高中数学教案必修二2.1.1 平面

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【高中数学】第二章 2.1.1

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1，公理2，公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系．[知识链接]1．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合．2．点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外．[预习导引]1．平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.(3)平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.图形题的依据要点一三种语言的转换例1用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.规律方法 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪演练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.要点二点线共面问题例2证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内．证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．跟踪演练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．要点三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．证明 ∵MN ∩EF ＝Q ， ∴Q ∈直线MN ，Q ∈直线EF ，又∵M ∈直线CD ，N ∈直线AB ， CD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD . ∴M 、N ∈平面ABCD ，∴MN ⊂平面ABCD .∴Q ∈平面ABCD . 同理，可得EF ⊂平面ADD 1A 1. ∴Q ∈平面ADD 1A 1.又∵平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝AD ， ∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线．规律方法点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪演练3 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且BG GC ＝DHHC＝2.求证：直线EG ，FH ，AC 相交于同一点．证明 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD 且EF ＝12BD .又∵BG GC ＝DHHC＝2，∴GH ∥BD 且GH ＝13BD ，∴EF ∥GH 且EF >GH ，∴四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG ，FH 的延长线相交于一点P ， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ，又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.1．下列命题中正确的个数是( ) ①一个平面长4米，宽2米； ②2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对． 2．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．3．若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则Q ，b ，β之间的关系可记作( ) A ．Q ∈b ∈β B ．Q ∈b ⊂β C ．Q ⊂b ⊂β D ．Q ⊂b ∈β 答案 B解析 ∵点Q (元素)在直线b (集合)上，∴Q ∈b .又∵直线b (集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q∈b⊂β.4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．一、基础达标1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是()①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．2．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；BCD都是平面的基本性质公理．3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合答案 C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误．4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线答案 B解析如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．5．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l. 6．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.7．已知△ABC在平面α外，直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R，直线BC∩α＝Q，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．证明∵直线AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.则由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面α的交线．二、能力提升8．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案 D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确．9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．11. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，分别连接EF，A1B，D1C.∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，F ，D 1，C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ，∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ， ∴P ∈平面ABCD .∴P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点．又平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．三、探究与创新12. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．解很明显，点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上．由于AB >CD ，则分别延长D 和BD 交于点E ，如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ， ∴E ∈平面SAC .同理，可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连接SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线．13．在棱长是a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l . (1)画出交线l ；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长； (3)求点D 1到l 的距离．解 (1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连接QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点．又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离．∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴D 1H ＝D 1Q ·D 1N QN ＝2a ·a 24a 2＋a24＝21717a . 即点D 1到l 的距离是21717a .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学 2.1.1 平面课件新人教A版必修2

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变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
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证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
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3.准确理解公理的含义公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
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规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交点也在其他直线上.
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变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.
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7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3

高中必修二数学全册教案

高中必修二数学全册教案
第一节：直线和平面的方程
教学目标：学生能够理解和应用直线和平面的方程。

教学重点：直线和平面的一般方程、截距式方程、点斜式方程、交点坐标、平面的截距式方程。

教学难点：平面的一般方程的推导。

教学过程：
1.引入直线和平面的方程。

通过实际例子引导学生了解直线和平面的一般方程。

2.介绍直线的方程。

讲解直线的截距式方程和点斜式方程，并通过例题演示如何转换。

3.介绍平面的方程。

学习平面的一般方程和截距式方程，并讲解如何根据平面上的点和法向量来确定平面的方程。

4.练习。

让学生进行练习，巩固直线和平面的方程的知识。

5.总结。

总结本节课的重点内容，并提醒学生注意要点。

教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、习题册。

课后作业：完成课后习题，练习直线和平面的方程，并思考如何应用到实际生活中。

扩展阅读：了解不同方程的应用领域，并与实际生活进行联系。

数学人教A版高中必修2《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》

（即平面和平面相交于直线）
练一练
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
知识小结
D
FC
A
E
B
被遮挡部分用虚线表示
3、平面的表示方法
1、平面是无限延展的
（但常用平面的一部分表示平面）
2、画法：常用平行四边形
D
C
3、记法：
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
2.平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．
D A
C B
2.平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．
2.1.1 平面
• （一）教学目标 • 1．知识与技能 • （1）利用生活中的实物对平面进行描述； • （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 • （3）掌握平面的基本性质及作用； • （4）培养学生的空间想象能力. • 2．过程与方法 • （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； • （2）让学生归纳整理本节所学知识. • 3．情感、态度与价值观

高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式教案新人教B版必修2

数轴上根本公式示范教案整体设计教学分析这一小节，在教学上往往被无视．但一维坐标几何是二维、三维坐标几何根底．教师一定要下些工夫，让学生结实掌握．首先复习数轴，建立数轴上点与实数一一对应关系．然后引入位移向量概念，建立直线上向量与实数一一对应．以往在平面解析几何中，不引入向量概念，由有向线段代替．对有向线段，也没有引入运算概念，这样数轴上根本计算公式，证明起来比拟麻烦．现在高中数学中已引入平面向量知识，如果在数轴上引入向量及其加减运算，学生会更好地理解坐标几何根本公式推导．也为今后进一步学习坐标几何打下坚实根底．值得注意是本节内容比拟容易承受，可以指导学生自学完成，或指定一名具有表现力且成绩优秀学生给同学们讲解．三维目标1．通过对数轴复习，理解实数与数轴上点对应关系，提高学生应用能力．2．理解实数运算在数轴上几何意义．掌握用数轴上两点坐标计算两点距离公式，掌握数轴上向量加法坐标运算，提高学生运算能力，培养数形结合思想．重点难点教学重点：直线坐标系与数轴上两点间距离公式应用．教学难点：理解向量有关概念．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.在初中，我们学习了数轴上两点间距离公式，今天，我们从向量角度来分析数轴上两点间距离公式，教师点出课题．设计2.从本节开场，我们系统学习坐标系，并利用坐标系解决几何问题，今天我们先学习第二章第一大节第一小节，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题错误!(2)阅读教材，给出向量有关概念．(3)相等向量坐标相等吗？坐标相等向量相等吗？(4)试讨论AB→＋BC →. (5)对于数轴上任意一个向量，怎样用它起点坐标与终点坐标来计算它坐标．(6)写出数轴上两点间距离公式．讨论结果：(1)给出了原点、度量单位与正方向直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．点P 与实数x 对应法那么是：在数轴上，点P 与实数x 对应法那么是：如果点P 在原点朝正向一侧，那么x 为正数，且等于点P 到原点距离；如果点P 在原点朝负向一侧，那么x 为负数，其绝对值等于点P 到原点距离．原点表示数0.依据这个法那么我们就在实数集与数轴上点之间建立了一一对应关系．即对于数轴上每一个点都有唯一确定实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定点与之对应．假设点P 与实数x 对应，那么称点P 坐标为x ，记作P(x)．(2)如以下图所示．如果数轴上任意一点A 沿着轴正向或负向移动到另一点B ，那么说点在轴上做了一次位移，点不动那么说点做了零位移．位移是一个既有大小又有方向量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 向量，记作AB→AB →起点，点B 叫做向量AB →终点，线段AB 长叫做向量AB→长度，记作|AB →|. 数轴上同向且等长向量叫做相等向量．例如图中AB→＝BC →. 我们可用实数表示数轴上一个向量．例如上图中向量AB→，即从点A 沿x 轴正向移动3个单位到达点B ，可用正数3表示；反之，用－3表示B 为起点A 为终点向量，3与－3分别叫做向量AB→与BA →坐标或数量．一般地，轴上向量AB→坐标是一个实数，实数绝对值为线段AB 长度，如果起点指向终点方向与轴同方向，那么这个实数取正数；反之取负数．向量坐标绝对值等于向量长度．起点与终点重合向量是零向量，它没有确定方向，它坐标为0.向量AB→坐标，在本书中用AB 表示． (3)例如在以下图中AB ＝4，BA ＝－4，|AB|＝4，|BA|＝4.显然AB ＝－BA 或AB ＋BA ＝0.容易推断，相等向量，它们坐标相等；反之，如果数轴上两个向量坐标相等，那么这两个向量相等．如果把相等所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上向量之间是一一对应．(4)在数轴上，如果点A 做一次位移到点B ，接着由点B 再做一次位移到点C ，那么位移AC →叫做位移AB →与位移BC →与．记作AC→＝AB →＋BC→. 由数轴上向量坐标定义与有理数运算法那么，容易归纳出，对数轴上任意三点A 、B 、C ，都具有关系：AC ＝AB ＋BC.(5)设AB→是数轴上任一个向量，例如以下图 O 是原点，点A 坐标为x 1，点B 坐标为x 2，那么OB ＝OA ＋AB ，或AB ＝OB －OA.依轴上点坐标定义，OB ＝x 2，OA ＝x 1，所以AB ＝x 2－x 1.(6)用d(A ，B)表示A 、B 两点距离，根据这个公式可以得到，数轴上两点A 、B 距离公式是d(A ，B)＝|x 2－x 1|.应用例如思路1例1点A(1)，B(3)，求AD ＋DB 与|AB|(D 是数轴上任一点)．解：AD ＋DB ＝AB ＝3－1＝2.|AB|＝|2|＝2.变式训练A 、B 是数轴上两点，B(－1)，且|AB|＝2，那么点A 坐标是______．答案：1或－3思路2例2设A 、B 、C 、D 是同一直线上四个不同点，求证AB·CD＋BC·AD＋CA －BD ＝0.证明：设A(a)，B(b)，C(c)，D(d)．AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝(b －a)(d －c)＋(c －b)(d －a)＋(a －c)(d －b)＝bd －bc －ad ＋ac ＋cd －ac －bd ＋ab ＋ad －ab －cd ＋bc＝0.那么AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝0.变式训练设线段AB 中点为M ，点P 为直线AB 上任意一点．求证：PA ＋PB ＝2PM.证明：设A(a)，B(b)，P(x)，那么M(a ＋b 2)，PA ＋PB ＝a －x ＋b －x ＝2(a ＋b 2－x)＝2PM ，即PA ＋PB ＝2PM. 知能训练1．关于位移向量说法正确是( )A ．数轴上任意一个点坐标有正负与大小，它是一个位移向量B ．两个相等向量起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上唯一一个位移向量D.AB→大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差绝对值答案：B2．化简AB→－AC →－BC →等于( ) A ．2BC→ B ．零位移 C ．－2BC → D ．2AC→ 解析：AB→－AC →－BC →＝(AC →＋CB →)－AC →－BC →＝－2BC →. 答案：C3．假设A(x)，B(x 2)(其中x∈R )，|AB|最小值为( )A.12 B ．0 C.14 D ．－14解析：|AB|＝|x 2－x|＝|(x －12)2－14|≥0，当x ＝0时取等号．答案：B4．数轴上到A(1)，B(2)两点距离之与等于1点集合为( )A ．{0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{x|1≤x≤2}解析：画出数轴可知，满足条件点在线段AB 上．答案：D拓展提升对x∈R总有|x－1|＋|x－2|≥m恒成立，求实数m取值范围．分析：对|x－1|与|x－2|赋予几何意义，利用数形结合解决．解：设A(1)，B(2)，P(x)，那么|x－1|＋|x－2|＝|PA|＋|PB|.如以下图所示：那么|PA|＋|PB|≥|AB|＝1，那么m≤1，即实数m取值范围是[1，＋∞)．课堂小结本节课学习了：1．直线坐标系及其两点间距离公式；2．直线坐标系中向量及其坐标．作业本节练习A 5题，练习B 3,4题.设计感想本节教学设计首先通过对数轴温故知新，学习一维坐标系，沟通实数及其运算与数轴上点及两点间相对位置之间关系．创立直线坐标系中根本计算公式．按本节教学设计讲解效果很好．备课资料备选习题1．以下说法中正确是( )A．零向量有确定方向B．数轴上等长向量叫做相等向量C ．AB ＝－BAD ．|AB|＝BA 答案：C2．1在数轴上对应点是A ，在数轴上把A 向左平移4个单位长度得到点B ，再向右平移3个单位长度，所得点C 对应数是什么？向量AB→与向量BC →坐标分别是什么？向量AC →坐标为多少？答案：C 对应数是0，向量AB→与向量BC →坐标分别是－4、3，向量AC→坐标为－1. 3．数轴上A 、B 两点坐标为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，分别求AB 、BA 、d(A ，B)、d(B ，A)．解：AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b.BA ＝－AB ＝2b. d(A ，B)＝|x 2－x 1|＝|－2b|＝2|b|，d(B ，A)＝d(A ，B)＝2|b|.。

2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1

• 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根据右图，填入相应的符号： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．

高中数学教案--立体几何集体备课教案

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

点A 在平面α内，记作：A ∈α点B 在平面α外，记作：B α2.1-43、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。

师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。

引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3α β αβ ·B α ·AL A · α ·B C ·B · A · α§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

高中数学北师大版必修二2.1.1 教学设计《直线的倾斜角和斜率》

《直线的倾斜角和斜率》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，是高中解析几何内容的开始。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线与其几何性质的基础。

本节有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

◆教学目标【知识与能力目标】正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

【过程与方法目标】通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

【情感态度价值观目标】通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

◆教学重难点◆【教学重点】抽象概括直线的倾斜角和斜率的概念，探索发现过两点的直线的斜率公式。

【教学难点】直线的倾斜角概念的形成、斜率的概念的理解。

◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线。

那么, 经过一点P 的直线l 的位置能确定吗？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。

如图, 过一点P 可以作无数多条直线a ,b ,c , …易见,答案是否定的。

这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P ； (2)它们的‘倾斜程度’不同。

2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。

（1）直线的倾斜角的概念在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l , 把 x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角叫做直线l 的倾斜角。

高中数学必修二2.1.1平面课件

2.1.1平面
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？过空间中一点可以做几个平面？两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画
如果两个不重合的公平面有一个公共理点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面，使得A, B,C

【高中数学必修二】2.1.1平面的基本性质

α A B C
符号语言：
A, B, C三点不共线有且只有一个平面使A , B , C
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
判断:1)经过空间任意三点有且只有一个平面( ) 2)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面( ) 3)两个相交平面有不在同一条在直线上的三个公共点( )
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；
王新敞
奎屯新疆
3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言。
文字语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言：
β
α
P
l
符号语言：
P 且P l且P l
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
判断:1)如果平面α 与平面β相交，那么它们只有有限个公共点（） 2)过一条直线的平面有无数多个( )
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
l
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。这是判断一条直线是否在一个平面内的依据.

高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2

符号表示：P ∈α ∩β α ∩β = l，且 P ∈l。
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
解：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
精品课件
新疆王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆王新敞奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD，同理： P 平面 CBD ，又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
精品课件
问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
精品课件
2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交

高中数学《平面的基本性质》教案

高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。

让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。

1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。

平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。

平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。

1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。

讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。

引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。

2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。

平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。

2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。

讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。

讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。

3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。

平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。

3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。

讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。

讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。

4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。

平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。

高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案-人教版高中全册数学教案

2.1平面向量的实际背景及基本概念一、教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.三、教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.五、教具：多媒体课件六、教学设计：（一）、情景设置：（1）在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？（2）现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等。

在数学上，如何正确理解、区分这些量呢？（二）、新课学习：1、图片展示：物理中常见的浮力、压力、压力等，提问：这些力有什么共同特征？（学生答）他们都是有大小和方向的量。

（板书1）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

提问：向量和数量一样吗？它们有什么区别？（学生答）向量：既有大小，又有方向的量。

数量：只有大小，没有方向的量。

思考:时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗?总结：向量的两要素：大小、方向2、探究学习：如何表示向量？由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。

对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。

有向线段：在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向。

高中数学必修2课程教案5篇

高中数学必修2课程教案5篇高中数学必修2课程教案5篇教案是实现教学目标的计划性和决策性活动。

教案以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。

下面小编给大家带来关于高中数学必修2课程教案，方便大家学习高中数学必修2课程教案1一、知识点归纳(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.(二)空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。

(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积④圆台的表面积⑤球的表面积⑥扇形的面积公式 (其中表示弧长，表示半径)2、空间几何体的体积①柱体的体积②锥体的体积③台体的体积④球体的体积二、练习与巩固(1)空间几何体的结构特征及其三视图1.下列对棱柱说法正确的是( )A.只有两个面互相平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行，且各侧棱也平行2.一个等腰三角形绕它的底边所在的直线旋转360。

辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学必修二全册课件2.1.1平面

第五页，编辑于星期日：二十一点分。
思考2:请你用尺子做实验并回答以下问题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？
2、过两点有几个平面？
3、过在同一直线上的三点有几个平面？ 4、过不在一直线上的三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
第六页，编辑于星期日：二十一点分。
公理二：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（文字表示）
第十四页，编辑于星期日：二十一点分。
3、点与平面的关系 B
A
α
① 点A在平面内，记作A∈ α ② 点B在平面外，记作B α
第十五页，编辑于星期日：二十一点分。
点、线、平面之间的关系的符号表示（用集合语言描述）
（1）点A 在直线L上
A
表示为： A L
第十六页，编辑于星期日：二十一点分。
（2）直线L在平面内 .
图形表示
No·B
α ·A
·C
Image
符号表示为： C AB
存在唯一平面α，使A∈ α
作用：可用于确定平面的条件。
第七页，编辑于星期日：二十一点分。
思考3:把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交与一点B？为什么？
B
第八页，编辑于星期日：二十一点分。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且所这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（文字表示）
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内； ⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一点Q ； ⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面α内，L和m
相交于点P 。
第十一页，编辑于星期日：二十一点分。

1.1.1平面)示范教案新人教A版必修2-1.1.1柱、锥、台、球的结构特征-高中数学必修二

教学策略：借助实物模型、图形软件绘制和三维打印技术，让学生能够直观地观察和操作空间几何体，提高空间想象力。
（2）空间几何体的性质证明：在学习过程中，学生需要掌握空间几何体的性质证明，但可能会感到困难和复杂。
教学策略：通过引导学生运用已知知识和几何直觉，逐步证明几何体的性质，培养学生的逻辑推理能力。
（3）空间几何体的应用：学生需要将所学知识应用到实际问题中，解决实际问题。
-《空间几何体的可视化》：介绍如何利用计算机图形软件绘制和展示空间几何体，提高学生的空间想象力。
2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：
-学生可以利用网络资源，查找更多关于空间几何体的知识，如空间几何体的历史发展、著名数学家的贡献等。
-学生可以尝试解决一些与空间几何体相关的实际问题，如建筑设计中的空间利用、物体体积的计算等。
3.信息化资源：
-数学软件和图形软件（如GeoGebra、Mathematica等）
-在线数学教育平台（如Khan Academy、Coursera等）
-教育视频资源（如YouTube教育频道、Netflix教育纪录片等）
4.教学手段：
-讲授法：教师对几何体的定义、性质和证明进行讲解，引导学生理解和掌握。
3.对于学生的作业，给予积极的评价和鼓励，以提高学生的学习兴趣和自信心。
4.对于作业中出现的共性问题，在课堂上进行讲解和讨论，帮助学生共同提高。
5.对于学生提出的问题，给予耐心的解答和指导，帮助学生解决学习中的困惑。
情感升华：
结合柱、锥、台、球的结构特征内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习柱、锥、台、球的结构特征的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》

高中数学人教版必修2课件
2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交线上 D．两个平面一定有公共点
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例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题的突破口．
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合，所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
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第二章点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
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1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚

高中数学：2.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案(1)(北师大版必修2)

《直线的倾斜角和斜率》教案南昌外国语学校教学目标:一、知识目标：1．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线倾斜角和斜率的定义、范围2．理解直线的倾斜角的唯一性和斜率的存在性3．斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式二、能力与情感目标：培养学生运用代数方法解决几何问题的思想和能力，在自我探索斜率坐标公式的过程中培养学生的自学能力。

渗透坐标法、数形结合、分类讨论，由一般到特殊及由特殊到一般等基本数学思想方法，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。

培养学生运用数学语言表达数学的交流与评价能力．培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

教学重点：倾斜角、斜率概念及斜率公式教学难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解，直线斜率的坐标公式的推导教学方法：启发、引导、讨论、讲练结合。

教学过程：一、直线的确定：我们在初中学习过一次函数，其图像是直线。

请同学们在同一个平面直角坐标系中画出下列一次函数的图像。

(1) y=x+1 (2)y=2x+1 (3)y=-x+1问：画一次函数图像的依据是什么？两点确定一条直线问：在平面直角坐标系中，还有什么条件可以刻画一条确定的直线？类比初中用方位角表示点的位置，引导学生得出确定直线的几何条件——一个点和一个方向。

二、直线的倾斜角和斜率：由直线的方向引入直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角。

当直线l与x轴平行时，直线的倾斜角为0°通常用α表示倾斜角，问：根据定义，倾斜角α的范围是什么？0°≤α＜180°.为了用坐标的方法刻画直线的倾斜角，引入直线的斜率。

当0°＜α＜90°时观察直线上的点O(0,0),P(1,k)当横坐标x从0到1增加1个单位时，纵坐标y 从0增加到k(k ＞0),称k 为直线的斜率，显然斜率为正。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面aa高一数学

2.点、直线、平面之间的位置(wèi zhi)关系及语言表达
文字语言表达
图形语言表达
点A在直线l上
点A在直线l外
点A在平面α内
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符号语言表达
A∈l .
A∉l
.
A∈α .
点 A 在平面α外直线 l 在平面α内
直线 l 在平面α外
平面α,β相交于 l
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解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内. (2)直线(zhíxiàn)l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.
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题型二点线共面
【思考】过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平行直线呢? 提示(tíshì):由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.
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②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳(guīnà)出以下判定定理.
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.
学
知识(zhī shi)探
究
1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的

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第二章直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学思想
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行
四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α
课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

点A 在平面α内，记作：A ∈α
点B 在平面α外，记作：B α 2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。

师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α
B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。