matlab编的4阶龙格库塔法解微分方程的程序

matlab编的4阶龙格库塔法解微分方程的程序

2010-03-10 20:16

function varargout=saxplaxliu(varargin)

clc,clear

x0=0;xn=1.2;y0=1;h=0.1;

[y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h);

n=length(x);

fprintf(' i x(i) y(i)\n');

for i=1:n

fprintf('%2d %4.4f %4.4f\n',i,x(i),y(i)); end

function z=f(x,y)

z=-2*x*y^2;

function [y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h)

x=x0:h:xn;

n=length(x);

y1=x;

y1(1)=y0;

for i=1:n-1

K1=f(x(i),y1(i));

K2=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K1);

K3=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K2);

K4=f(x(i)+h,y1(i)+h*K3);

y1(i+1)=y1(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

end

y=y1;

结果：

i x(i) y(i)

1 0.0000 1.0000

2 0.1000 0.9901

3 0.2000 0.9615

4 0.3000 0.9174

5 0.4000 0.8621

6 0.5000 0.8000

7 0.6000 0.7353

8 0.7000 0.6711

9 0.8000 0.6098

10 0.9000 0.5525

11 1.0000 0.5000

12 1.1000 0.4525

13 1.2000 0.4098

龙格库塔法

一、基本原理：

龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。对于一阶精度的欧拉公式有：

yi+1=yi+h*K1

K1=f(xi,yi)

当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：

yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h,yi+h*K1)

依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)

K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)

K4=f(xi+h,yi+h*K3)

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式

（1）

计算公式（1）的局部截断误差是。

龙格-库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数等优点，但仍需计算在一些点上的值，如四阶龙格-库塔法每计算一步需要计算四次的值，这给实际计算带来一定的复杂性，因此，多用来计算“表头”。

二、小程序

#include

#include

#define f(x,y) (-1*(x)*(y)*(y))

void main(void)

{

double a,b,x0,y0,k1,k2,k3,k4,h;

int n,i;

printf("input a,b,x0,y0,n:");

scanf("%lf%lf%lf%lf%d",&a,&b,&x0,&y0,&n);

printf("x0\ty0\tk1\tk2\tk3\tk4\n");

for(h=(b-a)/n,i=0;i!=n;i++)

{

k1=f(x0,y0);

k2=f(x0+h/2,y0+k1*h/2);

k3=f(x0+h/2,y0+k2*h/2);

k4=f(x0+h,y0+h*k3);

printf("%lf\t%lf\t",x0,y0);

printf("%lf\t%lf\t",k1,k2);

printf("%lf\t%lf\n",k3,k4);

y0+=h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

x0+=h;

}

printf("xn=%lf\tyn=%lf\n",x0,y0);

}

运行结果：

input a,b,x0,y0,n:0 5 0 2 20

x0 y0 k1 k2 k3 k4

0.000000 2.000000 -0.000000 -0.500000 -0.469238 -0.886131

0.250000 1.882308 -0.885771 -1.176945 -1.129082 -1.280060

0.500000 1.599896 -1.279834 -1.295851 -1.292250 -1.222728

0.750000 1.279948 -1.228700 -1.110102 -1.139515 -0.990162

1.000000 1.000027 -1.000054 -0.861368 -0.895837 -0.752852

1.250000 0.780556 -0.761584 -0.645858 -0.673410 -0.562189

1.500000 0.615459 -0.568185 -0.481668 -0.500993 -0.420537

1.750000 0.492374 -0.424257 -0.361915 -0.374868 -0.317855

2.000000 0.400054 -0.320087 -0.275466 -0.284067 -0.243598