2013年三大联盟自主招生数学试题及答案
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三一、选择题（36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3)3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （） A.24181 B. 26681 C. 27481D. 670243 4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ） A. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞二、填空题（54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += .8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =．题15图9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是． 12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三参考答案1[解]当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．[解法一] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a ， 解之得03a ≤<．[解法二]（特殊值验证法）令3,[1,4],a B B A ==-⊄，排除C ，令171,]a B =-=，B A ⊄排除A 、B ，故选D 。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷 六
一、选择题(36分)
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是
|PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(2)2．故PF1F2是直角三角形．
∴S=4．
9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，
B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若AB，则实数a的取值范围是．
解：A=(1，3)；
又，a≤－21－x∈(－1，－)，当x∈(1，3)时，a≥－7∈(－7，－4)．
5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是
(A)(B)(C)(D)
解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－)∪(，2)，
u=+==1+．
当x∈(－2，－)∪(，2)时，x2∈(，4)，此时，9x2+≥12．(当且仅当x2=时等号成立)．
此时函数的最小值为，故选D．
∴PF=．选A．
4．若x∈[－，－]，则y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是
(A)(B)(C)(D)
解：令x+=u，则x+=u+，当x∈[－，－]时，u∈[－，－]，
y=－(cotu+tanu)+cosu=－+cosu．在u∈[－，－]时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增．于是u=－时，y取得最大值，故选C．
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二一、填空题（64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 二、解答题（56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方． （1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)2-∞-+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案； （2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面A B D 所成角为θ，可求得32s i n ,31c o s ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ． 由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 BC DOP MN0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C65400320020023n n n--⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n n n n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）nt n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k P B P A ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+P B P A k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==P B P A k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 6021249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒==。
2013高中自主招生考试选拔试题(含答案)
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为 （得4分）
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合 不是好的集合， 是好的集合。（每个判断正确得2分）
（2）集合 、 、 、 等都可以举。（每举出一个得3分）
16、（本小题满分10分）
证明： ，且 为 三等分点， 为 中点
我们观察操作，将某次操作前的三个数记为 ．因为 对称，不妨设操作 ．则操作后的三个数为 ， ， ．不难发现
也就是说，操作前后平方和不改变，所以经过有限此操作后，三个数的平方和为10不为2014．（得4分）
A．20分钟Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟D．26分钟
5.二次函数 的图象如何移动就得到 的图象（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔 盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷(带答案)
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷（带答案）2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，→BA－t→BC≥→AC，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．12＜x＜1B．x＞12且x≠1C．x＞1D．0＜x＜13．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．15，1)B．15，2)C．1，2)D．15，2)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a1a2…a2006的个数为A．12(102006＋82006)B．12(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆x216＋y24＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比|PF1||PF2|的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m，y0m)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝1≤i ＜j≤5Σxixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有xi－xj≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，fn(0)≤2}．证明，M＝－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由→BA－t→BC≥→AC，推出→BA2－2t→BA•→BC＋t2→BC2≥→AC2,令t＝→BA•→BC→BC2，代入上式，得→BA2－2→BA2cos2α＋→BA2cos2α≥→AC2，即→BA2sin2α≥→AC2,也即→BAsinα≥→AC．从而有→AD≥→AC．由此可得∠ACB＝π2．答B．解：因为x＞0，x≠12x2＋x－1＞0，解得x＞12且x≠1．由logx(2x2＋x －1)＞logx2－1，＋x2－x)＞＜x＜1，2x3＋x2－x＜2或x＞1，2x3＋x2－x＞2．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞12且x≠1．答C．解：5x－；6x－b＞＞b6．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则1≤b6＜2，4≤a5＜5，即6≤b＜12，20≤a＜25．所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以→EF＝(t1，－1，－12)，→GD＝(－12，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜12．又→DF＝(t1，－t2，0)，→DF＝t12＋t22＝5t22－4t2＋1＝5(t2－25)2＋15，从而有15≤→DF＜1．答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059．又由于(9＋1)2006＝k＝0Σ2006C2006k92006－k以及(9－1)2006＝k＝0Σ2006C2006k(－1)k92006－k从而得A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059＝12(102006－82006)．填0，98]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－12t－12t2＝98－12(t＋12)2．因此－1≤t≤1ming(t)＝g(1)＝0，－1≤t≤1maxg(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈0，98]．填－55，55]．解：依题意，得＋cosθ)2＋(2a－－2sinθ)≤3－5a2．－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin55)对任意实数θ成立．－，故a的取值范围为－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即|PF1||PF2|＝|AP||AF2|⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|•|AF2|⑵而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF1||PF2|＝|AF1||AF2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为22的正方形。
2013年自主招生数学考试试题
绝密☆启用前试卷类型：A2013年枣庄市实验中学自主招生考试数 学 试 题 2013.5注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟。
考试结束时，将本试卷一并交回。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息写在试卷密封线内。
3.必须用黑色签字笔或蓝黑色钢笔作答（作图除外），答案必须写在答题纸各题目指定区域相应的位置，不按要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得３分，选错、不选或选出的答案超过一 个均计零分． 1．在实数π，2，0，3.14，2-，tan45°，3.1415926，71，1.010010001……（每两个1之 间0的个数依次加1）中，无理数的个数是 （ ）A ． 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2．某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润.若该商品标价为28元，则商品的进价为（ ）A ．21元B ．19.8元C ． 22.4元D ． 25.2元 3．已知a ＞b ，c ≠0，则下列关系一定成立的是（ ）A ．c +a ＞c +bB ．a bc c> C ．c -a ＞c -b D ． ac ＞bc4．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 5 ．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是14 ，则原来盒中有黑色棋子（ ）A ．8颗B ．6颗C ．4颗D ．2颗5．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是A ．12cm 2B ．96cm 2C ．48cm 2D ．24cm 26．函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k > B ．1k < C ．1k >- D ．1k <-区市 学校 姓名 准考证号 ——————密————————————————封——————————————————线——————————7.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )8.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A. (45)+ cm B. 9 cm C. 45cm D. 62cm(第9题图)10.如图，AB 是O ⊙的直径，O ⊙交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是（ ） AD BC ⊥① EDA B ∠=∠② 12OA AC =③ ④DE 是O ⊙的切线 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（第8题图） F ED C BA CDBAE O(第10题图)第Ⅱ卷 非选择题 （共70分)二、填空题：本大题共7小题，满分21分．只要求填写最后结果，每题填对得3分. 11.平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为 _____ 12.已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则a 的取值范围是13.右图是一个食品包装盒的侧面展开图,根据图中所标的尺寸，求这个多面体的全面积（侧面积与两个底面体之和）_____14．已知等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的高，点D 是垂足，且AD=21BC ， 则△ABC 底角的度数为_____。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三一、选择题（36分）1．函数在上的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．32．设，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 （）A. B. C. D.4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（）A. 764 cm3或586 cm3B. 764 cm3C. 586 cm3或564 cm3D. 586 cm35．方程组的有理数解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（54分，每小题9分）7．设，其中为实数，，，，若，则 .8．设的最小值为，则．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．10．设数列的前项和满足：，，则通项 =．11．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则 =．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．14．解不等式．15．如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三参考答案1[解]当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．[解法一] 因有两个实根，，故等价于且，即且，解之得．[解法二]（特殊值验证法）令，排除C，令，排除A、B，故选D。
[解法三]（根的分布）由题意知的两根在内，令则解之得：2[解法一] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 ， ， ，故．[解法二] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得，，，故．3[解] 设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．若，则，易知，，得一组解．若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．若，则，有唯一解，．若，则，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或体积为 cm3或 cm3．4[解] 若，则解得或若，则由得．①由得．②将②代入得．③由①得，代入③化简得 .易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或5[解] 设的公比为，则，而 ．因此，只需求的取值范围．因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是．6[解] 由题意知，由得，，因此，，．7[解]，(1) 时，当时取最小值；(2) 时，当时取最小值1；(3) 时，当时取最小值．又或时，的最小值不能为，故，解得， (舍去)．8[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 ．的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．9[解] ，即 2= ，由此得 2 ．令， ( )，有，故，所以．10[解法一] 由题设条件知，因此有，故．[解法二] 令，则，，即，故，得是周期为2的周期函数，所以．11[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面 //平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）． 又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）12[证] 的图象与直线的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，．…5分由于，，所以，即． …10分…15分． …20分[解法一] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于． 即 ． …5分分组分解 ，， …10分所以 ， ． …15分所以，即或．故原不等式解集为． …20分[解法二] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于． …5分即，， …10分令，则不等式为，显然在上为增函数，由此上面不等式等价于， …15分即，解得 ( 舍去)，故原不等式解集为． …20分13[解] 设，不妨设．直线的方程: ，化简得．又圆心到的距离为1，， …5分故，易知，上式化简得，同理有． …10分所以，，则因是抛物线上的点，有，则，． …15分所以 ．当时，上式取等号，此时．因此的最小值为8． …20分。
2013自主招生数学模拟试题【第三套】
1 ,3,5,7,9,11,13,15,17,
5. 已知 f x 2 x2 5x 1 ，则 f f x 0 的实根数目为 6. 考虑集合 1, 2,3,
,10 的所有非空子集，若其中奇数元素的个数大于偶数元素的个数，
.
则称该子集为“好子集” ，则“好子集”的个数位
, c sin x
sin x为
. .
3. 已知数 和 满足如下二等式： 3 3 2 5 1, 3 3 2 5 5 ， 则 4. 将 正 奇 数 集 合 1,3,5,7,
从 小 到 大 按 照 第 n 组 有 2n 1 个 数 进 行 分 组 ： 则 2013 在第 . .
7. 空间中给定四面体 ABCD ， 如果平面 满足： 四个顶点到平面 的距离之比为 1:1： 2:2， 则这样的平面有 个
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 8. （ 18 分 ） 是 否 存 在 在 实 数 域 有 定 义 的 实 值 函 数 f x ， 对 任 意 整 数 n ，
f n2 3n 1 f 2 n 2
2013 年自主招生数学模拟试题【第三套】
9. （20 分）有 5 条线段，其中任何 3 条都能构成三角形，证明：这些三角形中至少有一 个锐角三角形。
10. 已知 cos A 为有理数，求证：对任意自然数 n ， cos nA 都是有理数。
2013 年自主招生数学模拟试题【第三套】
2013 年自主招生模拟训练（数学）第三套
满分 100 分 考试时间 60 分钟 一、填空题：(本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分) 1. 若复数 z 满足
2013高校自主招生数学仿真模拟试题及答案1
数学模拟试题(第一套)一、选择题1.在ABC ∆中， 120=∠C ，12=+b a ，C ∠的角平分线为CD ，则CD 的最大值为()A. 12+B. 12-C. 13+D. 13-2.正四棱锥ABCD P -底面边长和侧面棱长均为10，PC 上一点Q ，2=CQ ，则从A 沿正四棱锥表面到Q 的最短路径长位于区间（ ）内.A. )13,12(B. )14,13(C. )15,14(D. )16,15(3.设0>a ,复数5)(i a +的虚部为-4，则其实部为( )A. 4B. -4C. 1D.-14.在ABC ∆中,c b a 4=+，则B A cos cos +的最大值为( )A. 61B. 31C. 21D. 325.长为4的线段AB 的两个端点在抛物线x x y +=2上，则其中点P 到x 轴的最短距离为( )A. 2B.23 C. 1 D.216.有A ，B ，C 三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A 景点的游客会到B 景点，B 景点的游客会到C 景点，而C 景点的游客会有三分之一到A 景点，三分之一到B 景点，其余三分之一留在原地，则经过一段时间达到平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量之比为（ ）A. 1:1:1B. 3:2:1C. 2:2:1D. 3:2:2 7.半径为1的圆内接正八边形，其中内三角形的最大面积为（ ） A. 2 B. 1 C.221+ D.238.一块豆腐一刀切成2块，2刀4块，那么连续5刀最多切成( )块 A. 25 B. 27 C. 30 D. 329.一个封闭的圆台状容器，壁厚忽略不计，里面装有水，正立时水面高占容器高1/4，在瓶壁齐水面处做个记号，倒立时水面仍齐刚才的记号.则圆台下底与上底半径之比为（ ）A.56692- B.3111692- C.56692+ D.511692+10.设σ是坐标平面按逆时针方向绕原点做角度为52π的旋转，τ表示坐标平面关于直线x y =的反射.用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用kσ表示连续k 次σ的变换，则=τστστσσ357（ ）A. στB. τσC.τσ2D. 2τσ二、解答题11.正四面体ABCD 的棱长为4，BD 的中点为P ，CD 上一点E ，1=CE .求点P 到平面ABE 的距离.12.数列{}n a 满足k k k a a a 2312+=++，n S 为前n 项之和. (1)若k k k a a b -=+1，求证: {}n b 为等比数列，并求公比q ； (2)若31=a ，且n n S S ∞→=lim 存在，求1b 及S .13.在锐角ABC ∆中，c b a 32=+，求角C 的最大值.14.已知a ，b ，c 为正数，求证:c b a bcabca++≥++22215.在ABC ∆中，22=++c b a ，求三角形面积的最大值.答 案1.选择题1. ABC BCD ACD S S S ∆∆∆=+，C ab C a CD C b CD sin 212sin212sin21=⋅+⋅，ba ab C ba ab CD +=+=2cos2.令t bb b ba ab =--=+122，则0)1(22=++-t b t b .因为210<<b ，1210<+<t ，11<<-t ，08)3(8)1(22≥--=-+=∆t t t ，223+≥t （舍去）或223-≤t ，即223-≤CD ，12-≤CD . 答案：B2. 有两种可能最短的路径：①绕过底面，路径长为3201849)310(22+=++；②绕过侧面，路径长为244)35()2510(22=+-+.相比，前者较短，位于)15,14(之间.答案 C3. i a a a a a i a )1105()510()(24355+-++-=+.由4110524-=+-a a ，得01224=+-a a ，12=a ，1=a ，则实部451035-=+-a a a .答案： B4. 利用正弦定理：将边的关系转化为角的关系，)sin(4sin 4sin sin B A C B A +==+，2cos2sin42cos2sinB A B A B A B A ++=-+，2cos42cosB A B A +=-.两边同乘以2cos2BA -，得)c o s (c o s 4)c o s (1B A B A +=-+，而1)c o s (≤-B A ，21cos cos ≤+B A .答案： C5. 抛物线方程可换为412-=x y ，准线为21-=y ，要使点P 到x 轴的距离最短，就是A ，B 到准线的距离之和最短，所以AB 经过焦点A ，B 到准线的距离之和为4，点P 到准线的距离为2，到x 轴的距离为23. 答案: B6. 设到达平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量分别为x ，y ，z ，则3z x =,3z x y +=,3z y z +=,所以3:2:1::=z y x . 答案： B7. 证明面积最大时，顶点在正八边形的边上.当其中两个顶点固定时，第三个顶点在正八边形的顶点时面积较大，从而三角形的三个顶点都在正八边形的顶点上.连接外接圆的圆心到三角形的三个顶点，得到三个圆心角分别为 90， 135， 135，从而面积为212135sin 21135sin 2190sin 21+=++， 答案： C8. 3刀8块，4刀15块，5刀27块. 答案： C9. 由已知水的体积占容器体积的一半.将容器侧面延长，上方得到一个圆锥，设下底半径比上底半径长x 倍.(上方圆锥体积)+(以下底为底的圆锥体积)= 2(以水面为底的圆锥体积)，而三个圆锥的高之比为)1(:)431(:1x x ++，所以333)431(2)1(1x x +=++，0)48125(2=--x x x ，56692+=x ，所以圆台下底与上底半径之比为5116921+=+x答案： D10. 解法一:把一个向量),(y x =α，经过τστστσσ357变换后进行检验即知. 答案： B解法二:⋅⋅⋅====3322τσστσσστστ，且15=σ，所以σττσστστσστσσστστστσσ===422334357))()((. 答案： B 解法三:τστσστσσστσττσστστστσσ====103737357. 答案： BB. 解答题11. 先求D 到面ABE 的距离，取AB 的中点F ，考虑CDF ∆，32==DF CF ，31cos =∠CDF ，32sin =∠CDF .连接EF .由余弦定理，得DE EF ==3.作EF DH ⊥，易证DH 为点D 到面ABE 的距离，CDF DF DFE DF DH ∠=∠⋅=sin sin22=.取BE 的中点Q ，连接PQ ，则DE PQ //，DE PQ 21=，所以点P 到面ABE 的距离为点D 到面ABE 的距离的一半，为2.12. （1）由k k k a a a 2312+=++转化为k k k k a a a a 22)(3112+-=-+++，)(32112k k k k a a a a --=-+++，即k k b b 321-=+.故{}n b 为等比数列，公比32-=q .（2）qqb a b b a a nn n --+=+⋅⋅⋅++=+1111111，1115331lim b qb a a n n +=-+=∞→，而n n S ∞→li m 存在，0533lim 1=+=∞→b a n n ，则51-=b .1lim +∞→=n n S S)]()([lim 11111n n b b a b a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++=∞→)]2()1[(lim 21n n n nb b b a n +⋅⋅⋅++-+=∞→)2(lim 21n n nb b b +⋅⋅⋅++-=∞→)21(lim 51-∞→+⋅⋅⋅++=n n nqq设)1|(|1)(32<-=⋅⋅⋅++=x xx x x x x f .由2')1(1)(x x f -=，得259)1(1)(2'=-=q q f .故59)(5'==q f S .十三、设t C =cos ，将它与a c b 23-=一起代入0cos 2222=--+c C ab b a ，得08)126()54(22=++-+c ac t a t ，由0)54(84)126(2≥+⋅-+=∆t t ，得92102-≥t 或92102+-≤t （舍去），所以C ∠的最大值92102arccos-.十四、利用柯西不等式，得 22222222)()())((c b a b bca abc cac b a bcabca++=⋅+⋅+⋅≥++++，则c b a bcabca++≥++222十五、首先证明当ABC S ∆取最大值时，b a =.假设b a ≠，找一点D ，使得2b a BD AD +==.考虑以A ，B 为焦点，长轴长为b a +的椭圆，可知ABD ∆的高大于ABC ∆的高，所以ABC ABD S S ∆∆>，即ABC S ∆未取到最大值.当b a =时，1=+c a ，取AB 的中点D ，则ADC ∆为直角三角形，2222)2()1(2)2(22c c c c a c DC AD S S ADC ABC --=-=⋅==∆∆23448341cc c +-=令234483c c c y +-=，则08241223'=+-=c c c y ，02632=+-c c ，311+=c （舍去）或311-，此时3326132)311(4148342-=-⨯=+-=∆c c c S ABC .。
自主招生考试数学试卷及参考答案
自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
2013年自招数学答案
2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分 当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分 经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分 （3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分 （2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分 在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分 方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=． （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）． 如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ． 当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ， 化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形． （3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）． 解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2013华约、北约自主招生数学、物理试题和答案详解
2013“华约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分100分)1.(10分)集合{|10,}A x x x N *=≥∈,B 为A 的子集,若集合B 中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;②任意两个数之和不为9(1)B 中两位数有多少？三位数有多少？ (2)B 中是否有五位数？六位数？(3)若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列,第1081个数为多少？【解】将0,1,2,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.(1)两位数有22215242272C A C ⨯⨯-⨯=个; 三位数有333222534222432C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个;(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;(3)四位数共有4443335443221728C A C A ⨯⨯-⨯⨯=个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3334332576C A ⨯⨯⨯=个,因此第1081个元素是4012.2.(15分)1sin sin 3x y +=,1cos cos 5x y -=,求sin()x y -与cos()x y +的值 【解】由1sin sin 3x y +=……①,1cos cos 5x y -=……②,平方相加得208cos()225x y +=;另一方面由①可得12sincos 223x y x y +-=……③ 由②式可得12sin sin 225x y x y +--=……④,由③/④式得3tan 25x y -=-,也所以22tan152sin()171tan 2x y x y x y --==--+即求.3.点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧. (1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k处的切线方程为y k x -=,即1y x p=-;同理在()E k处的切线方程为1y x p p=--. 4. (15分)7个红球,8个黑球,从中任取4个球.(1)求取出的球中恰有1个是红球的概率;(2)求所取出球中黑球个数X 的分布列及期望()E X ; (3)若所取出的4个球颜色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为137841556195C C C =; (2)易知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,则由古典概型知,474155(0)195C P X C ===,137841540(1)195C C P X C ===,227841584(2)195C C P X C ===,137841556(3)195C C P X C ===, 4841510(4)195C P X C ===,即X 的分布列为:所以其数学期望为 540845610320123419519519519519515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为83241515EX =⨯=,无须繁杂计算) (3)取出四个球同色,全为黑色的概率为48447823C C C =+即求. 5. (15分)数列{}n a 均为正数,且对任意*n N ∈满足21(0n nn a ca a c +=+>为常数).(1) 求证:对任意正数M ,存在N *N ∈,当n N >时有n a M >; (2)设11n n b ca =+,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求证:对任意0d >,存在*N N ∈,当n N >时,110||n S d ca <-<. 【证明】:(1)因为对任意的*n N ∈满足0n a >,所以21n n n n a ca a a +=+>,又因为0c >, 所以22111121()n n n n n n n n a a c a a a a a a a a +----=-+->->>-,所以2112211211()(1)()(1)n n n n n a a a a a a a a n a a n a ---=-+-++-+>--=-故对任意的正整数M ,存在*21{1,[]2}MN N a =+∈,当n N >时有n a M >; (注:21M a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过21Ma 的最大正整数.)(2)由21(1)n n n n n a ca a a ca +=+=+可得,111n n n a ca a +=+,所以211111111n n n n n n n n n n ca a a ca ca a ca a ca ca ++++-===-+; 也所以11111nn i i n S b ca ca =+==-∑,即11110n n S ca ca +-=> 且由(1)知211n a na +>,所以21111n ca nca +<, 即对任意0d >,存在211max 1,N dca ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有110||n S d ca <-<. 6. (15分)已知,,x y z 是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyz xy xz yz ---,求,,x y z . 【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xy xz yz xy yz zx xyz x y z xyz xyz---++-=-+++为整数的正整数,,x y z ,由于,,x y z 是互不相等的正整数,因此|1xyz xy yz zx ++-,不失一般性不妨设x y z >>,则13xyz xy yz zx yx ≤++-<,于是3z <,结合z 为正整数,故1,2z =,当1z =时,|1xy xy y x ++-,即|1xy y x +-,于是12xy xy y x x ≤++-<,所以2y <, 但另一方面y z >,且为正整数,所以2y ≥矛盾,不合题意.所以2z =,此时2|221xy xy y x ++-,于是2221xy xy y x ≤++-,即221xy y x ≤+-,也所以224xy y x x <+<,所以4y <,又因为2y z >=,所以3y =; 于是6|55x x +,所以655x x ≤+,即5x ≤,又因为3x y >=,所以4,5x =, 经检验5x =符合题意,于是符合题意的正整数,,x y z 有(,,)x y z =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同. 7. (15分)已知()(1)1x f x x e =-- 求证:(1)当0x >,()0f x <;(2)数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=,求证:数列{}n x 单调递减且12n nx >. 【解】(1)当0x >时,()0xf x xe '=-<,所以()f x 在(0,)+∞上递减,所以()(0)0f x f <=. (2)由11n nx x n x ee +=-得11n n x x ne ex +-=,结合11x =,及对任意0,1xx e x >>+,利用数学归纳法易得0n x >对任意正整数n 成立,由(1)知()0n f x <,即1n n xxn e x e -<, 即1n n x x n n x ex e +<,因为0n x >,所以1n n x x e e +<,即1n n x x +>,所以数列{}n x 递减,下面证明12n n x >,用数学归纳法证,设1()x e g x x -=,则221()()x x xe e f x g x x x -+'==-,由(1)知当0x >时,()0f x <,即()0g x '>,故()g x 在(0,)+∞递增,由归纳假设12n n x >得1()()2n n g x g >,要证明1112n n x ++>只需证明1112n n xe e ++>,即112()n n g x e +>,故只需证明1121()2n n g e +>,考虑函数2()()x h x xg x xe =-,因为当0x >时212x x e >+,所以222()(1)[(1)]022x x xxx x h x e e e e =-+=-+>,故()h x 在(0,)+∞上递增,又102n >,所以1()02n h >,即1121()2n n g e +>,由归纳法知,12n n x >对任意正整数n 成立.注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.2013“北约”自主招生试题2013-03-16(时间90分钟,满分120分)一、选择题(每题8分,共48分)1.和1( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6【解】由1x =可知22x =,同理由1x 可知3(1)2x -=; 所以方程23(2)[(1)2]0x x ---=的次数最小,其次数为5,故选C.2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 14400 【解】红色车选3列有3620C =种方法,再从这三列中选三行有3620C =种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有326⨯=种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有326⨯=种方法,因此方法数有(20206)614400⨯⨯⨯=种.故选D.3.已知225x y =+,225y x =+(x y ≠),则32232x x y y -+值为( ) A. 10- B. 12- C. 14- D. 16-【解】由225x y =+与225y x =+两式作差得2()x y x y +=-≠,代入两式中分别化出 2210x x +-=、2210y y +-=,所以,x y 是方程2210t t +-=的两个不等实根,于是 2,1x y x y +=-=-,也所以 3223222()[()3]2()(2)7216x x y y x y x y x y x y -+=++--=-⨯-=-.故选D. 4.在数列{}n a 中,11a =,142n n S a +=+(1n ≥),则2013a 值为( )A. 201230192⨯B. 201330192⨯C. 201230182⨯D. 无法确定 【解】由11a =,142n n S a +=+(1n ≥)……①可知,当1n =时,2142S a =+,所以25a =;当2n ≥时,有142(2)n n S a n -=+≥……②,由①-②式得,1144(2)n n n a a a n +-=-≥,即1122()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,且2123a a -=所以11232n n n a a -+-=⨯(*n N ∈),同除以2n 得,113222n n n n a a +--=,且1012a =;所以13122n n a n +=+,故令2012n =时,得2012201323019a =⨯,故选A. 5.在ABC ∆中,D 为BC 中点,DM 平分ADB ∠交AB 于点M ,DN 平分ADC ∠交AC 于N ,则BM CN +与MN 的关系为( ) A.BM CN MN +> B.MN CN MN +< C.BM CN MN +=D.无法确定【解】如图,在DA 取DE DB =,连接,,ME NE MN则显然可证,ME MB EN NC ==,且有ME NE MN +≥,即BM CN MN +≥, 上述不等式当且仅当180MED DEN ∠+∠=, 也即180B C ∠+∠=,这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选A.6.模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC AC ABA B C++++的模长为( )A. 12- B. 1 C. 2 D. 无法确定 【解】由题知1AA BB CC ===,所以2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C ++++++=⨯++++++,也即2BC AC AB BC AC AB BC AC ABA B C A B C A B C++++++=⨯++++++313BA C A AB CB AC BCAB AC BA BC C A CB++++++==++++++,故选B.二、解答题(每题18分,共72分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意. 8.已知12320130a a a a ++++=,且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-证明:12320130a a a a =====.【证明】:观察可知12320130a a a a ++++=,即21322013201212013(2)(2)(2)(2)0a a a a a a a a -+-++-+-=……① 又122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-,不妨设12|2|a a t -=,M ACDBE则①可写为(2013)0(02013,)kt k t k k N --=≤≤∈,即(22013)0k t -=, 又显然220130k -≠,则有0t =,于是有122320122013201312,2,,2,2a a a a a a a a ====,所以2013112a a =,即10a =.也所以12320130a a a a =====,即证.9.对于任意θ,求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值. 【解】632cos cos66cos415cos2θθθθ--- 31c o s 232()c o s 66c o s 415c o s 22θθθθ+=--- 3234(1c o s 23c o s 23c o s 2)(3c o s 24c o s 2)6c o s 415c o s2θθθθθθθ=+++---- 2412c o s 26c o s 446(1c o s 4)6c o s 410θθθθ=+-=++-=即求. 10.有一个m n ⨯的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.〖原题叙述〗:已知有m n ⋅个实数,排列成m n ⨯阶数阵,记作{}ij m n a ⨯,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的1,2,3,,i m =,当12j j <时,都有12ij ij a a <.现将{}ij m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m n ⨯阶数阵,记作{}ijm n a ⨯',即对任意的1,2,3,,i n =,当12i i <时,都有12i ji j a a ''<.试判断{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数的大小关系,并说明理由. 【解】:数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,理由如下: 显然,我们要证明数阵{}ijm n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明, 对于任意1,2,3,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,其中1,2,3,,(1)j n =-. 若存在一组(1)pq p q a a +''>,令(1)(1)k k q i q a a ++'=,其中121,2,3,,,{,,,}{1,2,,}k k m i i i m ==,则当t p ≤时,都有(1)(1)(1)t t i q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(1,2,,)iq a i m =中,至少有p 个数小于pq a ',也即pq a '在数阵{}ij m n a ⨯'中的第q 列中,至少排在第1p +行,与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意的1,2,,i m =,都有(1)iji j a a +''<,即数阵{}ij m n a ⨯'中每一行的n 个数从左到右都是递增的.2013年高水平大学（华约）自主选拔学业能力测试物理探究注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(,)22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=.则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2.设x a bi=+,,a b R∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=. 二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有 且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极 大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹
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ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C
3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
≤ amj ．
讨论， i 个数 a1k ， a2 k ，…， aik 都在原阵列的第 k 列上，
而剩余的 m i 1 个数 aij ， a i 1 j ，…， amj 都在原阵列的第 j 列上， 由于这些数共有 m 1 个而总共有 m 行， 所以一定有 a1k ， …， …， a2 k ， a i 1 j ， aik 中的某个数与 aij ，
b1 b2 b2013 ， b1 b2
b2013 0 ． , b2013 或者为 m 或者为 m ，
设 b1 b2
b2013 m ，则 b1 , b2 ,
设其中有 x 个 m ， 2013 x 个 m ，则 b1 b2 由于 2x 2013 0 ，因此 m 0 ． 于是 b1 b2
2013 年高二尖端班
数学
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2.（本小题满分 15 分）
1 sin x sin y 3 已知 x 、 y 满足 ，求 cos x y 与 sin x y 的值． cos x cos y 1 5 【解析】 两式平方相加得 34 sin 2 x sin 2 y 2sin x sin y cos2 x cos2 y 2cos x cos y 225 208 2 2cos x y 225 208 cos x y 225 x y 3 两式和差化积后相除得 tan 2 5 x y 2 tan 15 2 ∴ sin x y ． x y 17 1 tan 2 2 15 （两式相乘后和差化积也可得 sin x y ． ） 17 【备注】求出一个得 5 分，两个都求出得 15 分．
an 1 an 3 2n 1 2n 4
∴ an1 2an 3 2n1 ，从而 因此 6.
an 3 1 n 1 ，解得 an 3n 1 2n 2 ，于是 a2013 3019 22012 ． n 2 4 2
复数 A 、 B 、 C 的模都等于 1 ，且 A B C 0 ，则复数
3 3 于是 A6 6 C6 C3 14400 为所求．
, a6 与放法对应．
3. 在 △ABC 中，D 为 BC 的中点，DM 平分 ADB 交 AB 于 M ，DN 平分 ADC 交 AC 于 N ， 则B M C N 与 MN 的大小关系是（ ） A． BM CN MN B． BM CN MN C． BM CN MN D．不能确定 【解析】 A．
AB BC CA AB BC CA
3 AB AC BA BC C A CB AB BC CA 因此复数 中分子与分母的模相等． A BC
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数学
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二、解答题（每题 18 分，共 72 分） （文科第 7 题）
A M B E D N C
AM AD AD AN ，于是 MN ∥ BC ． BM BD CD CN 设 AD 与 MN 交于点 E ，则 E 点平分 MN 且 MN ME EN 2DE ． BM CN 与 2DE 的大小关系可以转化为 AB AC 与 2 AD 的大小关系（平行线截割定理） AB AC 而利用平行四边形容易证明在 △ABC 中，中线 AD 小于 ，因此选 A． 2
）
A． 3019 22012 【解析】 A．
B． 3019 22013
C． 3018 22012
D．以上答案均不对
由 a1 a2 4a1 2 ，得 a2 5 ．
Sn1 4an 2 ，于是 an 2 4 an1 an ，即 an 2 2an1 2 an1 2an ．
2013 年高二尖端班 数学 1 / 15
4.
2 x 2 y 5 若 2 ， x y ，则 x3 2 x2 y 2 y3 的值为（ y 2x 5 A． 10 B． 12 C． 14 【解析】 D．
） D．以上答案均不对
x 2 y 2 2 x y 10 x2 2 y 5 x y 2 x y 2 ，考虑到 x y ，有 2 ，即 ． 2 2 2 2 xy 1 x y 6 y 2x 5 x y 2 y x
1 cos 2 3 2 32 4cos 2 3cos 2 6 2cos 2 1 15cos 2 2 10
2013 年高二尖端班 数学 3 / 15
3
（理科第 10 题） 设有 mn 个实数排成一个 m 行 n 列的阵列 aij
m n
每一行中的 n 个数
的大小顺序如何？给出结论并说明理由．
【解析】 新的阵列 aij
mn
反证如下，若有某一行不是这样，不妨设第 i 行上存在 j k 且 aij aik ． 由新阵列的排法知 a1k ≤ a2k ≤ 返回到原阵列 aij
mn
≤ aik ≤ aij ≤ ai 1 j ≤
mn
，使得每一行上的 n 个数从左到右都按递增的顺序排列，
即对任意 1≤ i ≤ m ，当 j1 j2 时有 aij1 ≤ aij2 ．下面把每列上的 m 个数都从上到下都按递增的顺序重排得到 阵列 aij
m n
，即对任意的 1 ≤ j ≤ n ，当 i1 i2 时有 ai1 j ≤ ai2 j ，问这个新的阵列 aij 中，每一行上的 n 个数从左到右还是按递增的顺序排列．
因此次数不小于 4． 2. 在 6 6 棋盘上放 3 个完全相同的红色的车和 3 个完全相同的黑色的车，若这 6 个车不在同一行也不在同一 列上，则不同的放法有（ ）种． A． 720 B． 518400 C． 20 D． 14400 【解析】 D． 视 6 枚棋子均相同，记落在第 i 行的的棋子在 ai 列，则排列 a1 , a2 ,
a1 , a2 , a3 ,
是一个递增的正等差数列． k 、 l 、 m 、 n 是给定的正整数．已知 ak 与 al 的几何平均大于 am
k l mn ． 2 a an a al a al am an 【解析】 根据题意有 ak al m ，又 ak al ≤ k ，于是 k ． 2 2 2 2
2013 年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约） 数学试题
一、选择题（每题 8 分，共 48 分） 1. 以 2 和 1 3 2 为根的有理系数方程的最小次数为（ A． 2 B． 3 C． 5 【解析】 C． ） D． 6
3 可以构造方程 x2 2 x 1 2 0 ，于是次数不超过 5 ．
假设有 3 次方程 x 2 x 1 3 2 x m 0 满足要求，则
m 2 1 3 2 ， 2 1 3
2 m 均为有理数．
设 m p 2 3 2 ， p 为有理数，则
5 1 5 5 4 7 1 1 1 2 1 3 2 m 2 2 2 6 p 2 2 2 3 2 2 2 6 p 2 2 6 2 3 2 6 不可能为有理数．
a1 a2 , a2013 满足 a1 a2 a2013 0 ， a1 2a2 a2 2a3
a2013 2a1 ．求证：
a2013 0 ．
【解析】 令 b1 a1 2a2 ， b2 a2 2a3 ，…， b2013 a2013 2a1 ，则
于是 x 、 y 是关于 t 2 2t 1 0 的两根，为 1 2 ．
x3 2 x2 y 2 y3 x y x 2 xy y 2 2 xy 2 6 1 2 1 16 ．