中考数学专题复习之十：阅读型题
2014年数学中考二轮专题复习检测：阅读理解型问题
2014年数学中考二轮专题复习检测：阅读理解型问题解答题：1、(2013·黔西南州)问题：已知方程x 2＋x －1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y ，则y=2x ，所以x=y2．把x=y 2代入已知方程，得(y 2)2＋y2－1=0．化简，得：y 2＋2y －4=0． 故所求方程为y 2＋2y －4=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：(1)已知方程x 2＋x －2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．2、(2013山东省临沂市，19，3分）读一读：式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算∑=+20121n 1)(n 1n = .3、（2013·盐城）知识迁移 当a ＞0且x ＞0时，因为）2≥0，所以a x ≥0，从而x+ax≥．记函数y= x+ax( a ＞0,x ＞0),由上述结论可知：当有最小值为直接应用：已知函数y 1=x （x ＞0）与函数y 2=1x（x ＞0）,则当x= 时，y 1+y 2取得最小值为 .变形应用：已知函数y 1=x+1（x ＞-1）与函数y 2=(x+1)2+4（x ＞-1）,求21y y 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x 的值.实际应用 ：已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设汽车一次运输路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？4、（2013·咸宁）如图1，矩形MNPQ 中，点E ，F ，G ，H 分别在NP ，PQ ，QM ，MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD 为矩形，且4=AB ，8=BC ．理解与作图：（1）在图2、图3中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH ．计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH 的周长，并猜想矩形ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF 交BC 的延长线于M ，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．5、（2013·嘉兴市）将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n 倍,得△AB′ C′ ,即如图①,∠BAB′ ＝θ,AB B C AC n AB BC AC''''===,我们将这种变换记为[θ,n].(1)得△AB′ C′ ,则'AB C S ''∆:ABC S ∆ =_______;直线BC 与直线B′C ′所夹的锐角为_______度;(2)如图② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′ C′ ,使点B 、C 、C '在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n 的值;(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′ , 使点B 、C 、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n 的值.参考答案解答题：1、(1)设所求方程的根为y ，则y=－x ，所以x=－y ． 把x=－y 代入已知方程x 2＋x －2=0， 得(－y)2＋(－y)－2=0． 化简，得：y 2－y －2=0．(2)设所求方程的根为y ，则y=1x ，所以x=1y ．把x=1y 代如方程ax 2＋bx ＋c=0得．a(1y )2＋b ·1y ＋c=0， 去分母，得，a ＋by ＋cy 2=0．若c=0，有ax 2＋bx=0，于是方程ax 2＋bx ＋c=0有一个根为0，不符合题意． ∴c ≠0，故所求方程为cy 2＋by ＋a=0(c ≠0)． 2、201320123、解：直接应用1,2变形应用21y y =2(x 1)44(x 1)x 1x 1++=++++≥4，所以21y y 的最小值是4，此时x+1=4x 1+,(x+1)2=4， x=1. 实际应用设该汽车平均每千米的运输成本为y ，则y=360+1.6x+0.01x 2，当x=8时，y 有最小值，最低运输成本是424（元）.4、（1）作图如下： ························· 2分（2）解：在图2中，52204222==+====HE GH FG EF ，∴四边形EFGH 的周长为58． ··················· 3分在图3中，51222=+==GH EF ，53456322==+==HE FG ．∴四边形EFGH 的周长为5853252=⨯+⨯． ·················· 4分猜想：矩形ABCD 的反射四边形的周长为定值． ············· 5分 （3）如图4，证法一：延长GH 交CB 的延长线于点N ．∵21∠=∠，51∠=∠， ∴52∠=∠． 而FC FC =， ∴Rt △FCE ≌Rt △FCM ．∴M F EF =，MC EC =． ····················· 6分 同理：EH NH =，EB NB =．∴162==BC MN ． ························ 7分 ∵190590∠-︒=∠-︒=∠M ，390∠-︒=∠N ，∴N M ∠=∠． ∴GN GM =． ·················· 8分 过点G 作GK ⊥BC 于K ，则821==MN KM ．·············· 9分 ∴54842222=+=+=KM GK GM ．∴四边形EFGH 的周长为582=GM ． ··············· 10分 证法二：∵21∠=∠，51∠=∠， ∴52∠=∠． 而FC FC =， ∴Rt △FCE ≌Rt △FCM ．∴M F EF =，MC EC =． ····················· 6分 ∵190590∠-︒=∠-︒=∠M ，490∠-︒=∠HEB ， 而41∠=∠， ∴HEB M ∠=∠． ∴HE ∥GF ． 同理：GH ∥EF ． ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∴HE FG =． 而41∠=∠，∴Rt △FDG ≌Rt △HBE ． ∴BE DG =．过点G 作GK ⊥BC 于K ，则8=+=+=+=EC BE CM GD CM KC KM ∴54842222=+=+=KM GK GM ．∴四边形EFGH 的周长为582=GM ． 5、解：(1) 3;60°.(2) ∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC ′＝90°. ∴θ＝∠CAC ′＝∠BAC ′－∠BAC ＝90°－30°＝60°. 在Rt △ABB ′中，∠ABB ′＝90°, ∠BAB ′＝60°, ∴n ＝AB AB'＝2. (3) ∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC ′∥BB′,又∵∠BAC ＝36° ∴θ＝∠CAC ′＝∠ACB ＝72°∴∠C ′AB ′＝∠ABB ′＝∠BAC ＝36°,而∠B ＝∠B, ∴△ABC ∽△B ′BA,∴AB 2＝CB ·B′B ＝CB ·(BC+CB ′), 而CB ′＝AC ＝AB ＝B ′C ′, BC ＝1, ∴AB 2＝1·(1+AB)∴AB ∵AB ＞0,∴n ＝B C BC ''。
北京市中考数学复习专题：新定义阅读理解问题
新定义阅读理解问题新定义学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。
其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯。
解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
一、基础练习部分★例1:【——海淀期末】对于正整数n ，定义210()=()10，，≥n n F n f n n ⎧<⎨⎩，其中f(n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10．规定F 1(n )=F(n )，F k +1(n )=F(F K (n ))（K 为正整数）．例如：F 1(123)=F(123)=10，F 2(123)=F(F 1(123))=F(10)=1．（1）求：F 2(4)= ，F(4)= ；（2）若F 3m (4)=89，则正整数m 的最小值是 ． 答案：（1）37，26；（2）6. 练习①： 【通州一模】定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使得k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是 ；若13n =，则第次“F 运算”的结果是 . 答案：1，4练习②：【门头沟二模】我们知道，一元二次方程x 2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2=-1 (即方程x 2=-1有一个根为i )，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=-1，i 3= i 2·i =(-1)（-1）·i =-i , i 4=( i 2)2=(-1) 2=1，从而对任意正整数n ，则i 6=______________;由于i 4n+1=i 4n ﹒i=(i 4)n ﹒i=i,同理可得i 4n+2=﹣1, i 4n+3=﹣i , i 4n =1那么i + i 2+ i 3+ i 4+…+ i+ i 的值为_____ 答案:-1，i★例2：【宣武一模】任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）， 如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =．例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就有31(18)62F ==．给出下列关于F(n )的说法：（1）1(2)2F =；（2）3(24)8F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则F(n )=1．其中正确说法的个数是 （ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．4 答案：Ｂ 练习①：【北京中考】在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i =2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，3= ；表中的25个数中，共有 个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为 ．答案：0；15；1. 练习②：【海淀二模】某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用A 0表示没有经过加密的数字串．这样对A 0进行一次加密就得到一个新的数字串A 1，对A 1再进行一次加密又得到一个新的数学串A 2，依此类推，…，例如：A 0：10，则A 1：1001．若已知A 2：100101101001，则A 0： ，若数字串A 0共有4个数字，则数字串A 2中相邻两个数字相等的数对至少．．有 对． 答案：101 ，4练习③：【燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如在代数式a ＋b ＋c 中，把a 和b 互相替换，得b ＋a ＋c ；把a 和c 互相替换，得c ＋b ＋a ；把b 和c ……；a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：① (a －b )2；② ab ＋bc ＋ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中为完全对称式的是A ．① ②B ．② ③C ．① ③D ．①②③ 答案：A练习④：【西城一模】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P (a ,b )若规定以下两种变换： ①f (a ,b )= (-a ,-b )．如f (1,2)= (-1,-2);②g (a ,b )= (b ,a )．如g (1,3)= (3,1)按照以上变换，那么f （g (a ,b )）等于A ．(-b ,-a )B ．(a ,b )C ．(b ,a )D ．(-a ,-b ) 答案：A★例3：【昌平二模】请阅读下列材料：我们规定一种运算：，例如：． 按照这种运算的规定,请解答下列问题：（1）直接写出 的计算结果；（2）若，直接写出和的值．（3）当取何值时, ； 答案：(1)3.5; (2)x=8,y=2. (3) ;a b ad bc c d=-2325341012245=⨯-⨯=-=-1220.5--0.517830.51x y xy --==--x y x 0.5012x xx -=15x -±=a 1，1 a 1，2 a 1，3 a 1，4 a 1，5 a 2，1 a 2，2 a 2，3 a 2，4 a 2，5 a 3，1 a 3，2a 3，3 a 3，4 a 3，5 a 4，1 a 4，2a 4，3 a 4，4 a 4，5 a 5，1 a 5，2 a 5，3 a 5，4 a 5，5变式练习：【宣武一模】对于实数d c b a ,,,规定一种运算：c a bc ad d b -=，如21=-20()21-⨯ 220-=⨯-，那么)3(2x -2554=-时，=x （ ）.（A ）413- （B ）427 （C ）423- （D ）43- 答案：(D)练习：①【北京中考（课标卷）】用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1。
北京各区2017中考数学 阅读型与新定义型专题复习(无答案)
C阅读型与新定义型专题1. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.○1 ○2 ○3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）. 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）.2．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点.在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，2)，B （﹣3，﹣1），C (3，﹣1). （1）已知点D （2，2），E （3，1），F （21-，﹣1）. 在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是 ； （2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO =30°.①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存．．在．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程） （3）如图2，点Q 为直线y =﹣1上一动点，⊙Q 的半径为21. 当Q 从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒.是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.图1 图23．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于y 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点. （1）如图1，点A (−1，0).① 若点B 是点A 关于y 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ② 点C (-5，0)是点A 关于y 轴，直线l 2： x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③ 点D (2，1)是点A 关于y 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ； （2）如图2，⨀O 的半径为1.若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于y 轴，直线l 4：x =b 的二次对称点，且点M′在射线y x =(x ≥0)上，b 的取值范围是 ；（3）E (t , )是x 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N关于y 轴，直线l5:1y =+的二次对称点，且点N ′在y 轴上，求t 的取值范围..4．有这样一个问题：探究函数222x y x =-的图象与性质．下面是小文的探究过程，请补充完整：（1）函数222x y x =-的自变量x 的取值范围是 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值．如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点1A 和1B ，2A 和2B ，3A 和3B ，4A 和4B 均关于某点中心对称，则该点的坐标为 ；②小文分析函数222x y x =-的表达式发现：当1x <时,该函数的最大值为0，则该函数图象在直线1x =左侧的最高点的坐标为 ；（3）小文补充了该函数图象上两个点（1124-，），（3924，），①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：________________ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，若P ，Q 为某个菱形相邻的．．．两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x 轴，y 轴平行，则称该菱形为点P ，Q 的“相关菱形”．图1为点P ，Q 的“相关菱形”的一个示意图．图1已知点A 的坐标为（1，4），点B 的坐标为（b ，0），（1）若b =3，则R （1-，0），S （5，4），T （6，4）中能够成为点A ，B 的“相关菱形”顶点的是 ；x =1（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；（3）BC的坐标为（2，4）．若B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．图1 图2 图3 图4（1）已知A (-2，3)，B (5，0)，C (t ，-2)．①当2=t 时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为_____________； ②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D (1，1)．E (m ，n )是函数)0(4>=x xy 的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．7．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁， 这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD 为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD 是凹四边形． 求证：BCD B A D ∠=∠+∠+∠． （3）性质应用：AB D如图3，在凹四边形ABCD 中，BAD ∠的角平分线与BCD ∠的角平分线交于 点E ，若140ADC ∠=°，102AEC ∠=°，则B ∠= °． （4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH ．若AB AD =，CB CD =， 则四边形EFGH 是 ．（填写序号即可） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形8．在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足m kx b +≤且n kx b +≥，则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”． 如图1，直线:4l y x =--是函数6(0)y x x=<的图象与正方形OABC 的一条“隔离直线”．（1）在直线12y x =-，231y x =+，33y x =-+中，是图1函数6(0)y x x=<的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为 ； 请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线” 的表达式： ；-4图1（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，⊙O 的半径为2．是否存在EDF △与⊙O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形1111A B C D 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的右侧，点(1,)M t 是此正方形的中心．若存在直线2y x b =+是函数22304y x x x =--（≤≤）的图象与正方形1111A B C D 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1x 2+ y 1y 2=0，且A ，B 均不为原点，则称A 和B 互为正交点.比如：A （1，1），B （2，-2），其中1×2+1×(-2)=0，那么A 和B 互为正交点. （1）点P 和Q 互为正交点，P 的坐标为（-2，3），①如果Q 的坐标为（6，m ），那么m 的值为____________； ②如果Q 的坐标为（x ，y ），求y 与x 之间的关系式； （2）点M 和N 互为正交点，直接写出∠MON 的度数；（3）点C ，D 是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD 为边，构造正方形CDEF ，原点O 在正方形CDEF 的外部，求线段OE 长度的取值范围.备用图10.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），如果点Q （x ，'y ）的纵坐标满足()()⎩⎨⎧<-≥-=时当时当y x xy y x y x y '，那么称点Q 为点P 的“关联点”.（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；（2）如果点P 在函数2-=x y 的图象上，其“关联点”Q 与点P 重合，求点P 的坐标； （3）如果点M （m ，n ）的“关联点”N 在函数y=2x 2的图象上，当0 ≤m ≤2 时，求线段MN 的最大值.11. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x,y）,若过点p的直线与x轴夹角为60°时，则称该直线为点P的“相关直线”，（1）已知点A的坐标为（0,2），求点A的“相关直线”的表达式；（2）若点B的坐标为（0，3），点B的“相关直线”与直线y=32交于点C，求点C的坐标；（3）⊙O的半径为3，若⊙O上存在一点N，点N的“相关直线”与双曲线y=x 33(x＞0)相交于点M,请直接写出点M的横坐标的取值范围.12．在平面直角坐标系中，点Q 为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q 的内部（含角的边），这时我们把∠Q 的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD ，作射线OA ，OB ，则称∠AOB 为矩形ABCD 的视角．（1）如图1，矩形ABCD ，A （﹣3，1），B （3，1），C （3，3），D （﹣3，3），直接写出视角∠AOB 的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB 上有一点Q ，使得矩形ABCD 的视角∠AQB =60°，求点Q 的坐标；（3）如图2，⊙P 的半径为1，点P （1，3），点Q 在x 轴上，且⊙P 的视角∠EQF 的度数大于60°，若Q （a ，0），求a 的取值范围．图1图2备用图。
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形． 选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ， 由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ， 令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3， 令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。
中考数学专题复习(阅读理解)
中考数学专题复习：阅读理解题【知识梳理】阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．【课前预习】1、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)表示二进制数，转换为十进制形式是，那么将二进制(1111)转换为十进制形式是数（ ）A、8B、15C、20D、302、阅读下面材料并完成填空。
你能比较两个数和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较的大小（n≥1的整数）。
然后，从分析n=1,n=2,n=3,……，从这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
⑴通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=” ）1 ＿＿＿＿2 ②＿＿＿＿3 ③＿＿＿＿④＞ ⑤ ⑥ ⑦⑵从第⑴小题的结果经过归纳，可以猜想出的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到＿＿＿＿（填“＞”、“＝”或“＜”3、阅读下列材料：FEDCBA（图1） （图2） （图3） （图4）如图1，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图2，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。
2018数学中考专题--2-阅读理解型专题
2018年中考阅读理解题1、 阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：nn a a a a 记为个．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 38log 8log 22 即．一般地，若 0,10 b a a b a n且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为 813.log log 4 如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33 即．问题：（1）计算以下各对数的值：64log 16log 4log 222 ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 0,0,10log logN M a a N M a a 且（4）根据幂的运算法则：m n mna a a 以及对数的含义证明上述结论．2、 式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为 1001n n，这里“”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为 501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为 1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）3.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制(1111)2转换成十进制形式是数( ) A ．8 B ．15 C ．20 D ．304、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为23326A 。
2012年中考数学二轮复习考点解密：_阅读理解型问题含11真题带解析
ADCBP 1 P 2 P 3 P 4Q 1Q 2 Q 3 Q 4图3阅读理解型问题一、专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、考点精讲考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题（2011连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P1，P2三等分边AB ，R1，R2三等分边AC ． 经探究知2121R R P P S 四边形＝13S △ABC ，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q1，Q2三等分边DC ．请探究2211P Q Q P S 四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB ，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC ．若 S 四边形ABCD ＝1，求3322P Q Q P S 四边形．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB ，Q1，Q2，Q3四等分边DC ，P1Q1，P2Q2，P3Q3 将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式． A B C图1 P 1 P 2 R 2R 1 A B 图2 P 1 P 2 R 2 R 1D Q 1 Q 2ADP 1 P 2 P 3BQ 1Q 2 Q 3 C图4S 1 S 2 S 3S 4【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。
2014年数学中考二轮专题复习课件：阅读理解型问题
b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．
∵对于任意 x，上述等式均成立，
a－1＝1， ∴ a＋b＝3. a＝2， ∴ b＝1.
∴
－x4－x2＋3 －x2＋1
＝
－x2＋1 x2＋2 －x2＋1
＋1
＝
－x2＋1 x2＋2 1 1 2 ＋ ＝x ＋2＋ 2 . －x2＋1 －x2＋1 －x ＋1 －x4－x2＋3 这样，分式 被拆分成了一个整式 x2＋2 与一个 2 －x ＋1 1 分式 的和． －x2＋1
AB BE DC EC
考点二、阅读试题，归纳总结问题 例3 (2013 · 珠海)阅读下面材料，并解答问题． －x4－x2＋3 材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式(分子 2 －x ＋1 为整数)的和的形式． 解：由分母为－x2＋1，可设－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a) ＋b， 则－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B＝∠C，E为边 AB BE BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证： DC EC （2）∵AB∥DE，AE∥DC， ∴∠AEB＝∠C，∠DEC＝∠B， ∴△ABE∽△DEC， ∴ AB BE ，
DE EC
∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC， ∴
1 1 2 ＝x ＋7＋ . －x2＋1 －x2＋1 －x4－6x2＋8 这样， 分式 被拆分成了一个整式 x2＋7 与一个 2 －x ＋1 分式 1 的和． －x2＋1
例4 (2013 · 湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填 空，再按要求答题：
1 3 sin30° ＝ ，cos30° ＝ ，则 sin230° ＋cos230° ＝____；① 2 2 2 2 sin45° ＝ ，cos45° ＝ ，则 sin245° ＋cos245° ＝____；② 2 2 3 1 sin60° ＝ ，cos60° ＝ ，则 sin260° ＋cos260° ＝_____.③ 2 2
中考数学阅读理解判断说理型专题训练A试题(共11页)
2021年中考数学阅读理解判断说理(shuō lǐ)型专题训练A总分120分，时间是90分钟一、细心填一填〔每一小题3分，一共21分〕1．〔2021年〕在实数的原有运算法那么中我们补充定义新运算“⊕〞如下：当a≥b时，a ⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a．那么当x＝2时，(1⊕x)·x－(3⊕x)的值是(“·〞和“－〞仍为实数运算中的乘号和减号)．2．〔2021年〕日常生活中，“老人〞是一个模糊概念．有人想用“老人系数〞来表示一个人的老年化程度．他设想“老人系数〞的计算方法如下表：人的年龄x〔岁〕x≤60 60＜x＜80 x≥80该人的“老人系数〞0 1按照这样的规定，一个70岁的人的“老人系数〞为．3．〔2021年〕教师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数______________________4．〔2021年〕德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形〔单位分数是分子为1，分母为正整数的分数〕：第一行第二行1 2第三行1 3第四行11214第五行12015…………根据前五行(wǔxíng)的规律，可以知道第六行的数依次是：．5．〔2021年〕在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形。
如图，在4×4的方格纸上，以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个平方单位，那么符合条件的C点一共有个。
AB6．〔2021年〕我们已经学习了相似三角形,也知道:假如两个几何图形形状一样而大小不一定一样,我们就把它们叫做相似图形.比方两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出以下4对几何图形:①两个圆;②两个菱形;③两个长方形;④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形,哪几对不是相似图形_______________________. 7．〔2021年〕甲、乙两人进展羽毛球比赛，甲发出一颗非常关键的球，出手点为P，羽毛球飞出的程度间隔 s〔米〕与其距地面高度h〔米〕之间的关系式为。
中考数学复习考点知识与题型归类解析45---新定义型、阅读理解型问题
中考数学复习考点知识与题型归类解析45---新定义型、阅读理解型问题一、选择题10．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题“数形结合“思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15° ＝AC CD2类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．＋1 B ．－ 1 C ．D ． 127．（2020·河南）定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根9．（2020·枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝78.（2020·淮安）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是A.205B.250C.502D.5209．（2020·随州）将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如=-=⋅=)(23q px x x x x …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：0=1-x -x 2，且x ＞0，则3x +2x -x 34的值为（ ） A.51- B.53- C.51+ D.53+ 12.(2020·潍坊)若定义一种新运算：(2)6(2)a b a b a bab ab 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（ ）A. B. C. D.7．（2020·恩施）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（ ）． A. 1- B. 1C. 0D. 2二、填空题12．（2020·衢州）定义(1)a b a b =+※，例如232(31)248=⨯+=⨯=※，则(1)x x -※的结果为 ．18．（2020·枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a ＋21b －1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝________．16．（2020·乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：（1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．11．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下： a ⊕b，如：3⊕212⊕4＝______．17．（2020·宜宾）定义：分数nm （m ，n 为正整数且互为质数）的连分数123111a a a +++（其中a 1，a 2，a 3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△11a +21a +31a +…， 例如：719＝1197＝1527+＝11275+＝112215++＝1121152++＝11211122+++，719的连分数为11211122+++，记作719△12+11+12+12，则 △11+12+13．三、解答题24.(2020·宁波)(本题14分)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝a ，请用含a 的代数式表示∠E .（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ＝BD ，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.22．（2020·黔西南州）规定:在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题:（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形C．菱形 D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有:________（填序号）；（3）下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．22．（2020·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6，6能被6整除; 643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”?并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．28．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB =1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A ´B ´（A´，B´分别为点A ，B 的对应点），线段AA ´长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12P P 和34P P ，则这两条弦的位置关系是 ；xyP 2P 1P 3P 41BOA在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y +上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．27．（2020·常州）(10分)如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间)．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ ·PH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0，4)，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点________(填“A ”“B ”“C ”或“D ”)，⊙O 关于直线m 的“特征数”为________；②若直线n 的函数表达式为y ＝3x ＋4，求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点M (1，4)，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N (－1，0)是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．（2020·山西）20．阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务:(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是 ; （2） 根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS ＝90°;（3）①尺规作图:请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（ 在木板上保留作图痕迹，不写作法）;②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） ．x 年x 月x 日 星期日 没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢?办法一:如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD ＝ 30cm ，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则∠DCE 必为90°．办法二:如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS ＝MN ，得到点S ，作直线SC ，则∠RCS ＝90°．我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也第20题图①50cm40cm 30cmEABDC第20题图②N MQ SABRC{解析} （{答案}18．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值.【问题】解方程：2224250x x xx 【提示】可以用“换元法”解方程. 解：设t （t ≥0），则有222x x t ， 原方程可化为：2450t t 【续解】229t21．（2020·怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交第20题图③第20题图④BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．20. （2020·张家界）阅读下面材料：对于实数,a b ，我们定义符号min{,}a b 的意义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b 时，min{,}a b b =，如：min{4,2}2,min{5,5}5-=-=．根据上面的材料回答下列问题： （1）min{1,3}-=______； （2）当2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时，求x 的取值范围． （1）﹣1 ；（2）x≥13424．（2020·长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H 函数”的打“×”①x y 2＝（ ） ②()0≠m xmy ＝（ ） ③13－＝x y （ ） （2）若点A （1，m ）与点B （n ，－4）关于x 的“H 函数”()02≠a c bx ax y ＋＋＝的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ,b ,c 的值或取值范围；的（3）若关于x 的“H 函数”c bx ax y 322＋＋＝（a ,b ,c 是常数）同时满足下列两个条件：①0＝＋＋c b a ,②()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．25. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、OBC ABCS S 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若1CMES=，求正方形ABCD 的面积．26．（2020·内江）我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x m n =⨯（m ，n 是正整数，且m n ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是x 的最佳分解．并规定：()mf x n=． 例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以()311862f ==． （1）填空：()6________f =；()9_________f =；（2）一个两位正整数t （10t a b =+，19a b ≤≤≤，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()f t 的最大值；（3）填空：①()22357_____________f ⨯⨯⨯=；②()32357_____________f ⨯⨯⨯=；③()42357_____________f ⨯⨯⨯=；④()52357_____________f ⨯⨯⨯=．20．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ， 如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2（2）若3※m ≥﹣6，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．22．（7分）（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x ﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y ，将原方程转化为：y 2﹣y ＝0这个熟悉的关于y 的一元二次方程，解出y ，再求x ，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x ，y 满足，求x 2+y 2的值．21．（9分）（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y ＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．。
中考总复习数学专题优化训练： 阅读理解型问题
专题训练十 阅读理解型问题一、选择题1.火车票上的车次号有两个意义，一是数字越小表示车速越快，1—98次为特快列车，101—198次为直快列车，301—398次为普快列车，401—498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京，根据以上规定，杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是A.20B.119C.120D.319 2.阅读下面文字后，解答问题.有这样一道题目：“已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(1,0)_________________，求证：这个二次函数图象关于直线x=2对称.”题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字. 根据现有信息，题目中二次函数图象不具有的性质是A.过点(3，0)B.顶点是(2，-2)C.在x 轴上截得的线段长是2D.与y 轴交点是(0，3)3.扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步:分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步:从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步:从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步:左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆的张数是A.4B.5C.6D.无法确定二、填空题4.自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷阱”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”.那么最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R=__________________.5.据指令［s,A ］(s ≥0,0°≤A<360°)机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点(-3，3)，应下的指令是____________________________. 三、解答题6.阅读下列解题过程：题目：已知方程x 2+3x+1=0的两个根为α、β，求βα+αβ的值.解：∵Δ=32-4×1×1=5＞0，∴α≠β. (1) 由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1. (2) ∴βα+αβ=βα+αβ=αββα+=13-=-3.(3)阅读后回答问题：上述的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程. 7.阅读下列材料：如图3-20，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为P.图3-20求证： S四边形ABCD=21AC ·BD.证明：AC ⊥BD ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∙=∙=∆∆.21,21PB AC S PD AC S ACBACD∴S四边形ABCD=S △ACD +S △ACB =21AC(PD+PB)=21AC ·BD.解答问题：(1)上述证明得到的性质可叙述为_________________________________________.(2)如图3-21，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 且相交于点P ，AD=3 cm,BC=7 cm ，利用上述的性质求梯形的面积.图3-218.规定a 、b 两数之间的一种运算，记作(a ，b)：如果a c =b ，那么(a ，b)=c.比如：(2，8)=3.对于任意的自然数n ，可以证得(3n ，4n )=(3，4).证明如下：设(3n ，4n )=x ，则3n x=4n ，即(3x )n =4n ，因此3x =4，即(3，4)=x ，从而(3n ，4n )=(3，4). 现在请你证明下面等式：(3，4)+(3，5)=(3，20). 9.阅读下列材料，按要求解答问题：在△ABC ，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示.(1)如图3-22，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°，求证：a 2=b(b+c).图3-22(2)若一个三角形的一个内角是另一个内角的两倍，则称这种三角形为倍角三角形.本题图3-23中的三角形是特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形(如图3-23)，当∠A=2∠B 时，关系式a 2=b(b+c)是否仍然成立？若成立，证明你的结论；若不成立，举出反例.图3-23一、选择题1答案：C提示：由直快列车车次号为101—198之间,再由杭州开往北京车次号为双数即为120. 2答案：B提示：相当于“二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（1,0），对称轴为直线x=2，判断四个选项的对错”.3答案：B提示：设各堆牌的张数相同,为a,然后根据题意用含a 的代数式表示中间的牌的数目. 二、填空题4答案：13提示：可以随意找一个数(比如12),按步骤操作即可. 5答案：［32,225°］提示：由点(-3,3)在第二象限平分线上,则机器人需逆时针旋转225°,再向前行走32. 6答案：不正确. 解：第（3）步错.正确的解题过程是：∵Δ=32-4×1×1=5＞0，∴α≠β.由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3＜0，αβ=1＞0， ∴α＜0，β＜0. ∴βα+αβ=-ββα∙-αβα∙=-βα∙·αββα+=3.7答案：(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长的乘积的一半(2)25 cm2.提示：(2)中，可以过P点作两底的垂线，即高，运用直角三角形斜边中线等于斜边一半分别求出两垂线段的长,即高的大小.从而可求出面积.另一种方法是平移对角线.8证明：设（3，4）=x，（3，5）=y，∵3x=4，3y=5,∴3x·3y=5·4=20.从而3x+y=20,∴（3，20）=x+y.∴（3，4）+（3，5）=（3，20）.9提示：(1)设b=x，则c=2x，a=3x，然后可证.(2)思路一：延长CA至D，使AD=AB，连结BD，证明△CAB∽△CBD.思路二：延长BA至D，使AD=AC，连结CD，证明△CAD∽△BCD.。
2022届全国中考数学专项(新定义与阅读理解创新型问题)真题汇编(附答案)
2022届全国中考数学专项（新定义与阅读理解创新型问题）真题汇编一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5 B．2 C．1 D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S △ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0请你通过计算，补全表格：a＝ ；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6（0，0） （3，m）（1，2） （4，8）（2，8） （5，14）（﹣1，2） （2，8）（﹣2，8） （1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm ），确定支点O ，并用细麻绳固定，在支点O 左侧2cm 的A 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg 的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O 右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为xkg ，OB 的长为ycm ．写出y 关于x 的函数解析式；若0＜y ＜48，求x 的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……y/cm …… ……22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝ ；②min|﹣，﹣4|＝ ．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝ ；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．参考答案一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5 B．2 C．1 D．0【要点分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【答案解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【要点分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【答案解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；∴当x ＝7或8时，w 取最大值，最大值为7.6，答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．。
中考数学阅读型试题
中考数学阅读型试题近几年中考试题中：阅读理解型试题题型新颖：形式多样：知识覆盖面较大：它可以是总计课本原文：也可以是设计一个新的数学情境：让学生在阅读的基础上：理解其中的内容、方法、思想：然后把握本质：理解实质的基础上作出回答例1、我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”：即已知三角形的三边长：求它的面积。
用现代式子表示即为：])2([41222222c b a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长：s 为面积）。
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2cb a p ++=）。
(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8：试分别运用公式①和公式②：计算该三角形的面积。
(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。
分析：这是一道阅读理解题：它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式：第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力：第（2）题是考查学生是创新能力。
1243F EDDDCCCBBBAA A练习1．阅读下面操作过程：回答后面问题：在一次数学实践探究活动中：小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ）：小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ：把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）：（a ） （b ） （c ） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ：43____S S ：（2）根据这两位同学的分割方法：你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有 条：请在图（c ）的平行四边形中画出一种：（3）由上述实验操作过程：你发现了什么规律？（4）经过平行四边形对称中心的任意直线：都可以把平行四边形分成满足条件的图形：2．阅读以下短文：然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合：且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上：则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示：矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”. 显然：当△ABC 是钝角三角形时：其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述：说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”： (2) 如图8②：若△ABC 为直角三角形：且∠C=90°：在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”：并比较这些矩形面积的大小：(3) 若△ABC 是锐角三角形：且BC>AC>AB ：在图8③中画出△ABC 的所有“友好矩形”：指出其中周长最小的矩形并加以证明.3．阅读下列材料：并解决后面的问题．在锐角△ABC 中：∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)：则sinB=c AD ：sinC=b AD ：即AD=csinB ：AD=bsinC ：于是csinB=bsinC ：即C cB b sin sin =． 同理有A aC c sin sin =：B bA a sin sin =． 所以CcB b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中：各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中：若已知三个元素a 、b 、∠A ：运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ：请你按照下列步骤填空：完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ： 第二步：由条件 ∠A 、∠B ． ∠C ： 第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上：随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行：半小时后到达B 处：此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图)：求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3：sin65°=0．90 6：sin70°=0．940：sin7 5°=0．9 6 6)．4、“三等分角”是数学史上一个著名的问题：但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中：边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ：以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线：两直线相交于点M ：连接OM 得到∠MOB ：则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法：请研究以下问题：（1）设)1,(aa P 、)1,(bb R ：求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线：两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上：并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论：你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．5、已知：如图8：AB 是⊙O 的直径：P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合）：QP ⊥AB ：垂足为P ：直线QA 交⊙O 于C 点：过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D 。
初中数学中考总复习冲刺：阅读理解型问题--巩固练习题及答案(提高)
中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A]”(a ≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向其面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( )A ．(-1，)B ．(-1．-1) D ．(-1)2．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s ×t(s 、t 是正整数，且s ≤t)，如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有31(18)62F ==． 给出下列关于F(n)的说法：(1)1(2)2F =；(2)3(24)8F =；(3)F(27)＝3；(4)若n 是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题3．阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状． 解：∵222244a cbc a b -=-， (A)∴2222222()()()c a b a b a b -=+-， (B) ∴222c a b =+， (C)∴△ABC 是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？ 请写出该错误步骤的代号：________________． (2)错误的原因为：________________________． (3)本题的正确结论为：____________________．4．先阅读下列材料，然后解答问题：从A ，B ，C 三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯． 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)(1)321nm m m m n C n n --+=-⨯⨯⨯ggg ggg ．例：从7个元素中选5个元素，共有577654354321C ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有______________种．三、解答题5． 已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求1pq q+的值.解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0 又∵pq ≠1,∴1p q ≠ ∴1-q-q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征所以p 与1q 是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p qq++=∴=根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m 2-5m -1=0,21520n n +-=,且m ≠n ，求：11m n+的值.6. 阅读以下材料，并解答以下问题．“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m+n 种不同的方法，这是分类加法计数原理，完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法，这就是分步乘法的计数原理．”如完成沿图①所示的街道从A 点出发向B 点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)，会有多种不同的走法，其中从A 点出发到某些交叉点的走法数已在图②填出．(1)根据以上原理和图②的提示，算出从A 出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图②的空圆中，并回答从A 点出发到B 点的走法共有多少种?(2)运用适当的原理和方法算出从A 点出发到达B 点，并禁止通过交叉点C 的走法有多少种?(3)现由于交叉点C 道路施工，禁止通行，求如任选一种走法，从A 点出发能顺利开车到达B 点(无返回)的概率是多少?7．阅读：我们知道，在数轴上，x ＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x ＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x －y ＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y ＝2x ＋1的图象，它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x ＝1与直线y ＝2x ＋1的交点P 的坐标（1，3）就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩在直角坐标系中，x ≤1表示一个平面区域，即直线x ＝1以及它左侧的部分，如图②；y ≤2x ＋1也表示一个平面区域，即直线y ＝2x ＋1以及它下方的部分，如图③．① ② ③ 回答下列问题：（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；（2）用阴影表示2y 2x 2y 0x ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤－＋≥，所围成的区域．8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是23(2)4y x =+-．类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： (1)将1y x=的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________． (2)函数1x y x +=的图象可由1y x =的图象向________平移________个单位长度得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？(3)一般地，函数x by x a+=+(ab ≠0，且a ≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?9. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1=的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．10. 阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与PC 的位置关系PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： (1)写出上面问题中线段PG,与PC 的位置关系及PGPC的值； (2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．(3)若图1中∠ABC ＝∠BEF ＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG 绕点B 顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示)．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ； 2.【答案】B ；二、填空题 3.【答案】 (1)C ；(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式22()a b -，而22a b -可能等于0；(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 4.【答案】120.三、解答题 5.【答案与解析】解：由2m 2-5m -1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴11m n≠得21520mm+-=根据2215152020m m n n +-=+-=与的特征∴11mn与是方程x 2+5 x -2=0的两个不相等的实数根 ∴115m n+=- .6. 【答案与解析】(1)∵完成从A 点到B 点必须向北走，或向东走，∴到达A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边的交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法原理，由此算出从A 点到达其余各交叉点的走法数，填表如图所示．故从A 点到B 点的走法共35种．(2)方法1：可先求从A 点到B 点，并经过交叉点C 的走法数，再用从A 点到B 点总走法数减去它，即得从A 点到B 点。
课标版数学中考第二轮专题复习-阅读型试题(含答案)
阅读型试题近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答例1、（2005年台州）我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。
用现代式子表示即为：])2([41222222cb a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，s 为面积）。
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： ))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2cb a p ++=）。
(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。
(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。
分析：这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。
1243F EDD DCCCBBBAAA练习1．（2005年贵州市）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ），小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ，把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）；（a ） （b ） （c ）（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ，43____S S ；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有 条，请在图（c ）的平行四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？（4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形；2．（2005年资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”. 显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如图8②，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC 是锐角三角形，且BC>AC>AB ，在图8③中画出△ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.3．（2005年玉林）阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=bAD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，于是csinB=bsinC ，即Cc Bb s in s in =．同理有A aC csin sin =，B bA asin sin =．所以CcB b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ；第二步：由条件 ∠A 、∠B ． ∠C ；第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．4、（2005年佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．5、（2005年福州）已知：如图8，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D 。
初中数学中考专题-阅读理解、判断说理型专题训练及答案
阅读理解、判断说理型专题训练B总分120分，时间90分钟一、细心填一填（每题3分，共21分）1．（绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+ 1×20= 13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为__________． 2．（内江市）对于正数x ，规定f （x ）=x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12x ）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （）+ f （）+ f （）= .3．（扬州）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？” 小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图⑴、图⑵分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？” 小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 千克．”图1 图24．（深圳）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21、……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有________________种不同方法．5．（嘉兴）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为时间（）18工作量（kg ）时间（）7040工作量（kg ）偶数时，结果为kn2（其中k 是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是＿＿＿＿＿．6．（内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
初中数学中考总复习冲刺：阅读理解型问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：阅读理解型问题—知识讲解（基础）【中考展望】阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.【方法点拨】题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 阅读理解题一般可分为如下几种类型：(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；(2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．【典型例题】 类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题1．阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则P A=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角△A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．【思路点拨】（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．【答案与解析】解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A（0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．【总结升华】本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法2．阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0，∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同.当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b；当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b；当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b.解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）；W2= （用x、y的式子表示）；②请你分析谁用的纸面积更大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．【思路点拨】（1）①根据题意得出3x+7y 和2x+8y ，即得出答案；②求出W 1-W 2=x-y ，根据x 和y 的大小比较即可； （2）①把AB 和AP 的值代入即可；②过B 作BM⊥AC 于M ，求出AM ，根据勾股定理求出BM ．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a 12-a 22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．【答案与解析】（1）解：①W 1=3x+7y ，W 2=2x+8y ，故答案为：3x+7y ，2x+8y ．②解：W 1-W 2=（3x+7y ）-（2x+8y ）=x-y ，∵x＞y ，∴x -y ＞0，∴W 1-W 2＞0，得W 1＞W 2，所以张丽同学用纸的总面积更大．（2）①解：a 1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39， 当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述，当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．【总结升华】本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2F=______；（2）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）【答案】（1）O1D=2，O2F=1；（2）O1 O2 =3；（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论3．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．【思路点拨】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．【总结升华】此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值是解题关键．举一反三：【变式】阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝？观察下面三个特殊的等式：()2103213121⨯⨯-⨯⨯=⨯()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯ ()4325433143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝2054331=⨯⨯⨯读完这段材料，请你思考后回答：⑴ =⨯++⨯+⨯1011003221Λ__________________；⑵1223(1)n n ⨯+⨯+++=L ______________________；⑶ ()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n Λ___________________.（只需写出结果，不必写中间的过程）【答案】⑴343400(或10210110031⨯⨯⨯)⑵()()2131++n n n ⑶()()()32141+++n n n n 每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是()()2131++n n n ，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为()()()32141+++n n n n 了.类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【思路点拨】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，综上所述，当t=207或-3+17时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．5．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现:（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【思路点拨】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．【答案与解析】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC 是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【总结升华】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．举一反三：【高清课堂：阅读理解型问题例3】【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC 的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.①②③【答案】(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC 面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小 .证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c .∴L1-L2=(2Sa+2a)-(2Sb+2b)=2(a-b)ab Sabg，而ab＞S，a＞b，∴L1-L2＞0，即L1＞L2 .同理可得，L2＞L3 .∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.。
中考数学复习阅读理解专题试题
阅读理解专题阅读理解型问题一般文字表达较长，信息量较大，各种关系错综复杂，往往是先给一个材料，或者介绍一个新的知识点，或者给出针对某一种题目的解法，然后再给合条件出题.解决这类题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含的数学知识、结论，或者提醒的数学规律，或者暗示的解题方法，然后展开联想，如何从题目给定的材料获得新信息、新知识、新方法进展迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.一、新定义型例1 对于实数a ，b ，定义运算“*〞：a*b ＝22()().a ab a b ab b a b ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥，＜例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．假设x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，那么x 1*x 2＝_________________．分析：用公式法或者因式分解法求出方程的两个根，然后利用新定义解之.解：可以用公式法求出方程x 2－5x ＋6＝0的两个根是2和3，可能是x 1=2，x 2=3，也可能是x 1=3，x 2=2，根据所给定义运算可知原题有两个答案3或者－3．.此题容易无视讨论思想，会少一种情况.评注：此题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题．考察了学生观察问题，分析问题，解决问题的才能． 跟踪训练：1.假设定义：f(a,b)=(-a,b)，g(m,n)=(m,-n)，例如(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，那么((2,3))g f -等于〔 〕A ．〔2，-3〕B ．〔-2，3〕C ．〔2，3〕D ．〔-2，-3〕2．对于实数x,我们规定【x 】表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，假设5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，那么x 的值可以是〔 〕 A ．40 B ．45 C ．51 D ．56二、类比型例2 阅读下面材料后，解答问题.分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：01-x 3x 2 01x 2-x ＜，＞++等 .那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法那么可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：〔1〕假设a ＞0 ，b ＞0 ，那么b a ＞0，假设a ＜0 ，b ＜0，那么b a＞0； 〔2〕假设a ＞0 ，b ＜0 ，那么b a ＜0 ，假设a ＜0，b ＞0 ，那么ba＜0.反之，〔1〕假设b a＞0，那么⎩⎨⎧⎩⎨⎧；＜，＜或，＞，＞0b 0a 0b 0a 〔2〕假设ba＜0 ，那么__________或者_____________． 根据上述规律，求不等式 ﹙A ﹚ ，＞012x +-x ﹙B ﹚2x 2-3x+2021＜2021的解集. 分析：对于〔2〕，根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后解一元一次不等式组即可．对于〔A 〕，据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；对于〔B 〕，将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解：〔2〕假设＜0，那么或者故答案为或者；由上述规律可知，不等式﹙A ﹚转化为或者所以x ＞2或者x ＜﹣1．不等式﹙B ﹚即为2x 2-3x+1＜0.∵2x 2-3x+1=﹙x －1﹚〔2x-1〕，∴2x 2-3x+1＜0可化为﹙x －1﹚〔2x-1〕＜0.由上述规律可知①10230x x ->⎧⎨-<⎩或者②10230x x -<⎧⎨->⎩解不等式组①，无解， 解不等式组②，得21<x<1. ∴不等式2x 2-3x+2021＜2021的解集为21<x<1． 评注：此题本质是一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题关键．例4 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ；tan 〔α±β〕=tan tan 1tan tan αβαβ± .利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：tan15°=tan〔45°-30°〕=tan 45-tan 301tan 45tan 30︒︒+︒︒=1==根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 〔1〕计算：sin15°；〔2〕一铁塔是标志性建筑物之一〔图1〕，小草想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小草站在与塔底A 相距7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小草的眼睛离地面的间隔DC ，〕．分析：〔1〕把15°化为〔45°-30°〕以后，再利用公式sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ计算，即可求出sin15°的值；〔2〕先根据锐角三角函数的定义求出BE 的长，再根据AB=AE+BE 即可得出结论． 解：﹙1﹚sin15°=sin〔45°-30°〕=sin45°cos30°-232162622-==〔2〕在Rt △BDE 中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米， ∴BE=DEtan ∠BDE=DEtan75°． ∵tan75°=tan〔45°+30°〕=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒=31(33)(33)126333(33)(33)1+++==+--3∴BE=7〔333≈27.7〔米〕． 答：乌蒙铁塔的高度约为．评注：此题考察了特殊角的三角函数值和仰角的知识，此题难度中等，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用.例5阅读材料：小艳在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=〔1+〕2．擅长考虑的小艳进展了以下探究：设a+b=〔m+n〕2〔其中a，b，m，n均为正整数〕，那么有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小艳就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小艳的方法探究并解决以下问题：〔1〕当a，b，m，n均为正整数时，假设a+b=，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a= ，b= ；〔2〕利用所探究的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + =〔 + 〕2；〔3〕假设a+4=，且a，m，n均为正整数，求a的值.分析:〔1〕根据完全平方公式的运算法那么，即可得出a，b的表达式；〔2〕首先确定m，n的正整数值，然后根据〔1〕的结论即可求出a，b的值；〔3〕根据题意，4=2mn，首先确定m，n的值，通过分析m=2，n=1或者者m=1，n=2，然后即可确定a的值．解：〔1〕∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为m2+3n2，2mn．〔2〕设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4，2，1，1．〔3〕由题意，得a=m2+3n2，b=2mn.∵4=2mn，且m，n为正整数，∴m=2，n=1或者者m=1，n=2.∴a=22+3×12=7，或者a=12+3×22=13．评注：此题主要考察二次根式的混合运算，完全平方公式，关键在于纯熟运算完全平方公式和二次根式的运算法那么．例6 阅读：大家知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图3-①.观察图①可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P 的坐标(1,3)就是方程组⎩⎨⎧=+-=012,1y x x 的解，所以这个方程组的解为⎩⎨⎧==.3,1y x 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧局部，如图3-②. y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的局部，如图3-③.(5) 图3答复以下问题：(1)在如图3-④所示直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解；(2)用阴影表示不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥0,22,2y x y x 所围成的区域.分析：通过阅读材料可知，要解决第(1)小题，只要画出函数x=-2和y=-2x+2的图象，找出它们的交点坐标即可；第(2)小题，该不等式组表示的区域就是直线x=-2及其右侧的局部，直线y=-2x+2及其下方的局部和y=0及其上方的局部所围成的公一共区域.解：〔1〕如图3-⑤所示，在坐标系中分别作出直线x=-2和直线y=-2x+2，观察图象可知，这两条直线的交点是P(-2,6). 所以⎩⎨⎧=-=6,2y x 是方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解. 〔2〕如图3-⑤所示.评注：此题给出了一个全新的知识情景，通过阅读材料，可知材料中给出一种解决问题的方法，即方程组的解就是两个函数图象的交点坐标；不等式或者不等式组的解集可以用坐标系中图形区域直观地表示出来，不仅要掌握这种方法，还能在原解答的根底上，用这种方法解决类似的问题.解答这类问题的关键是弄清解题原理，详细分析解题思路，梳理前后的因果关系以及每一步变形的理论根据，然后给出问题的解答.通过该题的解答，我们理解了用函数的图象来解方程组或者不等式组，是解方程组或者不等式组的一种特殊方法. 跟踪训练：3.先阅读理解下面的例题，再按要求解答以下问题：解一元二次不等式x 2-4＞0. 解：不等式x 2-4＞0可化为 〔x+2〕〔x-2〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得 ①2020x x +>⎧⎨->⎩②2020x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜-2.∴〔x+2〕〔x-2〕＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2，即一元二次不等式x 2-4＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2．〔1〕一元二次不等式x 2-16＞0的解集为 ； 〔2〕分式不等式103x x ->-的解集为 ；材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为23326A =⨯=.一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记作mn A .(1)(2)(3)(1)m n A n n n n n m =---⋅⋅⋅-+ 〔m ≤n 〕.材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的组合，组合数为2332321C ⨯==⨯. 例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯.阅读后答复以下问题：〔1〕从5张不同的卡片中选出3张排成一列，有几种不同的排法？ 〔2〕从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？ 答案：1. 解：由题意，得f(2，－3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，应选B ． 2 .C3.解：〔1〕不等式x 2-16＞0可化为 〔x+4〕〔x-4〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得①4040x x +>⎧⎨->⎩或者②4040x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x＞4，解不等式组②，得x＜-4.∴〔x+4〕〔x-4〕＞0的解集为x＞4或者x＜-4，即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或者x＜-4．〔2〕∵13xx->-，∴1030xx->⎧⎨->⎩或者1030xx-<⎧⎨-<⎩解得x＞3或者x＜1.4.解：〔1〕3554360A=⨯⨯=；〔2〕3887656 321C⨯⨯==⨯⨯.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
中考数学复习讲义课件 专题5 阅读理解型问题
→→ ∴OE1与OE2不垂直．故选 A.
☞示例 4 (2021·鄂州)数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个 正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现 由 5＋5＝2 5×5＝10； 13＋13＝2 13×13＝23； 0．4＋0.4＝2 0.4×0.4＝0.8； 15＋5＞2 15×5＝2； 0．2＋3.2＞2 0.2×3.2＝1.6； 12＋18＞2 12×18＝12.
方法迁移型
→ ☞示例 3 (2018·达州)平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(m，n)，则向量OP可以用点 P 的坐标表示
→
→
→
→→
为OP＝(m，n)；已知OA1＝(x1，y1)，OA2＝(x2，y2)，若 x1·x2＋y1·y2＝0，则OA1与OA2互相垂直．下
列四组向量：①O→B1＝(3，－9)，O→B2＝(1，－13)；②O→C1＝(2，π0)，O→C2＝(2－1，－1)；③O→D1＝(cos30
→ °，tan45°)，OD2
→ ＝(sin30°，tan45°)；④OE1＝(
5＋2，
→ 2)，OE2＝(
5－2， 22)．其中互相垂
直的组有( A )
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
[解析] ①∵3×1＋(－9)×(－13)＝6≠0， →→
∴OB1与OB2不垂直． →→
②∵2×2－1＋π0×(－1)＝0，∴OC1与OC2垂直． ③∵cos30°×sin30°＋tan45°×tan45°≠0，
(2)cos2x＝cos2x－sin2x；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学专题复习之十：阅读型题
【中考题特点】：
近几年各地的中考试卷中悄然出现了一种阅读理解型试题。
这类题目一般篇幅较长，内容丰富。
重在考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、归纳猜想能力、数据处理能力、抽象概括能力以及探索发现能力等。
阅读型试题一般不难，但难以解答准确，对考生来说，必须有扎实的基本功。
阅读型试题的结构一般包括阅读材料和阅读目的两个部分。
【范例讲析】：
例1：已知：a 、b 、c 是△ABC 三边的长，满足a 4+b 2c 2=b 4+a 2c 2，试判断△ABC 的形状。
阅读下面的解题过程：
解：由a 4+b 2c 2=b 4+a 2c 2，得 a 4－ b 4= a 2c 2 －b 2c 2……①
（a 2+b 2）(a 2－b 2)=c 2(a 2－b 2)……②
∴a 2+b 2=c 2……③ ∴△ABC 是直角三角形……④。
问：以上解题过程是否正确： 。
若不正确，请指出错在哪一步（填代号）： ，错误的原因
是 ，本题的结论应为 。
例2：阅读下列一段话，并解决后面的问题 .
观察下面一例数：
1，2，4，8，……
我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2 .
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 .
（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是 ；
（2）如果一列数1a ，2a ，3a ，4a ，……是等比数列，且公比为q ，那么根据上述的规定，有
q a a 12，q a a 23，q a a 3
4，…… 所以q a a 12=，
21123)(q a q q a q a a ===，
312134)(q a q q a q a a ===，
……
=n a .（用1a 与q 的代数式表示）
（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项 .
例3：先阅读下列一段文字，然后再解答问题。
某食品研究部门欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成100千克食品，并规定：研制成的混合食品中至少需要含44000单位的维生素A和48000单位的维生素B。
三种食物维生素A、B的含量及每千克生产成本如下表所示：
设所取甲、乙、丙三种食物的质量分别为x千克、y千克、z千克。
⑴试根据题意列出等式和不等式，并证明：①y≥20 ；②2x－y≥40；
⑵若限定混合食品中甲种食物的质量为40千克，试求此时总成本P的取值范围，并确定当P取最小值时，所取乙、丙两种食物的质量。
例4：先阅读下列一段文字，然后解答问题.
修建润扬大桥，途经镇江某地，需搬迁一批农户，为了节约土地资源和保护环境，政府决定统一规划建房小区，并且投资一部分资金用于小区建设和补偿到政府规划小区建房的搬迁农户.建房小区除建房占地外，其余部分政府每平方米投资100元进行小区建设；搬迁农户在建房小区建房，每户占地100平方米，政府每户补偿4万元，此项政策，吸引了搬迁农户到政府规划小区建房，这时建房占地面积占政府规划小区总面积的20%.
政府又鼓励非搬迁户到规划小区建房，每户建房占地120平方米，但每户需向政府交纳土地使用费2.8万元，这样又有20户非搬迁户申请加入.此项政策，政府不但可以收取土地使用费，同时还可以增加小区建房占地面积，从而减少小区建设的投资费用.若这20户非搬迁户到政府规划小区建房后，此时建房占地面积占政府规划规划小区总面积的40%.
（1）设到政府规划小区建房的搬迁农户为x户，政府规划小区总面积为y平方米. 可得方程组解得
（2）在20户非搬迁户加入建房前，请测算政府共需投资 __________万元
在20户非搬迁户加入建房后，请测算政府将收取的土地使用费投入后，还需投资__________万元.
（3）设非搬迁户申请加入建房并被政府批准的有z 户，政府将收取的土地使用费投入后，还需投资p 万元.
①求p 与z 的函数关系式.
②当p 不高于140万元，而又使建房占地面积不超过规划小区总面积的35%时，那么政府可以批准多少户非搬迁户加入建房？
例5：阅读下列材料：如图1，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ， AB 是⊙O 1和⊙O 2外公切线，，
A 、
B 为切点，求证：A
C ⊥BC 。
证明：过点C 作⊙O 1和⊙O 2的内公切线交AB 于D ，
∵DA 、DC 是⊙O 1的切线 ∴DA ＝DC.
∴∠DAC ＝∠DCA. 同理∠DCB ＝∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC ＝1800，
∴∠DCA+∠DCB ＝900.
即AC ⊥BC.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理
的名称或内容；
（2）以AB 所在直线为x 轴，，过点C 且垂直于AB 直线
为y 轴建立直角坐标系（如图2），已知A 、B 两点的坐标为（－4,0），（1，0），求经过A 、
B 、
C 三点的抛物线y=ax 2+bx+c 的函数解析式；根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心线O 1O 2上，并说明理由。
【练习】：
1、阅读：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-②
①100232222y x y xy x 。
解：（第一步）由①，得 （x －y ）(x －2y)=0，
∴ x －y=0或x －2y=0.
(第二步)因此，原方程组可化为两个方程组：
⎩⎨⎧=+=-10022y x y x ；⎩⎨⎧=+=-10
0222y x y x 。
分别解这两个方程组，得原方程组的解为
⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ；⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==222233y x ；⎪
⎩⎪⎨⎧-=-=222244y x 。
填空：第一步中，运用 法将方程①化为两个二元一次方程，达到了 的目的。
由第一步到第二步，将原方程组化为两个由一个二元一次方程和一个一元二次方程组成的方程组，体现了 的数学思想。
第二步中，两个方程组都是运用了 法，达到了 目的，从而使方程组得以求解。
2、若关于x 的一元二次方程x 2+(m+1)x+m+4=0两实根的平方和为2，求m 的值。
解：设方程的两实根为x 1，x 2，那么
x 1+x 2=m+1，x 1x 2＝m+4.
∴x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2x 1x 2=(m+1)2-2(m+4)=m 2-7=2，即m 2=9，
解得m=3.
答：m 的值是3.
请把上述解答过程的错误或不完整之处，写在横线上，并给出正确解答.
答：错误或不完整之处有：___________________________________________；
并写出正确的解题过程：
3、仔细阅读下列材料，然后解答问题。
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售。
同时当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。
例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为360%80450=⨯元，获得的优惠额为12030%)801(450=+-⨯元。
设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价。
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到3
1的优惠率？。