《解析几何》第10讲 椭圆及其标准方程

第10讲
椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义
文字语言：
平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 ( 大 于
|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
符号语言：
平面内点M满足|MF1|+|MF2|＝2a（2a>|F1F2|）,点M的轨 迹叫做椭圆．
2．椭圆的标准方程
标准 方程
且△F1AB的面积为9, 则b= 3 .
2
2
的焦点,点P在椭圆上满足 ∠F1 PF2=90°,
P
m
F1
2c
n
F2
例题 3. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)， 1 D . 离心率等于 ，则 C 的方程是 2 x2 y2 x2 y2 A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 3 4 4 3 x2 y2 x2 y2 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 4 2 4 3
x y 1 上一点 例题2. 已知椭圆 16 9 P 到一个焦点的距离为 3 , 则它到
另一个焦点的距离是
2
2
5
.
变式1. 已知椭圆中心为原点，一个焦点 F1(3,0),过F2的直线与椭圆交于AB,且 △F1AB的周长为16, 椭圆的方程是 .
已知F1 , F2是椭圆 2 2 1 a b
x 2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
y2 x2 2＋ 2＝1(a>b>0) a b
图形
性 质
范 围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
x y 例题 1. 若方程 ＋ ＝1 表示椭圆， 则 5－ k k － 3 k 的取值范围是
2
2
(3,4)∪(4,5) ．
变式 1. 若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 k 的取值范围是 (4,5) ． 变式 2. 若方程表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则 k 的取值范围是 (3,4) ．
则它的标准方程为 9 ＋ 3 ＝1 .
1 变式1.已知椭圆上两点 3,0 , 3, 2 2 2 x y


变式2. 焦点为 3,0 , 且过点P 则椭圆的方程为
解法1. 解法2.


.
1 3, 2
P
F1
F2
用待定系数法求椭圆的方程:
“先定型，再定量”
不能确定焦点的位置时，
①分类讨论：
②避开讨论：
设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0)．