电力系统故障分析

1 故障类型

电力系统的线路故障总的来说可以分为两大类：横向故障和纵向故障。横向故障是指各种类型的短路，包括三相短路、两相短路、单相接地短路及两相接地短路。三相短路时，由于被短路的三相阻抗相等，因此，三相电流和电压仍是对称的，又称为对称短路。其余几种种类型的短路，因系统的三相对称结构遭到破坏，网络中的三相电压、电流不再对称，故称为不对称短路。运行经验表明，电力系统各种短路故障中，单相短路占大多数，约为总短路故障数的65%，三相短路只占5%～10%。三相短路故障发生的几率虽然最小，但故障产生的后果最为严重，必须引起足够的重视。此外，三相对称短路计算又是一切不对称短路计算的基础。纵向故障主要是指各种类型的断线故障，包括单相断线、两相断线和三相断线。

2 对称分量法和克拉克变换

2.1 对称分量变换

三相电路中，任意一组不对称的三相相量都可以分解为三组三相对称的分量，这就是所谓的“三相相量对称分量法”。对称分量法是将不对称的三相电流和电压各自分解为三组对称分量，它们是： （1） 正序分量：三相正序分量的大小相等，相位彼此相差2pi/3，相序与系统正常运行方式下的相同； （2） 负序分量：三相负序分量的大小相等，相位彼此相差2pi/3，相序与正序相反； （3） 零序分量：三相零序分量的大小相等，相位相同。

为了清楚起见，除了仍按习惯用下标a 、b 和c 表示三个相分量外，以后用下标1、2、0分别表示正序、负序和零序分量。设.

a F 、.

b F 、.

c F 分别代表a 、b 、c 三相不对称的电压或电流相量，.

1a F 、.

2a F 、

.0a F 分别表示a 相的正序、负序和零序分量；.1b F 、.2b F 、.0b F 和.1c F 、.2c F 、.

0c F 分别表示b 相和c 相

的正、负、零序分量。

通常选择a 相作为基准相，不对称的三相相量与其对称分量之间的关系为：

..21..2

2..01113111a a a b a c F F a a a

a F F F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

式中，运算子120

j a e =，2

240j a

e =，且有31a =，2310a a ++=；

我们令

22

11111a a S a a ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

称为对称分量变换矩阵。我们有：

120abc F SF =

它的逆

1

2211111S a a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

称为对称分量反变换矩阵。因此有：

1120abc F S F -=

由以上两式可以得到以下结论，桑不对称的相量可以唯一地分解为三组对称的相量（简称对称分量）。有

三组对称分量可以进行合成而得到惟一的三个不对称相量。

由三相分量到序分量的变换，可知电力系统正常对称运行或者发生对称三相短路时系统中的负序和零序分量为零。系统在不对称运行或者发生不对称短路时，系统中才会有负序和零序分量。另外，由零序分量的变换可知道，如果系统是不接地系统，即a ，b ，c 三相的电流之和在任意时刻均为零，可知不接地系统在发生不对称的非接地故障时故障电流的零序分量为零。 2.2 克拉克变换

克拉克变换是由克拉克（E.Clarke ）提出的两相变换，它是一种根据双反应原理进行的变换。用正交矩阵表示这种变换关系时，有

0abc f Cf αβ=；10abc f C f αβ-=

其中

21

110

3111C ⎛⎫-- = ⎪⎝

⎭

；1

101112112C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪

⎪-

- ⎪⎝⎭

特别的，当三相对称时有以下关系（以电压为例，电流也如此）：

..a V V α=；.

.

a V j V β=-；.

00V =

2.3 对称分量法与克拉克变换的关系

对于一组三相分量，可以通过对称分量法分解为对应的正序、负序、零序分量，也可以通过克拉克变换变换成α相分量、β相分量和0相分量。那么我们可以以系统运行时的电压电流参数为桥梁，将两种变换联系起来，实现两种变换也可以互相转换。

.

.21..2

2..001011111132111112V V a a a

a V V V V αβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭

⎝⎭

...

11

022110220

01j V j V V αβ

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

可以看出，对称分量中的零序分量与克拉克变换后的0相分量相等。其它两分量的关系为:

.

.

.

11()2V V j V βα=+

...

2

1()2

V V j V βα=- 和

.

.

.

2

1.

.

.

21()

V V V V j V V αβ=+=--

3 克拉克变换和对称分量法在电力系统故障分析中的应用

3.1 克拉克变换在故障分析中的应用概述

由对称分量法正、负分量与克拉克变换α、β分量的关系，以及系统三相对称运行时有：.

.

a V V α= 由叠加定理可推导出：

..

.

..

..

(0)(0)12

221

11

1()()

2

z z V V

V V V

I I α+=++=-

+

..

12

21()2

z z I I --

-

..

.

..

(0)1212

221

11.

..(0)

12121()()()

22

22

z z z z V

I I j j I I z z z z V I j I αβ

+-=-

+---+-=--

同理，可以推导出：

..

.

.

(0)12

12

1

2

2

z z z z V j V

j

I I βαβ-+=-++

考虑到电力系统中一般都能满足正、负序阻抗相等的条件，即12z z =，则以上两式可以简化为：

..

.

(0)1

1..

.

(0)1

1.

.

000

V V

z I V j V

z I V z I αα

ββ=-=--=-

上式也就是故障口的电压方程。

边界条件的建立要根据短路类型来确定。将电压和电流的克拉克变换代入确定的边界条件，得到变换后电压分量和电流分量的边界制约关系。

3.2 基于对称分量法的复杂故障分析

首先要说明的是，在一个三相对称的元件中（例如线路、变压器和发电机），入股流过三相正序电流，则在元件上的三相电压降也是正序的，这一点从物理意义上是很容易理解的。同样地，如果路过三相负序电流或零序电流，则元件上的三相电压降也是负序的或零序的。这也就是说，对于三相对称元件，各序分量是独立的，即正序电压只与正序电流有关，负序、零序也如此。

当系统发生简单故障，即故障点只有一个时可通过建立单端口网络来分析故障点电压电流情况。由此可推论，当系统发生多点故障时可以通过建立多端口网络来分析。在发生短路的故障点，引入与故障电流相等的故障电流源，向系统注入故障电流。故障电流的注入将影响系统中其它节点的电压、电流分布。贯穿整个分析过程的是叠加定理。通过故障前与故障后注入故障电流相叠加得到系统故障点在发生故障后稳态运行情况。有3种常用的描述端口网络的方程：阻抗型参数方程、导纳型参数方程和混合型参数方程。这里仅介绍用阻抗型参数方程分析复杂故障。

在复杂故障中，出现双重故障的可能性最大。双重故障可以是串联型与串联型故障的复合、并联型故障的复合以及串联型与并联型故障的复合。它们的分析方法虽各不相同，但其实质都是通用复合序网和两端口网络方程的综合应用。