闭环零极点及偶极子对系统性能的影响

闭环零极点及偶极子对系统性能的影响
1.综述
闭环零极点及偶极子对系统的性能有很大的影响,其中以动态性能最为显著，本文将采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的动态性能指标，并借助工程软件matlab通过编程来绘制系统的阶跃响应曲线，研究系统的零极点及偶极子对系统动态性能的影响。

2.动态性能分析
高阶系统的闭环传递函数一般表示为：
设系统闭环极点均为单极点，
单位阶跃响应的拉氏变换式为：
对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：
闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。

从c(t)的表达式还可以看出，各暂态分量的具体值还取决于其模的大小，有些分量虽然衰减慢，但模值小，所以对超调量等影响较小，而有些分量衰减得稍快些，但模值大，所以对超调量等影响仍然很大。

因此，系统的零极点的分布对系统的影响如下：
①若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响应分量较小。

②若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。

这样的零极点即为偶极子。

③若偶极子靠近虚轴，则不可忽略该极点引起的暂态分量。

3线性高阶系统的动态性能仿真
1和Φ2的阶跃响应曲线
在matlab 中建立M 文件，输入程序如下：
%传递函数Φ1和Φ2的阶跃响应 z1=[-2];
p1=[-8,-1+i,-1-i]; num1=8*poly(z1); den1=poly(p1);
figure1 = figure('Color',[1 1 1]); step(num1,den1); hold on;
z2=[-2];
p2=[-1+i,-1-i]; num2=poly(z2); den2=poly(p2); step(num2,den2); xlabel('t'); ylabel('c(s)');
title('Φ1和Φ2阶跃响应曲线'); legend('Φ1','Φ2')
运行后得到如下图1结果。

图1传递函数Φ1和Φ2的阶跃响应
通过以上matlab仿真结果可以发现，Φ1和Φ2的阶跃响应曲线基本重合，即增加极点对系统的动态性能可以忽略，基本符合理论分析。

（2）绘制增加零点前后系统Φ3和Φ4的阶跃响应曲线
在matlab中建立M文件，输入程序如下：
%传递函数Φ3和Φ4的阶跃响应
z3=[-2,-8];
p3=[-1+i,-1-i];
num3=poly(z3);
den3=8*poly(p3);
figure1 = figure('Color',[1 1 1]);
step(num3,den3);
hold on;
z4=[-2];
p4=[-1+i,-1-i];
num4=poly(z4);
den4=poly(p4);
step(num4,den4);
xlabel('t');
ylabel('c(s)');
title('Φ3和Φ4阶跃响应曲线');
legend('Φ3','Φ4')
运行后得到如下图2结果。

图2传递函数Φ3和Φ4的阶跃响应
通过以上matlab仿真结果可以发现，Φ1和Φ2的阶跃响应曲线基本重合，即增加零点对系统的动态性能可以忽略，基本符合理论分析。

（3）绘制增加远离虚轴的偶极子前后系统Φ5和Φ6的阶跃响应曲线，以及靠近虚轴的偶极子前后系统Φ7和Φ8的阶跃响应曲线
在matlab中建立M文件，输入程序如下：
%传递函数Φ5和Φ6的阶跃响应
z5=[-2,-8.01];
p5=[-8,-1+i,-1-i];
num5=8*poly(z5);
den5=8.01*poly(p5);
figure1 = figure('Color',[1 1 1]); step(num5,den5);
hold on;
z6=[-2];
p6=[-1+i,-1-i];
num6=poly(z6);
den6=poly(p6);
step(num6,den6);
xlabel('t');
ylabel('c(s)');
title('Φ5和Φ6阶跃响应曲线'); legend('Φ5','Φ6')
%传递函数Φ7和Φ8的阶跃响应
z7=[-2,-0.021];
p7=[-0.02,-1+i,-1-i];
num7=0.02*poly(z7);
den7=0.021*poly(p7);
figure1 = figure('Color',[1 1 1]); step(num7,den7);
hold on;
z8=[-2];
p8=[-1+i,-1-i];
num8=poly(z8);
den8=poly(p8);
step(num8,den8);
xlabel('t');
ylabel('c(s)');
title('Φ7和Φ8阶跃响应曲线'); legend('Φ7','Φ8')
运行后得到如下图3和图4结果。

图3传递函数Φ5和Φ6的阶跃响应
图4传递函数Φ7和Φ8的阶跃响应
通过以上matlab仿真结果可以发现，Φ5与Φ6的阶跃响应曲线基本重合，Φ7和Φ8的阶跃曲线相差较大。

即偶极子远离虚轴时，其对系统的动态性能可以忽略；偶极子靠近虚轴时，其对系统的动态性能不能忽略。

基本符合理论分析。

4.综合分析及结论
通过以上理论分析和仿真验证可惜得到以下结论：
①若某极点远离虚轴与其它零极点，则其对系统的动态性能的影响可以忽略。

②若某零点远离虚轴与其它零极点，则其对系统的动态性能的影响可以忽略。

③若偶极子远离虚轴，则其对系统的动态性能的影响可以忽略。

④若偶极子靠近虚轴，则其对系统的动态性能的影响不能忽略。