山东省滨州阳信国际学校2020届高三校际联合考试数学试卷

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山东省滨州阳信国际学校2020届高三第二轮复习质量检测数学试卷

绝密★启用前数学试题（理）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合()(){}{}120,ln 0A x x x B x x =+-<=>，则A B ⋂= A ．{}12x x << B ．{}1x x -<<1 C ．{}1x x -<<2D ．{}2x x -<<12．已知复数1,2iz i i-=+为虚数单位，则z = A ．1355i -B ．1355i + C ．1355i --D ．1355i -+ 3．已知直线l 过点P(3，0)，圆22:40C x y x +-=，则 A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．l 与C 的位置关系不确定4．已知()20121213,4nn n px b b x b x b x b b p -=+++⋅⋅⋅+=-==，若，则 A ．1B ．12C ．13D ．145．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”；从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为 A ．15B ．14C ．12D ．136．命题[]2:2,1,0p x x x m ∃∈-+-≤成立的充要条件是A. 0m ≥B. 14m ≥-C. 124m -≤≤ D. 2m ≥ 7．在直角三角形ABC 中，,22ABC AC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且BP=2PA ，则CP CA CP CB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rA.4-B. 2-C.2D.48．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 A ．102a a ≤≥或B ．103a a ≤≥或 C ．0a ≤D. 103a a ≥≤-或二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为()()()1002200,,102x f x ex π--=∈-∞+∞，则下列说法正确的是A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D ．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大 10．如图，正方体ABCD —1111A B C D 的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,1M N MN =，且，则下列结论正确的是 A ．AC BM ⊥B ．MN ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BMN 的体积为定值D ．△AMN 的面积与△BMN 的面积相等11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线50x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为 A ．34B.1 C ．43D.212．在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是A ．函数()()[]2239g x f x =--在，上有两个零点B ．函数()y f x =是偶函数C ．函数()[]86y f x =--在，上单调递增D ．对任意的x R ∈，都有()()14f x f x +=-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数cos 43sin 4y x x =+的单调递增区间为 ▲ ．14．北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有 ▲ 种不同的安排方法．(用数字作答)．15．已知抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为1y =-，直线:3440l x y -+=与抛物线C 和圆2220x y y +-=从左至右的交点依次为A 、B 、E 、F ，则抛物线C 的方程为 ▲ ，EF AB= ▲ .(本题第一空2分，第二空3分)16．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=o，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O 的表面积为 ▲ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①5462a b b =+，②()35144a a b b +=+，③24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为{},n n S b 是等差数列．已知11a =，32214352,S S a a a b b -=+=+，__________．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设112233n n n n T a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)如图，在△ABC 中，5:5:3,1sin 5AD DC BD A ===，，0BA BD ⋅=u uu r u u u r(1)求BC 的长度；(2)若E 为AC 上靠近A 的四等分点，求sin DBE ∠．19．(12分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C AB AC -⊥中，，侧面11ABB A 是正方形，3,36AB AC ==．(1)证明：平面11AB C ⊥平面11A BC ；(2)若16AM AC =u u u u r u u u r，求二面角11M BC A --的大小．20．(12分)某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是16，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站。

山东省滨州市2020届高三上学期期末考试数学试题及参考答案

试卷类型：A高三数学试题2020.1注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}|13A x x =-≤<，{}0,2,4,6B =，则A B ⋂= A ．{}0,2B ．{}1,0,2-C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|12x x -≤≤2．已知复数z 满足()1i 34i z +=+，则||z = AB ．54C ．52D3．已知x ∈R ，则“112x⎛⎫> ⎪⎝⎭”是“21x -<<-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．8(2的展开式中4x 的系数为A ．16B ．8C ．2D ．15．已知向量(),2x =a ，()2,y =b ，()2,4=-c ，且//a c ，⊥b c ，则||-=a c А．3BCD．6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线AF 的斜率为，则PAF 的面积为 A．B．C ．8D．7．已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<8．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点 D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C的方程为221169x y -=的是 A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340x y ±=D ．实轴长为410．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ．将ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，下列结论正确的是 A ．BD CM ⊥B ．存在一个位置，使CDM 为等边三角形C ．DM 与BC 不可能垂直D ．直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60︒ 11．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是A ．624f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．263f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线(1)xy x e =+在点(0,1)的切线方程为________． 14．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________．15．在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =值为________，该四面体外接球的表面积为________．（本题第一空2分，第二空3分．） 16．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：3y x =上在第三象限内的点，()10,0B -，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥，则圆C 的标准方程为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-．（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③c =这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题．若________，________，求ABC 的面积．注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答记分． 18．（12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且23a =，1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}2n a +的前n 项和，1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，45BCD ∠=︒，2BC AD =．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若PC BC =，求平面PAD 和平面PBC 所成的角（锐角）的余弦值．20．（12分）近年，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，某省采用33+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分．另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查，其中，女生抽取45人．（1）求n 的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的22⨯列联表，请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X ，求X 的分布列及期望．附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线32y x =与椭圆E 在第一象限内的交点是M ，且2MF x ⊥轴，1294MF MF ⋅=．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆E 相交于C ，D两点，且||||7CD AB ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 22．（12分）已知函数()(1ln )xf x e m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数．设()()xf x h x e'=，且()52h x ≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）设函数()f x 的零点为0x ，函数()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >．高三数学试题参考答案2020.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．A 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．ABC 10．ABD 11．CD 12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.210x y -+= 14．1715，8π 16．()()227645x y +++=四、解答题． 17．（10分）解：（1）因为()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c a A bc +-===，因为0A π<<，所以6A π=．（2）方案一：选条件①和②．由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin ab B A==方法一：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222222cos4c c π=+-⨯，解得c =．所以ABC 的面积11sin 2122S ac B ==⨯⨯+=．方法二：因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以ABC 的面积11sin 2122S ab C ==⨯⨯=．方案二：选条件①和③．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =．所以c =，所以ABC 的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯= 说明：若选条件②和③，不得分．理由：大前提、条件②、③相当于给出了三个角（关系），由三个角不能唯一确定三角形，或不存在． 18．（12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠．由题意得()()1211134a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．所以21n a n =-．（2）依题意得，221n a n +=+，()()()()()123122222n n n S a a a a a -=++++++++++357(21)(21)n n =++++-++2(213)22n nn n ++==+．所以1231n n n T b b b b b -=+++++11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++． 19．（12分）解：（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ．因为2BC AD =，所以AD BE =．又因为//AD BC ，所以四边形ABED 是平行四边形. 因为90ABC ∠=︒所以四边形ABED 是矩形. 所以DE BC ⊥. 又45BCD ∠=︒ 所以12DE CE BC ==. 所以ABCD 是直角三角形，即BD CD ⊥．又PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以BD PD ⊥．又PD ，CD ⊂平面PCD ，且PD CD D =.所以BD ⊥平面PCD ．又PC ⊂平面PCD ，所以BD PC ⊥．（2）方法一：因为//AD BC ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD.设平面PAD 和平面PBC 的交线为l ，则//BC l连接PE ，因为DE BC ⊥，且BC PD ⊥ 所以BC ⊥平面PDE ，所以l ⊥平面PDE. 所以l PD ⊥,l PE ⊥所以EPD ∠是平面PAD 和平面PBC 所成二面角的平面角．设1AD =，则2BC =，由（1）知1DE =，DC =．又PC B С=，所以PD =在PED 中，90PDE ∠=︒，PE =所以cos PD EPD PE ∠==所以平面PAD 和平面PBC方法二：如图，以D 为坐标原点，分别以DB ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设AD=1，则BC=2，由（1）知1DE =，DC =，DB =PC BC =又，所以PD =所以22B C P E ⎛⎫⎪⎝⎭所以(BC =PC =.设平面PBC 的法向量为()n x y z =,,，则n BCn PC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩所以00n BC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0⎧+=⎪-=取1x =，则1y =，1z =，所以平面PBC 的一个法向量为()111n =,,．又平面PAD的一个法向量为222m DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===所以平面PAD 和平面PBC20．（12分）解：（1）由题意得451000450n =，解得100n =．（2）2×2列联表为：2100(45202510)8.1289 6.63555457030k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故有99%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”．9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X 可为0，1，2，3，4．设事件X 发生的概率为()P X ，则44491(0)126C P X C ===1354492010(1)12663C C P X C ====2254496010(2)12621C C P X C ==== 3154494020(3)12663C C P X C ====45495(4)126C P X C ===所以X 的分布列为期望1206040520()012341261261261261269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．（12分）解：（1）设()1,0F c -，()2,0F c由题意，得3,2M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为123392,0,224MF MF c c c ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得1c =，则31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭又点M 在椭圆上，方法一：24a -== 所以2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22143x y y +=. 方法二：所以222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）假设存在斜率为1-的直线l ，设为y x m =+．由（1）知，12(1,0), (1,0)F F -，所以以线段12F F 为直径的圆为221x y +=.由题意，圆心()0,0到直线l的距离1d =<，得||m <||AB ===由22143x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y ，整理得22784120x mx m -+-=．由题意，()()2222(8)47412336484870m m m m =∆=--⨯⨯-=-=->，解得27m <，又||m <22m <．设()()1122,,,C x y D x y ，则212128412,77m m x x x x -+==21||77CD x =-==，若||||CD AB ⋅=，77⨯= 整理得42436170m m -+=，解得212m =，或2172m =.又22m <，所以212m =，即2m =±.故存在符合条件的直线l ，其方程为2y x =-+，或2y x =--. 22．（12分）解：（1）由题设知，()1ln (0)x m f x e m x x x '⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ ()()1ln x f x m h x m x e x '==++，2(1)()(0)m x h x x x'-=> 由()0h x '>，得1x >，所以函数()h x 在区间(1,)+∞上是增函数；由()0h x '>，得01x <<，所以函数()h x 在区间()0,1上是减函数. 故()h x 在1x =处取得最小值，且()11h m =+．由于5()2h x ≥恒成立，所以512m +≥，得32m ≥. 所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）方法一：因为()f x 的零点为0x ，所以()001ln 0x e m x +=所以01ln 0m x +=，解得10m x e-= 由（1）知()1ln x m f x e m x x '⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，设()()g x f x '=，则22()1ln x m m g x e m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭．设22()1ln (0)m m H x m x x x x=+-+>，则()22332222()0m x x m m m H x x x x x-+'=-++=>，故函数()H x 在区间(0,)+∞上单调递增．由（1）知，32m ≥ 所以(1)10H m =+>，11ln 21ln 02H m ⎛⎫=--⎪⎝⎭…，故存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20H x =，所以，当20x x <<时，()0,()0H x g x '<<，函数()g x 单调递减；当2x x >时，()0,()0H x g x '>>，函数()g x 单调递增．所以2x 是函数()g x 的极小值点．因此21x x =，即11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．又()()000220002121ln m x m m H x m x x x x -=+-+=．因为e < 所以218e ->，所以2312e ->．又由（1）知，32m ≥ 所以12302121210m x e e ---=-≥->，所以()00H x >．因为()10H x =，所以()()01H x H x >因为函数()H x 在区间()0,+∞上单调递增.所以01x x >．方法二：设()()1ln x m g x f x e m x x ⎛⎫'==++ ⎪⎝⎭，则22()1ln x m m g x e m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭．设22()1ln (0)m m H x m x x x x =+-+>，则()22332222()0m x x m m m H x x x x x -+'=-++=>，故函数()H x 在区间(0,)+∞上单调递增，由（1）知，32m ≥，所以(1)10H m =+>，11ln 21ln 02H m ⎛⎫=-≤-⎪⎝⎭，故存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20H x =，所以，当20x x <<时，()0H x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当2x x >时，()0H x >，()0g x '>，函数()g x 单调递增．所以2x 是函数()g x 的极小值点．因此21x x =，即11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由（1）可知，当32m =时，5()2h x ≥，即33521ln 22x x ++≥，整理得1ln 1x x +≥，所以ln m m x m x+≥．因此()11111()1ln (1)0x x m g x g x e m x e m x ⎛⎫≥=++≥+> ⎪⎝⎭，即()0f x '>．所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．由于()10H x =，即121121ln 0m m m x x x +-+=，即121121ln m m m x x x +=-，所以()()()11111021121ln 0x x x f x e m x me f x x -=+=<=．又函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以01x x >．。

2022-2023学年山东省滨州市三校联考数学高三上期末检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．403．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（） A ．3B ．4C ．5D ．64．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =（） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤6．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．1287．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i8．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（） A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．8510．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25m =（） A ．1B ．2C 5D ．311．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（） A ．1-B ．12- C ．12 D ．112．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（） A ．3B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省潍坊市滨州阳信国际学校2020届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(pdf版)

即二面角 03#.36的余弦值为槡**' )! 分若用其它解法正确的同样给分选择因为 2#*平面 #$.6#取 $.中点 (#连结 #(#取 #6的中点 7#连接 07#.7#则 07%2##且 07,)# 所以 07* 平面 #$.6# 0.与平面 #$.6 所成的角为 +0.7#故+0.7,- #
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2020届山东省滨州市高三三模考试数学试题(解析版)

2020届山东省滨州市高三三模考试数学试题一、单选题1．已知集合{}41,M x x n n Z ==+∈，{}21,N x x n n Z ==+∈，则（） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．M N ∈D ．N M ∈【答案】A【解析】将集合M 改写为{}221,M x x n n Z ==⨯+∈，由2n 是偶数可得出集合M 与N 的包含关系. 【详解】{}{}41,221,M x x n n Z x x n n Z ==+∈==⨯+∈，当n 为整数时，2n 为偶数，又{}21,N x x n n Z ==+∈，因此，M N ⊆.故选：A. 【点睛】本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为（） A ．10x ey e +-+= B ．10x ey e -+-= C ．0x ey += D ．0x ey -=【答案】D【解析】首先求出函数的导函数，即可求出函数在x e =处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；【详解】解：因为ln y x =，所以1y x '=，所以1|x e y e='= 又当x e =时，ln 1y e == 所以切线方程为()11y x e e-=-整理得0x ey -= 故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.3．已知x ∈R ，当复数()3z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（）A ．B ．2C ．2-D ．2i -【答案】C【解析】求得复数z 的模的表达式，结合二次函数的性质求得x 为何值时模最小，进而求得z 的虚部. 【详解】依题意z ===故当1x =时，z取得最小值.此时2z i =，所以z 的虚部为2-.故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的模的运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.4．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD ．若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B【解析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可. 【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ，因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂；同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线，因为l γ⊥，故m γ⊥. 故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5．已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤=（） A ．0.3413 B ．0.6826C ．0.1587D ．0.0794【答案】A【解析】依题意得：()10.1587P ξ>=，()10.15872100.34132P ξ-⨯-<≤==．故选A ．6．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（）A ．916B ．419C ．2764D ．827【答案】C【解析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积. 【详解】由于图1阴影部分的面积为1，图2的阴影部分的面积为33144⨯=，图3的阴影部分面积为3344⨯，所以图4的阴影部分的面积为3332744464⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.7．已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（） A ．(3，5) B ．(5，7)C ．(6，8)D ．(6，8]【答案】C【解析】求得,A B 两点的坐标，根据抛物线的定义转换MNE 周长的表达式，由此求得MNE 的周长的取值范围. 【详解】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得((,2,A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =，所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查圆的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=-，可设3mOC OD -=，且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S DCD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=-得：12333mOA OB OC +=- 设3mOC OD -=，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线如下图所示：OC 与OD 反向共线，0m >,3OD m OC ∴= 3313mOD m m m CD ∴==++ 734AOB ABC D S OD m S m C ∆∆∴+=== 4m ⇒= 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、多选题9．2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是（）（年底贫困人口的线性回归方程为1609.915768y x =-+(其中x =年份-2019)，贫困发生率的线性回归方程为 1.672916.348y x =-+(其中x =年份-2009)）A ．2010年～2019年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降B ．2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低C ．2010年～2019年十年间超过1.65亿人脱贫，其中2015年贫困发生率低于6％D ．根据图中趋势线可以预测，到2020年底我国将实现全面脱贫【答案】BD【解析】根据统计表计算出每年脱贫的人口，由此判断出正确选项. 【详解】每年脱贫的人口如下表所示：由于缺少2009年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC 选项错误. 根据上表可知：2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低，故B 选项正确.根据上表可知，2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，2019年年底，贫困人口551万，故预计到2020年底我国将实现全面脱贫，故D 选项正确. 综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查统计表分析和数据处理，属于中档题. 10．已知曲线12:3sin ,:3sin 24C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移4π个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C D ．把1C 向左平移8π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线2C 【答案】AC【解析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项. 【详解】由1:3sin C y x =变换到2:3sin 24C y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若先伸缩后平移，则把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2C . 若先平移后伸缩，则把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C . 所以正确的选项为AC 故选：AC 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11．已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD【解析】根据点()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----满足曲线方程，判断出ABC 选项正确.画出曲线C 在第一象限内的图形，并计算出其面积.根据对称性，计算出曲线C 所围成图形的面积.【详解】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确.当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1，半径为2的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为()211222222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12．已知函数()xxf x e ex -=++．则下面结论正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[)0,+∞上为增函数C ．若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D ．若()()11f x f -<-，则02x <<【答案】BCD【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数可判断函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，可判断B 选项的正误；求得当0x >时，1f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围，结合偶函数的性质可判断C 选项的正误；利用偶函数和单调性解不等式()()11f x f -<-，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，函数()xxf x e ex -=++的定义域为R ，()()x x x x f x e e x e e x f x ---=++-=++=，则函数()y f x =为偶函数，A 选项错误；对于B 选项，当0x ≥时，()xxf x e ex -=++，则()11x x f x e e -'=-+≥，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，B 选项正确；对于C 选项，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，此时()2221222f x f e e e x -⎛⎫+≥=++>+ ⎪⎝⎭，由于函数1y x x =+为奇函数，当0x <时，12x x --≥=，2112f x f x e x x ⎛⎫⎛⎫+=-->+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，当0x ≠时，212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，由于函数()y f x =为偶函数，由()()11f x f -<-得()()11fx f -<，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则11x -<，解得02x <<，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题13．()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数为__________．【答案】30-【解析】先求得101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，再根据乘法分配律，求得6x 的系数. 【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()10110210101r r r r r rC x x C x ---⋅⋅-=-⋅⋅. 10243r r -=⇒=，10262r r -=⇒=，根据乘法分配律可知，()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 的项为()()()32234266610101211209030x C x C x x x ⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-+⋅=-.所以6x 的系数为30-. 故答案为：30- 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题. 14．已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，PA ⊥平面,26,ABC PA BC ==AB AC ⊥，则球O 的表面积为__________．【答案】45π【解析】画出图象，利用补形的方法求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，故可将P ABC -补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥P ABC -的外接球，也即球O . 由于26,3PA BC BC ===，设,AB a AC b ==，则2229a b BC +==，所以长方体=设球O 的半径为R ，则2R =所以球O 的表面积为2445R ππ=. 故答案为：45π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.15．已知函数()()()221,412x x x f x h x a a x -+==->-．若[)123,,x x ∀∈+∞∃∈[)3,+∞，使得()()12f x h x =，则实数a 的最大值为__________．【答案】2【解析】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系求实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，()()()2222212122x x x x f x x x -+-+-+==--，3x ≥ ()112222422x x x x =-++≥-⨯=--，等号成立的条件是122x x -=-，即3x =，成立，即函数()f x 在[)3,+∞的值域是[)4,+∞()()41x h x a a =->，是增函数，当[)3,x ∈+∞时，函数()h x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：12a <≤，所以实数a 的最大值是2. 故答案为：2 【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于基础题型.四、双空题16．已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2，παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭则()cos αβ-=________，αβ-=________．【答案】12 3π- 【解析】将条件变形sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-，然后两式平方相加即可得到()cos αβ-，再通过条件推出αβ-所以在范围，即可得αβ-. 【详解】解：由已知得sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-，将上述两式两边同时平方后相加可得222222sin cos sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos γγββααααββ+=-++-+，整理得()()122sin sin cos cos 22cos βααβαβ=-+=--，即()1cos 2αβ-=，又由已知0,,,022ππαβ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，又sin sin sin sin βαγα=+>，，则,02παβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭， 3παβ∴-=-.故答案为：12；3π-. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.五、解答题17．如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD ，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数；（2）求四边形ACDP 面积的最大值．【答案】（1）298cos PC θ=-， 02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）5【解析】（1）根据图形，解三角形，利用余弦定理，将线段PC 的长表示为θ的函数；（2）将四边形ACDP 面积表示为角θ的函数,再利用三角函数求最值. 【详解】解：（1）依题设易知APB △是以APB ∠为直角的直角三角形，又2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=.在3,△中，PAC AC PAC θ=∠=，由余弦定理得，2222cos PC PA AC PA AC θ=+-⋅ 2224cos 912cos 98cos θθθ=+-=-.所以298cos PC θ=-，定义域为02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）四边形ACDP 面积为S ，则211=sin 22△△APC PCD S S S AP AC PC θ+=⋅⋅+ ()2112cos 3sin 98cos 22θθθ=⋅⋅⋅+⋅-()31sin 254cos 222θθ=+⋅- 35sin 22cos 222θθ=-+()954sin 242θϕ=+-+ ()55sin 2,22θϕ=-+ 其中34cos ,sin ,55ϕϕϕ==为锐角. 因为43sin 52，ϕ=<所以03πϕ<<. 又因为02πθ<<，所以23πθϕπ-<-<，所以当2=2πθϕ-时，S 取得最大值为55=522+.所以四边形ACDP 面积的最大值为5 . 【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角θ的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.18．在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，(),n m a 表示第n 行，第m 列的数．已知()()()1,12,23,31,4,12a a a ===．（1）求数列(){},2n a 的通项公式；（2）设()()2,2,211log ,n n n n n n b a c a b b +==+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）(),22=nn a （2）122.1++=-+n n n S n 【解析】（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >，则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()2.21a q d =+，()()23.312a q d =+即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得n b n =，1121n n c n n =+-+，再利用分组求和与裂项相消法求和即可；【详解】解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >，则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()()2.2 1.21a qa q d ==+，从而()14q d +=.① ()()()223.3 1.312a q a q d ==+，从而()21212q d +=②联立①②解得，1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）从而()1.22a =，所以()()11,2 1.2222n n n n a a q--=⋅=⨯=.（2）由（1）知，(),22=nn a . 所以()22,2log log 2nn n b a n ===，所以()1112211nn n c n n n n =+=+-++，所以1231n n n S c c c c c -=+++⋅⋅⋅++23111111111112222212233411n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+⋅⋅⋅++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23111111111222221223341n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122111121n n n n +-⎛⎫+-=+- ⎪+-+⎝⎭ 1112212.11n n n n n +++=--=-++ 【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用，分组求和法以及裂项相消法求和，属于中档题. 19．在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77. 【解析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC . 又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE . （2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=，在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=tan301Rt FAC FC AC ∆==中，因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥. 在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以2214AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠= 所以二面角A FB C --的余弦值为77. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题. 20．在平面直角坐标系xOy 中，①已知点)3,0Q，直线:3l x =P 满足到点Q 的距离与到直线l 的距离之比为22．②已知点()3,0,H G -是圆22:3210E x y x +--=上一个动点，线段HG 的垂直平分线交GE 于P ．③点,S T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足6333OP OS OT =+．（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹C 的方程； (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)（2）设圆22:2O x y +=上任意一点A 处的切线交轨迹C 于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．【答案】（1）不管选条件几，22163x y +=；（2）以MN 为直径的圆过定点()0,0. 【解析】（1）若选①，则可设(),P x y ，根据距离之比可得,x y 满足的方程，化简后可得所求的方程.若选①，根据题设条件可得26PH PE +=的曲线方程.若选③，，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，则根据新老坐标的关系可求曲线的方程.（2）当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，根据它与圆相切可得()2221m k =+，再设()()1122,,,M x y N x y ，可用,M N 的横坐标表示以·OM ON 为直径的圆，再联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和前述等式化简·OM ON 得到0OM ON =，从而可得以MN 为直径的圆过原点O .注意讨论斜率不存在的情况. 【详解】解：（1）若选①，设(),P x y2=，整理得22163x y +=. 所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选②，由22:210E x y +--=得(2224x y +=，由题意得PH PG =，所以PH PE PG PE EG HE +=+==>=所以点P的轨迹C 是以H ，E为焦点的椭圆，且a c ==，故b =所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.若选③，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，故()229,x y ''+=*因为63OP OS OT =+，所以,x x y y ''⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，将其代入()*得22163x y +=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22163xy +=.（2）当过点A 且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为x x ==当切线方程为x =,MN以MN 为直径的圆的方程为(222x y -+=.①当切线方程为x =((,M N ，以MN为直径的圆的方程为(222x y ++=.②由①②联立，可解得交点为()0,0.当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，=，故()2221m k =+.联立切线与椭圆C 的方程22,1,63y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并消去y ，得()222124260k xkmx m +++-=.因为()()()2222221641226863k m kmm k ∆=-+-=---()()222822638410k k k =-+--=+>，所以切线与椭圆C 恒有两个交点.设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++，因为()()1122,,,OM x y ON x y ==，所以()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++ ()2222226411212m km k km m k k--=+⋅+⋅+++ ()222222321663601212k k m k k k⨯+----===++. 所以OM ON ⊥.所以以MN 为直径的圆过原点()0,0. 综上所述，以MN 为直径的圆过定点()0,0. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆位置关系中的定点定值问题.前者可利用椭圆的定义（第一定义、圆锥曲线的统一定义）来求标准方程，也可利用动点转移来求标准方程.而直线与椭圆位置关系中的定点定值问题，一般要联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到定点定值.21．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y 与行驶时问x (单位：小时)的测试数据如下表：（1）根据电池放电的特点，剩余电量y 与行驶时间x 之间满足经验关系式：bxy ae =，通过散点图可以发现y 与x 之间具有相关性．设ln y ω=，利用表格中的前8组数据求相关系数r ，并判断是否有99％的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；(当相关系数r 满足0.789r >时，则认为有99％的把握认为两个变量具有线性相关关系) （2）利用x 与ω的相关性及表格中前8组数据求出y 与x 之间的回归方程；(结果保留两位小数)（3）如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X 表示需要充电的数据组数，求X 的分布列及数学期望． 1.1742 6.486 2.45 1.70 1.30 3.22e ≈≈≈≈，，，．表格中前8组数据的一些相关量：()()88888221111136,11.68, 2.18,42, 3.61i i i i i i i i i i x y x xy yω========-=-=∑∑∑∑∑，()()()()()88821111.70,11.83,8.35ii iiii i i x xy y x x ωωωω===-=--=---=-∑∑∑，相关公式：对于样本()(),1,2,3,,i i u i n υ=⋅⋅⋅，其回归直线u b a υ=+的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,nii i nii u ub a u b υυυυυ==--==--∑∑，相关系数()()()()12211niii n niii i u u r u u υυυυ===--=--∑∑∑【答案】（1）0.99r ≈-；有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系（2）0.203.22x y e -=（3）见解析，3.2【解析】（1）先求出相关系数0.99r ≈-，即得有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系；（2）先求出0.20 1.17x ω=-+，再求出所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即；（3）由题得X 的所有可能取值为2，3，4，再求出对应的概率，即得X 的分布列及数学期望．. 【详解】解：（1）由题意知，()()()()818822110.9942 1.70iii iii i x x r x x ωωωω===--==≈-⨯--∑∑∑.因为0.990.789r ≈>，所以有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系.（2）对bxy ae =两边取对数得ln ln y a bx =+，设ln ,=ln =a y bx μωωμ=+又，则，()()()818218.350.2042iii ii x x b x x ωω==---==≈--∑∑，易知 2.184.5,0.278x ω==≈. ()0.270.20 4.5 1.17bx μω=-=--⨯=所以0.20 1.17x ω=-+.所以所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即.（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X 的所有可能取值为2，3，4.()()()2635444646468881010102812,3,415153C C C C C C P X P X P X C C C =========.所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为()28116234 3.2151535E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查回归方程的求法，考查分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平和分析推理能力. 22．已知函数()()xf x ex a =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()()2g x f x a x =--，讨论函数()g x 零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是()1,a --+∞，减区间是(),1a -∞--.（2）见解析【解析】（1）求导函数()f x '，分别令()0,()0f x f x ''><，解出不等式，即可得到函数()f x 的单调区间；（2）由2()(),0g x f x a x =--= 得方程 ()0x ax ex --=，显然 0x = 为此方程的一个实数解.当0x ≠时, 方程可化简为0x a e x --=，设函数(),x ah x ex -=-利用导数得到 ()h x 的最小值, 因为min ()()1h x h a a ==-，再对a 讨论，得到函数()g x 的零点个数. 【详解】解：（1）因为()()xf x ex a =+，所以()()1x f x e x a '=++.由()0f x '>，得1x a >--；由()0f x '<，得1x a <--. 所以由()f x 的增区间是()1a --+∞,，减区间是(),1a -∞--. （2）因为()()()22x ax a g x f x a x xex x e x --=--=-=-.由()0g x =，得0x =或0x a e x --=. 设()x ah x ex -=-，又()00a h e -=≠，即0x =不是()h x 的零点，故只需再讨论函数()h x 零点的个数. 因为()1x ah x e-'=-，所以当(),x a ∈-∞时，()()0,h x h x '<单调递减；当(),x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增. 所以当x a =时，()h x 取得最小值()1h a a =-. ①当()0h a >，即1a <时，无零点；②当()0h a =，即1a =时， ()()0,h x h x >有唯一零点； ③当()0h a <，即1a >时，因为()00ah e-=>，所以()h x 在()a -∞，上有且只有一个零点. 令2x a =，则()22ah a e a =-.设()()()()22120aaa h a e a a a e ϕϕ'==->=->，则，所以()a ϕ在()1+∞，上单调递增，所以，()1,a ∀∈+∞，都有()()120a e ϕϕ≥=->. 所以()()2ah a a e a ϕ==-2>0.所以()h x 在(),a +∞上有且只有一个零点. 所以当1a >时，()h x 有两个零点综上所述，当1a <时，()g x 有一个零点；当1a =时，()g x 有两个零点；当1a >时，()g x 有三个零点. 【点睛】本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.。

山东省滨州市阳信国际学校2019-2020高三第二次一模考试数学试卷

数学试卷本试题卷共6页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}{}()21320,31x U U R A x x x B x C A B -==-+≤=≥⋂=，集合，则 A.[]12，B.()2+∞，C.[)1+∞，D.()1-∞，2.若复数z 满足()331i z -=+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z 的虚部为A.12B.12iC.12-D.12i -3.已知向量()()1cos ,2,sin ,1,0,2a x b x x π⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭r ，若//sin a b x =r r ，则A.45B.35C.25D.254.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）与所给图象最契合的是A.()sin x x y e e -=+ B.()sin x x y e e -=- C.()n x x y ta e e -=- D.()cos x x y e e -=+5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为 A.29B.14C.718D.1126.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆()22:101x y C a a a +=>+的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为A.229x y +=B.227x y +=C.225x y +=D.224x y +=7.已知O 是ABC ∆内部一点，20,46OA OB OC AB BC ABC π++=⋅=∠=u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r 且，则OAC ∆的面积为A.3B.23C.3D.438.已知函数()2ln x f x x =，若()()210f x m x<-+∞在，上恒成立， 2.71828e =…为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是A.m e >B.2em >C.m >1D.m >二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年6月山东省滨州市普通高中2020届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题及答案

绝密★启用前山东省滨州市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学试题2020年6月本试卷共6页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}41,,21,M x x n n Z N x x n n Z ==+∈==+∈,则A ．M N ⊆ C. N M ⊆ C ．M ∈N D ．N ∈M 2．函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为A ．10x ey e +-+= B. 10x ey e -+-= C ．0x ey += D ．0x ey -=3．已知x R ∈,当复数()3z x i +-的模长最小时,z 的虚部为A B ．2 C ．2- D. 2i -4．已知,m n 为两条不同的直线,,,αβγ为三个不同的平面,则下列命题正确的是A.若//,//,//m n m n αα则B..若,=m m αβγβαγβ⊥⊥⋂⊥，且，则C.若,,//,//,//m n m n ααββαβ⊂⊂则D. 若,//,m n m n αβαβ⊥⊥⊥，则5．已知随机变量X 服从正态分布N(0,1),如果P(X ≤1)=0.8413,则()10P X -<≤=A ．0.3413B ．0.6826C ．0.1587D ．0.07946．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中．把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构．也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1),沿三边的中点连线,将它分成四个小三角形,挖去中间的那一个小三角形(如图2),对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1,则图4(阴影部分)的面积为 A. 916 B. 419 C. 2764 D. 827 7．已知抛物线()222419C y x E x y =-+=：与圆：相交于A,B 两点,点M 为劣弧»AB 上不同A,B 的一个动点,平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N,则MNE ∆的周长的取值范围为A ．(3,5) B.(5,7) C ．(6,8) D.(6,8]8．已知点O 是ABC ∆内一点,且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==u u u r u u u r u u u r r ,则实数m 的值为 A ．4- B ．2- C. 2 D ．4二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得3分,有选错的得0分．9．2020年3月12日,国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年,特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩,这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．。

山东省滨州阳信国际学校2020届高三校际联合考试数学答案

(1) m 1， f ( f (x)) 0 恒成立等价于 f (x) m 或 f (x) 1恒成立，即
f (x) x2 (1 m)x m m 或 f (x) x2 (1 m)x m 1 （不合题意,舍去）恒成立；
即
m
0
，解得
1
m
1, 3 2
2 ；
(2 m 1恒成立，符合题意；
9．答案 AB.解析：由图可知 2 至 3 月份的收入的变化率与 11 至 12
月份的收入的变化率相同，故 A 正确；由图可知，支出最高值是 60，
支出最低值是 10，则支出最高值与支出最低值的比是 6 :1，故 B 正确；由图可知，第三季度平均收入为 1 (40 50 60) 50 ，故 C 错
的对称轴满足：
2x
π 6
k
π 2
k
Z
，
即 x k π π k Z ，令 k 0 可得函数在区间 0, π 上的一条对称轴为 x π ，
23
3
结合三角函数的对称性可知
x1
x2
2 3
π
，则：
x1
2 3
π
x2
，
sin
x1
x2
sin
2 3
π
2x2
sin
π 3
2x2
cos
2x2
π 6
，
f (x) 不是周期为 2π 的函数，故选项 A 错误；当 x ( π , 0) 时， 4
f (x) ex sin x ， f (x) ex (cos x sin x) 0 ， f (x) 单调递增，当 x (0, 3π ) 时， f (x) ex sin x ， 4
f (x) ex (sin x cos x) 0 ， f (x) 单调递增，且 f (x) 在 ( π , 3π) 连续，故 f (x) 在 ( π , 3π) 单调递增，

2020届山东省滨州市高三第二次模拟考试数学试题

绝密★启用前试卷类型:A 2020届山东省滨州市高三第二次模拟考试数学试题 2020.5 本试卷共4页,共22小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知角α的终边经过点()-4,3,P 则sin α+cos α=7.5A - 117 (555)B C D -2.已知集合1{1234){2},|x A B y y x A -==∈=，，，，则A B =I.{1,2}.{2,4}.{1,2,4}.A B C D ∅3.设复数z 满足|34i |2,z z -+=在复平面内对应的点为(),,y x 则()()224+.34A x y -+=22.(3)(4)4B x y ++-= ()()()()2222.342.342C x y D x y -+=-+++=4.设30.11510.3,26,,5log c l b og α===则a,b,c 的大小关系是 .Aa b c >> ..B a bD c b a >>>>c5.已知正方形ABCD 的边长为32,DE EC AE BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rA.3B.-3C.6D.-66.函数2ln ||||x x y x =的图象大致是7.已知O,A,B,C 为平面α内的四点,其中A,B,C 三点共线,点O 在直线AB 外,且满足12.OA OB OC x y=+u u u r u u u r u u u r其中x>0.y>0,则+8x y 的最小值为A.21B.25C.27D.348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

山东省滨州市三校联考2019-2020学年高三上学期期中考试数学试题

山东省滨州市三校联考2019年11月高三数学期中考试试题第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题4分，共52分，在每小题的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求；第10-13题有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全对得2分，有错选的得0分.1.设集合{2,1,0,1,2}P =--，{}2|20Q x x x =+-<，P Q =（）A. {1,0}-B. {1,0,1}-C. {0,1}D. {0,1,2}2.命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是（） A. 对任意x ∈R ，都有221x x +> B. 对任意x ∈R ，都有221x x +≥ C. 存在x ∈R ，使得221x x +>D. 存在x ∈R ，使得221x x +≥3.若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（） A. b c a <<B. c a b <<C. a b c <<D. c b a << 4.已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（） A. 1B. 2C. 3D. 45.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a =（） A.12B. 1C. 12- D. 26.函数sin x xx xy e e -+=+的图象大致为（）A.B.C. D.7.已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A. 10B. 12C. 16D. 98.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（）A. α内有无数条直线与β平行B. α，β平行与同一条直线C. α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D. α，β垂直与同一个平面9.若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A. 78-B. 14-C.14D.7810.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D. 4109900-11.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（） A.11a b< B.11a b> C. 2a b > D. 22a b >12.设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A. π-是()f x 的一个周期 B. ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到C. ()f x π+一个零点为6x π=D. ()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 13.已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x 且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（） A. 1B. eC. 2eD. 3e第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分14.若数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.15.若|1,327,a b a b ==-=且则向量a 与向量夹角的大小是_______.16.已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.17.已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2n an b =，证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的前n 项和n T .19.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 2(2,)n n =≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及通项公式n a ；（2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 22cos 02A CB +-=. （1）求角B的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 为1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.23.已知()sin ()f x a x a =∈R ，()xg x e =.（1）求()g x 在0x =处的切线方程；（2）若1a =，证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增；（3）设()()()(0)f x g x F x a a ⋅=≠对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥成立求实数k 的取值范围.山东省滨州市三校联考2019年11月高三数学期中考试试题第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题4分，共52分，在每小题的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求；第10-13题有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全对得2分，有错选的得0分.1.设集合{2,1,0,1,2}P =--，{}2|20Q x x x =+-<，P Q =（）A. {1,0}-B. {1,0,1}-C. {0,1}D. {0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】求出集合Q ，进而求出P Q【详解】解：{}{}2|20|21Q x x x x x =+-<=-<<，所以P Q ={-10}，，故选：A【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2.命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是（） A. 对任意x ∈R ，都有221x x +> B. 对任意x ∈R ，都有221x x +≥ C. 存在x ∈R ，使得221x x +> D. 存在x ∈R ，使得221x x +≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的直接得到其否定命题.【详解】解：命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是存在x ∈R ，使得221x x +≥. 故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题.3.若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（） A. b c a << B. c a b <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数，指数函数的性质进行大小比较.【详解】解2221log log 3log 242=<<=，故12a <<；又22542b =>=，故2b >；33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，故选：B.【点睛】本题考查对数函数与指数函数的单调性的应用，关键是要对a ，b ，c 的大小进行估算，是基础题. 4.已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】利用平行的坐标运算列方程求解即可.【详解】解：由已知(3,2)a b x +=+，又()//a b b +，32(2)x x ∴=+，解得：4a =，故选：D.【点睛】本题考查平行的坐标运算，是基础题. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352a =，99S =，则7a =（） A. 12B. 1C. 12- D. 2 【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式得1999()2a a S +=，又由等差数列性质1937a a a a +=+，综合可得7a 的值. 【详解】解：由已知71937959()9()9()29222a a a a a S +++====，得712a =-，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，关键是等差数列性质的应用，是基础题. 6.函数sin x xx xy e e -+=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数奇偶性，然后证明当0x >时，sin 0x x +>恒成立，进而可得出答案. 【详解】解：因为sin ()x x x xy f x e e -+==+，所以()sin sin ()x x x x x x x x f x e e e e ---+----==++，得()()f x f x =--，所以sin x xx xy e e -+=+为奇函数，排除C ；设()sin g x x x =+，'()1cos 0g x x ∴=-≥恒成立，所以在[0,)+∞，()sin g x x x =+单调递增，所以()0sin 00g x ≥+=，故sin 0x xx xy e e -+=≥+在[0,)+∞上恒成立，排除AD ，故选：B.【点睛】本题考查具体函数图像的判断，关键是要充分利用函数的性质进行排除，是中档题. 7.已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A. 10 B. 12C. 16D. 9【答案】D 【解析】【分析】由已知0a >，0b >，不等式41m a b a b+≥+恒成立，转化成新函数的最小值问题．【详解】解：由已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，所以41()m a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以9m ≤．故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于简单题． 8.设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（） A. α内有无数条直线与β平行B. α，β平行与同一条直线C. α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D. α，β垂直与同一个平面【答案】C 【解析】【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【详解】解：对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行；对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行；对于C ，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β；对于D ，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行．故选：C ．【点睛】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题． 9.若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A. 78-B. 14-C.14D.78【答案】A【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1721168=⨯-=-．故选A ．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等. 10.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D. 4109900-【答案】B 【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==-故选B11.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（） A.11a b< B.11a b> C. 2a b > D. 22a b >【答案】CD 【解析】【分析】根据不等式的性质，分别进行判断即可．【详解】解：当12,2a b ==-，满足条件．但11a b <不成立，故A 错误，当0a b >>时，11a b<，故B 错误， 11,0b b >>-≠，201b ∴<<，则2a b >，故C 正确，11,0,0a b a b a b >>>-∴+>->，22()()0a b a b a b ∴-=+->，故D 正确.故选：CD ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键． 12.设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A. π-是()f x 的一个周期 B. ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到C. ()f x π+的一个零点为6x π=D. ()y f x =的图像关于直线1712x π=对称【答案】ACD 【解析】【分析】由题意利用正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，对每个选项逐一判断，从而得出结论．【详解】解：()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、零点以及图象的对称性，属于基础题．13.已知函数2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩（e 为自然对数的底），若()()()F x f x f x 且()F x 有四个零点，则实数m 的取值可以为（） A. 1 B. eC. 2eD. 3e【答案】CD 【解析】【分析】首先判断()F x 为偶函数，考虑0x >时，()F x 的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求m 的范围. 【详解】解：因为()()()F x f x f x ，可得()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，由题意可得0x >时，()F x 有两个零点，当0x >时，0x -<，()2xf x e mx m -=-+即0x >时，()22xxxxF x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+，由()0F x =，可得20x xe mx m -+=，由(),21xy xe y m x ==-相切，设切点为(),tt te ，x y xe =的导数为(1)x y x e '=+，可得切线的斜率为(1)t t e +，可得切线的方程为(1)()tty te t e x t -=+-，由切线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1(1)2t tte t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得：1t =或12-（舍去），即有切线的斜率为2e ，故22,m e m e >∴>，故选：CD.【点睛】本题考查函数的零点问题，关键是转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想及计算能力，难度较大.第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分14.若数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则1210a a a ++⋯+=________.【答案】15 【解析】【分析】首先求出当n 为奇数时1n n a a ++的值，然后求出当1,3,5,7,9n =时的和即可.【详解】解：数列{}n a 的通项公式(1)(32)nn a n =--，则当n 为奇数时，()1(32)3123n n a a n n +=--++-=+，12103515a a a ++⋯+=⨯=，故答案为：15.【点睛】本题考查数列求和，关键是要发现当n 为奇数时13n n a a +=+，考查计算能力，是基础题. 15.若|1,327,a b a b ==-=且则向量a 与向量夹角的大小是_______.【答案】6π 【解析】由27a b -=得223|44|7144372a ab b a b a b -⋅+=∴-⋅+⨯=∴⋅=332cos ,,.2613a b a b π∴==∴=⨯16.已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】-2 【解析】【分析】通过函数的对称性，判断函数的周期，然后利用周期性和对称性化简所求表达式，求出函数值即可．【详解】解：因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.【点睛】本题考查函数的周期性、函数值的求法，考查计算能力，是中档题．17.已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABCπ∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 【答案】13π 【解析】【分析】设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，先求出ABC ∆外接圆半径，进而可求出三棱锥S ABC -外接球半径，从而可得外接圆表面积. 【详解】解：如图：SA ⊥平面ABC ，则SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：33tan3SA AB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，则必有OG ⊥面ABC 在ABC ∆，22232cos 312316AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=，则1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠，又1322OG SA ==，所以三棱锥S ABC -外接球半径为2R ===该球的表面积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，关键要找到外接球的球球心位置，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2n an b =，证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）证明详见解析；()2413nn T =-. 【解析】【分析】（1）设公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）先由（1）得数列{}n b 的通项公式，得其为等比数列，进而用等比数列的前n 项和公式求和即可.【详解】解：因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2215a a a =⋅设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()21114a d a a d +=⋅+，即212a d d =，∵0d ≠，∴12a d =①51545252dS a ⨯=+=，整理得125a d +=② （或53525S a ==，∴3152a a d ==+）由①②解得112a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21n a a n d n =+-=- （2）2122na n nb -==因为21121242n n n n b b ++-== 所以数列{}n b 是以12b =为首项，4为公比的等比数列所以数列{}n b 的前n 项和为()()135212142222241143n n nn T --=++++==-- 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，等比数列的前n 项和公式，考查运算能力，属于基础题．19.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）最大值为2，最小值为-1.. 【解析】【分析】（1）通过最小值求出A ，通过相邻两条对称轴之间的距离求出ω，通过图像所过的点求出ϕ，从而得出函数()f x 的解析式1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后解不等式1222262k x k πππππ-+≤+≤+，可得函数()f x 的单调递增区间；（2）通过[0,2]x π，求出126x π+的范围，进而可得函数()f x 的最大值和最小值. 【详解】（1）∵函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小值是-2，∴2A =， ∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴24T ππω==，解得：12ω=又∵()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，∴123k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，k ∈Z ﹐解得：6k πϕπ=+，k ∈Z ，又∵(0,)ϕπ∈，解得：6π=ϕ. 可得：1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为1222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z∴424433k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 所以()f x 的递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）∵[0,2]x π ∴17,2666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴11sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴1()2f x -≤≤所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.【点睛】本题考查了sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，考查了三角函数最值得求法，是基础题． 20.已知数列{}n a 的前n 项和n S2(2,)n n =≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及通项公式n a ；（2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）24n S n =，4(21)n a n =-；（2）16(21)n nT n =+.【解析】【分析】（1）先由已知得出数列n S ，通过1n n n a S S -=-即可求出na；（2）先求出{}n b的通项公式，再利用裂项相消法求出{}n b的前n项和.【详解】解：（I2=，∴数列为等差数列，2==，22(1)2n n=+-=，即24nS n=，当2n≥时，22144(1)4(21)n n na S S n n n-=-=--=-，又12a=也满足上式，∴4(21)na n=-；（II）由（1）知，111116(21)(21)322121nbn n n n⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，∴1111111323352121nTn n⎛⎫=-+-++-⎪-+⎝⎭，111322116(21)nn n⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【点睛】本题考查n S法求通项公式以及裂项相消法求和，是基础题.21.在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c22cos02A CB+-=. （1）求角B的大小；（2）若2sin2sin sinB A C=，且ABC∆的面积为ABC∆的周长.【答案】（1）23Bπ=；（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos(1cos())2A CB B A C+-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B A C B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A B C π++=，2222cos2cos 2sin 222A CB BB B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin 02B ≠sin 022B B-=∴tan2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 23ac π==16ac = 因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-= ∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，且AB AC ⊥，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 为1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.【答案】（1）详见解析；（215. 【解析】【分析】（1）推导出AB ⊥平面11AAC C ，从而AB AM ⊥，由11A B AB ∥，得11A B AM ⊥，再由1AM B N ⊥，能证明AM ⊥平面11A B N ．（2）以A 为原点，分别以AB 、AC 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出二面角111A B N C --的正弦值．【详解】解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA AB ⊥∵AB AC ⊥，1AA ⊂平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，且1AA AC A =，∴AB ⊥平面11AAC C ，（或者由面面垂直的性质证明）又∵AM ⊂平面11AAC C ，∴AB AM ⊥∵11A B AB ∥，∴11A B AM ⊥，∵1AM B N ⊥，11A B ⊂平面11A B N ，1B N ⊂平面11A B N ，且1111A B B N B ⋂=，∴AM ⊥平面11A B N（2）以A 为原点，分别以AB 、AC 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -﹐设1AA a =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,0,)B a ，1(0,1,1)C ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,1,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵1AM B N ⊥，∴211110,1,,,022222a a AM B N a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1a = ∴1(1,0,1)B ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面11A B N 法向量为{,,}m x y z = 11(1,0,0)A B =，111,,122B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴111011022m A B x m B N x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，∴可取(0,2,1)m = 设平面1B NC 法向量为{,,}n x y z =1(1,1,0)BC =-，111,,122B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴11011022n B C x y n B N x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，∴可取(1,1,0)n =∴10cos ,||||5m n m n m n ⋅〈〉==⋅所以二面角111A B N C --的正弦值为5. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知()sin ()f x a x a =∈R ，()x g x e =.（1）求()g x 在0x =处的切线方程；（2）若1a =，证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增；（3）设()()()(0)f x g x F x a a ⋅=≠对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥成立求实数k 的取值范围. 【答案】（1）10x y -+=；（2）详见解析；（3）1k ≤.【解析】【分析】（1）求出()g x 的导数，求得切线斜率及切点，由点斜式即可得切线方程；（2）求出()()ln G x f x x =+的导数，将证明()()ln G x f x x =+在(0,1)上单调递增转化为()0G x '>在(0,1)上恒成立即可；（3）先化简求出()sin x F x e x =，()F x kx ≥恒成立即()sin 0xh x e x kx =-≥恒成立，对()h x 求导，对k 进行讨论，研究()h x 的最小值不小于零即可.【详解】解：（1）()x g x e '=，(0)1g '=，(0)1g =，所以()g x 在0x =处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=（2）()sin 1n G x x x =+，则1()cos G x x x'=+，由于(0,1)x ∈，故11x >，又cos [1,1]x ∈-，故c o s 1x ≤，故1cos 0x x+>，即()0G x '>在(0,1)上恒成立，故()G x 在(0,1)递增；（3）()sin xF x e x =，由对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥恒成立，设()sin xh x e x kx =-，则()sin cos x xh x e x e x k '=+-，再设()sin cos x xm x e x e x k =+-，则()sin cos cos sin 2cos x x x x xm x e x e x e x e x e x '=++-=， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()0m x '≥ 因此()m x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故()(0)1m x m k ≥=-，①当1k ≤时，()0m x ≥即()0h x '≥， ()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，故()(0)0h x h ≥=，即1k ≤适合题意，②当1k >时，(0)10m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02=x π，0(0,)x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当0(0,)x x ∈时，()0m x <，总之﹐存在00,2X π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使0(0,)x x ∈时()0m x <，即()0h x '<，故()h x 递减，()(0)0h x h <=，故1k >时，存在0(0,) x 使()0h x <，不合题意，综上，1k ≤.【点睛】本题主要考查了利用导数求切线的方程和函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性及最值等知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，是一道难度较大的题目．。

2020届山东省滨州市高三三模考试数学试题 PDF版

定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由． 21．(12 分) 近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新
开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量 y 与行驶时问 x (单位：
小时)的测试数据如下表：
(1)根据电池放电的特点，剩余电量 y 与行驶时间 x 之间满足经验关系式： y aebx ，通过散点图可以发现
16. 已知函数
f x x2 2x 1,h x ax 4a 1
x2
．若
x1 3, ,x2
3,
，使得
-3-
f x1 h x2 ，则实数 a 的最大值为__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分) 如图，半圆 O 的直径 AB=2，点 C 在 AB 的延长线上，BC=1，点 P 为半圆上异于 A，B 两点的一个动点，以点 P 为直角顶点作等腰直
1．已知集合 M x x 4n 1, n Z, N x x 2n 1,n Z ，则
A． M N
C. N M
C．M∈N
D．N∈M
2．函数 y ln x 的图象在点 x e (e 为自然对数的底数)处的切线方程为
A． x ey 1 e 0 B. x ey 1 e 0 C． x ey 0
y 与 x 之间具有相关性．设 ln y ，利用表格中的前 8 组数据求相关系数 r，并判断是否有 99％的把握
认为 x 与之间具有线性相关关系；(当相关系数 r 满足 r 0.789 时，则认为有 99％的把握认为两个变量
具有线性相关关系)

[考前模拟]山东省滨州市2020届高三三模考试数学试题(解析版) (1)

高三数学试题本试卷共6页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}41,M x x n n Z ==+∈，{}21,N x x n n Z ==+∈，则（） A. M N ⊆ B. N M ⊆C. M N ∈D. N M ∈【答案】A 【解析】【分析】将集合M 改写为{}221,M x x n n Z ==⨯+∈，由2n 是偶数可得出集合M 与N 的包含关系. 【详解】{}{}41,221,M x x n n Z x x n n Z ==+∈==⨯+∈，当n 为整数时，2n 为偶数，又{}21,N x x n n Z ==+∈，因此，M N ⊆.故选：A.【点睛】本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 2.函数ln y x =的图象在点x e = (e 为自然对数的底数)处的切线方程为（） A. 10x ey e +-+= B. 10x ey e -+-= C. 0x ey += D. 0x ey -=【答案】D 【解析】【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数在x e =处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；【详解】解：因为ln y x =，所以1y x '=，所以1|x e y e='= 又当x e =时，ln 1y e == 所以切线方程为()11y x e e-=-整理得0x ey -= 故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.3.已知x ∈R ，当复数()3z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（）A.B. 2C. 2-D. 2i -【答案】C 【解析】【分析】求得复数z 的模的表达式，结合二次函数的性质求得x 为何值时模最小，进而求得z 的虚部.【详解】依题意z ===故当1x =时，z 取得最小值.此时2z i =，所以z 的虚部为2-.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的模的运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ，因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂；同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线，因为l γ⊥，故m γ⊥. 故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤=（） A. 0.3413 B. 0.6826C. 0.1587D. 0.0794【答案】A 【解析】依题意得：()10.1587P ξ>=，()10.15872100.34132P ξ-⨯-<≤==．故选A ．6.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（）A.916B.419C.2764D.827【答案】C 【解析】【分析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积.【详解】由于图1阴影部分的面积为1，图2的阴影部分的面积为33144⨯=，图3的阴影部分面积为3344⨯，所以图4的阴影部分的面积为3332744464⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.7.已知抛物线24C y x =：与圆()2219：-+=E x y 相交于A ，B 两点，点M 为劣弧AB 上不同A ，B 的一个动点，平行于x 轴的直线MN 交抛物线于点N ，则MNE 的周长的取值范围为（） A. (3，5) B. (5，7) C. (6，8) D. (6，8]【答案】C 【解析】【分析】求得,A B 两点的坐标，根据抛物线的定义转换MNE 周长的表达式，由此求得MNE 的周长的取值范围. 【详解】画出图象如下图所示.圆E 的圆心为()1,0，半径为3，抛物线的焦点为()1,0，准线为1x =-.由()222419y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得((,2,A B -，所以24m x <<. 设平行于x 轴的直线MN 交抛物线的准线1x =-于D ，根据抛物线的定义可知NE ND =，所以MNE 的周长为33ME NE MN ND MN MD ++=++=+. 而()13,5m MD x =+∈，所以()36,8MD +∈. 也即MNE 周长的取值范围是()6,8. 故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查圆的标准方程，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8.已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（） A. 4- B. 2-C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=-，可设3mOC OD -=，且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D CD ∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=-得：12333mOA OB OC +=- 设3mOC OD -=，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线如下图所示：OC 与OD 反向共线，0m >, 3OD m OC ∴= 3313mOD mm m CD ∴==++ 734AOB ABC D S OD m S m C ∆∆∴+=== 4m ⇒= 故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得3分，有选错的得0分．9.2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是（）【年底贫困人口的线性回归方程为1609.915768y x =-+(其中x =年份-2019)，贫困发生率的线性回归方程为 1.672916.348y x =-+(其中x =年份-2009)】A. 2010年～2019年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降B. 2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低C. 2010年～2019年十年间超过1.65亿人脱贫，其中2015年贫困发生率低于6％D. 根据图中趋势线可以预测，到2020年底我国将实现全面脱贫【答案】BD【解析】【分析】根据统计表计算出每年脱贫的人口，由此判断出正确选项. 【详解】每年脱贫的人口如下表所示：由于缺少2009年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC 选项错误.根据上表可知：2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低，故B 选项正确.根据上表可知，2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，2019年年底，贫困人口551万，故预计到2020年底我国将实现全面脱贫，故D 选项正确. 综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD点睛】本小题主要考查统计表分析和数据处理，属于中档题. 10.已知曲线12:3sin ,:3sin 24C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A. 把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移4π个单位长度，得到曲线2CC. 把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2CD. 把1C 向左平移8π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线2C 【答案】AC 【解析】【分析】通过三角函数图象变换的知识，判断出正确选项. 【详解】由1:3sin C y x =变换到2:3sin 24C y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若先伸缩后平移，则把1C 上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移8π个单位长度，得到曲线2C .若先平移后伸缩，则把1C 向左平移4π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的12倍．纵坐标不变，得到曲线2C . 所以正确的选项为AC 故选：AC【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11.已知曲线22:22C x y x y +=+，则曲线C 的图形满足（） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 所围成图形的面积为84π+【答案】ABCD 【解析】根据点()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----满足曲线方程，判断出ABC 选项正确.画出曲线C 在第一象限内的图形，并计算出其面积.根据对称性，计算出曲线C 所围成图形的面积. 【详解】设(),x y 是曲线上任意一点，由于曲线方程为2222x y x y +=+，所以()()()(),,,,,,,x y x y x y x y ----都满足曲线方程，所以曲线C 的图形满足关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称，故ABC 选项正确.当0,0x y >>时，曲线方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是圆心为()1,1，半径为2的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示. 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，其面积为()211222222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，根据对称性可知，曲线C 所围成图形的面积为()2484ππ+⨯=+.故D 选项正确. 故选：ABCD【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12.已知函数()xxf x e ex -=++．则下面结论正确的是（）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在[)0,+∞上为增函数C. 若0x ≠，则212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭D. 若()()11f x f -<-，则02x <<【答案】BCD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数可判断函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，可判断B 选项的正误；求得当0x >时，1f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围，结合偶函数的性质可判断C 选项的正误；利用偶函数和单调性解不等式()()11f x f -<-，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，函数()xxf x e ex -=++的定义域为R ，()()x x x x f x e e x e e x f x ---=++-=++=，则函数()y f x =为偶函数，A 选项错误；对于B 选项，当0x ≥时，()xxf x e ex -=++，则()11x x f x e e -'=-+≥，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上增函数，B 选项正确；对于C 选项，当0x >时，由基本不等式可得12x x +≥=，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，此时()2221222f x f e e e x -⎛⎫+≥=++>+ ⎪⎝⎭，由于函数1y x x=+为奇函数，当0x <时，12x x --≥=，2112f x f x e x x ⎛⎫⎛⎫+=-->+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，当0x ≠时，212f x e x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，由于函数()y f x =为偶函数，由()()11f x f -<-得()()11fx f -<，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则11x -<，解得02x <<，D 选项正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数为__________．【答案】30-【解析】【分析】先求得101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，再根据乘法分配律，求得6x 的系数. 【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()10110210101r r r r r r C x x C x ---⋅⋅-=-⋅⋅. 10243r r -=⇒=，10262r r -=⇒=，根据乘法分配律可知，()10212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 的项为 ()()()32234266610101211209030x C x C x x x ⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅=-+⋅=-. 所以6x 的系数为30-.故答案为：30-【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题.14.已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2，παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭则()cos αβ-=________，αβ-=________．【答案】 (1).12 (2). 3π- 【解析】【分析】将条件变形sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-，然后两式平方相加即可得到()cos αβ-，再通过条件推出αβ-所以在范围，即可得αβ-.【详解】解：由已知得sin sin sin ,cos cos cos γβαγαβ=-=-，将上述两式两边同时平方后相加可得 222222sin cos sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos γγββααααββ+=-++-+，整理得()()122sin sin cos cos 22cos βααβαβ=-+=--，即()1cos 2αβ-=，又由已知0,,,022ππαβ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又sin sin sin sin βαγα=+>，，则,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 3παβ∴-=-. 故答案为：12；3π-. 【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.15.已知P ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，PA ⊥平面,26,ABC PA BC ==AB AC ⊥，则球O 的表面积为__________．【答案】45π【解析】分析】画出图象，利用补形的方法求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，而AB AC ⊥，故可将P ABC -补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥P ABC -的外接球，也即球O .由于26,3PA BC BC ===，设,AB a AC b ==，则2229a b BC +==，所以长方体的对角线长为==设球O 的半径为R ，则2R =所以球O 的表面积为2445R ππ=.故答案为：45π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16.已知函数()()()221,412x x x f x h x a a x -+==->-．若[)123,,x x ∀∈+∞∃∈[)3,+∞，使得()()12f x h x =，则实数a 的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系求实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，函数()f x 在[)3,+∞的值域是函数()h x 在[)3,+∞上值域的子集， ()()()2222212122x x x x f x x x -+-+-+==--，3x ≥ ()112222422x x x x =-++≥-⨯=--，等号成立的条件是122x x -=-，即3x =，成立，即函数()f x 在[)3,+∞的值域是[)4,+∞()()41x h x a a =->，是增函数，当[)3,x ∈+∞时，函数()h x 的值域是)34,a ⎡-+∞⎣，所以344a -≤，解得：12a <≤，所以实数a 的最大值是2.故答案为：2【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于基础题型.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.如图，半圆O 的直径AB =2，点C 在AB 的延长线上，BC =1，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD ，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．（1）把线段PC 的长表示为θ的函数；（2）求四边形ACDP 面积的最大值．【答案】（1）298cos PC θ=-， 02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）5 【解析】【分析】（1）根据图形，解三角形，利用余弦定理，将线段PC 的长表示为θ的函数；（2）将四边形ACDP 面积表示为角θ的函数,再利用三角函数求最值.【详解】解：（1）依题设易知APB △是以APB ∠为直角的直角三角形，又2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=.在3,△中，PAC AC PAC θ=∠=，由余弦定理得，2222cos PC PA AC PA AC θ=+-⋅2224cos 912cos 98cos θθθ=+-=-. 所以298cos PC θ=-，定义域为02πθθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）四边形ACDP 面积为S ，则211=sin 22△△APC PCD S S S AP AC PC θ+=⋅⋅+ ()2112cos 3sin 98cos 22θθθ=⋅⋅⋅+⋅-()31sin 254cos 222θθ=+⋅- 35sin 22cos 222θθ=-+()954sin 242θϕ=+-+ ()55sin 2,22θϕ=-+ 其中34cos ,sin ,55ϕϕϕ==为锐角. 因为43sin 5，ϕ=<所以03πϕ<<. 又因为02πθ<<，所以23πθϕπ-<-<，所以当2=2πθϕ-时，S 取得最大值为55=522+. 所以四边形ACDP 面积的最大值为5 .【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角θ的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.18.在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，(),n m a 表示第n 行，第m 列的数．已知()()()1,12,23,31,4,12a a a ===．（1）求数列(){},2n a 的通项公式；（2）设()()2,2,211log ,n n n n n n b a c a b b +==+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）(),22=n n a （2）122.1++=-+n n n S n 【解析】【分析】（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >，则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()2.21a q d =+，()()23.312a q d =+即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得n b n =，1121n n c n n =+-+，再利用分组求和与裂项相消法求和即可；【详解】解：（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是()0d d >，各列中的数从上到下组成的等比数列的公比是()0q q >，则()()1,21,31,12a d a d =+=+，()()()2.2 1.21a qa q d ==+，从而()14q d +=.①()()()223.3 1.312a q a q d ==+，从而()21212q d +=②联立①②解得，1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）从而()1.22a =，所以()()11,2 1.2222n n n n a a q --=⋅=⨯=.（2）由（1）知，(),22=n n a .所以()22,2log log 2n n n b a n ===，所以()1112211n n n c n n n n =+=+-++，所以1231n n n S c c c c c -=+++⋅⋅⋅++23111111111112222212233411n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+⋅⋅⋅++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()23111111111222221223341n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122111121n n n n +-⎛⎫+-=+- ⎪+-+⎝⎭1112212.11n n n n n +++=--=-++ 【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用，分组求和法以及裂项相消法求和，属于中档题.19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）7. 【解析】【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形.所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE .因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠=因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=，在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆==中，因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角.在FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以2AH ==，所以cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，①已知点)Q ，直线:l x =动点P 满足到点Q 的距离与到直线l．②已知点(),H G 是圆22:210E x y +--=上一个动点，线段HG 的垂直平分线交GE 于P ．③点,S T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足6333OP OS OT =+．（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹C 的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)（2）设圆22:2O x y +=上任意一点A 处的切线交轨迹C 于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．【答案】（1）不管选条件几，22163x y +=；（2）以MN 为直径的圆过定点()0,0. 【解析】【分析】（1）若选①，则可设(),P x y ，根据距离之比可得,x y 满足的方程，化简后可得所求的方程.若选①，根据题设条件可得PH PE +=，由椭圆的定义可得所求的曲线方程.若选③，，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，则根据新老坐标的关系可求曲线的方程.（2）当过点A 且与圆O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，根据它与圆相切可得()2221m k =+，再设()()1122,,,M x y N x y ，可用,M N 的横坐标表示以·OM ON 为直径的圆，再联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和前述等式化简·OM ON 得到0OM ON =，从而可得以MN 为直径的圆过原点O .注意讨论斜率不存在的情况.【详解】解：（1）若选①，设(),P x y2=，整理得22163x y +=. 所以动点P 的轨迹C的方程为22163x y +=. 若选②，由22:210E x y +--=得(2224x y +=，由题意得PH PG =，所以PH PE PG PE EG HE +=+==>=所以点P的轨迹C 是以H ，E为焦点的椭圆，且a c ==，故b =所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=. 若选③，设()()(),,,0,0,P x y S x T y ''，故()229,x y ''+=* 因为63OP OS OT =+，所以,x x y y ''⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，将其代入()*得22163x y +=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=.（2）当过点A 且与圆O相切的切线斜率不存在时，切线方程为x x ==当切线方程为x =时，,M N以MN 为直径的圆的方程为(222x y -+=.①当切线方程为x =((,M N ，以MN 为直径的圆的方程为(222x y ++=.② 由①②联立，可解得交点为()0,0.当过点A 且与圆O相切的切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，=()2221m k =+.联立切线与椭圆C 的方程22,1,63y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并消去y ，得()222124260k x kmx m +++-=.因为()()()2222221641226863k m k m m k ∆=-+-=---()()222822638410k k k =-+--=+>，所以切线与椭圆C 恒有两个交点.设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++，因为()()1122,,,OM x y ON x y ==，所以()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()2222226411212m km k km m k k --=+⋅+⋅+++ ()222222321663601212k k m k k k⨯+----===++. 所以OM ON ⊥.所以以MN 为直径的圆过原点()0,0.综上所述，以MN 为直径的圆过定点()0,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆位置关系中的定点定值问题.前者可利用椭圆的定义（第一定义、圆锥曲线的统一定义）来求标准方程，也可利用动点转移来求标准方程.而直线与椭圆位置关系中的定点定值问题，一般要联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到定点定值.21.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y 与行驶时问x (单位：小时)的测试数据如下表：（1）根据电池放电的特点，剩余电量y 与行驶时间x 之间满足经验关系式：bxy ae =，通过散点图可以发现y 与x 之间具有相关性．设ln y ω=，利用表格中的前8组数据求相关系数r ，并判断是否有99％的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；(当相关系数r 满足0.789r >时，则认为有99％的把握认为两个变量具有线性相关关系)（2）利用x 与ω的相关性及表格中前8组数据求出y 与x 之间的回归方程；(结果保留两位小数)（3）如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X 表示需要充电的数据组数，求X 的分布列及数学期望．1.176.482.45 1.303.22e ≈≈≈≈，．表格中前8组数据的一些相关量：()()88888221111136,11.68, 2.18,42, 3.61i i i i i i i i i i xy x x y y ω========-=-=∑∑∑∑∑，()()()()()88821111.70,11.83,8.35ii i i i i i i x x y y x x ωωωω===-=--=---=-∑∑∑，相关公式：对于样本()(),1,2,3,,i i u i n υ=⋅⋅⋅，其回归直线u b a υ=+的斜率和戗距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,n i i i n i i u ub a u bυυυυυ==--==--∑∑，相关系数()()ni iu u r υυ--=∑【答案】（1）0.99r ≈-；有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系（2）0.203.22x y e -=（3）见解析，3.2【解析】【分析】（1）先求出相关系数0.99r ≈-，即得有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系；（2）先求出0.20 1.17x ω=-+，再求出所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即；（3）由题得X 的所有可能取值为2，3，4，再求出对应的概率，即得X 的分布列及数学期望．.【详解】解：（1）由题意知，()()80.99i ix x r ωω--==≈-∑. 因为0.990.789r ≈>，所以有99%的把握认为x ω与之间具有线性相关关系.（2）对bx y ae =两边取对数得ln ln y a bx =+，设ln ,=ln =a y bx μωωμ=+又，则，()()()818218.350.2042i ii ii x x b x x ωω==---==≈--∑∑，易知 2.184.5,0.278x ω==≈. ()0.270.20 4.5 1.17bx μω=-=--⨯=所以0.20 1.17x ω=-+.所以所求的回归方程为0.20 1.170.203.22x x y e y e -+-==，即.（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X 的所有可能取值为2，3，4.()()()2635444646468881010102812,3,415153C C C C C C P X P X P X C C C =========. 所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为()28116234 3.2151535E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查回归方程的求法，考查分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数()()x f x e x a =+，其中e 是自然对数底数，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()()2g x f x a x =--，讨论函数()g x 零点的个数，并说明理由．【答案】（1）增区间是()1,a --+∞，减区间是(),1a -∞--.（2）见解析【解析】【分析】（1）求导函数()f x '，分别令()0,()0f x f x ''><，解出不等式，即可得到函数()f x 的单调区间；（2）由2()(),0g x f x a x =--= 得方程 ()0x a x e x --=，显然 0x = 为此方程的一个实数解.当0x ≠时, 方程可化简为0x a e x --=，设函数(),x a h x e x -=-利用导数得到 ()h x 的最小值, 因为min ()()1h x h a a ==-，再对a 讨论，得到函数()g x 的零点个数.【详解】解：（1）因为()()x f x e x a =+，所以()()1x f x e x a '=++.由()0f x '>，得1x a >--；由()0f x '<，得1x a <--.所以由()f x 的增区间是()1a --+∞,，减区间是(),1a -∞--.（2）因为()()()22x a x a g x f x a x xe x x e x --=--=-=-.由()0g x =，得0x =或0x a e x --=.设()x a h x e x -=-，又()00a h e -=≠，即0x =不是()h x 的零点，故只需再讨论函数()h x 零点的个数.因为()1x a h x e -'=-，所以当(),x a ∈-∞时，()()0,h x h x '<单调递减；当(),x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增.所以当x a =时，()h x 取得最小值()1h a a =-.①当()0h a >，即1a <时，无零点；②当()0h a =，即1a =时， ()()0,h x h x >有唯一零点；③当()0h a <，即1a >时，因为()00a h e -=>，所以()h x 在()a -∞，上有且只有一个零点.令2x a =，则()22ah a e a =-. 设()()()()22120a aa h a e a a a e ϕϕ'==->=->，则，所以()a ϕ在()1+∞，上单调递增，所以，()1,a ∀∈+∞，都有()()120a e ϕϕ≥=->.所以()()2ah a a e a ϕ==-2>0.所以()h x 在(),a +∞上有且只有一个零点.所以当1a >时，()h x 有两个零点综上所述，当1a <时，()g x 有一个零点；当1a =时，()g x 有两个零点；当1a >时，()g x 有三个零点.【点睛】本题考查了利用函数确定函数的单调区间，利用导数判断函数零点的个数，考查了逻辑思维能力，运算能力，分类讨论的思想，属于中档题.。

山东省滨州市阳信国际学校2019-2020高三第二次一模考试数学试卷

⼭东省滨州市阳信国际学校2019-2020⾼三第⼆次⼀模考试数学试卷数学试卷本试题卷共6页，22题。

全卷满分150分。

考试⽤时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。

如需要改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号。

回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上⽆效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

⼀、单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1.已知全集{}{}()21320,31x U U R A x x x B x C A B -==-+≤=≥?=，集合，则 A.[]12，B.()2+∞，C.[)1+∞，D.()1-∞，2.若复数z 满⾜()331i z -=+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z 的虚部为A.12B.12iC.12-D.12i -3.已知向量()()1cos ,2,sin ,1,0,2a x b x x π??=+=∈r ，若//sin a b x =r r ，则A.45B.35254.在数学的学习和研究中，常⽤函数的图象研究函数的性质，也常⽤函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式（其中 2.71828e =为⾃然对数的底数）与所给图象最契合的是A.()sin x x y e e -=+ B.()sin x x y e e -=- C.()n x x y ta e e -=- D.()cos x x y e e -=+5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡⽚中随机抽取⼀张，放回后再随机抽取⼀张，则第⼀次抽得的卡⽚上数字能被第⼆次抽得的卡⽚上的数字整除的概率为 A.29B.14C.718D.1126.“蒙⽇圆”涉及⼏何学中的⼀个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在⼀个与椭圆同⼼的圆上，该圆称为原椭圆的蒙⽇圆.若椭圆()22:101x y C a a a +=>+的离⼼率为12，则椭圆C 的蒙⽇圆⽅程为A.229x y +=B.227x y +=C.225x y +=D.224x y +=7.已知O 是ABC ?内部⼀点，20,46OA OB OC AB BC ABC π++=?=∠=u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r 且，则OAC ?的⾯积为23C.3D.438.已知函数()2ln x f x x =，若()()210f x m x<-+∞在，上恒成⽴， 2.71828e =…为⾃然对数的底数，则实数m 的取值范围是A.m e >B.2em >C.m >1D.m >⼆、多项选择题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。