哈工大现代控制理论复习题
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哈工大现代控制理论复
习题
集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
《现代控制理论》复习题1
一、(10分,每小题2分)试判断以下结论的正确性,若结论是正确的,则在其左边的括号里打
√,反之打×。
( √ )1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
( × )2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的,则其离散化状态空间模型也一定 是能控的。
( × )3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的。
( √ )4. 对系统Ax x
= ,其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。
二、(15分)考虑由下式确定的系统: 2
33)(2+++=s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型,并画出能控标准型的状态变量图。
解: 能控标准形为
能观测标准形为
对角标准形为
三、(10分)在线性控制系统的分析和设计中,系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统 求其状态转移矩阵。
解:解法1。
容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ,它们是不相同的,故系统的矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是
取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-1112121ννT , 则 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-21111T 因此, ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--==-20011TAT D 从而,
解法2。拉普拉斯方法
由于
故 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t t t t t t
t At e e e e e e e e A sI L e t 2222112222])[()( 解法3。凯莱-哈密尔顿方法
将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At )()(10+=
系统矩阵的特征值是-1和-2,故 )(2)()
()(10210t a t a e t a t a e t t -=-=-- 解以上线性方程组,可得 t t t
t e e t a e e t a 2120)(2)(-----=-= 因此, ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+---=+==Φ--------t t t t t t t
t At e e e e e e e e A t a I t a e t 2222102222)()()(
四、(15分)已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的,请画出观测器设计
的框图,并据此给出观测器方程,观测器设计方法。
解 观测器设计的框图:
观测器方程:
其中:x ~是观测器的维状态,L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。
观测器设计方法:
由于 )](det[])(det[)](det[T T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ
因此,可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ,使得T T T L C A -具有给定的观测器极点。具体的方法有:直接法、变换法。
五、(15分)对于一个连续时间线性定常系统,试叙述Lyapunov 稳定性定理,并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。
解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理:
线性时不变系统Ax x
= 在平衡点0=e x 处渐近稳定的充分必要条件是:对任意给定的对称正定矩阵Q ,李雅普诺夫矩阵方程Q PA P A T -=+有惟一的对称正定解P 。
在具体问题分析中,可以选取Q = I 。
考虑二阶线性时不变系统: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211110x x x x 原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 I PA P A T -=+
其中的未知对称矩阵 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=22121211
p p p p P 将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中,可得
进一步可得联立方程组
从上式解出11p 、12p 和22p ,从而可得矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/12/32212
1211
p p p p P 根据塞尔维斯特方法,可得 04
5det 02321>==∆>=∆P 故矩阵P 是正定的。因此,系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
六、(10分)已知被控系统的传递函数是
试设计一个状态反馈控制律,使得闭环系统的极点为-1 ± j 。
解 系统的状态空间模型是
将控制器 []x k k u 10-= 代入到所考虑系统的状态方程中,得到闭环系统状态方程
该闭环系统的特征方程是 )2()3()det(012k k A I c ++++=-λλλ
期望的闭环特征方程是 22)1)(1(2++=++-+λλλλj j
通过 22)2()3(2012++=++++λλλλk k
可得 222
301=+=+k k 从上式可解出 0101+-=k k
因此,要设计的极点配置状态反馈控制器是 []⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=2110x x u 《现代控制理论》复习题2
一、(10分,每小题2分)试判断以下结论的正确性,若结论是正确的,则在其左边的括号里打√,反之打×。
( × )1. 对一个系统,只能选取一组状态变量;
( √ )2. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵,进而决定系统的动态特性; ( × )3. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的;
( × )4. 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的,则该系统在任意平衡状态处都是稳定的; ( √ )5. 状态反馈不改变系统的能控性。
二、(20分)已知系统的传递函数为
(1) 采用串联分解方式,给出其状态空间模型,并画出对应的状态变量图;
(2) 采用并联分解方式,给出其状态空间模型,并画出对应的状态变量图。
答:(1)将G (s )写成以下形式: 这相当于两个环节31+s 和5
52++s s 串连,它们的状态空间模型分别为: ⎩⎨⎧=+-=11113x y u x x 和⎩⎨⎧+-=+-=1
212255u x y u x x ? 由于11u y =,故可得给定传递函数的状态空间实现是:
将其写成矩阵向量的形式,可得:
对应的状态变量图为:
串连分解所得状态空间实现的状态变量图
(2)将G (s )写成以下形式: 它可以看成是两个环节35.0+-s 和5
5.2+s 的并联,每一个环节的状态空间模型分别为: 和
由此可得原传递函数的状态空间实现:
进一步写成状态向量的形式,可得:
对应的状态变量图为:
并连分解所得状态空间实现的状态变量图?
三、(20分)试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法,并以一种方法和一个数值例子为例,求解线性定常系统的状态转移矩阵;
答:求解状态转移矩阵的方法有:
方法一 直接计算法:
根据状态转移矩阵的定义
来直接计算,只适合一些特殊矩阵A 。