充要条件数学精选练习题

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（完整版）集合与充要条件练习题

（完整版）集合与充要条件练习题一、选择题1．下列语句能确定一个集合的是（）A 浙江公路技师学院高个子的男生B 电脑上的容量小的文件全体C 不大于3的实数全体D 与1接近的所有数的全体2．下列集合中，为无限集的是（）A 比1大比5小的所有数的全体B 地球上的所有生物的全体C 超级电脑上所有文件全体D 能被百度搜索到的网页全体3．下列表示方法正确的是（）2.0 (3)A NB QC RD Z Q π*∈-∈∈∈ 4．下列对象能组成集合的是（）A.大于5的自然数B.一切很大的数C.路桥系优秀的学生D.班上考试得分很高的同学5．下列不能组成集合的是（）A. 不大于8的自然数B. 很接近于2的数C.班上身高超过2米的同学D.班上数学考试得分在85分以上的同学6．下列语句不正确的是（）A.由3,3,4,5构成一个集合，此集合共有3个元素B.所有平行四边形构成的集合是个有限集C.周长为20cm 的三角形构成的集合是无限集D.如果,,a Q b Q a b Q ∈∈+∈则7．下列集合中是有限集的是（）{}{}{}{}2.|3..|2,.|10A x Z x B C x x n n Z D x R x ∈<=∈∈-=三角形8．下列４个集合中是空集的是（） {}{}{}{}2222.|10.|.|0.|10A x R x B x x x C x x D x x ∈-=<-=+=9．下列关系正确的是（）.0.0.0.0A B C D ∈≠?10．用列举法表示集合{}2|560x x x -+=，结果是（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．{}3,2 Ｄ．３,２11．绝对值等于３的所有整数组成的集合是（）Ａ．３Ｂ．{}3,3- Ｃ．{}3 Ｄ．３，－３12．用列举法表示方程24x =的解集是（）{}{}{}{}2.|4.2,2.2.2A x x B C D =--13．集合{}1,2,3,4,5也可表示成（）{}{}{}{}.|5.|05.|05,.|05,A x x B x x C x x x N D x x x N <<<<<∈<≤∈14．下列不能表示偶数集的是（）{}{}{}{}.|2,.|.,4,2,0,2,4,.|2,A x x k k Z B x x C D x x n n N =∈--=∈L L 是偶数15．下列表示集合{}1,1-不正确的是（）{}{}{}{}22.|1.1.|1.|1A x x B x C x x D x ====16．对于集合{}{}2,6,2,4,6A B ==，则下列关系不正确的是（）....A A B B A B C B A D A B ≠17．若,x A ∈则,x B ∈那么集合A,B 的关系可能是（）....A A B B B A C A B D B A ∈∈??18．集合{},,a b c 的子集个数为（）.3.7.8.9A B C D 个个个个19．已知集合{}1,2,3,4，下列集合中，不是它的子集的是（） {}{}{}.1234.3..012A B C D ?，，，，，20．已知{}{}24734,5(A B A B ==?=，，，，，则）.{}{}{}{}.2,3.4.5,7.2,3,4,5A B C D21．若N={自然数}，Z={整数}，则()N Z ?=A.NB.Z C{0} D.{正整数}22．设集合{}{}|14,|05,M x x N x x =-≤<=≤≤则()M N =I {}{}{}{}.|45.|10.|15.|04A x x B x x C x x D x x ≤≤-≤≤-≤≤≤< 23．设集合{}{}|14,|05,M x x N x x =-≤<=≤≤则()M N =U {}{}{}{}.|45.|10.|15.|04A x x B x x C x x D x x ≤≤-≤≤-≤≤≤< 24．若全集U={整数}，集合A={奇数}，则()U A =eA.{偶数}B.{整数}C.{自然数} D{奇数}25．()21010x x -=-=是的 A 充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充要条件 D 既非充分条件也非必要条件26．()0"0b 0ab a ==="是“且”的A 充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充要条件 D 既非充分条件也非必要条件27．x>5是x>3的（ )A 充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充要条件 D 既非充分条件也非必要条件二、填空题：1．自然数集用大写字母______表示；整数集用大写字母______表示；有理数集用大写字母______表示；实数集用大写字母______表示；自然数集内排除0的集合用______表示；2．用符号“∈”或“?”填空11)3.14__;3)__;4)2__;6)__2R R N N Q Q π- 3．不大于４的实数全体，用性质描述法可表示为＿＿＿＿；4．所有奇数组成的集合＿＿＿＿＿＿＿＿；所有被３除余１的数组成的集合＿＿＿＿＿＿＿；5．绝对值小于6的实数组成的集合_______________;6．大于0而小于10的奇数组成的集合__________________;7．小于7的正整数组成的集合__________________;8．不含任何元素的集合叫做__________;记做___________;它是任何的集合的___________.9．{}a 与a 是完全不同的，a 表示一个________;而{}a 表示一个__________.10．用适当的符号填空： {}{}{}{}{}{}{}{}__,,;,,__,,;__0;__0;______.a a b c a b c c a b ??正三角形等腰三角形；平行四边形梯形已知{,,,},{,,},A a b c d B c d e ==则_______,_______,A B A B ==I U 已知A={10以内的质数}，B={偶数}，则______.A B =I用“充分条件”，“必要条件”或“充要条件”填空：1）416________;x ==2是x 的2）240b ac ->是方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根的 __________; 3）0b =是直线y kx b =+过原点的______________;4）24a b >是方程20x ax b ++=有实根的 __________;5）若,,a b R ∈则220a b +=是0a b +=的_____________;解答题写出{1,2,3}的所有子集，并指出哪些不是真子集。

(完整版)充要条件试题集锦

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.若集合{A x x =≤3，}x ∈Z ,{243B x x x =-+≤0，}x ∈Z ，则（）A. “x A ∈”是“x B ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x A ∈”是“x B ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x A ∈”是“x B ∈”的充要条件D. “x A ∈”既不是“x B ∈”的充分条件，也不是“x B ∈”的必要条件2.若将集合P={1,2,3,4}，Q={0<x<5,x ∈R}，则下列论断正确的是（）A. x ∈P 是x ∈Q 的必要不充分条件B. x ∈P 是x ∈Q 的即不充分也不必要条件。

C. x ∈P 是x ∈Q 的充分必要条件D. x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件3.下列命题中为真命题的是A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交C ．“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件D ．若命题2:R,10p x x x ∃∈-->“”，则命题p 的否定为：“2R,10x x x ∀∈--≤”4.在下列结论中，正确的是（）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件；②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件；③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件；④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④5.若集合{A x x =≤3，}x ∈Z ,{243B x x x =-+≤0，}x ∈Z ，则（）A. “x A ∈”是“x B ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x A ∈”是“x B ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x A ∈”是“x B ∈”的充要条件D. “x A ∈”既不是“x B ∈”的充分条件，也不是“x B ∈”的必要条件6.设命题2:>x p 是42>x 的充要条件；命题",:"22b a c b c a q >>则若，则（ ) A. ""p q ∨为真 B. ""q p ∧为真 C.p 真q 假 D. q p 、均为假7.“1λ<”是“数列2*2()n a n n n N λ=-∈为递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.对于实数,''0''a b b a <<、是''11''ab >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.在ABC ∆中，“60A =o ”是“1cos 2A =”的( ) （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10.关于x 、y 的二元一次方程组1,323,mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.“11x<”是“1x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件13.2m =-是直线(2)30m x my -++=与直线30x my --=垂直的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件14.“0x ≠”是“0x <”的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件.15.“a 〉0”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件16.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件17.x 2-2x-3<0成立的一个必要不充分条件是（）A ．-1<x<3B ．0<x<3C ．-2<x<3D ．-2<x<1 18.已知a ，b 是实数，则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的19.“1-=x ”是“12=x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件20.“3πα=”是“21cos =α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件21.“2x >”是“24x >”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 22.已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=r r,则a b ⊥r r 的充要条件是（） A ．12x =- B ．1x =- C ．5x = D ．x =023.“非空集合M 不是P 的子集”的充要条件是（）A ．,x M x P ∀∈∉B ．,x P x M ∀∈∈C ．11,x M x P ∃∈∈，又22,x M x P ∃∈∉D ．00,x M x P ∃∈∉ 24.已知a R ∈，则“2a >”是“112a <”的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件25.已知f (x )=x 2–2x +3，g (x )=kx –1，则“| k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件26.下面四个条件中，使a b >成立的充分不必要条件为（）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22ab > D ．33a b > 27.一元二次方程2210(0),ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 28.已知条件1:≤x p ，条件11:<x q ，则p 是q ⌝成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 29.“0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件30.集合A={x||x|≤4，x ∈R}，B={x|（x+5）（x-a ）≤0}，则“A ⊆B”是“a>4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 31.“22a b >”是22log log a b >”的32.“2230x x -->成立”是“3x >成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件33.“cos x ＝0”是 “sin x ＝1”的（▲ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件35.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件36.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件37.已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件38.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =是“627S S =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件39.“a ，b ＞0”是“ab ≤222b a +”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件40.在ABC ∆中，0AB AC ⋅>u u u r u u u r是ABC ∆为锐角三角形的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件41.已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件试卷答案1.B略2.D略3.D4.B5.B略6.A7.A略8.A9.C略10.D 略11.A 略12.B 略13.C 略14.B15.A 略16.A 略17.C 略18.A 略19.A 略20.A 略21.A 略22.D23.D24.A 略25.A 略26.A 略27.C 略28.B 由11x <得，0x <或1x >，所以q ⌝：01x ≤≤，所以p 是q ⌝成立的必要不充分条件，选B.29.C30.B31.B若22a b >，则有a b >。

数学充要条件练习题高二

数学充要条件练习题高二数学充要条件训练题一、选择题(每小题6分，共42分)1.已知A和B是两个命题，假如A是B的充分但不必要条件，那么A是B的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：A B B A,B A等价于 A B.2.(2021浙江杭州二中模拟，4)2且b是a+b4且ab的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性明显，当a=5,b=1时，有a+b4,但2且b不成立.3.(2021北京西城区一模，5)设a、bR,则b是|b|的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：ab并不能得到a|b|.如2-5,但2|-5|,且a|b| ab.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2-x,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x-1或x0}.∵A B，p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：b是cd的充分不必要条件，和aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：b是cd的充分不必要条件等价于d a6.(2021全国大联考，2)不等式1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.?即不充分也不必要条件答案：A解析：当17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,b,cR)则关于x的不等式ax2+bx+cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax2+bx+c二、填空题(每小题5分，共15分)8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是_______ _______.答案：0解析：其充要条件为09.已知p:|x+1|2和q: 0,则p是q的__________________.(填充分不必要必要不充分充要条件既不充分又不必要?条件)答案：充分不必要解析：∵p:x-3或x1,q:x-4或x1,p:-31, q:-41.p是q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:xM,且xP,q:xP(P,M ).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：(2)(5)解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.三、解答题(1113题每小题10分，14题13分，共43分)11.设x、yR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明：充分性：假如xy=0,那么①x=0,y②y=0,x③x=0,y=0.因此|x+y|=|x| +|y|.假如xy0,即x0或x0.当x0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;当x0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+ y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,xy0.解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy0.12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a2-b2=1即a2=b2+1时，a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(aR),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .当a6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- 0,即a6.方程有两负根的充要条件是：即26.方程至少有一负根的充要条件是：26或a=6或a6,即a2.14.(1)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的充分条件?假如存在，求出p的取值范畴;(2)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的必要条件?假如存在，求出p 的取值范畴.解析：(1)当x2或x-1时，x2-x-20,由4x+p0得x- ,故- -1时,- -1 x2-x-2.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

充要条件(练习及答案解析)-人教A版2019必修第一册高一数学教材配套练习

1.4.2 充要条件基础练巩固新知夯实基础1.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在下列三个结论中，正确的有()⊆x2>4是x3<－8的必要不充分条件；⊆在⊆ABC中，AB2＋AC2＝BC2是⊆ABC为直角三角形的充要条件；⊆若a，b⊆R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.A.⊆⊆B.⊆⊆C.⊆⊆D.⊆⊆⊆3.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A.m＝－2B.m＝2C.m＝－1D.m＝16.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)7.在平面直角坐标系中,点(x+5,1-x)在第一象限的充要条件是.8.已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.能力练综合应用核心素养9.设x ⊆R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.有下述说法:①a>b>0是a 2>b 2的充要条件;②a>b>0是的充要条件;③a>b>0是a 3>b 3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个11.“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.m >14B.0<m <1C.m >0D.m >112.设集合A ＝{x ⊆R |x －2>0}，B ＝{x ⊆R |x <0}，C ＝{x ⊆R |x (x －2)>0}，则“x ⊆A ⊆B ”是“x ⊆C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13.设计如图所示的四个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________.14.下列不等式：⊆x <1；⊆0<x <1；⊆－1<x <0；⊆－1<x <1.其中，可以为x 2<1的充分条件的所有序号为________．15.求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.16.设x ，y ⊆R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.【参考答案】1. A 解析：a ＝1时，N ⊆M ，但当a 取-1时，也满足N ⊆M 。

充分必要条件试题及答案

充分必要条件23、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的__条件;A ⌝是B ⌝的___条件答案：必要，必要39、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件则正确命题的序号是（）A ①④⑤ B ①②④ C ②③⑤ D ②④⑤Ｂ24、设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要的条件 D42、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件p 是q 成立的：（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 A21、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件A1、命题甲：2x ≠或3x ≠；命题乙：5x y +≠ ，则甲是乙的条件。

答案必要不充分1、命题甲：22x y ≠命题乙：x y ≠或x y ≠- ，则甲是乙的条件。

答案充分不必要2、命题甲：存在x R ∈，使得2210ax ax ++≤的否定为真，命题乙：01a <<，则甲是乙成立的条件。

答案必要不充分，命题甲的否定为：任意x R ∈，2210ax ax ++>恒成立为真命题，其充要条件为01a ≤<4、22x x =+是2x =的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件答案 D ，先找各自的充要条件2212x x x x =+⇔=-=或，202x x x =⇔==或 9、若()1,2,20x ax ∀∈-+≠是假命题的一个充分不必要条件是a ∈（）()()()()(][).,12,.1,2.,1.,12,A B C D -∞-⋃+∞--∞--∞-⋃+∞答案 C ，原命题的否定()1,2,20x ax ∃∈-+=是真命题，即函数()2f x ax =+在()1,2-上有零点，即()()11012f f a a -⋅<⇔<->或，解法二排除法 0a =时，不合题意，0a ≠时，由()21,2x a=-∈-⇒12a a <->或 4．设A 、B 为两个互不相同的集合，命题p ：x ∈A ∩B ，命题q ：x ∈A 或x ∈B ，则⌝q 是⌝p 的( )A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件解析命题p 是集合A ，B 的交集，命题q 是集合A ，B 的并集．若綈q 则綈p 的等价命题是：若p 则q ，故命题p 是q 的充分非必要条件，选B.答案 B5．设A ：xx －1<0，B ：0<x <m ，若B 是A 成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知，得，m )，所以m >1.答案 D8．(2014·湖北卷)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析结合Venn 图判断p ⇒q 是否成立；再反过来判断q ⇒p 是否成立，最后下结论．若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．答案 C4．条件p :x >1,y >1,条件q :x +y >2,xy >1,则条件p 是条件q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 A1、不等式20x x m -+>在R 上恒成立的一个必要不充分条件是（）A 0m >B 01m <<C 14m >D 1m >答案A ，先找充要条件为14m > 3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（3）C2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不成分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.A6.下列叙述中正确的是（）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤.B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ6.D7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件7. A2．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案：B ，解析：ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，所以“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的必要而不充分条件。

高中数学命题与充要条件练习题附答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a －b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a2R＞b2R，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．5．有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ．①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”．因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．6．(2018·石家庄模拟)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A ．7．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B ．8．命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B ．要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C ．10．(2018·惠州第三次调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C ．11．(2018·贵阳检测)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A ．12．(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a ＞14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．命题p 等价于0＜a ＜4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝01＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＜0，则0≤a ＜4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件，故选A ． 13．下列命题中为真命题的是________． ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题．解析：对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故④为假命题．答案：②14．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：115．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②1．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝⎛⎭⎫0，π6⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2ab D ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/ x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.3．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B ．由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B ．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞25．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2，所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 6．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。

充要条件练习题

充要条件练习题1.以下哪个命题是正确的充要条件（）A. 如果一个数是偶数，那么它能被2整除。

B. 如果一个数是质数，那么它只有两个正因数。

C. 如果一个数是整数，那么它一定是正数。

D. 如果一个数是负数，那么它的平方是正数。

2.在三角形ABC中，以下哪个命题是“三角形ABC是等边三角形”的充要条件（）A. 三角形ABC的三个角都相等。

B. 三角形ABC的两条边相等。

C. 三角形ABC的周长是定值。

D. 三角形ABC的面积是定值。

3.对于函数f(x) = x2，以下哪个命题是“f(x)的值大于0”的充要条件（）A. x > 0B. x < 0C.x≠0D. x2 > 04.在集合论中，集合A是集合B的子集的充要条件是什么（）A. 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素。

B. 集合B中的每一个元素都是集合A中的元素。

C. 集合A和集合B有相同的元素个数。

D. 集合A和集合B的并集等于集合B。

5.在实数范围内，以下哪个命题是“方程ax2 + bx + c = 0有两个不相等的实数根”的充要条件（）A. a≠0B. b2 - 4ac > 0C.a,b,c都是实数D. a + b + c = 06.设a,b∈R，则“a > b”是“a2 > b2”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数f(x) = log2(x2 - 3x + 2)，则“f(x)的定义域为R”是“x2 - 3x + 2 > 0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.若a,b∈R，则“a ≠=0或b≠0”是“ab ≠0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知p：x2 - 2x - 3≤0，q：1 - m ≤x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. m ≥2B. m > 2C. m≤2D. 0 < m ≤210.设A和B是两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么下列哪个选项是正确的（）A. A的真值必然导致B的真值，但B的真值不一定导致A的真值B. A的真值不一定导致B的真值，但B的真值必然导致A的真值C. A和B的真值总是相同的D. A和B的真值总是相反的。

充要条件的测试题及答案

充要条件的测试题及答案1. 判断下列命题是否为充要条件，并说明理由。

(1) 若a > 0，则a² > 0。

(2) 若a² > 0，则a > 0。

2. 已知命题p："若x > 2，则x² > 4"，命题q："若x² > 4，则x > 2"，判断p和q是否互为充要条件。

3. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 4x + 4 = 0，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x² - 4x + 4 = 0。

4. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² + y² = 0，则x = 0且y = 0。

(2) 若x = 0且y = 0，则x² + y² = 0。

5. 已知命题p："若x > 0，则x² > 0"，命题q："若x² > 0，则x > 0"，判断p和q是否互为充要条件。

6. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 2x + 1 = 0，则x = 1。

(2) 若x = 1，则x² - 2x + 1 = 0。

7. 已知命题p："若x > 1，则x² > 1"，命题q："若x² > 1，则x > 1"，判断p和q是否互为充要条件。

8. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x³ = 8，则x = 2。

(2) 若x = 2，则x³ = 8。

9. 判断以下命题是否为充要条件。

(1) 若x² - 6x + 9 = 0，则x = 3。

(2) 若x = 3，则x² - 6x + 9 = 0。

(整理)充分条件与必要条件·典型习题

充分条件与必要条件·典型习题1. 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的[ ]A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5．因此选A ．说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 2. p 是q 的充要条件的是[ ]A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞bC ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件；对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件；对C ．pq 且qp ，p 是q 的必要非充分条件；对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ⇒⇒⇔说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解．3.若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的[ ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ．解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴CD ②∵是成立的充要条件，∴③C B C B ⇔由①③得A C ④ 由②④得A D ．∴D 是A 成立的必要条件．选B ．说明：要注意利用推出符号的传递性．4. 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的[ ]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定．解解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ⊆⊇当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 5. 设A 、B 、C 三个集合，为使A(B ∪C)，条件A B 是[ ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，显然A(B ∪C)，但AB 不成立，综上所述：“A B ”“A(B ∪C)”，而“A (B ∪C)”“AB ”．即“AB ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．7. 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜b e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)， ∴c ≤d a ＜b(逆否命题)．而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件．答填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．8. ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时，x ＝－．故排除、、选．12A B D C解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12当a ≠0时1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．⇔---⇔-⇔24422aa2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．⇔-+-⇔⇔⇔2442aa综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．9. 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？分析画出关系图1－21，观察求解．解s是q的充要条件；(s r q，q s)r是q的充要条件；(r q，q s r)p是q的必要条件；(q s r p)。

充分必要条件(35道小题+3道大题)

充分必要条件(35道小题+3道大题)一、选择题：(请将正确答案的代号填入下表)1.已知a,b 是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.“ X>0”是“ x ≠0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.a+c>b+d 是a>b 且c>d 的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题是真命题的为( )A.若 1x =1y ,则x=yB.若 x ²-1. 则x =1C.若 x=y,则 √x =√yD.若 x<y,则 x ²<y ²5.设x ∈R,则“x=1”是 “x ³=xᵐ的( )A 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知a,b,c,d 为实数,且c>d,则“a>b ”是“a-c>b-d ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.下列 4个命题p 1:∃x ∈(0,+∞).(12)x <(13)xp 2:3⃗ x ∈(0,1),lnx >lnx p 3:∀x ∈(0,+∞),(12)x >kg =x p 4:∀x ∈(0,13),(12)x <lg =x 其中的真命题是( )A.P₁,P₂B.P₁,P₄C.P₂,P₃D.P₂,P₄8.命题“存在x₀∈R,2ⁿ≤0的否定是( )A. 不存在x0∈R.2x0>0B. 存在x0∈R,2N b≥0C. 对任意的 x∈R. 2ᵃ≤0D. 对任意的x∈R,2ᵘ>09.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的适合题是( )A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”10.已知a,b 都是实数,那么a²>b²−z⁻ⁿa>b⁺的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.a<0是方程ax²+2x+1=0至少有一个负数根的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.a=1“是“直线 x+y=0和直线 x-ay=0互相靠近”的( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要13.已知合题p.所有有理数都是实数，命题9：正数的对数都是负数。

充要条件练习题

充要条件练习题一、选择题1. 已知命题P：x²-4=0，命题Q：x=2或x=-2。

以下哪个选项正确描述了P和Q的关系？A. P是Q的充分条件B. P是Q的必要条件C. P是Q的充要条件D. P和Q是互不相关的2. 如果“x>0”是“x²>0”的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列哪个命题的逆命题是真命题？A. 如果两个角是对顶角，则这两个角相等。

B. 如果两个角相等，则这两个角是对顶角。

C. 两个直角三角形是相似的。

D. 两个相似的三角形是直角三角形。

二、填空题4. 如果命题P：x>0，命题Q：x²>0，那么P是Q的_________条件。

5. 命题P：x>1，命题Q：x>0，Q是P的_________条件。

6. 命题P：x²-1=0，命题Q：x=1或x=-1，P是Q的_________条件。

三、判断题7. 如果命题P是命题Q的充分条件，那么P成立时Q一定成立。

（）8. 如果命题P是命题Q的必要条件，那么Q成立时P一定成立。

（）9. 如果命题P是命题Q的充要条件，那么P和Q是等价的。

（）四、解答题10. 已知命题P：x>3，命题Q：x>2，证明P是Q的充分条件，但不是必要条件。

11. 给定命题P：x²-4x+4=0，命题Q：x=2，证明P是Q的充要条件。

12. 已知命题P：x²+y²=1，命题Q：x和y的绝对值都小于1。

证明P是Q的必要条件，但不是充分条件。

五、证明题13. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。

14. 证明：如果一个数的平方根是正数，那么这个数本身是正数。

15. 证明：如果两个角的和是180度，那么这两个角是互补的，并且互补角是互为充要条件。

六、逻辑推理题16. 在一个班级中，如果一个学生是班长，那么他一定是班级的积极分子。

充要条件练习题

课时作业(三)[学业水平层次]一、选择题1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(2014·镇海高二检测)已知命题甲：“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋c b ＝2”，则命题甲是命题乙的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若a b ＋c b ＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分条件．【答案】 A3．(2014·湖南省株洲二中期中考试)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】 A4．(2014·山东省实验中学月考)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】本题综合考查函数零点与充要条件的判断．当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】 B二、填空题5．“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】必要不充分6．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．【解析】若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．【答案】充要7．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[12，＋∞)上是增函数”的________．【解析】本题考查命题的充要条件的判断．(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在[12，＋∞)上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间[12，＋∞)上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．【答案】 (1)③ (2)①三、解答题8．(2014·陕西省西工大附中月考)下列各题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC ，p ：sin A >12，q ：A >π6.【解】 (1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为A ∈(0，π)时，sin A ∈(0,1]，且A ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y ＝sin A 单调递增，A ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，y ＝sin A 单调递减，所以sin A >12⇒A >π6，但A >π6 sin A >12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．9．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B .即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A －B ＝B ，sin(A －B )＝sin B ，sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B .∴sin(A ＋B )＝sin B (1＋2cos A )．∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴sin(A ＋B )＝sin C ，即sin C ＝sin B (1＋2cos A )．∴sin C sin B ＝1＋2cos A ＝1＋b 2＋c 2－a 2bc ＝b 2＋c 2－a 2＋bc bc，即c b ＝b 2＋c 2＋bc －a 2bc. 化简得a 2＝b (b ＋c )．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．[能力提升层次]1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C 的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A D，故选A.【答案】 A2．(2014·马鞍山四校联考)设有如下命题：甲：相交两直线l、m 在平面α内，且都不在平面β内．乙：l、m中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．那么当甲成立时()A．乙是丙的充分不必要条件B．乙是丙的必要不充分条件C．乙是丙的充分必要条件D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】当l、m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l、m中也至少有一条与β相交，否则若l、m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.【答案】 C3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________.【解析】因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4， f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，所以2－t <－1，即t >3.【答案】 (3，＋∞)4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.【证明】充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .。

充要条件练习题

1.2充要条件练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章第2课时一、选择题1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C.2．m＝3是直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x－y＋m＝0距离d＝|3＋m|2＝3得，m＝3或－33，故选A.3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为A∪B＝C，故“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．4．“lg x>lg y”是“x<y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y；而x＝2，y＝0时，x>y⇒/ lg x>lg y，故“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件．5．设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x－2|<3，那么甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x－2|<3得－1<x<5，∵0<x<5⇒－1<x<5但－1<x<5⇒/ 0<x<5，∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a 与b夹角不是钝角．8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.三、解答题9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋32－4m 1－m >01－m m<0，∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ， ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p p －1p ＋q＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C.3．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2， ∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．4．“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.二、填空题5．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”．q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的__________________条件．[答案] 必要不充分[解析] 只有当(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，(2)存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．6．f (x )＝|x |·(x －b )在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案] b ≥4[解析] f (x )＝⎩⎨⎧ x x －b x ≥0，－x x －b x <0. 若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0，∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b 2≥2，∴b ≥4. 三、解答题7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0－2a <0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况． 8．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由x ＋210－x≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎨⎧ 1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。

专题5 充要条件(解析版)

专题5 充要条件题组1 充要条件的判断1.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈(A∪B)是x∈C的充要条件．2.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选C.3.方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A.0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D.0＜a≤1或a＜0【答案】C【解析】方法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，解得a＜0; 若方程两根均负，解得0＜a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.方法二 (排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.4．在下列三个结论中，正确的有（）①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.②，AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确.故选：C. 题组2 寻求充要条件5.设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5【答案】A【解析】A ∩(∁U B )满足∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则∴6.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0①，x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②，求使方程①②都有实数根的充要条件.【答案】方程①有实数根的充要条件是即m ≤1且m ≠0.方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m )2－4(4m 2－4m －5)≥0，即m ≥－.∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m ≤1，且m ≠0，即－≤m ＜0或0＜m ≤1. 题组3 充要条件的证明7.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.【答案】证明 (1)充分性：当0＜m ＜时，Δ＝4－12m ＞0，所以方程mx 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根，设为x 1，x 2.由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1x 2＝＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.即0＜m ＜⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则∴0＜m ＜，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜.综上可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜.8．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【答案】见解析．【解析】充分性：若0ac <，则240b ac ->，且0c a<，∴方程20ax bx c ++=方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，则240b ac ∆=->，12,0,0c x x ac a =<∴<，即可得结论.试题解析：(1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.9．已知,a b 是实数，求证：44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=，该条件是否为必要条件？试证明你的结论．【答案】必要条件,证明见解析.【解析】由44221a b b --=，即442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以44221a b b --=成立的充分条件是221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为2210a b ++≠,故()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=,所以44221a b b --=成立的必要条件是221a b -=.题组4 由充分、必要条件求参数的范围10.已知p ：＜1，q ：x 2＋(a －1)x －a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是() A.(－2，－1]B.[－2，－1]C.[－3,1]D.[－2，＋∞)【答案】A 【解析】不等式＜1等价于－1＜0，即＞0，解得x ＞2或x ＜1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞).不等式x 2＋(a －1)x －a ＞0可以化为(x －1)(x ＋a )＞0，当－a ≤1时，解得x ＞1或x ＜－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a ＞1时，不等式(x －1)(x ＋a )＞0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a ＜2，即－2＜a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为(－2，－1].11.已知p ：|x －4|＞6，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.【答案】0＜a ≤3【解析】依题意，可得p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，q ：B ＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a ，a ＞0}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，⇒0＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是0＜a ≤3.12.已知p ：，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.【答案】[9，＋∞) 【解析】由已知，p ⇒q ，q ⇏p . 13.已知M ＝{x |(x ＋3)(x －5)＞0}，P ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}.(1)求a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件；(2)求a 的一个取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.【答案】M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x ＋a )(x －8)≤0}.(1)显然，当－3≤－a ≤5，即－5≤a ≤3时，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.取a ＝0，由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}不能推出a ＝0.所以a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件.(2)当M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，－5≤a ≤3，此时有a ≤3，但当a ≤3时，推不出M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}.所以a ≤3是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件.14．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =．【解析】（1）若22230x ax a +++>在x R ∈上恒成立，则()244230a a ∆=-+<，所以有13a -<<，所以实数a 的范围为()1,3-；（2）()()2023033x x x x x ->⇔-->⇒>-或2x <，根据条件22210x ax a b +++->的解集是()(),23,-∞⋃+∞，即方程22210x ax a b +++-=的二根为2和3，根据韦达定理有525,221612a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎩，所以52a =-，12b =． 15．已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.（1）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件（2）当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件【解析】（1）{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤. 要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,12,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S ⊆P ，当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥要使S ⊆P ，则有11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩，解得0m ≤，所以0m =，综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．题组5 含有否定性语句的命题处理16.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}.由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴或故所求实数a的取值范围是.17.已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】由得即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵p⇒q，∴q⇒p.∴B⊆A.∴2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，需即∴a≤9.故所求实数a的取值范围是(－∞，9].17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q 的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】设A＝{x|x满足p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，B＝{x|x满足q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q.则{x|x满足q}{x|x满足p}，而{x|x满足q}＝∁R B＝{x|－4≤x＜－2}，{x|x满足p}＝∁R A＝{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，则或即－≤a＜0或a≤－4.∴a的取值范围为.。

充要条件的测试题及答案

充要条件的测试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项正确描述了充要条件？A. 条件A是条件B的充分条件B. 条件A是条件B的必要条件C. 条件A是条件B的充要条件D. 条件A是条件B的既不充分也不必要条件答案：C2. 如果A⇒B，B⇒A，则A和B的关系是：A. A是B的充分条件B. A是B的必要条件C. A是B的充要条件D. A与B互为独立条件答案：C二、判断题1. 如果A是B的充分条件，那么B也是A的必要条件。

（）答案：错误2. 如果A是B的必要条件，那么B是A的充分条件。

（）答案：正确三、简答题1. 解释什么是充要条件，并给出一个例子。

答案：充要条件指的是两个条件之间存在一种相互依赖的关系，即一个条件的存在必然导致另一个条件的存在，反之亦然。

例如，一个数是偶数（条件A）是它能够被2整除（条件B）的充要条件。

2. 区分“充分条件”和“必要条件”并给出各自的例子。

答案：充分条件指的是一个条件的存在足以保证另一个条件的存在，但不是唯一的保证。

例如，一个数是偶数是它能够被2整除的充分条件。

必要条件指的是一个条件的存在是另一个条件存在所必需的，但不是充分的。

例如，一个数能够被2整除是它为偶数的必要条件。

四、应用题1. 如果x > 0是x² > 0的充分条件，判断x < 0是否是x² > 0的必要条件。

答案：不是。

因为x < 0时，x²仍然是正数，但x > 0是x² > 0的充分条件，意味着x² > 0时，x一定大于0，但x < 0时x² > 0并不成立，所以x < 0不是x² > 0的必要条件。

2. 证明如果A是B的充要条件，那么B也是A的充要条件。

答案：如果A是B的充要条件，根据充要条件的定义，A⇒B且B⇒A。

这意味着如果A成立，则B必然成立；反之，如果B成立，则A也必然成立。

高考数学复习常考知识点专项练习7 充要条件

高考数学复习常考知识点专项练习7充要条件一、选择题1．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(A) A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：返回家乡⇒攻破楼兰，故选A.2．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(D)①A∪B＝A; ②(∁U A)∩B＝∅；③(∁U A)⊆(∁U B); ④A∪(∁U B)＝U.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由如图所示的Venn图可知，①②③④都是充要条件．3．设a，b∈R，则“a<b”是“(a－b)a2<0”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＝0，b＝1，满足a<b，但(a－b)a2<0不成立，若(a－b)a2<0，则a<b且a≠0，则a<b成立，故“a<b”是“(a－b)a2<0”的必要不充分条件．故选B.4．已知条件p：－1<x<3，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为(D)A．a>3B．a≥3C．a<－1D．a≤－1解析：条件p：－1<x<3，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a≤－1，故选D.5．设条件p：|x－2|<3，条件q：0<x<a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是(A)A．0<a≤5B．0<a<5C．a≥5D．a>5解析：由|x－2|<3，得－3<x－2<3，即－1<x<5，即p：－1<x<5.因为q：0<x<a，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0<a≤5，故选A.6．下列p 是q 的充要条件的是( B )A ．p ：a >b ，q ：ac >bcB ．p ：x ＝0或x ＝1，q ：x 2－x ＝0C ．p ：x >1且y >1，q ：x ＋y >2且xy >1D ．p ：0<x <3，q ：|x －1|<2解析：选项A 中c 可为0，不符合．选项B 中x 2－x ＝0解得x ＝0或x ＝1，符合题意．选项C 中，x >1且y >1⇒x ＋y >2且xy >1；而x ＋y >2且xy >1⇒/x >1且y >1.故p 是q 的充分不必要条件，不符合题意．选项D 中，0<x <3⇒|x －1|<2，|x －1|<2⇒－1<x <3⇒/0<x <3.故p 是q 的充分不必要条件，不符合题意．7．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( A )A ．m >－1，n <5B ．m <－1，n <5C ．m >－1，n >5D ．m <－1，n >5解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m >0，5－n >0⇒⎩⎨⎧m >－1，n <5.故选A. 8．在△ABC 中，AB >AC 是∠C >∠B 的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，边大则角大，角大边也大，因此AB >AC 是∠C >∠B 的充要条件．故选C.二、填空题9．已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是0≤a ≤2.解析：A ∩B ＝∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤4，a －2≥－2⇔0≤a ≤2. 10．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝3或4.解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0，有整数根首先满足Δ＝16－4n ≥0，即n ≤4，又n ∈N ＋，所以将n ＝1,2,3,4分别代入x 2－4x ＋n ＝0，检验知n ＝3或n ＝4时，方程的根为整数．三、解答题11．已知x ，y 是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件为xy >0.证明：必要性：∵1x <1y ，∴1x －1y <0，即y －x xy <0.∵x >y ，∴y －x <0，∴xy >0.充分性：∵x >y ，xy >0，∴y xy <x xy ，即1x <1y .∴综上所述，1x <1y 的充要条件为xy >0.12．已知p ：x ∈A ，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}；q ：x ∈B ，且B ＝{x |x 2－4x ＋3≥0}．(1)若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求实数a 的值；(2)若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：(1)B ＝{x |x 2－4x ＋3≥0}＝{x |x ≤1或x ≥3}，A ＝{x |a －1<x <a ＋1}．由A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝1，a ＋1＝3，得a ＝2.所以满足A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R 的实数a 的值为2.(2)因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B .又A ≠∅，所以结合数轴可知，a ＋1≤1或a －1≥3，解得a ≤0或a ≥4.所以实数a 的取值范围是{a |a ≤0，或a ≥4}．13．(多选题)有限集合S 中元素的个数记作card(S )．设A ，B 都为有限集合，则下列命题中是真命题的有( AB )A ．A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )B ．A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )C ．A ⃘B 的必要条件是card(A )≤card(B )D ．A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )解析：由题可知card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．A ∩B ＝∅，也就是集合A 与集合B 没有公共元素，A 是真命题；A ⊆B ，也就是集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 是真命题；A B ，也就是集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中的元素的个数有可能多于B 中的元素的个数，C 是假命题；A ＝B ，也就是集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合中的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 是假命题．故选AB.14．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }．已知△ABC 的三边边长分别为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( A )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1，∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，令a ＝b ＝2，c ＝3，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，23，32＝32，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，23，32＝23，此时l ＝32×23＝1，△ABC 为等腰三角形，故不能推出△ABC 为等边三角形，∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．综上，故选A.15．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1；⑤x>－1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为②③；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为①⑤.解析：由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0} {x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件．因为{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件．16．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．。

高中数学(必修一)第一章充要条件练习题及答案

高中数学（必修一）第一章充要条件练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．若命题“若a M ∈，则b M ∉”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉2．设x ∈R ，则“2x >”是“21x <”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知下列四组陈述句：①p ：集合(){}**|3A x y x y x y =+=∈∈N N ，，，；q ：集合{(1,2)}． ①p ：集合A B C A ⊆⊆⊆；q ：集合A B C ==．①p ：{}21x x x n n ∈=+∈Z ，；q ：{}61x x x n n ∈=-∈N ，．①p ：某中学高一全体学生中的一员；q ：某中学全体学生中的一员．其中p 是q 的必要而不充分条件的有( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①4．已知,R a b ∈，则“1a >或1b >”是“2a b +>”的（）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要 5． “2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件7．命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A ．4a ≥B ．3a ≥C ．2a ≥D ．1a ≥8．若α，β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且l α⊂，则“l β∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合{}{}22,1A xx x B x a x a =-≤=≤≤+∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,2- D ．[]1,1-二、填空题10．下列说法错误的是_________________①若0xy ≥，则x y x y +>+①若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠①“2a b x +>是x >的充分不必要条件 ①“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+”11．直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是__________.12．已知p ：210x ≤≤，q ：11a x a -<<+，R a ∈，且p 是q 成立的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________．三、多选题13．下列选项中，p 是q 的充要条件的是（）A ．p ：0xy >，q ：0x >，0y >B ．p ：A B A ⋃=，q ：B A ⊆C ．p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形存在两角相等D ．p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分四、解答题14．已知集合{|211}A x a x a =-≤≤+，{|03}B x x =≤≤．(1)若a ＝1，求A B ；(2)给出以下两个条件：①A ①B ＝B ；①“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a 的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）参考答案与解析：1．D【分析】原命题与其逆否命题同真假,故找出题设命题的逆否命题即可.【详解】命题“若a M ∈,则b M ∉”的逆否命题为:“若b M ∈,则a M ∉”,因为原命题与其逆否命题同真假,故由原命题为真命题可知其逆否命题为真命题,故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查命题间的真假关系,属于基础题.2．A 【分析】根据分式不等式的解法求21x <的解集，结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】当21x<时，有0x <或2x >，所以2x >是21x <的充分条件，但不是必要条件. 故选：A3．D【分析】逐个判断是否有q p ⇒且p q 即可．【详解】①若**3x y x y +=∈∈N N ，，，则12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，①{(1,2),(2,1)}A =，即p ：{(1,2),(2,1)}A =；故q p⇒且p q ，即p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①若A B C A ⊆⊆⊆，则根据子集的性质可得A B C ==，即p ：A B C ==；故p 是q 的充要条件，不符题意；①对于21x n n =+∈Z ，，当31n k k =-∈Z ，时，61x k k =-∈Z ，，故{}61x x n n =-∈N ， {}21x x n n =+∈Z ，，①p 是q 的必要而不充分条件，符合题意；①易知p q ⇒且q p ，即p 是q 的充分而不必要条件，不符合题意；综上，p 是q 的必要而不充分条件的有①①．4．B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】当1a >或1b >时，如2a =，3b =-，此时1a b +=2<，因此不充分，若1a ≤且1b ≤，则2a b a b +≤+≤，因此是必要的．即为必要不充分条件．故选：B ．5．D【分析】根据余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当2x π=时，函数cos 2cos 1y x π===-，故充分性不成立；当函数cos 2y x =取得最大值时，22,Z x k k π=∈，即,Z x k k π=∈，故必要性也不成立，综上可得：“2x π=”是“函数cos 2y x =取得最大值”的既不充分也不必要条件．故选：D ．6．B【分析】利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足. 故选：B7．A【分析】充分不必要条件是指由结果不能推出条件，故放宽条件即可.【详解】由题知，命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，满足[1,3]x ∀∈-，22x x a -≤.则当[1,3]x ∈-时，222(1)13x x x -=--≤，所以命题“2[1,3],20x x x a ∀∈---≤”为真命题时，3a ≥.经验证，A 选项符合题意；8．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定分析判断即可.【详解】若l α⊂，l β∥，则平面α和平面β可能平行，也可能相交；若l α⊂，αβ∥，则l β∥，所以“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选：C ．9．D【分析】根据二次不等式的求解，结合集合关系的区间端点大小关系求解即可【详解】{}()(){}[]222101,2A x x x x x x =-≤=-+≤=-∣∣，因为B A ⊆，故112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤ 故选：D10．①①①【分析】①当,x y 均为正数时结论是错误的；①220x y +≠出,x y 不同时为0，故正确；①只有0a ，0b 时，2a b x +>才可推出，x > ①命题的否定只否定结论，故错误.【详解】对于选项①：若0x ，0y ，则||||||x y x y +=+，故①错误；对于选项①：若0x =且0y =，则220x y +=，所以：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠，故①正确；对于选项①：当0a ，0b 时，若2a b x +>，则x >题中没有说明,a b 的范围，所以是不充分，当x >时，2a b x +>不一定成立，如：2,8,4a b x ==>=，2a b x +>为2852x +>=，不成立，故“2a b x +>是x >的即不充分也不必要条件，故①错误；对于选项①：“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃>，1x e x +”，故①错误.故答案为:①①①11．0m =或1m =-【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】当m=0时，两直线为y=2与x= -1，此时两直线垂直;当2m -1=0，即m=12时，两直线为x= -4与3x+12y+3=0，此时两直线相交不垂直;当m≠0且m ≠12时，两直线的斜截式方程为233,2121m y x y x m m m m -=-=----, 由两直线垂直可知3121m m m -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得m= -1，故两直线垂直的充要条件是0m =或1m =-.【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，本题的关键是由两直线垂直得出参数m 的取值，易错点是忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误,12．[]3,9【分析】根据题意可得()1,1a a -+ []2,10，即可建立不等关系求解.【详解】因为p 是q 成立的必要非充分条件，所以()1,1a a -+ []2,10，所以12110a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得39a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]3,9.故答案为：[]3,9.13．BC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由0xy >，得0x >，0y >或0x <，0y <，故P 不是q 的充要条件，故A 错误；对于B ：由A B A ⋃=，则B A ⊆，若B A ⊆则A B A ⋃=，故P 是q 的充要条件，故B 正确；对于C ：三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故P 是q 的充要条件，故C 正确；对于D ：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p 不是q 的充要条件，故D 错误；故选：BC14．(1){|03}A B x x ⋃=≤≤ (2)1[,)2+∞【分析】（1）由并集定义计算；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆，然后分类讨论：A =∅与A ≠∅两类求解；若选择①，得A 是B 的真子集，同样分类A =∅与A ≠∅求解．（1）当1a =时，集合{|12}A x x =≤≤，因为{|03}B x x =≤≤，所以{|03}A B x x ⋃=≤≤；（2）若选择①，则由A ①B ＝B ，得A B ⊆．当A =∅时，即211a a ->+，解得2a >，此时A B ⊆，符合题意；当A ≠∅时，即211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得：122a ≤≤；所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．若选择①，则由“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，得A ⫋B ．当A =∅时，211a a ->+，解得2a >，此时A ⫋B ，符合题意；当A ≠∅时，211a a -≤+，解得2a ≤，所以21013a a -≥⎧⎨+≤⎩且等号不同时取，解得122a ≤≤；所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞．。

充要条件练习题

课时2第一章第一、选择题ayxaxy＝01．“互相垂直”的＝1”是“直线( ＋＝0和直线－)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C yyyxxxaayx－＝0，∴直线－＋与直线当＝1时，直线＝－化为直线＝00[解析]＝0垂直；aayaxxy＝0互相垂直时，有1－C.＝＝0和直线0－，∴＝1当直线，故选＋22xyxmmxy －2＝0 0与圆)＋2．－＝32是直线3相切的－＋( ＝B．必要不充分条件A．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件C．充要条件[答案] A m|＋|3mxmdy，3] [解析由圆心(1,0)得，到直线33－＋＝＝0距离或－＝3＝32A.故选AxxxCxxAxBxx∪－2)>0}，则“R|({＝(∈R|∈<0}，＝{3．设集合＝{R∈|2>0}－，∈CBx)( ”是“∈”的)B．必要不充分条件A．充分不必要条件．既不充分也不必要条件 DC．充要条件[答案] C CxxABCAB∈(∈∪)[解析] 因为∪”是“＝，故“”的充要条件．yxyx)”是“< 4．“lg”的>lg(．充分不必要条件A B．必要不充分条件C．充要条件．既不充分也不必要条件D] A答案[yxxyyxxxyxyy，故 lg时，] [解析lg>lg??>>0>；而2＝，＝0>?/>lg yxyx”的充分不必要条件．>”是“>lg“lgxx)－2|<3，那么甲是乙的( 5．设命题甲为：0< <5，命题乙为：|．充分不必要条件A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D] [答案A xx<5，2|<3得－[解析] 解不等式|1<－xxxx<5 0<?<5?－1</<5但－1<，<5∵0<∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.nlαlmllmnmnα⊥)”是“”的6．设⊥、且、均为直线，其中( 、⊥在平面内，则“．必要不充分条件．充分不必要条件 BA．既不充分也不必要条件C．充分必要条件 D] A答案[nlmlnlmnlαmααl⊥且⊥，∵⊥⊥，⊥?且，?，故充分性成立；又[解析] ∵αlnαmnm?⊥，不一定有不一定成立，∴必要性不成立，故选与A.时，相交，∴、二、填空题bbabaa__________________都是非零向量，与·是<0夹角为钝角的7．平面向量、条件．必要不充分答案] [bbaababa方向相反，则<0时，如果与·夹角为钝角，则与·<0若[解析] ，反之ba与夹角不是钝角．lylxkylllxylx构：5、－、－158．已知三条直线：＝－，＝00：，则＋2－＝0，332121k．∈集合__________________不成三角形的充要条件是10}5,5，－答案[] {－kllkll∥5时，5；②[解析] ①；∥时，＝－＝3312klll相交于同一点时，、10.、③＝－312三、解答题2mmxmx有一个正根和一个负根的充要条件是什么9．方程＝＋(23)＋0＋1－2mmm>03－12＋4－???由题意知，] [解析m－<0?m?mm，∴>1或<0mm<0.或即所求充要条件是>1n apSnqapp为等比数列的且(＝项和的前}{10．已知数列＋≠0，求证：数列)≠1{}nnnq ＝－1.充要条件为pqa 1＝] 证明充分性：当，＝－1时，－[1n 1－npanSSp ＝(当≥2时，1＝－－＝1)，当时也成立．nnn 1－n pap 1－n 1＋ap {于是为等比数列．＝＝}，即数列nn －1ppa －1nnaSpq .＝1时，＝必要性：当＋＝11n －1ppnaSS －当1)≥2时，，＝－(＝nnn 1－n ppa －1n 1＋ppp ，＝≠0且＝∵≠1，∴n－1ppa －1n a }为等比数列，{ ∵n aapp －1n 1＋2pp ，＝＝ ∴＝，即aapq ＋n 1ppqq ＝－1.＋ ∴，∴－1＝qa }为等比数列的充要条件． 1是数列综上所述，{＝－n一、选择题aaaaa }是递增数列”的( <<)”是“数列1．设{{}是等比数列，则“nn 321A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C2aqqaaaaqaaa ，则，则，此时为递增数列，若<>0<，则<0解析[] 若，若<<>111121311q <10<，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．xxaxaf ))内单调递增”的－1) ( |．“2在区间≤0”是“函数(0(|()＝，＋∞B ．必要不充分条件．充分不必要条件A ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件 D C [答案]xafx ，＝((0)＝0，则||] [解析本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若在2xaxaxfaxx ，＋在<0”，则(＝)|(1)－||＝(0－|其图象如图所示，若“)＋∞内单调递增，xfxax 1)＝)|(－|)∞内递增；反之，若(a 内递增，从图中可知，＋∞在(0)≤0，故选C. ．下列命题中的真命题有3( ) ①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；→→ABCBCABCAB<0中，是△·②△为钝角三角形的充要条件；cbacab是数列③2、＝、＋为等差数列的充要条件；ABCABCAB是△tan为锐角三角形的充要条件．④△>1中，tanB．2个个A．1D．4 个C．3个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．→→→→BCABBCABCABCAB的符号也不能确由为钝角三角形时，··<0只能说明∠为锐角，当△CAB 、哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．定，因为、BABABABA 为锐角，∴sincos>1，知sin 、tan 由，tan>cos CABC ＋∴角)<0，即∴cos(cos 为锐角，>0.ABC 为锐角三角形．∴△πBABCA 为锐角三角形，则，＋>反之若△2BABAAB ＋sin<sin)<0cos(，∴cos ，cos ∴BAAB >1tan ∵cos ，故④真．>0，cos ，∴>0tan βαk βk α ＝2”的π＋，( ∈4．“Z ”是“sin ＝sin)B ．充分不必要条件．必要不充分条件 ADC ．充要条件．既不充分也不必要条件A [答案]βαβkk α；反之，，＝∈Z 时，sin [解析] 由三角函数诱导公式可知，sin ＝2π＋ααk βαβkk βk α＝可得，Z ＝2π＋，，，所以，“∈Z 或＝(2由sin ＝sin ∈＋1)π－βk αk β sin2π＋A.，”的充分不必要条件，选∈Z ”是“sin ＝二、填空题xMfIfxpxIxMqf )≤))的定义域为，为函数：“对任意”．∈：“，都有(5．函数((qp 条件．的的最大值”，则是__________________ ] 必要不充分答案[MxfIxIxfMx ，同时)∈＝(1)[解析] 只有当对于任意，使∈，都有(()≤，(2)存在00pMfqpxq 才是(?)的最大值，故成立时，?/ ，，qp ∴是的必要不充分条件．bfxxx ．上是减函数的充要条件是______________________|()＝在|·(－)[0,2]．6b [答案] ≥4 xxxb ≥0，－ ??xf ＝)] 解析[(?xbxx <0. －－??bfxb >0，上为增函数，∴( )若在≤0，则[0,2]bbxf ≥2，∴≥4.)在∵[0,2](上为减函数，∴ 2三、解答题2xaxx 1＋7．求关于＝的方程0＋2至少有一个负的实根的充要条件．a ＝0时适合．[解析] ①a ≠0②当时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，a <0则；若方程有两个负的实根， 1?>0? a ?2a ≤1.则必须满足0< ，解得<0－ a ??a Δ≥044－＝aa ≤1，则方程至少有一个≤1；反之，若综上可知，若方程至少有一个负的实根，则2xaxxa ≤1. ＝0的方程＋2至少有一个负的实根的充要条件是＋负的实根，因此，关于12fxfxaxa ＝1≠0，从而1，由于＋2点评] ①＝0的情况不要忽视；②若令(0)(＋)＝[ 排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．x ＋222pqxxmmpqm 的的必要条件，求实数<0)－2，且＋1－是8．已知≤0：≥0，：(x －10取值范围．x ＋222xAxxxxm ≤0可＋．由<10}1－[解析] 由≥0，解得－2≤2<10，令＝{－|－2≤ x －10xmxmmmxmBxmxm }．{＝≤1－|1＋[·＋－(1而)]≤0，∴<0，1＋≤∵≤1－，令≤－[得－(1)]pqqpBA .??成立，即是的必要条件，∴m 21＋≥－??m ?<10－1m <0.则，解得－3≤??m <0。

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