高等数学建模题目及答案
数学建模题目及答案
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
数学建模试卷及参考答案
数学建模 试卷及参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。
3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。
二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在[a,b]是连续函数。
作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。
2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)解:模型构成记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。
将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。
安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。
数学建模试卷A参考答案
数学建模试卷（A ）卷参考答案一、答：二、解：对应的约束条件代表的区域为如下图中阴影部分：两线的交点坐标为()()12,6,4x x =，由图可知z 值在交点处最大，即max 36z =。
三、解：设z 为利润，123,,x x x 分别表示,,A B C 生产的件数，123,,y y y 分别表示,,A B C 生产是否生产（为0-1变量，0表示不生产，1表示生产）。
则 目标函数：()()()123112233max 200025003000300503208040070z y y y y x y x y x =+++-+-+-约束条件：1231231231231232350024000350000,0,0;,0 1;x x x x x x x x x x x x y y or ++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥=⎩四、解：（一）（二）目标层准则层方案层11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(),0,ij n n ij ji ijA a a a a ⨯=>=层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C 1,C 2,… , C n 对目标O 的重要性:i j ijC C a ⇒A ~成对比较阵 A 是正互反阵要由A 确定C 1,… , C n 对O 的权向量选择旅游地（三）111122221212n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦23a =一致比较允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况12(1),,nW w w w =⇒/ij i ja w w =令12(,,)~T n w w w w =权向量“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦准则层对目标的成对比较阵最大特征根λ=5.073权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 5.07350.01851CI -==-一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR =0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验五、解：()221max ni i i a bx y =+-∑，对,a b 分别求偏导数，可以求解得0.9726,0.0500b a ==。
数学建模竞赛 参考答案
数学建模竞赛参考答案数学建模竞赛参考答案数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力和创新思维的竞赛活动。
参赛者需要在规定的时间内，针对给定的问题，运用数学知识和方法进行建模、分析和求解。
本文将为大家提供一些数学建模竞赛的参考答案，希望对参赛者有所帮助。
一、问题一：汽车油耗模型该问题要求建立一个汽车油耗模型，预测在不同的驾驶条件下，汽车的油耗情况。
首先，我们需要收集一些相关的数据，如汽车的型号、发动机排量、行驶里程、驾驶时间、驾驶速度等。
然后，我们可以使用多元线性回归模型来建立汽车油耗模型。
模型的建立如下：油耗= β0 + β1 * 发动机排量+ β2 * 行驶里程+ β3 * 驾驶时间+ β4 * 驾驶速度其中，β0、β1、β2、β3、β4为待求系数。
我们可以使用最小二乘法来估计这些系数。
通过对收集到的数据进行拟合，可以得到最优的系数估计值，并进一步预测不同驾驶条件下的汽车油耗情况。
二、问题二：物流配送路径规划该问题要求设计一个物流配送路径规划模型，以最小化配送成本和时间。
首先，我们需要收集一些相关的数据，如物流中心的位置、客户的位置、货物的重量和体积、道路交通情况等。
然后，我们可以使用网络流模型来建立物流配送路径规划模型。
模型的建立如下：目标函数：最小化总配送成本和时间约束条件：1. 每个客户都必须被配送到，并且每个物流中心只能配送给特定的客户。
2. 配送路径必须满足道路交通规则和限制条件。
3. 货物的重量和体积必须满足配送车辆的载重和容量限制。
我们可以使用线性规划或整数规划方法来求解该模型。
通过对收集到的数据进行建模和求解，可以得到最优的物流配送路径规划方案，以实现最小化成本和时间的目标。
三、问题三：疫情传播模型该问题要求建立一个疫情传播模型，预测疫情在不同地区的传播情况。
首先，我们需要收集一些相关的数据，如人口数量、人口流动情况、疫情传染率、潜伏期、治愈率等。
然后，我们可以使用传染病传播模型来建立疫情传播模型。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目(四套ABCD)
高教社杯全国高校生数学建模竞赛题目（四套ABCD）当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个伴侣;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老伴侣重逢。
我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。
让我们一起到学习啦一起学习吧!2021年高教社杯全国高校生数学建模竞赛题目A题 CT系统参数标定及成像CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的状况下，利用样品对射线能量的吸取特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此猎取样品内部的结构信息。
一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。
X射线的放射器和探测器相对位置固定不变，整个放射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。
对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸取衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品(称为模板)标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸取强度，这里称为“吸取率”。
对应于该模板的接收信息见附件2。
请依据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。
利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何样子和吸取率等信息。
另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸取率，相应的数据文件见附件4。
数学建模基础问题与答案!(有答案).
‘牡丹江师范学院期末考试试题库科目：数学模型与数学实验年级：2006 学期：2008-2009-2 考核方式：开卷命题教师：数学模型与数学实验课程组一、解答题：（每小题30分）x=[0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';n=length(x)X=[ones(n,1) x];Y=[42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats% 预测y=b(1)+b(2)*x%E误差平方和E=sum((Y-y).^2)参考结果：回归直线：ˆ28.4928130.8348=+y x误差平方和：17.4096是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第一节检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。
解：参考程序(t2.m)：x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';Y=[42.0 41.5 45.0 45.0 45 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5]'; scatter(x,Y);n=length(x)X=[ones(n,1) x];b,bint,stats %残差图 rcoplot(r,rint) % 预测y=b(1)+b(2)*x%剔除异常点重新建模 X(8,:)=[]; Y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 结果和图：b =27.0269 140.6194 bint =22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 stats =0.9219 118.0670 0.0000结果分析：由20.9226,119.2528,P =0.0000R F ==知，2R 接近1，10.5(1,10)F F ->，0.05P <，故x 对y 的影响显著，回归模型可用。
高数建模比赛真题答案解析
高数建模比赛真题答案解析高数建模比赛是大学生数学建模领域中的一项重要竞赛，对于培养学生的数学建模能力和创新思维具有重要意义。
在这篇文章中，我们将从几道典型的高数建模比赛真题入手，解析其中的解题思路和求解方法。
第一道题目是关于人口增长的问题。
假设某国当前的人口数量为P0，年增长率为r。
题目要求我们计算若干年后的人口数量。
首先，我们可以列出一个递推公式来表示人口数量的变化。
每年的人口数量可以表示为Pn+1 = Pn + rPn，其中Pn表示第n年的人口数量。
可以通过迭代计算的方式，得到若干年后的人口数量。
接下来的问题是如何求解这个递推公式。
我们可以采用MATLAB等数学软件来编写一个循环程序，计算若干年后的人口数量。
首先，我们需要给出初始条件P0和增长率r。
然后，设置一个循环，逐个计算每年的人口数量，直到达到预定的年份为止。
最后，程序会输出若干年后的人口数量。
第二道题目是关于微分方程的求解。
题目描述了某一过程的速率与其自身值之间的关系。
我们需要求解这个微分方程，并列出其解析解。
首先，我们将问题转化为一个微分方程的初值问题。
对于速率与值之间的关系，我们可以表示为dv/dt = kv，其中v表示过程的速率，t表示时间，k表示比例常数。
然后，我们可以通过分离变量和积分的方法，解出这个微分方程。
最后，我们还可以根据初值条件得到具体的解析解。
接下来的问题是如何求解这个微分方程。
我们可以采用数值方法来求解。
例如，我们可以采用欧拉法或龙格-库塔法进行数值计算。
首先，我们需要给出初始条件v0、时间步长Δt和求解的时间范围。
然后，我们可以通过迭代的方式，逐次计算出每个时间点的速率值，直到达到所求解的时间范围为止。
最后，我们可以绘制出速率随时间变化的曲线图。
在高数建模比赛中，还涉及到其他类型的题目，例如概率统计问题、最优化问题等。
对于这些题目，我们可以采用不同的方法来求解。
例如，对于概率统计问题，我们可以利用概率论和数理统计的知识，运用概率分布、期望和方差等概念进行分析和计算。
大学数学建模-参考答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：参考答案一．填空题：（每题2分，共20XXXX 分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dt x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为 x(t)=20XXXX00/(1+9exp(-0.5t) )。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有 ode45,ode23等等。
（写欧拉法等方法而非Matlab 命令的不给分）（本题着重考察数学实验有没有认真做！）3. 整数m 关于模20XXXX 可逆的充要条件是：m 和20XXXX 没有质数公因子。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正)50ln354.93≈5. 请补充判断矩阵缺失的元素131219193121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共20XXXX 分）1.C ；2. A;3.B;4.C.5.C三．判断题（每题2分，共20XXXX 分）1.×;2..√;3.×;4. ×;5. ×（应考虑谱半径＝1的特殊情况）四．应用题（共70分）1）.中间关键步骤不能少，否则不给分！2）开头计算错误，但整体思路、算法正确适当给一些分。
1.（5分）解：设x1、x2分别为每个集装箱中甲乙两种货物的托运包数，f 为总利润，则该问题可以视为整数线性规划问题，其数学模型为：1212121212max 2010.. 54242513 ,0,,f x x s t x x x x x x x x Z=++≤+≤≥∈ 目标函数1分，每个约束条件各1分常见错误：没有非负、整数约束，未写ILP 标准形式2（20XXXX 分）解：问题的物理量有：波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 。
令 (,,,,)0v d g ϕλρ=.取 g 1=λ，g 2=v ，g 3=d ，g 4=ρ，g 5=g基本量纲为M ， L ， T ，各物理量的量纲为：[g 1]=L , [g 2]=LT -1，[g 3]=L , [g 4]= M -1L -3, [g 5]= LT -2。
高二数学数学建模练习题及答案
高二数学数学建模练习题及答案一、简答题1. 什么是数学建模？数学建模是将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法进行分析、求解并得出相应结论的过程。
它将数学知识与实际问题相结合，帮助我们理解问题的本质，预测和优化相关情况。
2. 数学建模的步骤有哪些？数学建模通常包括以下步骤：（1）问题的理解和描述：明确问题的背景、目标和限制条件，并对问题进行适当的简化和抽象。
（2）建立数学模型：将问题转化为数学表达式，建立合适的数学模型。
（3）模型的求解：利用数学方法对模型进行求解，得到定量的结果或结论。
（4）模型的验证和分析：对模型的结果进行检验，分析结果的合理性和可靠性。
（5）结果的解释与应用：解释模型结果，为实际问题提供有效的解决方案，并给出具体的应用建议。
3. 数学建模的意义是什么？数学建模在许多领域都具有重要意义：（1）在科学研究中，数学建模可以帮助解决实际问题，推动科学发展。
（2）在工程技术中，数学建模可以优化设计，提高效率和质量。
（3）在经济管理中，数学建模可以帮助决策者制定合理的策略和政策。
（4）在社会科学中，数学建模可以辅助分析社会问题，提供决策依据。
（5）数学建模还培养了学生的创新思维和解决问题的能力。
4. 数学建模过程中需要的数学知识有哪些？数学建模需要的数学知识包括但不限于：（1）数学分析：微分方程、积分、极限等。
（2）线性代数：矩阵运算、特征值与特征向量等。
（3）概率与统计：概率分布、统计推断等。
（4）最优化理论：线性规划、非线性规划等。
（5）图论与网络优化：最短路径、最小生成树等。
二、应用题1. 盒子问题已知一长方体盒子的长为20cm，宽为15cm，高为10cm。
现在要将一个边长为2cm的小正方体放入该盒子中，问最多可以放多少个小正方体？解答：盒子的体积为20 cm × 15 cm × 10 cm = 3000 cm³。
小正方体的体积为2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm³。
青岛理工大学数学建模期末考试题目及答案详解
青岛理工大学数学建模期末考试题目及答案详解1、30、等腰三角形ABC中,AB=2BC,且BC=12,则△ABC的周长为( ). [单选题]A. 48B. 60(正确答案)C. 48或60D. 362、11．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）[单选题] *A．140°B．130°C．120°D．110°(正确答案)3、33、点P(-5,-7)关于原点对称的点的坐标是（）[单选题] *A. (-5,-7)B. (5,7)(正确答案)C. (5,-7)D. (7,-5)4、12.下列方程中，是一元二次方程的为（）[单选题] *A. x2+3xy=4B. x+y=5C. x2=6(正确答案)D. 2x+3=05、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] *A．-10℃(正确答案)B．-13℃C．+10℃D．+13℃6、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限7、函数f（x）=-2x+5在（-∞，+∞）上是（）[单选题] *A、增函数B、增函数(正确答案)C、不增不减D、既增又减8、24．下列各数中，绝对值最大的数是（）[单选题] *A．0B．2C．﹣3(正确答案)D．19、8、下列判断中：1.在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；2.坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；3.在直角坐标平面内点(x,y)与点(y,x)表示不同的两点；4.原点O的坐标是(0,0)，它既在x轴上，又在x轴上。
其中错误的个数是（）[单选题] *A.1B.2(正确答案)C.3D.410、的单调递减区间为（）[单选题] *A、（-1,1）(正确答案)B、（-1,2）C、（-∞，-1）D、（-∞，+∞）11、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B、33C、16D、412、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．413、5．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．没有最大的正数，但有最大的负数B．没有最小的负数，但有最小的正数C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数(正确答案)D．有最小的自然数，也有最小的整数14、-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则cosα=（）[单选题] *-3/5(正确答案)2月3日-0.333333333-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则tanα=（）[单选题] *15、17．已知的x∈R那么x2（x平方）>1是x>1的（）[单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16、1．如果点M（a＋3，a＋1）在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为（）[单选题] *A．（0，－2）B．（2，0）(正确答案)C．（4，0）D．（0，－4）17、下列说法正确的是[单选题] *A.一个数前面加上“-”号，这个数就是负数B.零既不是正数也不是负数(正确答案)C.零既是正数也是负数D.若a是正数，则-a不一定是负数18、19．如图，共有线段（）[单选题] *A．3条B．4条C．5条D．6条(正确答案)19、y=kx+b（k是不为0的常数）是（）。
数学建模试卷参考答案
数学建模试卷参考答案数学建模试卷参考答案数学建模试卷是一种常见的考试形式，旨在考察学生在实际问题中运用数学知识进行建模和解决问题的能力。
在这篇文章中，我将为大家提供一份数学建模试卷的参考答案，并对其中的一些问题进行详细解析，希望能够帮助读者更好地理解数学建模的思路和方法。
第一题：某公司的销售额数据如下，请根据给定数据绘制销售额变化折线图，并分析销售额的趋势。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出销售额变化的折线图。
通过观察折线图，我们可以发现销售额在前三个月呈现上升趋势，然后在第四个月达到峰值后开始下降。
这可能是由于季节性因素或市场竞争加剧导致的。
从整体趋势来看，销售额呈现出一个先增长后下降的趋势。
第二题：某城市的人口数量在过去十年中呈现如下变化，请根据给定数据绘制人口数量变化柱状图，并分析人口增长的原因。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出人口数量变化的柱状图。
通过观察柱状图，我们可以发现在过去十年中，该城市的人口数量呈现稳步增长的趋势。
人口增长的原因可能有多种，比如经济发展带来的就业机会增加，吸引了更多的外来人口；或者是政府实施的人口政策鼓励生育等。
需要进一步的数据和研究才能得出更准确的结论。
第三题：某地区的温度数据如下，请根据给定数据绘制温度变化曲线图，并分析温度的季节性变化。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出温度变化的曲线图。
通过观察曲线图，我们可以发现温度呈现出明显的季节性变化。
在春季和夏季，温度逐渐升高，达到峰值；而在秋季和冬季，温度逐渐下降，达到最低点。
这种季节性变化可能是由于地球自转轨道和倾斜角度的变化导致的。
第四题：某公司的产品销量数据如下，请根据给定数据绘制产品销量变化饼图，并分析各产品销量的占比。
解析：根据给定数据，我们可以绘制出产品销量变化的饼图。
通过观察饼图，我们可以发现各产品销量的占比。
比如产品A的销量占总销量的30%，产品B的销量占总销量的40%，产品C的销量占总销量的20%等。
数学建模题目及答案-数学建模100题
数学建模题目及答案-数学建模100题假设每个宿舍的委员数与该宿舍的学生数成比例，即每个宿舍的委员数为该宿舍学生数除以总学生数的比例乘以10.则A宿舍应分配的委员数为235/1000×10=2.35，但委员数必须为整数，所以可以向上取整，即A宿舍分配3个委员。
同理，B宿舍应分配的委员数为333/1000×10=3.33，向上取整为4个委员；C宿舍应分配的委员数为432/1000×10=4.32，向下取整为4个委员。
因此，A宿舍分配3个委员，B宿舍分配4个委员，C宿舍分配3个委员，剩下的委员数（10-3-4-3=0）为0.按照各宿舍人数占总人数的比例分配各宿舍的委员数。
设A宿舍、B宿舍、C宿舍的委员数分别为x、y、z人。
根据题意，我们可以列出以下方程组：x + y + z = 10x/10 = 235/1000y/10 = 333/1000z/10 = 432/1000其中，小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。
解方程组得到x=3，y=3，z=4.因此，A宿舍、B宿舍、C宿舍的委员数分别为3、3、4人。
一家饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，预计每天可使一头80公斤重的生猪增加2公斤。
假设生猪出售的市场价格为每公斤8元，每天会降低0.1元。
我们设在第t天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为z元。
根据题意，我们可以列出以下方程：每头猪投入：5t元产出：（8-0.1t）（80+2t）元利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640我们可以求得二次函数的顶点，即t=32.5时，Z取得最大值851.25元。
因此，该饲养场应该在第33天出售这样的生猪，以获得最大利润。
一家奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2.市场需求量与生产量相等，每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
数学建模试题(带答案)大全
(14 分)
得分
四、(满分 10 分) 雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关，其中粘
滞系数的量纲[ ]= L1MT 1 1，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式.
解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0.其量纲表达式为
[ v ]=LM0T-1，
学分 5 4 4
4
数据结构
3
5
应用统计
4
6
计算机模拟 3
7
计算机编程 2
8
预测理论
2
9
数学实验
3
所属类别 数学 数学 数学；运筹学
数学；计算机 数学；运筹学
计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学；计算机
先修课要求
微积分；线性代 数 计算机编程 微积分；线性代 数 计算机编程
应用统计 微积分；线性代 数
由 U 0, U 0 可得到最优价格:
p1
p2
1
T
1
3T
p1 2b [a b(q0
)] 4
P2 2b [a b(q0 4 )]
前期销售量
T、（2 a
0
bp1
)dt
后期销售量
T
T /2 (a p2 )dt
总销售量
Q0
=
aT
bT 2
(
p1
p2 )
在销售量约束条件下 U 的最大值点为
~p1
a b
Q0 bT
T 8
,
P~2
a b
Q0 bT
T 8
7. (1)雨水淋遍全身， s 2(ab bc ac) 2*(1.5*0.5 0.5*0.2 1.5*0.2) 2.2m2
高等数学建模案例集.d
《高等数学》案例集第一章 函数与极限 （一）建立函数关系的的案例1、 零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。
已知零件轮廓下部分为长a 2，宽a 22的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。
如下图所示。
M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。
解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≤≤++-+≤≤+≤≤==a x a ax a ax a axa a x ax x f y 2222242822222224122042)(22ππππ （二）极限1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。
(2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，（二）连续函数性质B C AD M MM1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。
次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。
某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章 中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。
如果窖藏起来待来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 0832n e 万元，而银行利率为r ＝0.05，试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。
若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。
2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷A适用专业：信息与计算科学; 考试日期：考试时间：120分钟；考试方式：闭卷；总分100分一.简答题(30分).1. 简要介绍数学建模的一般步骤.2. 层次分析法的一般步骤是什么?3. 根据建立数学模型的数学方法, 数学模型可以分成哪些类型? 二、计算题1. （10分）某学校有3个系共有300名学生, 其中甲系137名, 乙系56名, 丙系107名, 若学生代表会议设30个席位. 试用下列方法求出各系应分配的席位数.(1) 按比例分配取整数的名额后, 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;(2) 利用Q值法进行分配.2.（10分）考察阻尼摆的周期, 即在单摆运动中考虑阻力, 并设阻力与摆得速度成正比. 阻尼摆的周期t与摆长l, 摆球质量m, 重力加速度g, 阻力系数k有关.(1) 用量纲分析法证明: t=, 其中ϕ为未知函数.(2) 讨论物理模拟的比例模型, 怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.3.（15分）设某产品的生产周期为T, 产量为Q, 每天的需求量为常数r, 每次生产准备费为1c, 每天每件产品贮存费为2c.(1)不允许缺货的存贮模型要求: 产品需求稳定不变, 生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货. 试建立不允许缺货的存贮模型并确定生产周期和产量, 使总费用最小.(2)设每天每件产品的缺货损失费为3c,试建立允许缺货的存贮模型并确定生产周期和产量, 使总费用最小.(3) 上述模型中增加货物本身的费用, 重新确定最优订货周期和订货批量. 证明在不允许缺货模型中与原来的一样, 而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来的结果减小.4.（10分）设总人口N不变, 将人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类, 三类人在总人数N中占的比例分别记作(),(),()s t i t r t, 病人的日接触率为λ, 日治愈率为μ. 试建立描述三类人数量变化的SIR传染病模型. 5. （15分）设鱼群鱼量的自然增长服从Gompertz规律: lndx Nrxdt x, 单位时间的捕捞量为h Ex, 则渔场的鱼量满足: lndx Nrx Exdt x. 其中()x t表示种群在t时刻的数量, r表示固有增长率, N表示鱼群的最大容许数量.(1) 求渔场鱼量的平衡点及其稳定性;(2) 求最大持续产量mh及获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平*0x.6. （10分）按年龄分组的种群增长的差分方程模型中, 设一群动物的最高年龄为18岁, 每6岁一组, 分为3个年龄组, 各组的繁殖率为1230,6,2b b b, 存活率为1211,24s s, 开始时3组各1000只.求(1) 18年后各组分别有多少只?(2) 时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布.2020-2021《数学建模》期末课程考试试卷A 答案适用专业：信息与计算科学; 考试日期：考试时间：120分钟； 考试方式：闭卷；总分100分一.简答题(30分).1. 简要介绍数学建模的一般步骤.答:模型准备, 模型假设, 模型求解, 模型分析, 模型检验, 模型应用.2. 层次分析法的一般步骤是什么?答: (1) 将决策问题分为3个层次: 目标层, 准则层, 方案层(2)通过相互比较确定各准则对目标的权重, 及各方案对每一准则的权重.(3) 将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合, 给出决策结果.3. 根据建立数学模型的数学方法, 数学模型可以分成哪些类型?答: 初等模型, 几何模型, 微分方程模型, 统计回归模型, 数学规划模型.二、计算题1. 解:(1)甲分13.7个, 乙系5.6个, 丙系10.7个, 取整后甲系14个, 乙系5个, 丙系11个.(2)第29个席位的分配:21137103.1313*14n ==,222356107104.53,104.085*610*11n n ==== 故分给乙系;第30个席位的分配:2'25674.677*6n ==故分给丙系.由Q 值法: 甲系13个, 乙系6个, 丙系12个.2.（10分）解: 设阻尼摆的周期为t , 摆长为l , 质量为m , 重力加速度为g , 阻力系数为k , 设(,,,,)0f t l m g k 则各物理量的量纲为2[],[],[],[]t T l L m M g LT,211[][][]f MLT k MTvLT量纲矩阵为010100010110021A解齐次方程0Ay 的基本解为:1211(1,,0,,0)2211(0,,1,,1)22y y 得到2个无量钢量11221111222tlg l m g k故121122()()llk l tg g m glg (2) 'm m 时,有''t l lt3.（15分） 解: (1)一个周期的总费用为:2221122c QT c rT C c c =+=+每天的平均费用为:122c c rTC T =+由0,0C CT Q∂∂==∂∂得:T Q ==(2) 一个周期的总费用为:231211()22c r T T c QT C c -=++每天的平均费用为:22312()22c rT Q c c Q C Tr rT-=++由0,0C CT Q∂∂==∂∂得: ''T Q ==(3) 设购买单位重量货物的费用为k,对于不允许缺货模型,每天的平均费用为12()2c c rTC T kr T =++T, Q 的最优结果不变.对于允许缺货模型, 每天平均费用为:()223211(,)22c c Q C T Q c rT Q kQ T r r ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦利用0,0C CT Q∂∂==∂∂得T,Q 的最优结果为:**23krT Q c c ==+ **,T Q 均比不考虑费用k 时的结果减小.4.（10分）解: disi i dt dssi dt dri dt λμλμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩5. （15分）设鱼群鱼量的自然增长服从Gompertz 规律: ln dx Nrx dt x, 单位时间的捕捞量为h Ex , 则渔场的鱼量满足:ln dx Nrx Ex dt x. 其中()x t 表示种群在t 时刻的数量, r 表示固有增长率, N 表示鱼群的最大容许数量.(1) 求渔场鱼量的平衡点及其稳定性;(2) 求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x .解: (1)模型为lndxN rx Ex dtx, 有两个平衡点/00,E r x x Ne -==,可以证明0x =不稳定, 0x 稳定(与E,r 的大小无关). (2) 最大持续产量为0/;,/m m h rN e E r x N e ===6. （10分）按年龄分组的种群增长的差分方程模型中, 设一群动物的最高年龄为18岁, 每6岁一组, 分为3个年龄组, 各组的繁殖率为1230,6,2b b b , 存活率为1211,24s s , 开始时3组各1000只.求 (1) 18年后各组分别有多少只?(2) 时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布. 解:0431*******L ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因为()(0)k x k L x =(1) 18年后,即()3(3)(0)14375,1375,875Tx L x ==(2) L 的特征方程为33208λλ--=所以固有增长率为1.5 按年龄组的稳定分布为:()*1122(1,,)1,1/3,1/18T T s s s x λλ==。
数学建模答案（完整版）
数学建模答案（完整版）1 建立一个命令M 文件:求数60.70.80,权数分别为1.1，1.3,1.2的加权平均数。
在指令窗口输入指令edit ，打开空白的M 文件编辑器；里面输入s=60*1.1+70*1.3+80*1.2;ave=s/3 然后保存即可2 编写函数M 文件SQRT.M;函数()f x = x=567.889与0.0368处的近似值（保留有效数四位）在指令窗口输入指令edit ，打开空白的M 文件编辑器；里面输入syms x1 x2 s1 s2 zhi1 zhi2x1=567.889;x2=0.368; s1=sqrt(x1);s2=sqrt(x2); zhi1=vpa(s1,4) zhi2=vpa(s2,4)然后保存并命名为SQRT.M 即可3用matlab 计算()f x =的值,其中a=2.3,b=4.89.>> syms a b>> a=2.3;b=4.89;>> sqrt(a^2+b^2)/abs(a-b)ans =2.08644用matlab 计算函数()f x =在x=3π处的值. >> syms x>> x=pi/3;>> sqrt(sin(x)+cos(x))/abs(1-x^2)ans =12.09625用matlab 计算函数()arctan f x x =在x=1.23处的值. >> syms x >> x=1.23;>> atan(x)+sqrt(log(x+1))ans =1.78376 用matlab 计算函数()()f x f x ==在x=-2.1处的值. >> syms x>> x=-2.1;>> 2-3^x*log(abs(x)) ans =1.92617 用蓝色.点连线.叉号绘制函数[0,2]上步长为0.1的图像.>> syms x y>> x=0:0.2:2;y=2*sqrt(x); >> plot(x,y,'b.-')8 用紫色.叉号.实连线绘制函数ln 10y x =+在[20,15]--上步长为0.2的图像. >> syms x y>> x=-20:0.2:-15;y=log(abs(x+10)); >> plot(x,y,'mx-')ln 10[20,y x =+--9 用红色.加号连线虚线绘制函数sin()22x y π=-在[-10,10]上步长为0.2的图像. >> syms x y;>> x=-10:0.2:10;y=sin(x/2-pi/2); >> plot(x,y,'r+--')10用紫红色.圆圈.点连线绘制函数sin(2)3y x π=+在[0,4]π上步长为0.2的图像.sin(2)sin()[0,4]322x y x y πππ=+=- >> syms x y>> x=0:0.2:4*pi;y=sin(2*x+pi/3); >> plot(x,y,'mo-.')11 在同一坐标中,用分别青色.叉号.实连线与红色.星色.虚连线绘制y=与y =.>> syms x y1 y2>> x=0:pi/50:2*pi;y1=cos(3*sqrt(x));y2=3*cos(sqrt(x)); >> plot(x,y1,'cx-',x,y2,'r*--')12 在同一坐标系中绘制函数234,,y x y x y x ===这三条曲线的图标,并要求用两种方法加各种标注.234,,y x y x y x === >> syms x y1 y2 y3;>> x=-2:0.1:2;y1=x.^2;y2=x.^3;y3=x.^4;plot(x,y1,x,y2,x,y3);13 作曲线2sin x t y t z t ?=?=??=?的3维图像>> syms x y t z >> t=0:1/50:2*pi; >> x=t.^2;y=sin(t);z=t;>> stem3(x,y,z)14 作环面(1cos )cos (1cos )sin sin x u v y u v z u =+??=+??=?在(0,2)(0,2)ππ?上的3维图像>> syms x y u v z>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;>>x=(1+cos(u)).*cos(v);y=(1+cos(u)).*sin(v);z=sin(u); >> plot3(x,y,z)15 求极限0lim x +→0lim x +→>> syms x y>> y=sin(2^0.5*x)/sqrt(1-cos(x)); >> limit(y,x,0,'right') ans = 216 求极限1201lim()3x x +→ >> syms y x>> y=(1/3)^(1/(2*x)); >> limit(y,x,0,'right') ans = 0 17求极限limx>> syms x y>> y=(x*cos(x))/sqrt(1+x^3); >> limit(y,x,+inf) ans = 0 18 求极限21lim ()1xx x x →+∞+- >> syms x y>> y=((x+1)/(x-1))^(2*x); >> limit(y,x,+inf) ans =exp(4)19 求极限01cos 2limsin x xx x→->> syms x y>> y=(1-cos(2*x))/(x*sin(x)); >> limit(y,x,0) ans = 220 求极限 0x →>> syms x y>> y=(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x; >> limit(y,x,0) ans = 121 求极限2221lim 2x x x x x →+∞++-+>> syms x y>> y=(x^2+2*x+1)/(x^2-x+2); >> limit(y,x,+inf) ans = 1 22 求函数y=5(21)arctan x x -+的导数 >> syms x y>> y=(2*x-1)^5+atan(x); >> diff(y) ans =10*(2*x - 1)^4 + 1/(x^2 + 1) 23 求函数y=2tan 1x xy x=+的导数 >> syms y x>> y=(x*tan(x))/(1+x^2); >> diff(y) ans =tan(x)/(x^2 + 1) + (x*(tan(x)^2 + 1))/(x^2 + 1) - (2*x^2*tan(x))/(x^2 + 1)^224 求函数3tan x y e x -=的导数>> syms y x>> y=exp^(-3*x)*tan(x) >> y=exp(-3*x)*tan(x) y =exp(-3*x)*tan(x)>> diff(y) ans =exp(-3*x)*(tan(x)^2 + 1) - 3*exp(-3*x)*tan(x) 25 求函数y=2 2ln sin2xx π+在x=1的导数>> syms x y>> y=(1-x)/(1+x); >> diff(y,x,2) ans =2/(x + 1)^2 - (2*(x - 1))/(x + 1)^3>> syms x y>> y=2*log(x)+sin(pi*x/2)^2; >> dxdy=diff(y)dxdy =2/x + pi*cos((pi*x)/2)*sin((pi*x)/2) zhi=subs(dxdy,1)zhi =226 求函数y=01cos 2lim sin x x x x →-11xx-+的二阶导数>> syms x y>> y=(1-x)/(1+x); >> diff(y,x,2) ans =2/(x + 1)^2 - (2*(x - 1))/(x + 1)^327 求函数的导数;>> syms x y>> y=((x-1)^3*(3+2*x)^2/(1+x)^4)^0.2; >> diff(y) ans =(((8*x + 12)*(x - 1)^3)/(x + 1)^4 + (3*(2*x + 3)^2*(x - 1)^2)/(x + 1)^4 - (4*(2*x + 3)^2*(x - 1)^3)/(x + 1)^5)/(5*(((2*x + 3)^2*(x - 1)^3)/(x + 1)^4)^(4/5))28在区间(,-∞+∞)内求函数43()341f x x x =-+的最值. >> f='-3*x^4+4*x^3-1'; >> [x,y]=fminbnd(f,-inf,inf) x =NaN y =NaN>> f='3*x^4-4*x^3+1';>> [x,y]=fminbnd(f,-inf,inf) x =NaN y =NaN29在区间(-1,5)内求函数发()(f x x =-.>> f='(x-1)*x^0.6';>> [x,y]=fminbnd(f,-1,5) x =0.3750 y =-0.3470 >>>> f='-(x-1)*x^0.6';>> [x,y]=fminbnd(f,-1,5) x =4.9999 y =-10.505930 求不定积分(ln 32sin )x x dx -?(ln 32sin )x x dx -? >> syms x y>> y=log(3*x)-2*sin(x); >> int(y) ans =2*cos(x) - x + x*log(3) + x*log(x)31求不定积分2sin x e xdx ?>> syms x y>> y=exp(x)*sin(x)^2; >> int(y) ans =-(exp(x)*(cos(2*x) + 2*sin(2*x) - 5))/1032. 求不定积分>> syms x y>> y=x*atan(x)/(1+x)^0.5; >> int(y)Warning: Explicit integral could not be found. ans = int((x*atan(x))/(x + 1)^(1/2), x)33.计算不定积分2(2cos )x x x edx --?>> syms x y>> y=1/exp(x^2)*(2*x-cos(x)); >> int(y) Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(exp(-x^2)*(2*x - cos(x)), x) 34.计算定积分1(32)xex dx -+?>> syms x y>> y=exp(-x)*(3*x+2); >> int(y,0,1) ans =5 - 8*exp(-1)1(32)x e x dx -+?35.计算定积分0limx x→120(1)cos x arc xdx +?>> syms y x>> y=(x^2+1)*acos(x); >> int(y,0,1) ans =11/936.计算定积分1cos ln(1)x x dx+?>> syms x y>> y=(cos(x)*log(x+1)); >> int(y,0,1)Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(log(x + 1)*cos(x), x == 0..1) 37计算广义积分2122x x dx +∞++-∞?;>> syms y x>> y=(1/(x^2+2*x+2)); >> int(y,-inf,inf) ans = pi 38.计算广义积分20xdx x e+∞-?；>> syms x y>> y=x^2*exp(-x); >> int(y,0,+inf) ans = 2。
(完整版)数学建模期末考试题
班级：通工13**学号：0313****姓名：***成绩：西安邮电大学理学院2014年12月3日一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答:为了一定的目的，人们对原型的一个抽象。
通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻的认识所研究的对象。
举例：牛顿定律。
假设：(1)物体为质点，忽略物体的大小和形状。
(2)没有阻力、摩擦力及其他外力。
令x （t ）表示在t 时刻物体的位置，则F =ma =m d 2x dt 22．数学模型答:数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
它包括三大特征：1.实践性：有实际背景，有针对性，接受实践的检验。
2.应用性：注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3.综合性：数学知识的综合，模型的综合。
举例：管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：(1)直圆管，粗细一致。
(2)带子无弹性等宽。
(3)带宽小于圆管截面周长。
(4)包扎时不剪断带子且不重叠。
设W 为带宽，C 为截面周长，L 为管长，M 为带长。
则M=+LC W C 2‒W 23．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型。
举例：如汽车司机对方向盘的操作。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：（1） 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。
（2） 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
（3） 按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。
（4） 按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。
（5） 按应用的离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。
(完整版)数学建模试卷(附答案)
2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元．3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 。
二、简答题：（25分）1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。
（5分）2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。
（10分） 三、（每小题15分，共60分）1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。
2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。
随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。
后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。
谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。
结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。
试建立数学模型解释这个现象。
3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量数学建模 参考答案2．约40．18763．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法：机理分析法，统计分析法，系统分析法2、优化模型的一般形式将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ，在约束条件下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数为可行域三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：)()(1n n p f p =-ϕ9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=- .,...,,,)(m i h i 210==x )(x f u =.,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x)(x f Ω∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or .,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x .,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x经递推有：kk p kkk k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑Λ0p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。
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典型谱方法的缺点：
当解u存在奇异点时，典型谱方法在奇异点 处不收敛，这时需要加密在奇异点附近的离散点。 对于奇异解的问题，多区域谱方法可以解决。
以下介绍多区域谱方法。
4.多区域谱方法
① p-refinement (M固定，N不固定)
x∈[-1,1]，先将[-1,1]等分为M个均分小区间， 再将每个小区间分为Ni (i=1,2,...M) 个小区间，分 别求M个小区间上的求导矩阵，然后按照相应规 则组装。
② 同样，对于简单函数u，可以利用定义直接计算它 的分数阶积分/导数，但是对于复杂函数u，无法利用 定义求解其分数阶积分/导数。解决方法是用正交多 项式逼近u,通过求正交多项式的分数阶积分/导数代 替求u的分数阶积分/导数。
2.第一种形式的谱方法
其中，正交系数Cij的求法如下：
3.第二种形式的谱方法
分数阶谱方法
1.分数阶积分/导数的定义 2.第一种形式的谱方法 3.第二种形式的谱方法 4.多区域谱方法 5.数值例子
1.分数阶积分/导数的定义
思考：
① 联想数学分析中的泰勒级数展开，对于简单函数u， 可以直接计算并讨论它的收敛性、连续性、可微性和 可积性，但对于复杂函数u，无法直接讨论它的以上 性质。解决方法是用泰勒级数逼近u，通过讨论级数 的性质代替讨论u的性质。
(cosx
i
sin
x)
(it
(
( 1) 1)
t
)
x [0,2 ], t [0,1]
IC : u(x,0) 0, BC：u(0,t) t 2, u(2 ,t) t 2
exact solution: u(x,t) t (cosx i sin x)
解题原理：
误差图：
结束~谢谢！
5. 数值例子
例1.
0.3 , x[0,1]
C
0
Dx
u
(
x)
x1
N k 1
(1)k x2k
(2k 2 )
BC : u(0) 0
exact solution: u(x) sin(x)
解题原理：
MATLAB求解：
误差图：
例2.
i
C0Dt u(x, t)
2u( x, t ) x 2
② h-refinement (N固定，M不固定) x∈[-1,1]，先将[-1,1]分为M个不等小区间，每
个小区间再等分为N个均分小区间，分别求M个小 区间上的求导矩阵，然后按照相应规则组装。
p-refinement
1 2 3 4
5
1
2间, i 为小区间上的拉格朗日
插值多项式