二阶常微分方程解

第七节 二阶常系数线性微分方程

的解法

在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。

§7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法

设给定一常系数二阶线性齐次方程为

22dx y d ＋p dx

dy

＋qy ＝0 (7.1)

其中p 、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。

我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，

从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx

dy

，y 各乘

以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y ，

其22dx y d ，dx

dy

，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数e rx ，符合上述要求，于是我们令

y ＝e

rx

(其中r 为待定常数)来试解

将y ＝e rx ，dx

dy ＝re rx ，22

dx y d ＝r 2e rx

代入方程(7.1)

得 r 2e rx ＋pre rx ＋qe rx

＝0

或 e rx （r 2＋pr ＋q ）＝0

因为e rx ≠0，故得 r 2

＋pr ＋q ＝0

由此可见，若r 是二次方程

r 2＋pr ＋q ＝0 (7.2)

的根，那么e rx 就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。

特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r １，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根r 1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。

(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r １，r 2，

此时e

r １x

，e r2x

是方程(7.1)的两个特解。

因为 x r x

r 21e

e ＝e x )r r (21-≠常数

所以e r1x ，e r2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为 y ＝C 1e r1x

＋C 2e

r2x

(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r 1＝r 2，此时p 2－4q ＝0，即

有r 1＝r 2＝2

p -，这样只能得到方程(7.1)的一个特

解y １＝e r １x

，因此，我们还要设法找出另一个满足1

2y y ≠

常数，的特解y 2，故12y y 应是x 的某个函数，设1

2

y y ＝u ，

其中u ＝u(x)为待定函数，即

y 2＝uy 1＝ue r １x

对y 2求一阶，二阶导数得

dx

dy 2＝dx du e r1x ＋r １ue r1x ＝(dx du ＋r 1u)e r1x

222dx y d ＝(r 2

１u ＋2r 1dx du ＋22

dx

u d )e r1x

将它们代入方程(7.1)得

(r 2

1u ＋２r 1dx du ＋22dx u d )e r1x ＋p(dx

du ＋r 1u)e r1x

＋

que r1x

＝0

或

［22dx u d ＋(2r 1＋p) dx

du

＋(r ２１＋pr 1＋q)u ］e r1x

＝0

因为e r1x

≠0，且因r 1是特征方程的根，故有r

２１

＋

pr １＋q ＝0，又因r 1＝－2

p

故有2r 1＋p ＝0，于是上式

成为 22dx

u d ＝0

显然满足22dx

u

d ＝0的函数很多，我们取其中最简单

的一个 u(x)＝x

则y 2＝xe rx 是方程(7.1)的另一个特解，且y 1，y 2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是

y ＝C 1e r1x

＋C 2xe r1x

＝(C 1＋C 2x)e r1x

(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r 1＝α

＋i β，r 2＝α－i β

此时方程(7.1)有两个特解

y 1＝e (α＋i β)x

y 2＝e （α－i β）x

则通解为

y ＝C 1e

（α＋i β）x ＋C 2e

（α－i β）x

其中C 1，C 2为任意常数，但是这种复数形式的解，

在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式

e ix ＝cosx ＋isinx ，e －ix ＝cosx －isinx

有 2

1

(e ix ＋e －ix )＝cosx

i 21

(e ix －e －ix )＝sinx

21 (y 1＋y ２)＝21e αx (e i βx ＋e －i βx )＝e αx

cos βx

i 21 (y 1－y 2)＝i

21e αx (e i βx －e －i βx

)＝e αx sin βx

由上节定理一知，21 (y 1＋y 2)，i

21

(y 1－y 2)是方程

(7.1)的两个特解，也即e αx cos βx ，e αx

sin βx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为

y ＝C 1e αx

cos βx ＋C 2e αx

sin βx

或 y ＝e αx (C 1cos βx ＋C 2sin βx)

其中C 1，C 2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。

综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下