(完整)高二导数练习题及答案
高二数学导数大题练习题及答案
高二数学导数大题练习题及答案一、解答题1．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.2．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若121322x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.3．已知函数()()2231ln 2f x x a a x a a x =-+-+. (1)若1a =，求()f x 在[]1,2上的值域； (2)若20a a -≠，讨论()f x 的单调性. 4．已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围. 5．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 6．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．7．已知函数()12ln f x x x x=--. (1)判断函数()f x 的单调性；(2)设()()()28g x f x bf x =-，当1x >时，()0g x >，求实数b 的取值范围.8．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.9．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）10．已知函数()222(0)exmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224ef x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 2．(1)0a ≤(2)()()21f x f x <，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分离参变量，得到ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；（2）由（1）可得1ln x x -≥，从而判断()g x 的单调性，确定1213122x x <<<<，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出122x x +<；再次构造函数1ln ()12t tF t t -=-+，判断其单调性，由此推出2211ln ln x x x x -<-，可得结论. (1)()1x f ax ≥+恒成立，即ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立， 令ln 1()x x h x x --=，2ln ()xh x x'=， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 递增， 故min ()(1)0h x h ==， 所以0a ≤. (2)2()121212ln 12(1ln )g x x x x x x x x '=--=--，由（1）知1ln x x -≥，所以在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0g x '≥，所以()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0g =.所以1213122x x <<<<，设()12(1ln )m x x x x =--，()12(22ln )m x x x '=--， 设()12(22ln )n x x x =--，则12(21)()x n x x -'=，13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0n x '>， 所以()m x '在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0m '=，所以()m x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()()(2)H x g x g x =+-，()()(2)12[22ln (2)ln(2)]H x g x g x x x x x x '''=--=--+--， 令()()G x H x '=，()2()12ln 2G x x x '=--，31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0G x '>，所以()H x '在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H ''>=， 所以()H x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H >=， 所以()()()22220H x g x g x =+->，()()()2212g x g x g x ->-=，而()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以212x x ->，122x x +<；设1ln ()12t tF t t -=-+，()()()221021t F t t t '--=≤+， 所以()F t 单调递减，且(1)0F =，1t >，()0F t <，所以210x F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即221121ln 121x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，即212121ln 2ln x x x x x x -<+-， 所以212121ln ln 12x x x x x x-+<-<， 所以2121ln ln x x x x -<-，即2211ln ln x x x x -<-. 所以()()21f x f x <. 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.3．(1)5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)代入a ＝1，求f (x )导数，根据导数判断f (x )在[1，2]上的单调性即可求其值域；(2)根据a 的范围，分类讨论f (x )导数的正负即可求f (x )的单调性. (1)a ＝1，则()2121ln ,02f x x x x x =--+>，()22121(1)20x x x f x x x x x-+-=-+='=，∴()f x 在()0,∞+单调递增，∴f (x )在[]1,2单调递增，∴()()()51,2,3ln 22f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=--+⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即f (x )在[1，2]上值域为5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)()()()()()223232,0x a a x a x a x a af x x a a x x x x'-++--=-++==>，()10f x x a '=⇒=，22x a =， 200a a a -≠⇒≠且1a ≠，①当1a >时，21a a >>，0x a <<或2x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②当01a <<时，201a a <<<，20x a <<或x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；③当0a <时，20a a >>，20x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，2x a >，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a <时，f (x )在()20,a 单调递减，在()2,a +∞单调递增；当01a <<时，f (x )在()20,a ，(),a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减；当1a >时，f (x )在()0,a ，()2,a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减.4．(1)答案见解析 (2)(,e 3]-∞+ 【解析】 【分析】（1）求导得到()x f x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案. （2）0x >时，2e 1x x x a x +++≤，令2e 1()(0)x x x g x x x+++=>，求函数的最小值，得到答案. (1)()e 1x f x ax =-+，()e x f x a '∴=-.①当0a ≤时，()e 0x f x a '=->恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极大值也无极小值；②当0a >，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.∴函数()f x 有极小值为ln (ln )e ln 1ln 1a f a a a a a a =-+=-+，无极大值.(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，则2e 1x x x a x +++≤恒成立，即2min e 1(0)x x x a x x ⎛⎫+++≤>⎪⎝⎭. 设2e 1()(0)x x x g x x x +++=>，则()2(1)e 1()x x x g x x -++'=，令()2(1)e1()0x x x g x x-++'==，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，()(1)g x g ∴≥，min ()(1)e 3g x g ∴==+，∴当e 3a ≤+时满足对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，∴实数a 的取值范围为(,e 3]-∞+.5．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值 (2)3 【解析】 【分析】（1）由导数分析单调性后求解 （2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞， 由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减， 当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值 (2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x xm x +<-， 设ln ()1x x xg x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <， 又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x=->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -= 当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <， ∴ m 的最大值为3. 6．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln xf x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=，直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.7．(1)在(0,)+∞单调递增；(2)1b ≤【解析】【分析】（1）对函数()f x 通过求导，判断出导数恒大于等于0，得到()f x 在(0,)+∞单调递增.（2）将()g x 化简整理并求导，得到222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，讨论b 的取值可确定()g x 在(1,)+∞单调性，即可得到取值范围.(1)因为()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数()f x 求导，则222221221(1)()10x x x f x x x x x '-+-=+-==≥，∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增. (2)因为()()()28g x f x bf x =-，所以22211()2ln 8(2ln )0=----->g x x x b x x x x对1x ∀>恒成立， 322412()28(1)'=+--+-g x x b x x x x 4232312248(2)⎡⎤=+--+-⎣⎦x x b x x x x 222322(1)2(1)1(1)4(24)--⎡⎤=+-=++-⎣⎦x x x bx x b x x x当1x >时，124++>x x ，当44≤b ，即1b ≤时，()0g x '>对1x ∀>恒成立，∴()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)g x g >=0符合题意. 当1b >时，存在01x >使得当0(1,)x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；此时()(1)0g x g <=这与()0>g x 恒成立矛盾.综上：1b ≤.【点睛】本题考查函数恒成立条件下求解参数范围问题，属于难题.对函数()g x 求导，有222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，再利用()1=0g 的特点，可分类讨论b 的取值范围，在1b ≤时，()g x 在(1,)+∞单调递增，原式成立，此时满足要求；当1b >时，()g x 在(1,)+∞先出现递减区间，必有()0g x <出现，与已知矛盾，即可确定b 的范围.8．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--，因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-，故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增， 故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 9．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点；②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案.(1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关.(2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围.(1)()()()()221422(0)e e x x mx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min 242()2,()1e e m m f x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立 ()224e 24e e m -+∴≥ 即24e m ≤-， 又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。
高二数学导数大题练习题(含答案)
高二数学导数大题练习题(含答案)一、解答题1．已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21ea ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知函数()ln x f x x=． (1)求曲线()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；(2)设()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，求证：212e x x >．3．已知函数()32f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 4．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．5．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.6．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<． 7．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．8．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．9．设函数y =x 3+ax 2+bx +c 的图像如图所示，且与y =0在原点相切，若函数的极小值为-4.(1)求a ，b ，c 的值. (2)求函数的递减区间.10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)1a = (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于()()(1)e 2xf x x a =+-'，令()0f x '=，得1x =-或2ln x a=，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. (1)()()(1)e 2x f x x a =+-'，则(0)2f a '=-，由已知(2)1a a -=-，解得1a = (2)()()(1)e 2x f x x a =+-'（ⅰ）当0a ≤时，e 20x a -<，所以()01f x x '>⇒<-，()01f x x '<⇒>-，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减； （ⅱ）当0a >时，令e 20x a -=，得2ln x a=， ①02e a <<时，2ln 1a>-，所以()01f x x '>⇒<-或2ln x a >，()012ln af x x <⇒-<<'，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②2e a =时，()1()2(1)e 10x f x x +=+'-≥，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；③2e a >时，2ln 1a<-，所以2ln ()0x a f x >⇒<'或1x >-，2ln ()01f x ax <⇒<<-'，则()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增．综上，0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；02e a <<时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；2e a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；2e a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． (3) 方法一：2()ln 2(0)f x x x x x ≥--->等价于e ln 10(0)x ax x x x --+≥>当21ea ≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 令221()e ln 1,()(1)e x x g x x x x g x x x --⎛⎫=--+=+- ⎝'⎪⎭ 令21()ex h x x-=-，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增 ∵11(1)10,(2)02h h e=-<=>， ∴存在0(1,2)x ∈，使得()00h x =，即020001e,2ln x x x x -=-=- 当()00,x x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()00,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞上单调递增∴()02min 000000001()e ln 1210x g x g x x x x x x x x -==--+=⋅+--+= ∴()0g x ≥，故2()ln 2f x x x x ≥--- 方法二： 当21a e≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 2ln 2()e ln 1e (ln 2)1x x x g x x x x x x -+-=--+=-+--令ln 2t x x =+-，则t R ∈， 令()e 1t k t t =--，则()e 1t k t =-'当0t <时，()0k t '<；当0t >时，()0k t '>∴()k t 在区间(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增． ∴()(0)0k t k ≥=，即()0g x ≥ ∴2()ln 2f x x x x ≥---， 【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 2．(1)22e 3e 0x y --=； (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，计算1e f ⎛⎫⎪⎝⎭'和1ef ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点斜式代入写出切线方程；（2）设120x x >>，由题意得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，将证明212e x x >转化为证明()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导判断单调性即可证明. (1)由题意，()21ln x f x x -'=，则212e e f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =在点11,e e f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()21e 2e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即22e 3e 0x y --=. (2)设120x x >>，由题意，()()120g x g x ==， 所以1122ln 0,ln 0x kx x kx -=-=，可得()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-，要证明212e x x >，只需证12ln ln 2x x +>，即()122k x x +>，因为1212ln ln x x k x x -=-，所以可转化为证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+， 即()1212122lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()211ln1011h t ⨯->-=+， 即()21ln 1t t t ->+得证，所以212e x x >.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 3．(1)32()24f x x x x =+- (2)最大值为8，最小值为4027-． 【解析】 【分析】（1）由题意可得(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩从而可求出,a b ，即可求出()f x 的解析式，（2）令()0f x '=，求出x 的值，列表可得(),()f x f x '的值随x 的变化情况，从而可求出函数的最值 (1)由题意可得，2()32f x x ax b '=++．由(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ 经检验得2x =-时，()y f x =有极大值． 所以32()24f x x x x =+-． (2)由（1）知，2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，得12x =-，223x =，()'f x ，()f x 的值随x 的变化情况如下表：由表可知()f x 在[3,2]-上的最大值为8，最小值为27-． 4．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x-+-'=--=，且()10f =， 由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-． 设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦，令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x xx x --'=-=--，当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>，所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <， 故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可； （3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--， 根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫>⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭， 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立， 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln xh x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-； 再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-， 当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．6．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值；(2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142nn n -+<⇒<<．①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<．7．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1xxxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e x g x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a ⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+. 8．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解. 9．(1)3,0a b c =-==； (2)（0，2）． 【解析】 【分析】（1）由题得到三个方程，解方程即得解； （2）解不等式()'f x ＜0即得函数的单调递减区间． (1)解：由题意知(0)0f = ，∴c ＝0 .∴()f x ＝x 3+ax 2+bx ， 所以()'f x ＝3x 2+2ax +b 由题得(0)f '＝b ＝0，∴()'f x ＝3x 2+2ax ＝0，故极小值点为x 23a =-， ∴f （23a -）＝﹣4，∴323a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a 223a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4，解得a ＝﹣3.故3,0a b c =-==. (2)解：令()'f x ＜0 即3x 2﹣6x ＜0，解得0＜x ＜2， ∴函数的递减区间为（0，2）．10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增(2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。
直线的斜率为。
由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。
故A正确。
【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。
2.已知函数在处有极大值，则=（）A．6B．C．2或6D．-2或6【答案】A【解析】根据题意，由于函数在处有极大值，则可知f’(2)=0,12-8c+=0，c=4.则可知=6，当c=2不符合题意，故答案为A.【考点】函数的极值点评：主要是考查了函数极值的运用，属于基础题。
3.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意，由于，故可知当0<x<1，递增，在1<x<2时函数递减，故可知函数在区间上最大值与最小值分别是，-2，故可知和为，故答案为。
【考点】函数的最值点评：主要是考查了导数在研究函数最值中的运用，属于基础题。
4.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是（）A．（-∞，2）B．（0,3）C．（1,4）D．（2，+∞）【答案】D【解析】，由得：，故函数的单调递增区间为（2，+∞）。
故选Ｄ。
【考点】函数的单调性点评：求函数的单调区间，常结合导数来求，过程要用到的结论是：若，则函数的增区间为；若，则函数的减区间为5.下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是．其中真命题为____．(填序号)【答案】③⑤【解析】①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，故不正确；③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）（x-2013），则g'（x）中含（x-2013）的将2013代入都为0，则g′（2013）=2012!故正确；④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确；⑤∵，∴，令得，解得x∈，故正确.综上，真命题为③⑤【考点】本题考查了导数的运用及三角函数的单调性点评：此类问题主要考查复合函数的导数，以及函数的极值、求值等有关知识，属于综合题6.若,则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，=，选A。
高二数学导数大题练习详细答案
高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知函数()ln f x x x x =-，()2ln 1g x a x x =-+. (1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)证明：1111232022e 2023+++⋅⋅⋅+>，e 是自然对数的底数. 2．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．3．已知函数()2ln 1f x x x mx nx =+++在点()()1,1f 处的切线方程是10x y +-=.(1)记()f x 的导函数为()g x ，求()g x 的最大值； (2)如果()12,0,x x ∈+∞，且121x x ⋅>，求证()()120f x f x +<. 4．已知函数()()()1111ln k knk x f x x k-=-⋅-=-∑．(1)分别求n=1和n=2的函数()f x 的单调性； (2)求函数()f x 的零点个数．5．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数．6．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 7．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．8．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 9．已知函数()ln f x x =(1)过原点作()f x 的切线l ，求l 的方程； (2)令()()f x g x x=，求()g x a ≥在4e,e ⎡⎤⎣⎦恒成立，求a 的取值范围 10．设函数y =x 3+ax 2+bx +c 的图像如图所示，且与y =0在原点相切，若函数的极小值为-4.(1)求a ，b ，c 的值. (2)求函数的递减区间.【参考答案】一、解答题 1．(1)1- (2)2(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导求单调性即可求解；（2）()()220a x g x x x-'=>，分类讨论单调性得到()ln 1222max g x a a a =-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤， 又由（1）可得到ln 10222a a a -+≥，所以ln 10222a a a -+=，即可求解；（3）由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得到22ln 1x x ≤-，所以ln 1t t ≤-，所以e 1xx ≥+，即11e >nn n+，代入证明即可. (1)()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0,f x '> 故()f x 在()01,上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 所以()()11min f x f ==-. (2)()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减， 此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾.当0a >时，x ∈时，()0g x '>，)x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()1ln 12222max a a a ag g x a ==+=-+， 要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立，则()0max g x ≤，即ln 10222a a a -+≤又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-，即ln 1x x x -≥-，（当且仅当1x =时，等号成立）.令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 10222a a a -+=且12a = 所以2a =. (3)证明：由（2）知()22ln 1g x x x =≤-得22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），令)0x t =>，则ln 1t t ≤-（当且仅当1t =时等号成立），令e x t =，所以ln e e 1x x ≤-，即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立），令()*10x n N n =>∈，则111e >1n n n n++=从而有11111320212022223420222023e e eee>12320212022⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 所以111112320212022e 2023.+++⋯++> 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x-+-'=--=，且()10f =， 由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数，因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-．设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦，令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x x x x --'=-=--， 当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>， 所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11e x <<时，()0p x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．(1)ln2-； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合（1）中的结论进行证明即可. (1)由题意：()ln 21f x x mx n =+++'，则()1211f m n =++=-'， 又()10f =，得10++=m n ，解得：1,0m n =-=；()2ln 1f x x x x ∴=-+()()()112ln 21,2x g x f x x x g x x x-∴==-+==''- 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()11ln ln222g x g ⎛⎫≤==- ⎪⎝⎭所以函数()g x 的最大值为ln2-； (2)由（1）可知，()()ln20f x g x =≤-<'， 所以()f x 在()0,∞+上单调递减；121x x <<与121x x >，可得：()1122111x f f x x x ⎛⎫<⇒> ⎪⎭<⎝，故()()()22122222222222222211111ln ln 2ln f x f x f x f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+=---+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需要证明：22222211ln 0x x x x x ⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化为2221ln 0x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，2222ln 10x x x -+<，即()20f x <因为()f x 在区间()0,∞+上单调递减，而21>x ，则()()210f x f <=，得证不等式成立. 【点睛】关键点睛：利用分析法证明22222211ln 0x x x x x ⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是解题的关键.4．(1)当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当2n =时，()f x 在()0,∞+上单调递增； (2)1个. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间得解；（2）求出()()1nx f x x-'=，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.(1)解：由已知，得()()()()()()2311111ln 123n nx x x f x x x n-⎡⎤----=---+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ①当1n =时，()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-．由()110f x x '=->，得01x <<；由()110'=-<f x x，得1x >．因此，当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．②当2n =时，()()()21ln 12x f x x x ⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()()()21111x f x x x x -'=-+-=．因为()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增． (2)解：由()()()()()()2311111ln 123n nx x x f x x x n-⎡⎤----=---+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 得()()()()()()()()211111111111111nnn n x x f x x x x x x x x-----⎡⎤'=---+-++--=-=⎣⎦--． 当n 为偶数时，()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =． 当n 为奇数时，由()()10nx f x x-'=>，得01x <<；由()()10nx f x x-'=<，得1x >．因此，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减． 因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =．综上，函数()f x 有唯一零点1x =，即函数()f x 的零点个数为1． 5．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x++-=，令()()221ln 24x F x x x +=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20xx x x x -++-=由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x x x x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x+---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.6．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点 （ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-， 当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意. 综上，a 的取值范围是0,1.【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.7．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x x x x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果.(1) 因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x ------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x x x x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅.8．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值(2)3【解析】【分析】（1）由导数分析单调性后求解（2）参变分离后，转化为最值问题求解(1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞，由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减， 当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-， 函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值(2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x x m x +<-， 设ln ()1x x x g x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <， 又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x =->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -=当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x x g x x +=-在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x x g x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <，∴ m 的最大值为3.9．(1)1ey x =；(2)4e 4a ≤. 【解析】【分析】（1）设切线的方程为y kx =，设切点为(,ln )t t ,求出e t =即得解；（2）利用导数求出函数()g x 在4⎤⎦上的单调区间即得解. (1)解：设切线的方程为y kx =，设切点为(,ln )t t ,因为()1f x x '=，则()1k f t t'== 所以切线方程为()1ln y t x t t -=-即1ln 1y x t t =+-由题得ln 10t -=则e t =∴切线l 的方程为1e y x =．(2)解：()21ln x g x x -'=，e x <<时，()0g x '>；4e e x <<时，()0g x '<，所以函数()g x 在单调递增，在4(e,e )单调递减，∵g =，()44e e 4g =， 因为44e <=所以最小值()44e e 4g =． 4e 4a ∴≤. 10．(1)3,0a b c =-==；(2)（0，2）．【解析】【分析】（1）由题得到三个方程，解方程即得解；（2）解不等式()'f x ＜0即得函数的单调递减区间．(1)解：由题意知(0)0f = ，∴c ＝0 .∴()f x ＝x 3+ax 2+bx ， 所以()'f x ＝3x 2+2ax +b由题得(0)f '＝b ＝0，∴()'f x ＝3x 2+2ax ＝0，故极小值点为x 23a =-，∴f （23a -）＝﹣4，∴323a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a 223a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4，解得a ＝﹣3. 故3,0a b c =-==.(2)解：令()'f x ＜0 即3x 2﹣6x ＜0，解得0＜x ＜2， ∴函数的递减区间为（0，2）．。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
高二导数练习题及答案文库
高二导数练习题及答案文库导数是高中数学中的重要知识点之一，掌握导数的概念和运算方法对学生的数学学习至关重要。
为了帮助高二学生更好地巩固导数知识，提高解题能力，本文整理了一些高二导数练习题及其详细答案，供学生参考和练习。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)。
解：根据导数的定义，可得：f'(x) = lim(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)] / Δx代入函数f(x)的表达式，展开并化简：f'(x) = lim(Δx→0)[(3(x + Δx)² - 2(x + Δx) + 1) - (3x² - 2x + 1)] / Δx= lim(Δx→0)[3x² + 6xΔx + 3(Δx)² - 2x - 2Δx + 1 - 3x² + 2x - 1] /Δx= lim(Δx→0)(6xΔx + 3(Δx)² - 2Δx) / Δx= lim(Δx→0)(6x + 3Δx - 2) = 6x - 2所以，函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)为6x - 2。
2. 已知函数g(x) = 4x³ + 2x² - x的导数g'(x)，求g'(1)的值。
解：根据导数的定义，g'(x) = lim(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)] / Δx代入函数g(x)的表达式，展开并化简：g(x + Δx) = 4(x + Δx)³ + 2(x + Δx)² - (x + Δx)= 4x³ + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - x - Δx= 4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx代入导数的定义：g'(x) = lim(Δx→0)[(4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) - (4x³ + 2x² - x)] / Δx= lim(Δx→0)(12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) / Δx= lim(Δx→0)(12x² + 12xΔx + 4(Δx)² + 4x + 2Δx - 1)= 12x² + 4x - 1将x = 1代入上述导数表达式，可得：g'(1) = 12(1)² + 4(1) - 1 = 15所以，g'(1)的值为15。
(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案
(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知()()e 1x f x mx m =+<-.(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围.2．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 3．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.4．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．5．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()1ln xf x x+=. (1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 8．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 9．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)10x y +-=；(2)ln 3⎡-⎣.【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，将问题转化为当0x ≥时，()min 0g x ≥恒成立；①当10m +≥时，由导数可证得()g x 单调递增，由()00g ≥可求得m 范围； ②当10+<m 时，利用零点存在定理可说明存在()00g x '=，并得到()g x 单调性，知()()020min 13e e 022x xg x g x ==-++≥，由此可解得0x 的范围，根据00e x x m -=可求得m 范围. (1)当2m =-时，()e 2x f x x =-，()e 2xf x '=-；令()e 21xf x '=-=-，解得：0x =，∴切点坐标为()0,1，∴所求切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=；(2)令()()22221313e 222222x m m g x f x x mx x ⎛⎫=-+-=+--+ ⎪⎝⎭，则原问题转化为：当0x ≥时，()0g x ≥恒成立，即()min 0g x ≥恒成立；()e x g x m x '=+-，()e 1x g x ''=-，则当0x ≥时，()0g x ''≥，()g x '∴在[)0,∞+上单调递增，()()01g x g m ''∴≥=+； ①当10m +≥，即1m ≥-时，()0g x '≥，()g x ∴在[)0,∞+上单调递增，()()2min301022m g x g ∴==-+≥，解得：m ≤≤m ⎡∴∈-⎣； ②当10+<m ，即1m <-时，()00g '<，当x →+∞时，()g x '→+∞；()00,x ∴∃∈+∞，使得()00g x '=，即00e x x m -=，则当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()()()00022022000000min e1313e e e 222222x x x x xm g x g x mx x x x x -∴==+--+=+---+00213e e 022x x =-++≥， 解得：01e 3x -≤≤，即0ln 3x ≤，又()00,x ∈+∞，(]00,ln3x ∴∈，令()e xh x x =-，则()1e xh x '=-，∴当(]0,ln3x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在(]0,ln3上单调递减，()[)000e ln33,1x h x x ∴=-∈--，即[)ln33,1m ∈--；综上所述：实数m 的取值范围为ln 3⎡-⎣.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为()min 0g x ≥，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围. 2．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立， 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==-⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =.即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞. 3．(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，()2ln f x x =，分别求出()1f 和()1f '求解即可；（2）条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可； （3）令()()ln 0xm x x a x x=-->，求出()m x 的单调性，得到()()11max m x m a ==--， 根据题意求解a 的范围即可；不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，题设即证明()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭， 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=， 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =- (2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立， 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立， 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=， 令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增， 在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0xx a x--=， 令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=， 设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-； 再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-， 当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x xy x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷， 所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==， 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．4．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<．5．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去， 列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =，所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫=⎪⎝⎭. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：()f x 0x (2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x ++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x ++=，则()2eln x x g x x -'=， 令()eln h x x x =-，则()ee 1x h x x x-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=， ()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.8．(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值； （2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=， 所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<， 所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．9．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--， 因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-， 故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==， 则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增， 故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤， 综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
高二导数练习题及答案
高二导数练习题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数。
解答：由导数的基本定义，对于多项式函数f(x) = ax^n，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。
根据该定义，对于函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1，求导得到f'(x) = 6x - 4。
因此，函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数为f'(x) = 6x - 4。
2. 计算函数g(x) = (3x - 5)^4的导数。
解答：应用链式法则，对于复合函数f(g(x))，其导数为f'(g(x)) * g'(x)。
对于函数g(x) = (3x - 5)^4，可以看作f(u) = u^4的复合函数，其中u = 3x - 5。
首先计算f'(u) = 4u^3，然后计算g'(x) = 3。
根据链式法则，得到g'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 4(3x - 5)^3 * 3。
因此，函数g(x) = (3x - 5)^4的导数为g'(x) = 12(3x - 5)^3。
3. 求函数h(x) = e^x * ln(x)的导数。
解答：根据指数函数和对数函数的导数性质，对于函数f(x) = e^x和g(x) = ln(x)，其导数分别为f'(x) = e^x和g'(x) = 1/x。
应用乘法法则，对于函数h(x) = e^x * ln(x)，其导数为h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
代入导数表达式，得到h'(x) = e^x * ln(x) + 1/x * e^x。
因此，函数h(x) = e^x * ln(x)的导数为h'(x) = e^x * ln(x) + e^x/x。
4. 求函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)的导数。
高二数学导数计算试题答案及解析
高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则＝____________。
【解析】，所以【考点】导数公式的应用2.函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①②【解析】对于①f（x）=2x+3，满足，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，，，故满足，为恒均变函数；对于；③f(x)＝，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于④f（x）=e x，，显然不满足，故不是恒均变函数；对于⑤f（x）=lnx，，显然不满足，故不是恒均变函数．故应填入：①②．【考点】１．函数的导数运算；２．判断命题的真假．3.下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3x log3e；②(log2x)′＝；③(e x)′＝e x；④()′＝x；⑤(x·e x)′＝e x＋1.A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】,所以正确的有②③.【考点】函数导数的运算.4.定义在区间上的连续函数的导函数为，如果使得，则称为区间上的“中值点”.下列函数：①；②；③；④在区间上“中值点”多于一个的函数序号为 .【答案】①④【解析】根据“中值点”的定义，设为区间上的中值点，则，①中，因为，此时区间的任一实数都为“中值点”；对于②，即；对于③即；对于④即；综上可知，选①④.【考点】1.新定义；2.导数的计算.5.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。
故A正确。
【考点】导数的计算。
6.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，则，故由题【考点】导数及其运算7.已知函数的导函数为，则．【答案】2【解析】因为，所以．【考点】导数的运算法则．8.已知函数的导数处取到极大值，则的取值范围是．【答案】（－1，0）【解析】∵且在处取到极大值，则必有时，，且时，．当时，不成立；当时，有时，，时，，符合题意；当时，有时，，时，，在处取到极小值．综合可得．【考点】利用导数研究函数的极值．9.某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下，如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米56元，筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计.（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）【答案】（1），最低为13120元，（2）网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低【解析】（1）建造网箱的总造价为网箱四周网衣建造总造价与筛网建造总造价之和. 网箱的长x，则网箱的宽为，所以.当时，，当且仅当时取等号，此时（2）因为网箱的长不超过15米，宽不超过12米，所以（1）中等号不成立.需从单调性上考虑最值. 因为，所以在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.⑴网箱的宽为，4分当时，，当且仅当时取此时网箱的长为16m时，总造价最低为13120元 8分⑵由题意 10分此时，在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低 16分【考点】函数应用题，利用不等式及导数求函数最值10.设直线与函数，的图象分别交于M、N两点，则当MN达到最小时t的值为【答案】【解析】由题意得：，设则由得：，当，当，所以当MN达到最小时t的值为.【考点】利用导数求最值11.已知函数图象与直线相切，切点横坐标为.（1）求函数的表达式和直线的方程；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）单调减区间为，单调增区间为;(3) .【解析】（1）求函数导数，利用导数的几何意义求直线方程斜率，再利用点斜式求出方程．（2）利用导数和分别求函数的单调增减区间．（3）将不等式转化为恒成立，然后利用导数求函数的最值.解：（1）因为，所以，所以所以 2分，所以，所以切点为（1，1），所以所以直线的方程为 4分（2）因为的定义域为所以由得 6分由得 7分故函数的单调减区间为，单调增区间为 8分（3）令，则得所以在上是减函数，在上是增函数 10分，所以 11分所以当在的定义域内恒成立时，实数的取值范围是 12分.【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究曲线上某点切线方程.12.已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2B．4C．6D．【答案】B【解析】y′|x=1=4x|x=1=4，故答案为B.【考点】导数的运算.13.下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A．（x+）′=1-，∴A错误．B．（x2cosx）′=-2xsinx-x2sinx，∴B错误．C．（3x）′=3x ln3，∴C错误．D．（log2x）′=，正确．故选：D．.【考点】导数的运算．.14.函数的导数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.【考点】积的导数15.函数的导数A．B．C．D．【答案】A【解析】根据导函数运算公式可知A正确.【考点】导函数的计算公式.16.已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由导数的计算公式，可知，故选B.【考点】导数的计算.17.设函数，(是互不相等的常数)，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于函数，则可知，，同理可知，，那么可知为零，故可知答案为A.【考点】导数的计算点评：主要是考查了导数的基本运算，属于基础题。
高中数学导数练习题附答案
高中数学导数练习题附答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 4．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 5．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 6．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，(2) 2.f '= (1)求a 的值;(2)求函数()f x 的极小值.7．已知函数()()2231ln 2f x x a a x a a x =-+-+. (1)若1a =，求()f x 在[]1,2上的值域； (2)若20a a -≠，讨论()f x 的单调性. 8．已知函数()1ln xf x x +=.(1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 9．已知函数e ()(1)1xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值．10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>， 由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤， 因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>.所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x -+-'=--=，且()10f =，由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-．设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦， 令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x x x x --'=-=--， 当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>， 所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立， 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<； 当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 所以a 的取值范围为[)1,+∞. 4．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0(2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.5．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 6．(1)1- (2)极小值32【解析】 【分析】（1）求导函数，结合(2)2f '=解方程即可；（2）令()0f x '=进而分析单调性，即可求出极值． (1)由题意可得()1a f x x a x '-=-+，故()12222a f a -'=-+=， 1.a ∴=- (2)由（1）得21()2ln 2f x x x x =+-，所以()()210f x x x x'=+->，令()210f x x x'=+-=，解得1x =，因为 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()y f x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值()312f =．7．(1)5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)代入a ＝1，求f (x )导数，根据导数判断f (x )在[1，2]上的单调性即可求其值域；(2)根据a 的范围，分类讨论f (x )导数的正负即可求f (x )的单调性. (1)a ＝1，则()2121ln ,02f x x x x x =--+>，()22121(1)20x x x f x x x x x-+-=-+='=，∴()f x 在()0,∞+单调递增，∴f (x )在[]1,2单调递增，∴()()()51,2,3ln 22f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=--+⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 即f (x )在[1，2]上值域为5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)()()()()()223232,0x a a x ax a x a a f x x a a x x x x'-++--=-++==>，()10f x x a '=⇒=，22x a =， 200a a a -≠⇒≠且1a ≠，①当1a >时，21a a >>，0x a <<或2x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②当01a <<时，201a a <<<，20x a <<或x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；③当0a <时，20a a >>，20x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，2x a >，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a <时，f (x )在()20,a 单调递减，在()2,a +∞单调递增；当01a <<时，f (x )在()20,a ，(),a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减；当1a >时，f (x )在()0,a ，()2,a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减.8．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；(2)当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x++=，则()2eln x xg x x -'=， 令()eln h x x x =-，则()ee1x h x xx-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.9．(1)25y x =+(2)0b =【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-，对b 进行分类讨论，结合()'g x 研究()g x 的最小值，由此求得b 的值.(1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为()520y x -=-， 即25y x =+．(2)当1a =时，令函数()()()2e 11x g x f x b x =-=+--， 则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立．又()e 1,x g x b '=+-．当1b ≥时，()e 10,x g x b '=+->，g (x )在R 上单调递增，显然不合题意； 当1b <时，令()e 10,x g x b '=+-<，得ln(1)x b <-．令()e 10x g x b '=+->，得()ln 1x b >-，所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减，在(ln(1),)b -+∞上单调递增， 所以当ln(1)x b =-时，函数g (x )取得最小值．又因为()00g =，所以0x =为g (x )的最小值点．所以ln(1)0b -=，解得0b =．10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x xb x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10bh x x'=+≥恒成立. 所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案
(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知曲线()1f x x=(1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程． (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程．2．对于正实数a ，b （a b >），我们熟知基本不等式：()()G a b A a b <,,，其中()G a b ,a ，b 的几何平均数，()2a bA a b +=,为a ，b 的算术平均数.现定义a ，b 的对数平均数：(),ln ln a bL a b a b-=-.(1)设1x >，求证：12ln x x x<-，并证明()()G a b L a b <,,；(2)若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ，b （a b >）恒成立，求正实数m 的取值范围.3．已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 4．已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈，()f x '为()f x 的导数．(1)设函数()()eax f x g x '=，求()g x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点，1212,()x x x x <，求实数a 的取值范围5．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数． 6．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()ag x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1[,3]2上的最值. 7．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.8．设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'f x 在(2,3)上存在零点，求a 的取值范围； (2)若34ea ≥，证明：()0f x <. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)20x y +-= (2)440x y +-= 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()21f x x'=-，得到曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）设切线坐标为00(,)A x y ，得出切线的方程为020011()y x x x x -=--，根据点(1,0)Q 在切线上，列出方程求得0x 的值，代入即可求解.(1)由题意，函数()1f x x=，可得()21f x x '=-， 所以()11f '=-，即曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率为1k =-， 所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. (2)解：设切点坐标为00(,)A x y ，则切线的斜率为201k x =-， 所以切线的方程为020011()y x x x x -=--， 因为点(1,0)Q 在切线上，可得020011(1)x x x -=--，解得012x =，所以所求切线的方程为124()2y x -=--，即440x y +-=. 2．(1)证明见解析 (2)02m <≤ 【解析】 【分析】（1）令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用导数证明当1x >时，()0f x <，即可得到12ln x x x<-. 用分析法证明()()G a b L a b <,,.（2）把题意转化为1112ln a a b m a b b -⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，即为1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立.令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，分2m >和02m <≤两种情况求出正实数m 的取值范围. (1)令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，定义域为()0,+∞.则()()222221111212222x x x f x x x x x---'=--==-.所以当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减. 又()10f =，所以当1x >时，()0f x <.所以当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-.（*）要证()()G a b L a b <,,ln ln a ba b--，只需证ln a b <令)1t t =>，则由（*），得12ln t t t <-.所以()()G a b L a b <,,.(2)由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立，得ln ln 2a b a b m a b -+⋅-恒成立，即1112ln aa b m a b b-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，由()221112ln 2t m t t t -⋅<++恒成立，得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立. 所以1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立. 令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，则 ()()()()()()222222121121111mt t t m t g t m t t t t t t-+-+--'=⋅-==++⋅+⋅. （注：()10g =） i.当0∆>，即2m >时，易知方程()22110t m t -+--=有一根1t 大于1，一根2t 小于1，所以()g t 在()11,t 上单调递增.所以()()110g t g >=，不符合题意. ii.当02m <≤时，有()()()222214110mt t t t t -+≤-+=--<， 所以()0g t '<，从而()g t 在()1,+∞上单调递减. 故当1t >时，恒有()()10g t g <=，符合题意. 综上可知，正实数m 的取值范围为02m <≤. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.3．(1)1a > (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，分1a ≤和1a >进行讨论，1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可；（2）先构造函数()ln 1g x a x x =-+，求导证明函数先增后减，故只要说明两个端点大于0即可，化简得到()()0001()1212g x x x a =--+，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+=='，①若1a ≤，则()0f x '>在(1,)+∞恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递增， 当1x >时，()(1)0f x f >=，与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾．②若1a >，令()0f x '>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<． 所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 单调递减．所以()(1)0f a f <=，当x →+∞时，()f x →+∞，由零点存在性定理，()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x ． 综上，1a >． (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a xg x a x x g x x x，由（1）知01<<a x ，令()0g x '>，解得1x a <<，令()0g x '<，解得0a x x <<，故()g x 在(1,)a 单调递增，在()0,a x 单调递减．(1)0g =，()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点，故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ，即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ，所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a ．又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a ， 令()ln(21)22=--+h a a a a ，则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ，令1()ln(21)121m a a a =-+--， 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立， 所以()h a '在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h ''>=，所以()h a 在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h >=，即(21)0f a ->，由（1）可知()0f a <，所以021<<-a x a ，因为0010,210-<-+<x x a ，所以()()()000112102=--+>g x x x a ， 所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立，故对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后，如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >，即可得证. 4．(1)当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a +∞ (2)2(e ,).+∞ 【解析】 【分析】（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且()1()ln e ax f x g x a x a x'==++，则21()ax g x x -'=，再对a 进行分类讨论即可得到答案． （2）因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点．由（1）知0a <时不合题意；当0a >时，min 1()()(21)g x g a na a==-，接下来对a 进行讨论即可得到答案． (1)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，e()e (ln 1)ax axf x a x x'=++,则()1()ln e ax f x g x a x a x'==++，则21().ax g x x -'=①当0a <时，()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立，()g x 单调递减；②当0a >时，令()0g x '=得，1x a =，所以，当1(0,)x a∈时，()0g x '<，()g x 递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增；综上，当0a <时，()g x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 当0a >时，()g x 的减区间为1(0,)a ，增区间为1(,).a+∞ (2)因为()f x 有两个极值点，所以()g x 有两个零点， 由（1）知0a <时不合；当0a >时，min 1()()(21).g x g a na a==-当20e a <<时，1()()0g x g a>>，()g x 没有零点，不合题意；当2e a =时，1()0g a =，()g x 有一个零点1a ，不合题意；当2e a >时，1()0g a<，21()(12ln )g a a a a=+-，设()12ln a a a ϕ=+-，2e a >，则2()10a aϕ'=->，所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->，即21()0g a >， 所以存在1211(,)x a a∈，使得1()0g x =； 又因为1()e 0eg =>，所以存在211(,)ex a ∈，使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表：e a >()f x 综上，a 的取值范围是2(e ,).+∞5．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x ++-=，令()()221ln 24x F x x x+=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x x x x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点.所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.6．(1)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞(2)min ()2g x =，max 10()3g x =【解析】 【分析】（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求出()f x 的单调区间； （2）由有相同的极值点求出a 的值，再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. (1)()f x 的定义域：()0,∞+()()22122x f x x x x--'=-+=，由()0f x '>得01x <<，由()0f x '<得1x >， ∴()f x 的单增区间为()0,1，单减区间为()1,+∞. (2)()21ag x x ='-，由（1）知()f x 的极值点为1. ∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点， ∴()10g '=，即10a -=，∴1a =，从而()1g x x x =+，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上递增,又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =,∴在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()min 12g x g ==，()max 103g x =.7．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减， 所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1. 8．(1)32322e e a <<； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的导数，由()0f x '=分离参数并构造函数，求解其值域作答. （2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答. (1)依题意，21(1)e ()x x f x ax x -'=-，由()0f x '=得：21(1)e 1(1)e x xx x ax x a x --=⇔=，令1())(e x x x x ϕ-=，23x <<，则22()(1)e 0xx x x xϕ+'-=>，即()ϕx 在(2,3)上单调递增，当23x <<时，(2)()(3)x ϕϕϕ<<，即23e 2e()23x ϕ<<，由()'f x 在(2,3)上存在零点，则方程1(1)e x x a x-=在(2,3)上有根，因此有23e 12e 23a <<，解得32322e e a <<，所以a 的取值范围是：32322e e a <<. (2) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x<⇔-<⇔->， 令2e ()x a g x x =，0x >，求导得：3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min 3e 4e 1()(2)4e 4ea g x g ==≥⋅=， 令ln ()x h x x =，0x >，求导得：21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)eh x h ==， 因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0x ∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x ->成立， 所以()0f x <.【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-(2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案.(1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-， 令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；(2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-， ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-， 所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围.(1)()()()()221422(0)e e x x mx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-<当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数，即()()max min 242()2,()1e e m m f x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立 ()224e 24e e m -+∴≥ 即24e m ≤-， 又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。
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高二数学导数专题训练一、选择题1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3yx x 的递增区间是（ ）A )1,(-∞B )1,1(-C ),(+∞-∞D ),1(+∞5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0B.f(x)〈 0C.f(x) = 0D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件7．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0二、填空题11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 三、解答题：15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。
18．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．19．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；20.已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.参考答案一、选择题 AABCB ACCDB 二、填空题11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，13）∪（1，+∞））12．(,0)-∞ 13．34π14．122n +- ()()/11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n na n =+，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==-- 三、解答题：15．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'236y x x =+切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到3235y x x =+-得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=16．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去）(1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值17．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或单调递增区间为()1010-+∞ 18．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点；42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）19．解：（I ）当1k =时，2()1xf x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k '∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分）20．解(1)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（2）由（1）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： 故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减， 在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 43m -<又0m < 所以403m -<<即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。