2015-2016-1《高等数学A1》期末总练习

2015 -2016-1 高等数学A1 期末总练习

一．计算题

1．求极限0sin lim (1cos )ln(1)

x x x x x →---。 2．已知函数22(tan )tan[()],y f x f x =+且()f x 可导，求y '。

3．讨论函数1arctan ,00,0

x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性。 4

．已知22

((4)x x y x e -+=+，求该函数图形在点()12，12的切线方程。 5．设方程y e xy e +=确定隐函数()y y x =，求()0y '和()0y ''。

6．求由参数方程33cos sin x a t y a t

⎧=⎨=⎩所确定的函数的一阶及二阶导数dy dx ，22d y dx 。 7、设(

)ln(f x x =求函数()f x 当自变量x 由1改变到1.01的微分。

8

．求极限0x →。 9．求函数sin (1)

x y x x =-的间断点并判别其类型。 10．设(2)x y f =，其中()f u 有二阶导数，求y '及y ''。

11．设函数()y f x =由方程y x x y =所确定，求dy 。

12. 求由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数的一阶及二阶导数dy dx ，22d y dx 。 13．设()y f x =由方程cos e 1y x y +=所确定，求曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程.

14．求数列的极限)(lim n n n n -+∞

→2。

15．求函数的极限22011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝

⎭。 16．已知函数()1

tan x y x =，求y d 。

17．设函数)(x f y =由方程e 1sin()y x y ++= 所确定，求2020d d x y y x ==。

18．求曲线21arctan ,ln()

x t y t =⎧⎨=+⎩在参数 t = 1时所对应的点处的切线方程和法线方程。

19．设函数)(x f 在0=x 处可导，且,)(,)(a f f ='=000 求220e 1()lim ()

x x f x x →-。 20．求出函数()2()ln 1f x x =+的凹凸区间及拐点。

21．计算 22020lim arc x t x te dt tanx →⎰

。 22．计算 ()21dx x x +⎰。 23. 计算

10⎰。 24．计算反常积分22d ln x x x

+∞

⎰。 25．求摆线sin ,(02)1cos ,x t t t y t π=-⎧≤≤⎨=-⎩

一拱的全长。 26．求解方程200(1)21 3

x x x y x y y y =='''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩；。 27. 设曲线2y x ax b =++与321y xy =+在点(11),处相切，求常数,a b 的值。

28．计算2sin 00(1)lim sin x t x e dt x x →--⎰。 29．计算41x dx x -⎰

。 30

．计算3

2

0⎰。 31．求微分方程2(2arccos )0xy x dx x dy -+=的通解。

32．求微分方程2335y y y x '''+-=-满足(0)0,(0)4y y '==的特解。

33．求极限102lim[sin (12)]x x x x x

→++。 34．求arctan x xdx ⎰。

35．求定积分12

21x

e dx x ⎰。 36．求0e +∞⎰。 37．设2,01()1,12

t t f t t ⎧≤<=⎨≤≤⎩，1()()x F x f t dt =⎰，其中02x ≤≤，求()F x 。 38．求方程22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解。

39．求极限02lim sin x x x e e x x x

-→---。 40．设2sin()0x y xy -+=，求dy 。 41．求定积分12

0arcsin x dx ⎰。 42．求不定积分。 43．已知3arctan 3x t y t t =⎧⎨=+⎩，则22d y dx 。 44．求方程2212y y x x '''-=的通解。 二．应用题

1．当0x >时，求()ln(f x x x =+-的单调区间；并估计积分 1

0[ln(]x x dx +-⎰的取值范围。

2．求满足微分方程()20xdy x y dx +-=的曲线()y y x =，使它与直线1x =，2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。

3. 求由曲线22(0),y x x =≥1y x -=及y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积。

4. 求曲线ln y x =在[2,6]x ∈内的一条切线，使该切线与直线2,6x x ==及曲线ln y x =所围的面积最小。

5．求曲线ln y x =及直线0y =，2x e =所围的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体体积。

6．设()f x 是连续的偶函数，且满足(0)1f =，0()()x f x f t dt x -'+=⎰，

求函数()f x 。

7. 求曲线y =20x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体体积。

三．证明题

1． ()()0000设函数在点处可微，且，求证当时，函数y f x x f x x '=≠∆→ ()的增量与微分的差是y f x y dy =∆比y ∆高阶的无穷小。

2．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =， 证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得3()()0f f ξξξ'+=。

3．设3()sin ()(1)x x x

f x x e ϕ=-，其中(0)0ϕ=，(0)1ϕ'=，证明0

lim ()x f x →存在。 4．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==， 证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0f f ξξ'+=。

5．证明不等式11ln(),x x x x

<+<+ 其中x > 0。 6. 设)(x f 在],[10上连续，在),(10内可导，且,)()(010==f f 证明：（1）方程02

1=-+x x f )(在),(10内至少存在一个实根； （2）在),(10内至少存在一点ξ，使得20()()f f ξξξ'+=。

7. 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，证明对任何()0,1q ∈， 有()11

01()()q q f x dx f x dx -≥⎰⎰。 8. 设函数()f x 在[,]a b 上连续，且()0b

a f x dx =⎰，证明： 至少存在一点(,)a

b ξ∈，使得()()a f x dx f ξ

ξ=⎰。 9. 证明：当0x >时，不等式 2e (1)1x x x -<+ 恒成立。

10. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =。 证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=。

11. 设()f x ，()g x 在[,]a a -上连续，且()()1f x f x +-=，()g x 为偶函数。 证明：0

()()()a

a a f x g x dx g x dx -=⎰⎰。