《经济数学基础3》形考作业二讲评

《经济数学基础3》形考作业二讲评

(满分100分)

第3章 随机变量与数字特征（上）

一、单项选择题(每小题2分，共18分)

1、设离散型随机变量X 的分布列为 012

3~0.20.30.1X c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若c 为常数，()F x 为分布

函数，则（B ）。

A. 0.4,(2)0.3c F ==

B. 0.4,(2)0.9c F ==

C. 0.3,(2)0.3c F ==

D. 0.3,(2)0.9c F ==

分析：根据概率分布的性质1k k

p =∑，可以确定c=0.4，可以排除C 、D ，再根据分布

函数()F

x P X x ≤（）=，(2)(2)(0)(1)(2)0.20.40.30.9F P X P X P X P X =≤==+=+==++=,故本题选B 。

2、设离散型随机变量X 的分布列为()(1,2,,)3a

P X k k n n

==

= ，则a =（D ）。 A. 1

3

B. 1

C. 2

D. 3

分析：根据概率分布的性质1k k

p =∑，由于()(1,2,,)3a

P X k k n n

==

= 即1(1)(2)()3k k

a

p P X P X P X n n n

===+=++==⨯

∑ ，求得3a =，故选D 。 3、设随机变量X 的密度函数的是,

02

()0,Ax x f x ≤≤⎧=⎨

⎩其它

，则A =（C ）。

A. 2

B. 3

C.

12 D. 13

分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质1()f x dx +∞

-∞

=

⎰

来考虑。

2

2200

11

1()222f x dx Axdx Ax A A +∞

-∞

=

====⎰

⎰，解得,故选C 。

4、设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则()P a X b <<=（D ）。

A. F a F b ()()-

B. F x x a

b ()d ⎰ C. ()()f a f b - D. ()d b

a

f x x ⎰

分析：参看教材P119定义3.2，故选D 。

5、设随机变量X 服从均匀分布，其概率密度函数为,35

()0,

c x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 ，则c =（B ）。

A. 13

B. 1

2

C. 1

D. 2

分析：根据连续型随机变量概率密度函数性质1()f x dx +∞

-∞

=

⎰

来考虑。

5

5

33

11()22f x dx cdx c x c +∞

-∞

=

====⎰

⎰，解得c ，故选B 。

6、设随机变量~()X πλ（泊松分布），且已知(2)(3)P X P X ===，则常数λ=（C ）。 A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 分析：根据泊松分布的定义() 0,1,2,0!

k

P X k e k k λλλ-===> （；）

由(2)(3)P X P X ===，则有

2

3

=32!

3!

e

e λ

λλλλ--=

，解得，故选C 。

7、设随机变量~(0,1)X N ，又常数c 满足()()P X c P X c ≥=<，则c =（B ）。 A. 1- B. 0 C.

1

2

D. 1 分析：根据标准正态分布的定义，()1-()=()

1

()=()0.5=0

2

P X c P X c P X c P X c c c ≥=<<<Φ=，即，查表知，故选B 。 8、每张奖券中末尾奖的概率为0.1，某人购买了20张号码杂乱的奖券，设中末尾奖的张数为X ，则X 服从（C ）。

A.泊松分布

B. 指数分布

C.二项分布

D. 正态分布 分析：由于购买奖券只有两个结果：中奖与未中奖，购买了20张，即这种试验重复了20次，随机变量服从二项分布。故选C 。

9、设随机变量~(3,2)X N -，则X 的概率密度函数()f x =（B ）。

A. 22()x x --∞<<+∞

2

(3)

4()x x +--∞<<+∞

C. 2

(3)4()x x +--∞<<+∞

2

(3)

4()x x ---∞<<+∞

分析：参看教材P123正态分布的定义，故选B

二、填空题(每小题2分，共18分)

1、设随机变量~()X πλ，且已知(1)(2)P X P X ===，则常数(4)P X ==

2

23

e -。 分析：根据泊松分布的定义() 0,1,2,0!

k

P X k e k k λλλ-===> （；）

由(1)(2)P X P X ===，则有

2

=21!

2!e

e λ

λ

λ

λλ--=，解得，422

22(4)=4!3

P X e e --== 2、设随机变量~(0,1)X U ，则X 的分布函数F x ()=0,

0,011,1x x x x ≤⎧⎪

<<⎨⎪≥⎩

。

分析：由~(0,1)X U ，知0,1a b ==，根据教材P133均匀分布的分布函数，知

F x ()=0,

0,011,1x x x x ≤⎧⎪

<<⎨⎪≥⎩

。

3、设每次打靶中靶的概率是p ，则10次独立射击中至多有2次中靶的概率为

82(1)(3681)p p p -++。

分析：设X 表示10次独立射击中中靶的次数，则~(10,)X B p ，10次独立射击中至多有

2次中靶的概率为010192882(0)(1)(2)

101010(1)(1)(1)012(1)(1836)

P X P X P X p p p p p p p p p =+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-++

4、设2~(,)X N μσ，则(||3)P X μσ-≤=0.9974。

分析：由2~(,)X N μσ，(||3)(33)(33)X P X P X P μ

μσσμσσ

--≤=-≤-≤=-≤≤,根据

P126相关内容，知

(0,1)X N μ

σ

- ,所以

(||3)(3)(3)(3)(1(3))2(3)120.998710.9974P X μσ-≤=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=⨯-=

5

、设2

2

()x

t x e dt -Φ=

⎰

，则(0)Φ=0.5。 分析：这是标准正态分布的分布函数，查表知(0)Φ=0.5

6、设随机变量X 的分布函数()arctan ()F x A B x x =+-∞<<+∞，则常数A =

12，B =1π

。