+2259,323

157,2510320x x y z x x y y x xy +=-+=+=-=+=

教师提问：请同学们仔细观察以上所有方程的特点，尝试进行分类。先独立思考再小组

【说明】学生在分类的过程中，反复触摸二元一次方程的本质属性。分类的方法可以是多样的，分类标准不同，分类不同。可以按“元”分，可以按“次”分。

之后老师将其分为“是二元一次方程”和“不是二元一次方程”两个集合，留给学生辨别各种刺激模式的时间，而后经历从混合集合中分辨“是”与“非”的过程，从而抽象出二元一次方程的本质属性，在此基础上概括、归纳形成概念。最后，在一组判别中应用概念，加深理解。

（2）归纳概括，探究定义

教师提问:请同学们根据分类过程中观察到的二元一次方程的特征，尝试归纳概括二元一次方程的定义。

学生一：含有两个未知数，未知数的次数是1次，这样的方程叫做二元一次方程。

学生二：我觉得未知数的次数为1次，这种说法不准确，比如3x+xy=20中未知数的次数都是一次，但是xy这一项却是2次的，因此不是二元一次方程。所以应该是：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1次，这样的方程叫做二元一次方程。

教师总结：在归纳定义时，我们要抓住事物的主要特征，全面概括。表扬积极发言的同学。

（3）应用概念，分类说理

教师提问：把以上方程分到“是二元一次方程”和“不是二元一次方程”两个集合中。并说明分类的理由。

说明方式举例：（6）不是，因为它含未知数项的次数是-1次，不满足一次的条件，所以它不是。

教师总结：我们在判断一个方程是不是二元一次方程的时候，要抓住关键特征。

（4）继续探究，概念归纳

教师提问：在前面的实际问题中，我们分别得到两组共四个方程，x+y=5，2x-y=4；

m+n=8，10m+5n=65它们都是二元一次方程吗？第一个实际问题中两个m的意义相同吗？两个n的含义相同吗？第二个实际问题中的两个x和y呢？

教师总结： x+y=5 m+n=8

2x-y=4 10m+5n=65

像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

3、合作探究，交流求解

（1）回忆旧知

教师提问：已知一元一次方程2x+1=9，它的解是（）。如何验证它的解是否正确？

【说明】首先，类比一元一次方程的解，让学生感受方程解的共通性，即：使方程左右两边相等的未知数的值。

教师总结：方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。

（2）合作探究

教师提问：x+y=5 的解又是怎样的呢？我们共同探究。

2x-y=4

我们先在表格中尝试写出x＋y＝5 ，且符合问题的实际意义的x、y值。

怎样检验解的正确性？如果不考虑x+y=5的实际背景，你能再写出一些方程的其它解吗? x

y

教师提问：二元一次方程有多少组解？

教师提问：请同学们用同样的方法，在表格中列出2x-y=4符合问题的实际意义的x、y 值。观察两个表格中的解，你发现了什么？

教师提问：你能根据刚才的发现，说出二元一次方程组x+y=5 的解吗？

2x-y=4

教师提问：你能总结一下什么叫二元一次方程组的解吗？

教师归纳：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫二元一次方程组的解。