人教版八年级数学下册第十九章一次函数解析式与图像变换专题

一次函数的解析式与图象变换题型一：复杂条件下求解析式例题精讲【引例】 如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）．A ．2y x =-+B ．2y x =+C ．2y x =-D ．2y x =--【解析】 由题意可知()02A ，，()11B -， 设该一次函数解析式为y kx b =+，将A B 、点坐标代入，解得12k b ==，，所以选B典题精练【例1】 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，C 为线段BD 上一点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB =6，DE =1，BD =8，高CB =x ，试求使AC +CE 的值最小的x 值． 小伟是这样思考的：当点C 在AE 、BD 交点处时，AC +CE 的值最小，他先后尝试了各种方法，发现建立平面直角坐标系，通过函数的方法可以解决这个问题。

他的方法是：建立如图2所示的平面直角坐标系，依据已知条件求出直线AE 的解析式，进而求出C 点坐标，找到x 的值．请你回答：小伟求出的x 的值等于___________，并说明原因图 1图 2ABCDE【解析】 当以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系后，A （0，6）、D （8，0）、E （8，1-）利用待定系数法解得：AE ：768y x =-+∴C （487，0），∴487x =【例2】 一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.【解析】 若0m >，所以当2x =-时，0y =；当5x =时，7y =；解得1m =，2n =，2y x =+；若0m <，所以当2x =-时，7y =；当5x =时，0y =；解得1m =-，5n =，5y x =-+题型二：一次函数图象的变换思路导航一．一次函数y kx b =+()0k ≠图象的平移、对称和旋转变换平移对称旋转 关于x 轴关于y 轴 关于垂直于坐标轴的直线 旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐标确定解析式方法⑴k 值不变，平移图象上的一个点； ⑵k 值不变，“上加下减，左加右减”⑴对称图象上的两个点；⑵k b 、均变为相反数⑴对称图象上的两个点；⑵k 变为相反数，b 不变对称图象上的两个点，由对称后的两点坐标确定解析式()0y kx b k =+≠1k =过()10，点 过()10-，点 大致图象等等等举例1y x =-+，2y x =-等2233y x y x =-+=-，等 11122y x y x =+=--，等重要性质⑴与y x =或y x =-平行 ⑵与x y ，轴的夹角为45︒，并与坐标轴围成等腰直角三角形k b ，互为相反数 即0k b +=k b =例题精讲【引例】 将直线310y x =--先向上平移4个单位，再向右平移5个单位后得到的直线的解析式为________．【解析】 方法1：k 值不变，平移一个点直线310y x =--与y 轴的交点为()010-，，将此点向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到点()56-，，设平移后的直线解析式为y kx b =+， ∵两直线平行，∴3k =-将点()56-，代入3y x b =-+中，解得9b =， ∴平移后解析式为39y x =-+ 方法2：“左加右减，上加下减”平移后的直线为()35104y x =---+，整理后为39y x =-+.典题精练【例3】 已知直线21y x =-．⑴ 求它关于x 轴对称的直线的解析式；⑵ 将直线21y x =-向左平移3个单位，求平移后的直线解析式； ⑶ 将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，求旋转后的直线解析式．【解析】 图象与x 、y 轴的交点分别为()10012A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，、， ⑴ ∵关于x 轴对称，∴点A 不变，将点B 关于x 轴对称得到点()101B ，， ∴对称后的解析式为21y x =-+⑵ ∵平移∴k 值不变，将点B 向左平移3个单位得到点()231B --，， ∴平移后解析式为25y x =+⑶ 将A 、B 两点分别绕原点顺时针旋转90°得到1'02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()'10B -， 直线''A B 即为旋转后的直线，解析式为1122y x =--【例4】 已知一次函数y kx b =+，y 随x 增大而增大，它的图象经过点()10，并且与x 轴的夹角为45°，⑴ 确定这个一次函数的解析式；⑵ 假设已知中的一次函数的图象沿x 轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与y 轴的交点坐标． （海淀期末）【解析】 由一次函数的图象经过()10，且它与x 轴的夹角为45°可知，它与y 轴的交点为()01，或()01-，，因为y 随x 增大而增大，所以只取()01-，．⑴一次函数的解析式为1=-．y x⑵因为图象沿x轴平移两个单位，但是没有说明方向，故分情况讨论有两类：即向正方向或向负方向平移．可求得平移后的函数为1=+，3y x=-．与y轴交点坐y x标分别为()-，．0301，，()题型三：一次函数与“将军饮马”问题思路导航【引例】 已知直线12y x b =+经过点A （4，3），与y 轴交于点B .⑴ 求B 点坐标；⑵ 若点C 是x 轴上一动点，当AC BC +的值最小时，求C 点坐标. （海淀期末）【解析】 ⑴ 将点()43A ，代入解析式中，解得1b = ∴()01B ，⑵ 点B 关于x 轴的对称点'B 的坐标为()01-，， 设直线'AB 的解析式为y kx b =+，依题意得341k b b =+⎧⎨-=⎩ 解得11k b =⎧⎨=-⎩∴直线'AB 的解析式为1y x =-，与x 轴的交点即为C 点，坐标为()10，.【例5】 ⑴ 在直角坐标系中，有点()63A -，，()25B -，，()0C m ，，()0D n ，，当四边形ABCD的周长最短时，求直线CD 的解析式及m n ，的值；⑵ 在直角坐标系中，有点()15A --，，()11B ，，点P 在x 轴上且使得PA PB -最大，求P 点坐标．【解析】 ⑴ 如图1，将点A B 、分别关于x 轴，y 轴对称到()()'63'25A B --，、，，直线''A B 与y x 、轴的交点即为C D 、点，求得直线''A B 的解析式为3y x =+，所以33m n ==-，DCA' (-6,-3)B' (2,5)B (-2,5)A (-6,3)Oyx图１⑵ 如图2，将A 点关于x 轴对称得到点()'15A -，，作直线'A B 与x 轴的交点即为点P ，由直线'A B 的解析式23y x =-+可求得点()1.50P ，例题精讲典题精练图2PA'(-1,5)B (1,1)A (-1,-5)Oyx图2【教师备选】在直角坐标系中，有点()01A ，，()53B ，，点M 、N 在x 轴上且1MN =，当四边形AMNB 周长最短时，求点M N 、的坐标；【解析】 如图3，将点A 向右平移1个单位至()'11A ，，再将'A 关于x 轴对称到点()''11A -，，连接''A B 与x 轴的交点即为N 点，将N 点向左平移一个单位得到点M ，由直线''A B 的解析式2y x =-可求得()20N ，，()10M ， yxO NM B (5,3)A'' (1,-1)A' (1,1)(0,1)A图3【例6】 如图，直线1l ：y kx b =+平行于直线1y x =-，且与直线2l ：12y mx =+相交于点(1,0)P -．⑴ 求直线1l 、2l 的解析式；⑵ 直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点1B 处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点1A 处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点2B 处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点2A 处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，……照此规律运动，动点C 依次经过点1B ，1A ，2B ，2A ，3B ，3A ，…，n B ，n A ，… ①求点1B ，2B ，1A ，2A 的坐标；②请你通过归纳得出点n A 、n B 的坐标；并求当动点C 到达n A 处时，运动的总路径的长．（2013年东城期末）真题赏析【解析】 ⑴ 1:1l y x =+，211:22l y x =+ ⑵ ①()111B ，，()232B ，，()112A ，，()234A ， ②()212n n n A -，，()1212n n n B --，运动的总路径长为1212122n n n +-+-=-【分析】本题既考查到求函数解析式，又涉及平移，并且与找规律进行结合，综合性比较强，并且训练了由已知点的坐标求线段长问题，这部分的训练是函数问题的重要组成部分，后期学习函数与几何题目的综合练习时会进一步深入探索．思维拓展训练训练1. 点()P x y ，在第一象限，且8x y +=，点A 的坐标为()60，，设OPA △的面积为S ． ⑴ 用含x 的解析式表示S ，写出x 的取值范围，画出函数S 的图象．⑵ 当点P 的横坐标为5时，OPA △的面积为多少？ ⑶ OPA △的面积能大于24吗？为什么？【解析】 ⑴ ∵8x y += ∴8y x =-()16382432S y x x ==-=-××∴()24308S x x =-<< ⑵ 9⑶ 不能，若24S >，则24324x ->，解得0x <，不符合题意.训练2. 如果一条直线l 经过不同三点()()()A a b B b a C a b b a --，，，，，，那么直线l 经过（ ）A. 第二、四象限B. 第一、二、三象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A ，B 在直线l 上，∴b ka t a kb t =+⎧⎨=+⎩，∵a b ≠，解得1k =-，故直线l 的解析式为：y x t =-+，又∵点C 在直线l 上，∴()b a a b t -=--+，得0t =，即直线l 的解析式为y x =-∴直线l 经过二、四象限．选A ．训练3. 已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴交于A 和B ，4AOB S △≤，则b 的取值范围是_________.【解析】 直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A (2b -，0)、B (0，b )，由4AOB S △≤可知，1242b b -≤，24b ≤，22b -≤≤.但当0b =时，A 、B 重合不能构成三角形，故0b ≠. 综上所述，22b -≤≤且0b ≠.训练4. 已知：如图，直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式． （石景山一模）【解析】 根据题意，得：(2,0)A，B在Rt AOB △中，4AB =， 由题意可知，,AB AC BD CD ==∴6OC OA AB =+=设OD t =，则CD BD t ==+在Rt △DOC 中，222OC OD CD +=即(2226t t +=+解得t =∴(6,0)C，(0,D -设直线CD的解析式为：y kx =-∴06k =-k =所以直线CD 的解析式为y =-题型一 复杂条件下求解析式 巩固练习【练习1】 已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值. 【解析】 若0k >，当3x =-时，1y =；当1x =时，9y =；解得2k =，7b =，14kb =；若0k <，当3x =-时，9y =；当1x =时，1y =；解得2k =-，3b =，6kb =-.【练习2】 正比例函数的图象与一次函数的图象交于点()34，，两图象与y 轴围成的三角形的面积为152，求这两个函数的解析式. 【解析】 正比例函数解析式为43y x =，一次函数解析式为153y x =-+或35y x =-题型二 一次函数图象的变换 巩固练习【练习3】 如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象1l ，⑴ 直线1l 的解析式是 ．⑵ 将直线1l 沿x 轴平移2个单位得到直线2l ，则2l 的解析式为 ．⑶ 将直线1l 关于y 轴对称得到直线3l ，则3l 的解析式为 . （上海市中考题改编）【解析】 ⑴ 直线OA 解析式为：2y x =，∴平移后为21y x =+⑵ 分两种情况讨论：①向左平移2个单位得到25y x =+；②向右平移2个单位得到23y x =-∴2l 解析式为：25y x =+或23y x =-⑶ 3l 解析式为：21y x =-+.【练习4】 某一次函数的图象与直线6y x =-交于点()5A m ，，且与直线23y x =-无交点，求此函数的关系式．【解析】 将()5A m ，代入6y x =-中求得1m = 设所求解析式为y kx b =+，与直线23y x =-无交点即与其平行，2k = 过()51A ，，代入求得解析式为29y x =-题型三 一次函数与“将军饮马”问题 巩固练习【练习5】 ⑴ 如图⑴，点C 的坐标为(3，y )，使ABC △的周长最短，求y 的值. 复习巩固yxO3214321A⑵ 如图⑵，在x 轴上有一点C ，在y 轴上有一点D ，使AD CD BC ++值最小，求直线CD 的解析式及点C D 、坐标.(2)B (3,1)A (1,3)(1)B (2,0)A (0,3)xyOOy x【解析】 ⑴ 如图⑶，作B 关于直线3x =的对称点()'40B ，，连接'AB 与直线3x =的交点即为点C ，可求直线'AB 解析式为334y x =-+，当3x =时，34y =⑵ 如图⑷， 将点A B 、分别关于y 轴、x 轴对称到点''A B 、，连接''A B 与x 轴、y 轴的交点即为点C D 、，直线CD 解析式为2y x =-+，()()2002C D ，，， DCA'(-1,3)B'(3,-1)CB'(4,0)xy OOyx A (0,3)B (2,0)(3)A (1,3)B (3,1)(4)。