经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组
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1.经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组
1.1运用四阶龙格库塔法解一阶微分方程组算法分析
),,(1k k k y x t f f =， )2,2,2(112g h
y f h x h t f f k k k +++=
)2
,2,2(223g h
y f h x h t f f k k k +++=
),,(334hg y hf x h t f f k k k +++=
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)2,2,2(223g h
y f h x h t g g k k k +++=
),,(334hg y hf x h t g g k k k +++=
)
22(6
)22(6
43211
43211g g g g h
y y f f f f h
x x k k k k ++++=++++=++
1k k t t h +=+
经过循环计算由 推得 ……
每个龙格-库塔方法都是由一个合适的泰勒方法推导而来，使得其最终全局误差为()
N O h ,一种折中方法是每次进行若干次函数求值，从而省去高阶导数计算。4阶龙格-库塔方法(RK4)是最常用的，它适用于一般的应用，因为它非常精
准，稳定，且易于编程。
000,,t x y ()()111222,,,,t x y t x y （1-1）
（1-2）
（1-3）
（1-4）
（1-5）
（1-6）
（1-7）
（1-8）
（1-9）
（1-10）
1.2经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图
图1-1 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图
1.3经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序代码：
#include
#include
using namespace std;
void RK4( double (*f)(double t,double x, double y),double (*g)(double t,double x, double y) ,double initial[3], double resu[3],double h) {
double f1,f2,f3,f4,g1,g2,g3,g4,t0,x0,y0,x1,y1;
t0=initial[0];x0=initial[1];y0=initial[2];
f1=f(t0,x0,y0); g1=g(t0,x0,y0);
f2=f(t0+h/2, x0+h*f1/2,y0+h*g1/2); g2=g(t0+h/2, x0+h*f1/2,y0+h*g1/2);
f3=f(t0+h/2, x0+h*f2/2,y0+h*g2/2); g3=g(t0+h/2,
x0+h*f2/2,y0+h*g2/2);
f4=f(t0+h, x0+h*f3,y0+h*g3); g4=g(t0+h, x0+h*f3,y0+h*g3); x1=x0+h*(f1+2*f2+2*f3+f4)/6; y1=y0+h*(g1+2*g2+2*g3+g4)/6; resu[0]=t0+h;resu[1]=x1;resu[2]=y1;
}
int main()
{
double f(double t,double x, double y);
double g(double t,double x, double y);
double initial[3],resu[3];
double a,b,H;
double t,step;
int i;
cout<<"输入所求微分方程组的初值t0,x0,y0:";
cin>>initial[0]>>initial[1]>>initial[2];
cout<<"输入所求微分方程组的微分区间[a,b]:";
cin>>a>>b;
cout<<"输入所求微分方程组所分解子区间的个数step:";
cin>>step;
cout< H=(b-a)/step; cout<< initial[0]< { RK4( f,g ,initial, resu,H); cout< initial[0]=resu[0];initial[1]=resu[1];initial[2]=resu[2]; } return(0); } double f(double t,double x, double y) { double dx; dx=x+2*y; return(dx); } double g(double t,double x, double y) { double dy; dy=3*x+2*y; return(dy); } 1.4经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序调试结果图示： 应用所编写程序计算所给例题： 其中初值为 求解区间为[0,0.2]。 计算结果为: 图1-2 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程算法程序调试图 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧+=+=y x dt dy y x dt dx 232⎩⎨⎧==4 )0(6)0(y x