必修算法初步 算法的概念

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写出 解方程组 3x2 y3 ① 的步骤 2x y4 ② 第一步：（消元）
①+②×2，得 7x 1③1
第二步：（解一元一次方程）
解③得 x 11 7
第三步：（带入求解）
将 x 代11入①,得 y 6
7 第四步： 得到方程组的解为:
x7
11 7
y
6 7
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3x2 y3 2 x y4 一般化
y a2c1 a1c2 a2b1 a1b2
第二步：计算 x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
y a2c1 a1c2 a2b1 a1b2
第三步：给出运算结果.
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1.算法概念
一般地, 按照一定规则解决某一类问题的 明确和有限的步骤称为算法。
它是解决某一类问题的程序或步骤.
第一步：
①+②×2，得 7x 11 ③
第二步：
解③得 x 11 7
第三步：
将 x 1代1入①,得 7
y6 7
a1xb1yc1 a2 xb2 yc2
①
② (a1b2 a2b1 0)
a 第一步： ①× a2 － ②× 1 得
(a2b1 a1b2 ) y a2c1 a1c2 ③
第二步： 解③，得
2010～2011学年度高一数学·必修4（人教A版）
济宁育才中学高一数学组 朱继哲
1. 一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一 条小船，每次只能渡 1 个大人或两个小孩，他 们三人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎 样渡过河去？请写出一个渡河方案。
第一步，两个小孩同船过河去；
第二步，一个小孩划船回来； 第三步，一个大人划船过河去； 第四步，对岸的小孩划船回来； 第五步，两个小孩同船渡过河去。
➢有限性:算法应由有限步组成,至少对某些输入, 算法应在有限多步内结束,并给出计算结果．
➢有效性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的 步骤,每一步都只能有一个确定的继任者,只有执 行完前一步才能进入到后一步,并且每一步都确定 无误后,才能解决问题。
➢通用性:求解某一个问题的解法不是只解决这一 个问题,而是能解决同一类问题.
y a2c1④ a1c2 a2b1 a1b2
第三步： 将④带入①得
x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
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解方程组 3x2 y3 ① 2x y4 ②
第一步: 取 a1 3, b1 2, c1 3
a2 2, b2 1, c2 4
x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
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1.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个 数为半径的圆的面积.
第一步:输入任意一个正实数r； 第二步:计算圆的面积: S=πr2; 第三步:输出圆的面积S.
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2.任意给定一个大于1 的正整数n,设计一 个算法求出n的所有因数. 第一步：依次以2~(n-1)为除数去除n,检 查余数是否为0,若是,则是n的因数;若不 是,则不是n的因数.
➢第四步：用5除7得到余数2，因为余数不为0，所以5 不能整除7。
➢第五步：用6除7得到余数1，因为余数不为0，所以6 不能整除7。因此，7是质数。
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（2）解：
➢第一步，用2除35，得到余数1，因为余数不为0，所 以2不能整除35。 ➢第二步，用3除35，得到余数2，因为余数不为0，所 以3不能整除35。 ➢第三步，用4除35，得到余数3，因为余数不为0，所 以4不能整除35。 ➢第四步，用5除35，得到余数0，因为余数为0，所以 5能整除35。因此，35不是质数。
第四步：得到方程组的解为:
x y
b1cwenku.baidu.com a2b1 a2c1
b2c1 a1b2 a1c2
a2b1 a1b2
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这 两个解方程组算法 的适用范围有何不同？
3x2 y3 ① 2x y4 ②
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任意给定一个大于2的整数n，试设计 一个程序或步骤对n是否为质数作出判断。
解：
第一步：给定一个大于2的整数； 第二步：令i=2；
第三步：用i除n得到余数r，判断余数r是否为0，若是, 则n不是质数；若不是，则将i的值增加1，仍用i表示。
第四步，判断i是否大于（n-1），若是，则n是质数； 若不是，则返回第三步。
a1x b1 y c1 a2xb2 yc2
① ②
(a1b2 a2b1 0)
写出解第二个方程组的算法：
第一步： ①× a2 － ②× a1 得
(a2b1 a1b2 ) y a2c1 a1c2 ③
第二步： 解③，得
y a2c1 a1c2
④
a2b1 a1b2
第三步： 将④带入①得 x b1c2 b2c1 a2b1 a1b2
第五步，判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0， 若是则m是方程的近似解；否则返回第三步。
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例1变式：（3）设计一个算法，判断53是否为质数.
第1步：2不能整除53，进行下一步. 第2步：3不能整除53，进行下一步. 第3步：4不能整除53，进行下一步. ………… 第51步：52不能整除53，所以53是质数.
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例2 利用“二分法”求方程x2-2=0(x>0) 的近似解的算法.
第一步，令f(x)=x2-2，给定精确度d。
第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)f(b)<0
第三步，取区间中点m=(a+b)/2。
第四步，若f(a)f(m)<0，则含零点的区间为[a，m]；否 则，含零点的区间为[m，b]。将新得到的含零点的区 间仍记为[a，b]。
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例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数。 (2)设计一个算法，判断35是否为质数。
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（1）解：
➢第一步：用2除7得到余数1，因为余数不为0，所以2 不能整除7。
➢第二步：用3除7得到余数1，因为余数不为0，所以3 不能整除7。
➢第三步：用4除7得到余数3，因为余数不为0，所以4 不能整除7。
2.算法概念的理解
在数学中，现代意义上的 “算法”通常是指 可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤， 这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在 有限步之内完成.
3.算法的基本特征:
明确性 有限性 有效性 通用性
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3.算法的基本特征: ➢明确性:算法对每一个步骤都有确切的,能有 效执行且得到确定结果的,不能模棱两可。