高中数学专题训练

导数知识点

考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景 （2）理解导数的几何意义 （3）掌握函数的导数公式

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点

)(x f y =

1.导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

2． 导数的四则运算法则：

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）

)0(2'''

≠-=

⎪⎭

⎫

⎝⎛v v u v vu v u 3.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导， 如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数； 如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.

4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①

. 此外，函数不

可导的点也可能是函数的极值点②

. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.

②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.

5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

6. 几种常见的函数导数：

I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '

=

1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-=

II. x x 1)(ln '=

e x

x a a log 1

)(log '=

x x e e =')( a a a x x ln )('=

1、(广东卷)函数错误!未找到引用源。是减函数的区间为( )

（Ａ）错误!未找到引用源。（Ｂ）错误!未找到引用源。（Ｃ）错误!未找到引用源。（Ｄ）错误!未找到引用源。

2.（全国卷Ⅰ）函数错误!未找到引用源。，已知错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时取得极值，则错误!未找到引用源。=（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

3. （湖北卷）在函数错误!未找到引用源。的图象上，其切线的倾斜角小于错误!未找到引用

源。的点中，坐标为整数的点的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 4．(江西)已知函数错误!未找到引用源。的图象如右图所示(其中找到引用源。是函数错误!未找到引用源。的导函数)，象中错误!未找到引用源。的图象大致是( C ）

5.(浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )

(A) 错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C) 错误!未找到引用源。 (D)1

6. (重庆卷)曲线y =x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为______8/3____。

7.（江苏卷）（14）曲线错误!未找到引用源。在点（1,3）处的切线方程是错误!未找到引用源。

8. ( 全国卷III )曲线错误!未找到引用源。在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0

9. （北京卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ．

B D

高中数学专题训练—二次函数与幂函数

一、选择题

1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．

2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )

答案 C

解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴

对称轴－b

a <0，不符合，∴选C.

3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )