考研数二真题及解析

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2021考研数学(二)真题(含详细解析)

2021考研数学(二)真题(含详细解析)

2k 1 1 2n n
lim
n
n k 1
f
k
1
n
1
f (x)dx .选(B).
0
(8)二次型 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为( )
(A)2,0
(B)1,1
(C)2,1
(D)1,2
【答案】B
【解析】方法 1: f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3 ,其二

(A)
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
(B)
lim
n
n k 1
f
2k 1 1 2n n
(C)
lim
n
n k 1
f
k 1 2n
1 n
【答案】B
(D)
lim
n
n k 1
f
Hale Waihona Puke k 2 2n n【解析】由于
k n
k
2k 1 2n
k 1 n
,则 lim n
n k 1
f
t 1 1)et
t2
确定,则
d2y dx2
t0
.
【答案】 2 3
【解析】利用参数方程的求导公式
dy dx
yt xt
' '
4tet 2t 2et 1

d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
4tet 2et
2t 1
d dt

2022年考研数学二真题及答案解析

2022年考研数学二真题及答案解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学二一、选择题:no 小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1.当XT0时,a(x), 0(x)是非零无穷小量,给出以下四个命题: ① 若a(x)~0(x),则a2(x)~p2(x ). ② 若a2(x)~p2(x),则a(x)-p(x); ③ 若a(x)〜。

(x),则a(x)-P(x)~o(a(x)); ④ 若a(x)-p(x)~o(a(x)),则a ⑴〜0(x),其中所有真命题的序号是().A. ①②B.①®C.①③④D.②®④ 【答案】D.【解析】取a(x) = l-cosx, P(x) = lx2,排除①,故选D.^x = \2dx\x0 03.设函数/(同在x = x 处有2阶导数,则A. 当/(*)在*的某邻域内单调增加时,/ G )>00 0 B. 当rlv)>Ont, f(x)在X 的某邻域内单调增加 0 02D- 32. !2dJ 0 2-f —dK=()V + X31 B- 3 【答案】 【解析】D.交换积分次序后可得G + 1)0 y Jl + *3X2 ,C. 当/'(”在X 的某邻域内是凹函数时,/'"(x )>0D. 当/O>0,/«在气的某邻域内是凹函数0 0【答案】B.【解析】因/'(x)在x = x 处有2阶导数,则f\x )=lim /f W-/V 0)存在=|im 广(x)= p x ),°ip当f\x )>0时,由极限的局部保号性得,38>0,当x 話。

,8),有f\x)> 0 ,即35 >0, 0 0 当x G t/(x,6),有广⑴>0,故/■⑴在x = %的某邻域内单调增加,选B..dF = _dF diF _ diF . dx dy ,dx2 dyi【答案】C. 【解析】由于F(x,y) = jr= (x-y)jr/⑺出-f^//(r)dz,c当=f (f)dr + (x-y)f(x- y)-(x-y)f (x-y) = \x ~yf{t)6t,OX o~J x -y /(r)dr -(x-y)f(x-y) + (x-y)f(x-y) = J 。

考研数学二真题及答案解析

考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;1下列反常积分中收敛的是A ∫√x 2B ∫lnx x +∞2dxC ∫1xlnx +∞2dxD ∫x e x +∞2dx答案D;解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;∫√x2=2√x|2+∞=+∞; ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞; ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞; ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学—一元函数积分学—反常积分2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点答案B解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限3设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0,0,x ≤0α>0,β>0.若f ′(x )在x =0处连续,则 A α−β>1 B 0<α−β≤1C α−β>2D 0<α−β≤2答案A解析易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0,0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在,α≤1,f −′(0)=0 于是,f ′(0)存在α>1,此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在,α−β−1≤0, 因此,f′(x )在x =0连续α−β>1;选A综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限4设函数f(x)在-∞,+∞内连续,其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示,则曲线y =f(x)的拐点个数为A OB x A 0 B 1C 2D 3答案C解析f(x)在-∞,+∞内连续,除点x =0外处处二阶可导; y =f(x)的可疑拐点是f ′′(x )=0的点及f ′′(x)不存在的点;f ′′(x )的零点有两个,如上图所示,A 点两侧f ′′(x)恒正,对应的点不是y =f (x )拐点,B 点两侧f ′′(x )异号,对应的点就是y =f (x )的拐点;虽然f ′′(0)不存在,但点x =0两侧f ′′(x)异号,因而0,f(0) 是y =f (x )的拐点;综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点5设函数f(μ,ν)满足f (x +y,y x )=x 2−y 2,则f μ|μ=1ν=1与f ν|μ=1ν=1依次是 A 12,0 B 0,12C −12,0D 0,−12答案D解析先求出f (μ,ν)令{μ=x +y,ν=y x ,{x =μ1+ν,y =μν1+ν, 于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1) 因此f μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0 f ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分6设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,函数f(x,y)在D 上连续,则∬f (x,y )dxdy =DA ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr B ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr C ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr D ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr答案 B 解析D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,作极坐标变换,将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分; D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ因此 ∬f (x,y )dxdy D =∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算;7设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2];若集合Ω={1,2},则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为A aΩ,dΩB aΩ,d ∈ΩC a ∈Ω,dΩD a ∈Ω,d ∈Ω答案D解析Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式,值为(a −1)(a −2),如果a?Ω,则|A |≠0,r (A )=3,此时Ax =b 有唯一解,排除A,B类似的,若d?Ω,则r (A |b )=3,排除C当a ∈Ω,d ∈Ω时,r (A |b )=r (A )=2,Ax =b 有无穷多解综上所述,本题正确答案是D;考点线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解;8设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换x =Qy 下的标准形为A 2y 12−y 22+y 32B 2y 12+y 22−y 32C 2y 12−y 22−y 32D 2y 12+y 22+y 32答案A解析设二次型矩阵为A ,则P −1AP =P TAP =[20001000−1]可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-e 3也是A 的特征向量,特征值为-1,因此Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述,本题正确答案是A;考点线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形;二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分;9设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y dx 2|t=1=解析由参数式求导法dy dx =y t ′x t ′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2ydx 2=d dx [3(1+t 2)2]=d dt [3(1+t 2)2]dt dx =6(1+t 2)2t1x t ′ =12t(1+t 2)2, d 2y dx 2|t=1=48综上所述,本题正确答案是48;考点高等数学-一元函数微分学-复合函数求导10函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)=答案n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,)解析解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

2020考研数学二真题含答案解析

2020考研数学二真题含答案解析

2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题:1~8题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

(1)当x 0时,下列无穷小量中最高阶的是A. ()x0(e 1)dte1x 1t 2 B.x0ln(1 t )dt3 C.sin x0sin t dt2 D.1 cos xsin 3tdt(2)函数f (x ) A.1个(3)ln1 x(e x 1)(x 2)的第二类间断点的个数为C.3个D.4个()B.2个arcsin xx (1 x )dx 1()2A.42 2B.8 C.(n )4D. 8()(4)已知函数f (x ) x ln(1 x ),当n 3时,f A.(0)(n 2)!nD.n !n 2B.n !n 2 C.(n 2)!n()xy ,xy 0 (5)关于函数f (x ,y )x ,y 0,给出下列结论: y ,x 0f ① x2f 1;②x yB.3(0,0)(0,0)1;③(x ,y ) (0,0)limf (x ,y ) 0;④lim lim f (x ,y ) 0.y 0x 0其中正确的个数为A.4(C.2D.1(D.)(6)设函数f (x )在区间 2,2 上可导,且f (x ) f (x ) 0.则A.)f ( 2)1f ( 1)B.f (0) e f ( 1)C.f (1) e 2f ( 1)f (2) e 3f ( 1)*(7)设4阶矩阵A (a ij )不可逆,a 12的代数余子式A 12 0, 1, 2, 3, 4为矩阵A 的列向量组,A 为A 的伴随矩阵,则方程组A *x 0的通解为A.x k 1 1k 22k 33,其中k 1,k 2,k 3为任意数B.x k 1 1k 22k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数C.x k 1 1k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数D.x k 12k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数()(8)设A 为3阶矩阵, 1, 2为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量, 3为A 的属于特征值-1的特1001征向量,则满足P AP 0 10 的可逆矩阵P 可为001A.( 13, 2, 3)B.( 1 2, 2, 3)C.( 1 3, 3, 2)()D.( 1 2, 3, 2)二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在横线上.x t 2 1d 2y (9)设,则22dxy ln(t t 1)(10) ________.t 110dy1yx 3 1dx ________.(0, )(11)设z arctan xy sin(x y ),则dz ________.(12)斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中,且斜边与水面相齐,记重力加速度为g ,水的密度为 ,则该平板一侧所受的水压力为________.(13)设y y (x )满足y 2y y 0,且y (0) 0,y (0) 1,则y (x )dx ________.a(14)行列式a1 1 11a 0110a________.0 11三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.(15)(本题满分10分)x 1 x求曲线y x 0 的斜渐近线方程. 1 x x(16)(本题满分10分)已知函数f x 连续且lim x 01f (x ) 1,g (x ) f (xt )dt ,求g (x )并证明g (x )在x 0处连续.0x求函数f x ,y x 8y xy 的极值.33(18)(本题满分10分)21 x 2x 设函数f (x )的定义域为 0, 且满足2f (x ) x f.求f (x ),并求曲线2 x 1 x 213y f (x ),y ,y 及y 轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.22(19)(本题满分10分)设平面区域D 由直线x 1,x 2,y x 与x 轴围成,计算Dx 2 y 2dxdy .x设函数f (x ) x 1e t dt .22(Ⅰ)证明:存在 (1,2),使得f ( ) (2 )e ;(Ⅱ)证明:存在 (1,2),使得f (2) ln 2 e .2(21)(本题满分11分)设函数f (x )可导,且f (x ) 0,曲线y f (x )(x 0)经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于T ,又MP 垂直x 轴与点P .已知由曲线y f (x ),直线MP 以及x 轴所围图形的面积与 MTP 的面积之比恒为3:2,求满足上述条件的曲线的方程.设二次型f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2x 3 2ax 1x 2 2ax 1x 3 2ax 2x 3经过可逆线性变换222 x 1 y 1222x P 2 y 2 化为二次型g (y 1,y 2,y 3) y 1 y 24y 3 2y 1y 2. x y 33(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求可逆矩阵P .(23)(本题满分11分)设A 为2阶矩阵,P ( ,A ),其中 是非零向量且不是A 的特征向量.(Ⅰ)证明P 为可逆矩阵;(Ⅱ)若A A 6 0,求P AP ,并判断A 是否相似于对角矩阵.2 12020考研数学真题(数学二)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上....1.当x →0+时,下列无穷小量中最高阶的是()A.⎰x0(e -1)dtB.⎰ln(1+t )dtC.⎰0t 2x3sin x0sin t dtD.⎰21-cos xsin 3tdt解析:本题选D.考查了无穷小量的阶的比较,同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。

2020考研数学二真题 附答案解析

2020考研数学二真题 附答案解析

t3t 2 2x10 2x ®0x (1- x )x d x e -1 ln |1+ x |-2x= -e -1 2ln | x +1| x = -e -1 2¥¥òarcsin u · 1 arcsin xx (1- x ) u 2(1- u 2)x ®01- u 2¶f¶x arcsin u d 0 p①(0,0)¶2 f¶x ¶y ¶f¶x②(0,0)①(0,0) = lim-1 不存在.(0,0)y ®0 y xy = 0(0,0)x = 0y = 0¶x ¶y6.设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导,且 f ¢(x) >f (x) > 0 ,则( )f (-2)> 1f (-1)f (0) f (-1)f (1) f (-1)f (2) f (-1) >e <e2 <e3答案:B解析:由 f ¢(x) >f (x) > 0知f ¢(x)- 1 > 0f (x)即(ln f (x) -x)¢> 0令F (x) = ln f (x) -x ,则 F (x)在[-2, 2]上单增因-2 <-1 ,所以 F (-2) <F (-1)即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1f (-1)>ef (-2)同理, -1 < 0, F (-1) <F (0)即ln f (-1) + 1 < ln f (0)f (0)e7.设四阶矩阵A=(a ij )不可逆,a12 的代数余子式A12 ¹0,a1,a2 ,a3 ,a4 为矩阵A的列向量 组. A* 为 A 的伴随矩阵.则方程组 A* x =0 的通解为( ).A.x=k1a1 +k2a2 +k3a3 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数B.x=k1a1 +k2a2 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数C.x=k1a1 +k2a3 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数.D.x=k1a2 +k2a3 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数 答案:C解析:∵A 不可逆11 2 3 3 4è øè ø ∴|A|=0 ∵ A 12¹ 0r ( A *) = 1∴ r ( A ) = 3∴ A * x = 0 的基础解系有 3 个线性无关的解向量.A *A =| A | E = 0∴A 的每一列都是 A *x = 0 的解又∵ A 12¹ 0∴a 1 ,a 3 ,a 4 线性无关∴ A *x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a 8. 设 A 为 3 阶矩阵,a 1 ,a 2 为 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量,a 3 为 A 的属于特征 æ 1 0 0 ö 值-1 的特征向量,则满足P -1AP = ç 0 -1 0 ÷的可逆矩阵 P 可为( ).A. (a 1 +a 3 ,a 2 , -a 3 )B. (a 1 +a 2 ,a 2 , -a 3 )C. (a 1 +a 3 , -a 3 , -a 3 )D. (a 1 +a 2 , -a 3 , -a 2 )答案:D解析:A a 1 = a 1 , A a 2 = a 2A a 3 = -a 3ç ÷ ç 0 0 1 ÷æ 1 0 0 ö ! P -1AP = ç 0 -1 0 ÷ç ÷ ç 0 0 1 ÷\ P 的 1,3 两列为 1 的线性无关的特征向量a 1 +a 2 ,a 2 P 的第 2 列为 A 的属于-1 的特征向量a 3.∴∵24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.,则 = .t =1tt tyyd 2 ydx 2t 2 +1t 2 +1dy 2dx 2ò)], )],(0,(0, 1 ,则 +¥y (x ) d x 0¶z ¶x ¶z ¶y0 òò= +¥y (x ) d x = - +¥ y ¢(x ) + 2 y ¢(x ) d x= -[ y ¢(x ) + 2 y (x )] +¥= [ y ¢(0) + 2 y (0)] = 1a 0 -1 114.行列式 a 1 -1 =-1 1 a 0解析:1 -1 0 a a 0 -1 1 a 0 -1 1 0 a 1 -1 = 0 a 1 -1 0 a -1 + a2 1 a -1+ a 2 1=0 a 1 -1 = - a 1 - 1 -1 1a 0 0 a a0 0 a aa a 2 - 2 1 = - a 2 -1 = a 4 - 4a 2.0 0 a三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分 10 分)x 1+ x求曲线 y = (1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线方程.解析: lim y x 1+ xlim= limx ®+¥ xx x xx ®+¥ (1+ x )x x x ®+¥ (1+ x )= ex l n xlim x ®+¥ ex ln(1+ x )= lim e x (ln x -ln(1+ x ))x ®+¥-1 1 a 0 -1 1 a 0 1 -1 0a 00 aaò=x ®+¥=x ®+¥=x ®+¥lim (y x ®+¥= lim æx ®+¥ è= lim x ®+¥= lim x ®+¥= ölim x ®+¥ø= ö x ®+¥÷ ø= lim e t ®0+ = lim e t ®0+ = 1 e -1 t ®0+ y = e -11e-1216.limf (x ) = 1,g ( x ) = 1f ( xt )dt , 求g '( x )x ®0 x续.并证明 g '(x )在x = 0 处连x = lim f (x ) = 0 x ®0ò0 f (u )du = 1 lim f (x ) = 1 0 x 2 2 x ®0 x 2 的极值y C = 0 -1+ 1x 2 +13 çx AC - 当 x = A = 1.AC - >1= -21618. ) ,并求直线 y = 1 ,与函数 f (x ) 所 y = 22+ 2 f æ1 è ) x x …②①´ 2f (x ) = x②V = p × ÷ 3 - p = 3 3 4 = p 2312 2 x 1+ x 2x 2 + y 2x 2 + y 2 xòò Ddxdy òò d(+ 2 2 òò x d 2 x 2 + y 2ò = 3 + 1)ù û20.分)t 2dt .f (x ) = (2 -x )e x 2 ;(1, 2), f (2) = ln 2 ×h e h 2 .F (x ) = f (x )(x - 2) = (x - 2) x e t 2dt 1 (2) = 0, 又F (x )在[1, 2]连续,(1, 2)上可导,(1, 2), 使得F '(x ) = 0e t 2 dt + (x - 2)e x 2 =f (x ) + (x - 2)e x 2x 2 .令 $h Î(1, 2)=f (2) = e=h e h 2 ln 22 21.分)f ¢(x ) > 0(x ³ 0) , f (x ) 的图象过原点 O的切线与 X 轴交于 T ,MP ^ x 轴,曲线 y = f (x ), MP , x 轴围成的面积与D 3:2,求曲线方程.坐标为(x , y ) ,则过 M 的切线方程为Y -令- y y ¢n 2 (2即xê úò0 f (t )d t = 3× × y 22 y整理并求导得令 y ¢ = p 3yy ¢ - 2 y ¢2 = 0y ¢ = d p 代入上式得d y3yp d p- 2 p 2 = 0d y2解得 p = C 1 y 32即 y ¢ = C 1 y 3d y = C d x1y 31 3y 3 = C 1x +C2 13 3 = C 1xy = Cx 3由 y (0) = 0 得C 2 = 0.22.(本题满分 11 分)设 二 次 型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2+ 2ax x + 2ax x + 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3æ x1 ö æ y 1 ö ç x ÷ = P ç y ÷ 得 g ( y , y , y ) = y2 + y 2 +4 y 2 + 2 y y .ç 2 ÷ ç 2 ÷ 1 2 3 1 2 3 12ç x ÷ ç y ÷ è 3 ø è 3 ø(1) 求 a 的值; (2) 求可逆矩阵 P. 解析:é1aa ùA = êa 1 a ú ê ú(1) 令 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的矩阵 êëa a 1úûf ( y 1, y 2 , y 3 ) 的矩阵 é1 1 0ùB = ê1 1 0úêë0 0 4úû33 32 21 2 1 1 2 1 ëû ê 3 1 2 ê 3 z ï ú ìz 1 = y 1 + y 2 í 2 = 2 y 3 é1 1 0ù ï z 3 = y 2 ê ú 令î 即令P = ê0 0 2ú Z = P Y . 22 êë0 1 0úûf ( y , y , y ) = z 2 + z 2 则 1 2 3 1 2 .故P 1 X = P 2Y X = P -1PY P = P -1P .é 1 ù ê3 ú é1 1 0ù P -1 = ê02 1ú P = ê0 0 2 ú 1 ê3 ú 2 ê ú ê ê0 0 由于 êë ú ê0 1 0ú 1ú úû é1 2 2 ù ê ú 故 P = P -1P = ê0 14 ú ú ê0 1 0 ú ê úêë úû23.(本题满分 11 分)设 A 为 2 阶矩阵, P = (a , A a ) ,其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. (1)证明 P 为可逆矩阵.(2)若 A 2a + A a - 6a = 0 ,求 P -1AP ,并判断 A 是否相似于对角矩阵. 解析:(1)a ¹ 0 且 A a ¹ la . 故a与A a 线性无关. 则 r (a , A a ) = 2则 P 可逆.(2)法一:由已知有 A 2a = - A a + b a即 . 所以于是 AP = A (a , A a ) = ( A a , A 2a ) = ( A a , - A a + 6a )= (a , A a ) æ 0 6 ö,故有P -1 AP = æ 0 6 ö,! P 可逆 ç 1 -1÷ ç 1 -1÷ è ø è ø \可得A 与æ 0 6 ö相似,又 l -6 =(l + 3)"(l - 2)= 0 ç 1 -1÷ -1 l +1è øÞl 1 = -3,l 2 = 2\可得A 的特征值也为-3,2 于是 A 可相似对角化方法二 P -1AP 同方法一由 A 2a + A a - 6a = 0下面是证明 A 可相似对角化( A 2 + A - 6E )a = 0设( A + 3E )( A - 2E )a = 0由a ¹ 0得( A 2 + A - 6E )x = 0有非零解 故| ( A + 3E )( A - 2E ) |= 0得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0若| ( A + 3E ) |¹ 0则有( A - 2E )a = 0故A a =2a 与题意矛盾故| A + 3E |= 0同理可得| A - 2E |= 0 于是 A 的特征值为l 1 = -3 l 2 = 2.A 有 2 个不同特征值故 A a 相似对角化。

2020年考研数学二真题及解析

2020年考研数学二真题及解析

2020全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)当0x +→时,下列无穷小量中最高阶是( ) (A )()21xt e dt -⎰(B)(0ln 1xdt +⎰(C )sin 20sin xt dt ⎰(D)1cos 0-⎰【答案】(D )【解析】由于选项都是变限积分,所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

(A )()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰(B )(()(22ln 1ln 1x t dt x x'+=⎰(C )()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰(D )()1cos 22301sin sin(1cos )2xt dt x x x-'=-⎰经比较,选(D )(2)函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 【答案】(C )【解析】由题设,函数的可能间断点有1,0,1,2x =-,由此11121111ln 1lim ()lim lim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---; 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---;1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x exf x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---;112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞----故函数的第二类间断点(无穷间断点)有3个,故选项(C )正确。

2023考研数学二真题+详解答案解析(超清版)

2023考研数学二真题+详解答案解析(超清版)

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题及答案考试时间:180分钟,满分:150分一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为( ) (A)y x e =+ (B)1y x e=+(C)y x = (D)1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−,11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−,所以渐进线方程为1y x e =+,答案为B(2)设0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为( )(A)),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨+−>⎪⎩(B))1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨+−>⎪⎩(C)),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩(D))1,0()(1)sin cos ,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩【答案】D【解析】根据原函数的连续性,可排除(A)(C);再根据原函数的可导性,可排除选项(B),答案为(D) (3)已知{}n x ,{}n y 满足1112x y ==,1sin n n x x +=,21(1,2,)n n y y n +== ,则当n →∞时( )(A)n x 是n y 的高阶无穷小(B)n y 是n x 的高阶无穷小(C)n x 与n y 是等价无穷小(D)n x 与n y 是同阶但不等价的无穷小【答案】B【解析】由已知可得,{}n x ,{}n y 均单调递减,且12n y ≤,又因为sin x x 在(0,2π上单调递减,故2sin 1x x π<<,所以2sin x x π>,所以21112sin sin 24n n n n nn n n n n ny y y y y y x x x x x ππ++==≤=,依次类推可得,111100()444n nn n n n y y y n x x x πππ++⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤=→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故n y 是n x 的高阶无穷小,答案为B (4)若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界,则( )(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0ab =>(D)0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形:①240a b Δ=−>,1212x xy C e C e λλ=+,但此时无论12,λλ取何值,y 在(,)−∞+∞上均无界;②240a b Δ=−=,12()xy C C x eλ=+,但此时无论λ取何值,y 在(,)−∞+∞上均无界;③240a b Δ=−<,12(cos sin )xy e C x C x αββ=+,此时若y 在(,)−∞+∞上有界,则需满足0α=,所以0,0a b =>,答案为(C)(5)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定,则( ) (A)()f x 连续,(0)f ′不存在(B)(0)f ′不存在,()f x ′在0x =处不连续(C)()f x ′连续,(0)f ′′不存在(D)(0)f ′′存在,()f x ′′在0x =处不连续【答案】C 【解析】当0t =时,有0x y ==①当0t>时,3sin x t y t t=⎧⎨=⎩,可得sin 33x xy =,故()f x 右连续;②当0t<时,sin x ty t t=⎧⎨=−⎩,可得sin y x x =−,故()f x 左连续,所以()f x 连续;因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==;0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==,所以(0)0f ′=;③当0x >时,1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭,所以0lim ()0x y x +→′=,即()f x ′右连续;④当0x <时,()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−,所以0lim ()0x y x −→′=,即()f x ′左连续,所以()f x ′连续;考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==;0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−,所以(0)f ′′不存在,答案为C(6)若函数121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰在0αα=处取得最小值,则0α=( ) (A)1ln(ln 2)−(B)ln(ln 2)− (C)1ln 2(D)ln 2【答案】A 【解析】当0α>时,121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰收敛, 此时21122111111()ln (ln )(ln )(ln )(ln 2)f dx d x x x x x ααααααα+∞+∞+∞++===−=⎰⎰,故211111ln ln 2()(ln 2)(ln 2)(ln 2)f ααααααα′⎡⎤−′==−⎢⎥⎣⎦,令()0f α′=,解得0α=1ln(ln 2)−(7)设函数2()()x f x x a e =+,若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( )(A)[0,1)(B)[1,)+∞(C)[1,2)(D)[2,)+∞【答案】C 【解析】2()()x f x x a e =+,2()(2)x f x x x a e ′=++,2()(42)x f x x x a e ′′=+++,因为()f x 没有极值点,所以440a −≤;又因为曲线()y f x =有拐点,所以164(2)0a −+>,联立求解得:[1,2)a ∈(8)设A ,B 为n 阶可逆矩阵,*M 为矩阵M 的伴随矩阵,则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) (A)****A B B A O B A ⎛⎫−⎪⎝⎭(B)****B A A B O A B ⎛⎫−⎪⎝⎭(C)****B A B A OA B ⎛⎫−⎪⎝⎭(D)****A B A B OB A ⎛⎫−⎪⎝⎭【答案】B【解析】*11111A E A E A E A AB A B O B O B O B O B −−−−−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111***1*A B A A B A B B A A B O A B B OA B −−−−⎛⎫⎛⎫−−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,答案为B (9)二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为( )(A)2212y y +(B)2212y y −(C)2221234y y y +−(D)222123y y y +−【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++二次型矩阵为211134143A ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,211134(7)(3)143E A λλλλλλλ−−−−=−+−=+−−−+ 故答案为B(10)已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2101β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,若γ既可由12,αα线性表示,也可由12,ββ线性表示,则γ=( )(A)33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+,则有112211220k k l l ααββ+−−=,即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈,所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈,答案为D二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸指定位置上. (11)当0x →时,函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小,则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得:2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=,即1,2a b =−=,所以2ab =−(12)曲线y =⎰的弧长为________43π【解析】由题意可得函数定义域为[x ∈,根据公式可得:2302sin 24cos L x t tdtπ====⎰304(1cos 2)t dt π=+=⎰43π+(13)设函数(,)z z x y =由2ze xz x y +=−确定,则2(1,1)2zx∂=∂_________【答案】32−【解析】代入(1,1)点可得,0z =,先代入1y =,可得21z e xz x +=−,两边对x 求导,2z e z z xz ′′++=,得(1)1z ′=两边再对x 求导,20z ze z e z z z xz ′′′′′′′++++=,代入(1,1)及0z =,(1)1z ′=得2(1,1)232zx∂=−∂(14)曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为________【答案】119−【解析】代入1x =得到1y =,两边对x 求导,242956x y y y y ′′=+,代入1x =,1y =可得:911y ′=,故1x =对应点处的法线斜率为1119y −=−′(15)设连续函数()f x 满足:(2)()f x f x x +−=,2()0f x dx =⎰,则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰(16)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解,其中,a b 为常数,若0111412a a a =,则11120a a ab =_______【答案】8【解析】由题意可得:方程组系数矩阵秩为3,可得增广矩阵的秩也为3,即011110012002a a a ab =按照第四列进行行列式展开可得:144411011(1)122(1)11012a a a a a b a ++⋅−+⋅−⋅=所以111280a a ab =三、解答题:17~22小题,共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线:()()L y y x x e =>经过点2(,0)e ,L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距(1)求()y x ;(2)在L 上求一点,使得该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小,并求此最小面积【答案】(1)()(2ln )y x x x =− (2)33221(,)2e e ,最小面积是3e 【解析】(1)曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−,令0X =,则y 轴上的截距为Y y xy ′=−,则有x y xy ′=−,即11y y x′−=−,解得(ln )y x C x =−,其中C 为任意常数,代入2(,0)e 可得2C =,故()(2ln )y x x x =−(2)该点设为000(,(2ln ))x x x −,切线方程为0000(2ln )(1ln )()Y x x x X x −−=−− 令0X =,解得0Y x =;令0Y =,解得00ln 1x X x =−;所以该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为:200011()22ln 1x S x XY x ==−求导00020(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x −′=−,令0()0S x ′=,解得320x e =且为最小值点,最小面积为332()S e e =(18)(本题满分12分) 求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值【答案】极小值为21(,2)2f e k e π−=−(k Z ∈) 【解析】先求驻点cos cos 0(sin )0y xy y f e x f xe y ⎧′=+=⎪⎨′=−=⎪⎩,解得驻点为1(,(21))e k π−−+和(,2)e k π−,其中k Z∈下求二阶偏导数,cos cos 2cos 1(sin )sin cos xx yxy y y yy f f e y f xe y xe y ⎧′′=⎪⎪′′=−⎨⎪′′=−⎪⎩代入1(,(21))e k π−−+(k Z ∈),解得210xxxy yy A f B f C f e −⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==−⎪⎩,20AC B −<,故1(,(21))e k π−−+不是极值点; 代入(,2)e k π−(k Z ∈),解得210xxxy yy A f B f C f e ⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==⎪⎩,20AC B −>且0A >,故(,2)e k π−是极小值点,其极小值为21(,2)2f e k e π−=−(k Z ∈) (19)(本题满分12分)已知平面区域{(,)01}D x y y x =≤≤≥(1)求D 的面积(2)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积【答案】(1)ln(1S = (2)24V ππ=−【解析】(1)222214441tan sec csc ln csc cot tan sec D S x t tdt tdt t tt t ππππππ+∞====−⎰⎰⎰ln(1=+;(2)22222111111(1)1x V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞⎛⎫===− ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰11arctan x x π+∞⎛⎫=−− ⎪⎝⎭24ππ=−(20)(本题满分12分)设平面有界区域D 位于第一象限,由曲线221x y xy +−=,222x y xy +−=与直线y =,0y =围成,计算2213Ddxdy x y +⎰⎰【解析】本题采用极坐标计算,322013Ddxdy d x y πθ=+⎰⎰⎰333222222000111ln 3cos sin 3cos sin 3cos sin d r d d πππθθθθθθθθθ===+++⎰⎰332220011111ln 2ln 2tan ln 22(3tan )cos 23tan 2d d ππθθθθθ=⋅=⋅==++⎰⎰(21)(本题满分12分) 设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数,证明: (1)若(0)0f =,则存在(,)a a ξ∈−,使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−(2)若()f x 在(,)a a −内取得极值,则存在(,)a a η∈−,使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】(1)利用泰勒公式在0x =处展开,再利用介值性定理; (2)利用泰勒公式在极值点处展开,再利用基本不等式进行放缩;【解析】(1)在0x =处泰勒展开,22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+, 其中c 介于0与x 之间;代入两个端点有:211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈−两式相加可得:212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−=因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数,所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m , 根据连续函数的介值性定理可得,12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤,所以存在(,)a a ξ∈−,使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=,即21()[()()]f f a f a aξ′′=+−成立;(2)若()f x 在(,)a a −内取得极值,不妨设0x 为其极值点,则由费马引理可得,0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开,22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间;代入两个端点有:210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得:221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++,记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=, 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=,所以21()()()2f a f a f aη′′−−≤成立 (22)(本题满分12分)设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ,使得1P AP −=Λ【答案】(1)111211011A ⎛⎫⎪=− ⎪⎪−⎝⎭11 /11 (2)401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭,1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭【解析】(1)因为任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭,即112233*********x x A x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可分别取单位向量100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,可得100111100010211010001011001A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111211011A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭(2)111101101211221(2)2110110(2)1011E A λλλλλλλλλλλ−−−−−−−−=−+−=−+−=+−−−+−++−+101(2)211(2)(2)(1)20λλλλλλ−−=+−−=+−+− 所以A 的特征值为21,2−−,,下求特征向量: 当2λ=−时,解方程组(2)0E A x −−=,可得基础解系为1(0,1,1)T ξ=−;当1λ=−时,解方程组()0E A x −−=,可得基础解系为2(1,0,2)Tξ=−当2λ=时,解方程组(2)0E A x −=,可得基础解系为3(4,3,1)T ξ=令401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭,有1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭成立。

2020考研数学二真题 附答案解析

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t3t 2 2x10 2x ®0x (1- x )x d x e -1 ln |1+ x |-2x= -e -1 2ln | x +1| x = -e -1 2¥¥òarcsin u · 1 arcsin xx (1- x ) u 2(1- u 2)x ®01- u 2¶f¶x arcsin u d 0 p①(0,0)¶2 f¶x ¶y ¶f¶x②(0,0)①(0,0) = lim-1 不存在.(0,0)y ®0 y xy = 0(0,0)x = 0y = 0¶x ¶y6.设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导,且 f ¢(x) >f (x) > 0 ,则( )f (-2)> 1f (-1)f (0) f (-1)f (1) f (-1)f (2) f (-1) >e <e2 <e3答案:B解析:由 f ¢(x) >f (x) > 0知f ¢(x)- 1 > 0f (x)即(ln f (x) -x)¢> 0令F (x) = ln f (x) -x ,则 F (x)在[-2, 2]上单增因-2 <-1 ,所以 F (-2) <F (-1)即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1f (-1)>ef (-2)同理, -1 < 0, F (-1) <F (0)即ln f (-1) + 1 < ln f (0)f (0)e7.设四阶矩阵A=(a ij )不可逆,a12 的代数余子式A12 ¹0,a1,a2 ,a3 ,a4 为矩阵A的列向量 组. A* 为 A 的伴随矩阵.则方程组 A* x =0 的通解为( ).A.x=k1a1 +k2a2 +k3a3 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数B.x=k1a1 +k2a2 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数C.x=k1a1 +k2a3 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数.D.x=k1a2 +k2a3 +k3a4 ,其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数 答案:C解析:∵A 不可逆11 2 3 3 4è øè ø ∴|A|=0 ∵ A 12¹ 0r ( A *) = 1∴ r ( A ) = 3∴ A * x = 0 的基础解系有 3 个线性无关的解向量.A *A =| A | E = 0∴A 的每一列都是 A *x = 0 的解又∵ A 12¹ 0∴a 1 ,a 3 ,a 4 线性无关∴ A *x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a 8. 设 A 为 3 阶矩阵,a 1 ,a 2 为 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量,a 3 为 A 的属于特征 æ 1 0 0 ö 值-1 的特征向量,则满足P -1AP = ç 0 -1 0 ÷的可逆矩阵 P 可为( ).A. (a 1 +a 3 ,a 2 , -a 3 )B. (a 1 +a 2 ,a 2 , -a 3 )C. (a 1 +a 3 , -a 3 , -a 3 )D. (a 1 +a 2 , -a 3 , -a 2 )答案:D解析:A a 1 = a 1 , A a 2 = a 2A a 3 = -a 3ç ÷ ç 0 0 1 ÷æ 1 0 0 ö ! P -1AP = ç 0 -1 0 ÷ç ÷ ç 0 0 1 ÷\ P 的 1,3 两列为 1 的线性无关的特征向量a 1 +a 2 ,a 2 P 的第 2 列为 A 的属于-1 的特征向量a 3.∴∵24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.,则 = .t =1tt tyyd 2 ydx 2t 2 +1t 2 +1dy 2dx 2ò)], )],(0,(0, 1 ,则 +¥y (x ) d x 0¶z ¶x ¶z ¶y0 òò= +¥y (x ) d x = - +¥ y ¢(x ) + 2 y ¢(x ) d x= -[ y ¢(x ) + 2 y (x )] +¥= [ y ¢(0) + 2 y (0)] = 1a 0 -1 114.行列式 a 1 -1 =-1 1 a 0解析:1 -1 0 a a 0 -1 1 a 0 -1 1 0 a 1 -1 = 0 a 1 -1 0 a -1 + a2 1 a -1+ a 2 1=0 a 1 -1 = - a 1 - 1 -1 1a 0 0 a a0 0 a aa a 2 - 2 1 = - a 2 -1 = a 4 - 4a 2.0 0 a三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分 10 分)x 1+ x求曲线 y = (1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线方程.解析: lim y x 1+ xlim= limx ®+¥ xx x xx ®+¥ (1+ x )x x x ®+¥ (1+ x )= ex l n xlim x ®+¥ ex ln(1+ x )= lim e x (ln x -ln(1+ x ))x ®+¥-1 1 a 0 -1 1 a 0 1 -1 0a 00 aaò=x ®+¥=x ®+¥=x ®+¥lim (y x ®+¥= lim æx ®+¥ è= lim x ®+¥= lim x ®+¥= ölim x ®+¥ø= ö x ®+¥÷ ø= lim e t ®0+ = lim e t ®0+ = 1 e -1 t ®0+ y = e -11e-1216.limf (x ) = 1,g ( x ) = 1f ( xt )dt , 求g '( x )x ®0 x续.并证明 g '(x )在x = 0 处连x = lim f (x ) = 0 x ®0ò0 f (u )du = 1 lim f (x ) = 1 0 x 2 2 x ®0 x 2 的极值y C = 0 -1+ 1x 2 +13 çx AC - 当 x = A = 1.AC - >1= -21618. ) ,并求直线 y = 1 ,与函数 f (x ) 所 y = 22+ 2 f æ1 è ) x x …②①´ 2f (x ) = x②V = p × ÷ 3 - p = 3 3 4 = p 2312 2 x 1+ x 2x 2 + y 2x 2 + y 2 xòò Ddxdy òò d(+ 2 2 òò x d 2 x 2 + y 2ò = 3 + 1)ù û20.分)t 2dt .f (x ) = (2 -x )e x 2 ;(1, 2), f (2) = ln 2 ×h e h 2 .F (x ) = f (x )(x - 2) = (x - 2) x e t 2dt 1 (2) = 0, 又F (x )在[1, 2]连续,(1, 2)上可导,(1, 2), 使得F '(x ) = 0e t 2 dt + (x - 2)e x 2 =f (x ) + (x - 2)e x 2x 2 .令 $h Î(1, 2)=f (2) = e=h e h 2 ln 22 21.分)f ¢(x ) > 0(x ³ 0) , f (x ) 的图象过原点 O的切线与 X 轴交于 T ,MP ^ x 轴,曲线 y = f (x ), MP , x 轴围成的面积与D 3:2,求曲线方程.坐标为(x , y ) ,则过 M 的切线方程为Y -令- y y ¢n 2 (2即xê úò0 f (t )d t = 3× × y 22 y整理并求导得令 y ¢ = p 3yy ¢ - 2 y ¢2 = 0y ¢ = d p 代入上式得d y3yp d p- 2 p 2 = 0d y2解得 p = C 1 y 32即 y ¢ = C 1 y 3d y = C d x1y 31 3y 3 = C 1x +C2 13 3 = C 1xy = Cx 3由 y (0) = 0 得C 2 = 0.22.(本题满分 11 分)设 二 次 型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2+ 2ax x + 2ax x + 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3æ x1 ö æ y 1 ö ç x ÷ = P ç y ÷ 得 g ( y , y , y ) = y2 + y 2 +4 y 2 + 2 y y .ç 2 ÷ ç 2 ÷ 1 2 3 1 2 3 12ç x ÷ ç y ÷ è 3 ø è 3 ø(1) 求 a 的值; (2) 求可逆矩阵 P. 解析:é1aa ùA = êa 1 a ú ê ú(1) 令 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的矩阵 êëa a 1úûf ( y 1, y 2 , y 3 ) 的矩阵 é1 1 0ùB = ê1 1 0úêë0 0 4úû33 32 21 2 1 1 2 1 ëû ê 3 1 2 ê 3 z ï ú ìz 1 = y 1 + y 2 í 2 = 2 y 3 é1 1 0ù ï z 3 = y 2 ê ú 令î 即令P = ê0 0 2ú Z = P Y . 22 êë0 1 0úûf ( y , y , y ) = z 2 + z 2 则 1 2 3 1 2 .故P 1 X = P 2Y X = P -1PY P = P -1P .é 1 ù ê3 ú é1 1 0ù P -1 = ê02 1ú P = ê0 0 2 ú 1 ê3 ú 2 ê ú ê ê0 0 由于 êë ú ê0 1 0ú 1ú úû é1 2 2 ù ê ú 故 P = P -1P = ê0 14 ú ú ê0 1 0 ú ê úêë úû23.(本题满分 11 分)设 A 为 2 阶矩阵, P = (a , A a ) ,其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. (1)证明 P 为可逆矩阵.(2)若 A 2a + A a - 6a = 0 ,求 P -1AP ,并判断 A 是否相似于对角矩阵. 解析:(1)a ¹ 0 且 A a ¹ la . 故a与A a 线性无关. 则 r (a , A a ) = 2则 P 可逆.(2)法一:由已知有 A 2a = - A a + b a即 . 所以于是 AP = A (a , A a ) = ( A a , A 2a ) = ( A a , - A a + 6a )= (a , A a ) æ 0 6 ö,故有P -1 AP = æ 0 6 ö,! P 可逆 ç 1 -1÷ ç 1 -1÷ è ø è ø \可得A 与æ 0 6 ö相似,又 l -6 =(l + 3)"(l - 2)= 0 ç 1 -1÷ -1 l +1è øÞl 1 = -3,l 2 = 2\可得A 的特征值也为-3,2 于是 A 可相似对角化方法二 P -1AP 同方法一由 A 2a + A a - 6a = 0下面是证明 A 可相似对角化( A 2 + A - 6E )a = 0设( A + 3E )( A - 2E )a = 0由a ¹ 0得( A 2 + A - 6E )x = 0有非零解 故| ( A + 3E )( A - 2E ) |= 0得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0若| ( A + 3E ) |¹ 0则有( A - 2E )a = 0故A a =2a 与题意矛盾故| A + 3E |= 0同理可得| A - 2E |= 0 于是 A 的特征值为l 1 = -3 l 2 = 2.A 有 2 个不同特征值故 A a 相似对角化。

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Born to win
(4) 设函数 f ( x) 在 [0,1] 上 f ′′( x) > 0 ,则 f ′(1)、f ′(0)、f (1) − f (0) 或 f (0) − f (1) 的大小 顺序是 (A) f ′(1) > f ′(0) > f (1) − f (0) (C) f (1) − f (0) > f ′(1) > f ′(0) (5) 设 f ( x) 可导, = F ( x) (A) f (0) = 0 (C) f (0) + f ′(0) = 0 (B) f ′(1) > f (1) − f (0) > f ′(0) (D) f ′(1) > f (0) − f (1) > f ′(0) ( ) ( )
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y ( x) ,可用特征方程法求解:即 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = 0 中的 P( x) 、 Q( x) 均是常数,方程
变为 y′′ + py′ + qy = 0 ,在复数域内解出两个特征根 r1 , r2 ; 0 .其特征方程写为 r + pr + q =
Born to win
1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设 y = cos( x ) sin
2 2
1 ,则 y′ = ______. x
(2) 微分方程 y′′ + y = −2 x 的通解为______.
ϕ ( x)
f ( x)
必有间断点
(2) 曲线 y = x( x − 1)(2 − x) 与 x 轴所围图形的面积可表示为 (A) − (B)
(
)

2
0
x( x − 1)(2 − x)dx
2 1

1
0
x( x − 1)(2 − x)dx − ∫ x( x − 1)(2 − x)dx
1 0
(C) − (D)
αx
( C1 cos β x + C2 sin β x ) . 其中 C1 , C2
*
3.对于求解二阶线性非齐次方程 y′′ + P ( x) y′ + Q ( x) y = f ( x) 的一个特解 y ( x) ,可用待定 系数法,有结论如下: 如果 f ( x) = Pm ( x)e , 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 y ( x) = x Qm ( x)e
y = C1 cos x + C2 sin x − 2 x .
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构:设 y * ( x) 是二阶线性非齐次方程
y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f ( x) 的一个特解. Y ( x) 是与之对应的齐次方程
= y Y ( x) + y* ( x) 是非齐次方程的通解. 0 的通解,则 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y =
(5)【答案】 y = 0 【解析】函数 y = x e
2 − x2
的定义域为全体实数,且
lim y lim x 2e− x 0 , = =
x →∞ x →∞
2
所以曲线只有一条水平渐近线 y = 0 . 【相关知识点】铅直渐近线:如函数 y = f ( x) 在其间断点 x = x0 处有 lim f ( x) = ∞ ,则
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x) 的特解可设为
(1) (2) = y* x k eλ x [ Rm ( x) cos ω x + Rm ( x) sin ω x] ,
其中 Rm ( x) 与 Rm ( x) 是 m 次多项式, m = max {l , n} ,而 k 按 λ + iω (或 λ − iω )不是特征
y
3
P(ξ ,η ) •
L
M ( x0 , y0 )
T
O
x
七、(本题满分 8 分) 设 f ( x) =

x
0
π sin t dt ,计算 ∫ f ( x)dx . 0 π −t
八、(本题满分 8 分) 设 lim
x →0
f ( x) = 1 ,且 f ′′( x) > 0 ,证明 f ( x) ≥ x . x
f ( y)
(2) 设函数 y = y ( x) 由方程 xe
= e y 确定,其中 f 具有二阶导数,且 f ′ ≠ 1 ,求
d2y . dx 2
(3) 设 f ( x − 1) = ln
2
x2 ,且 f [ϕ ( x)] = ln x ,求 ∫ ϕ ( x)dx . x2 − 2
1 x arctan 2 , x ≠ 0, 试讨论 f ′( x) 在 x = 0 处的连续性. (4) 设 f ( x) = x 0, x = 0,
2
【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令

Born to win 1 n(n + 1) 1+ 2 + + n 2 = = n 2 + 2n n 2 + 2n 1 n +1 = ⋅ . 2 n+2 1 n(n + 1) n 1 2 1+ 2 + + n 2 1 又 , an < 2 + 2 + + = = = 2 2 2 n +n n +n n +n n +n n +n 2 1 n +1 1 即 ⋅ < an < , 2 n+2 2 1 n +1 1 1 1 . 所以 lim ⋅ = < lim an < lim = →∞ →∞ n →∞ 2 n + 2 n n 2 2 2 1 由夹逼准则,得 lim an = .即 n →∞ 2 n 1 2 1 + 2 + + 2 lim( 2 ) =. n →∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n 2
2
分三种情况: (1) 两个不相等的实数根 r1 , r2 ,则通解为 = y C1e
rx1
+ C2 e r2 x ;
Born to win
(2) 两个相等的实数根 r1 = r2 ,则通解为 = y
( C1 + C2 x ) erx ;
1
,则通解为 y e (3) 一对共轭复根 r1,2 = α ± i β= 为常数.

x( x − 1)(2 − x)dx + ∫ x( x − 1)(2 − x)dx
1
2

2
0
x( x − 1)(2 − x)dx
(3) 设 f ( x) 在 ( −∞, +∞) 内可导,且对任意 x1 , x2 ,当 x1 > x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则 ( (A) 对任意 x, f ′( x) > 0 (C) 函数 f (− x) 单调增加 (B) 对任意 x, f ′(− x) ≤ 0 (D) 函数 − f ( − x) 单调增加 )
′ ′ sin 2 1 + cos( x 2 ) sin 2 1 2 = y′ cos( x ) x x 1 1 1 1 + cos( x 2 ) ⋅ 2sin ⋅ cos ⋅ (−1) 2 x x x x 2 cos( x 2 ) ⋅ sin 1 x. = −2 x sin( x 2 ) ⋅ sin 2 − x x2 =− sin( x 2 ) ⋅ 2 x ⋅ sin 2
(5) 求摆线
x = 1 − cos t 一拱( 0 ≤ t ≤ 2π )的弧长. y = t − sin t
(6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度 v t =0 = v0 ,已知阻力与速度成正比(比例常 数为 1),问 t 为多少时此质点的速度为
v0 ?并求到此时刻该质点所经过的路程. 3
六、(本题满分 8 分) 如图,设曲线 L 的方程为 y = f ( x) ,且 y′′ > 0 ,又 MT , MP 分别为该曲线在点
′2 ) 2 (1 + y0 ′ = y′( x0 ), (其中 y0 M ( x0 , y0 ) 处的切线和法线,已知线段 MP 的长度为 ′′ y0
′′ = y′′( x0 ) ),试推导出点 P(ξ ,η ) 的坐标表达式. y0
f ( x)(1+ | sin x |) ,若使 F ( x) 在 x = 0 处可导,则必有
(B) f ′(0) = 0 (D) f (0) − f ′(0) = 0
三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (1) 求 lim +
x →0
1 − cos x . x(1 − cos x )
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 f ( x) 和 ϕ ( x) 在 ( −∞, +∞) 内有定义, f ( x) 为连续函数,且 f ( x) ≠ 0 , ϕ ( x) 有间断点, 则 (A) ϕ[ f ( x)] 必有间断点 (C) f [ϕ ( x)] 必有间断点 (B) [ϕ ( x)]2 必有间断点 (D) ( )
(1) (2)
方程的根、或是特征方程的单根依次取为 0 或 1 . (3)【答案】 y − 3 x + 7 = 0 【解析】切线的斜率为
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