2017-2018学年高中数学第一章统计4.1-4.2平均数、中位数、众数、极差、方差标准差教学案北师大版必修3
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_13
§1.5数据的数字特征一、教学背景分析：在初中阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征.二、教学目标：1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力.2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力.三、教学重、难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.四、设计思路1、教法构想：本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息.2、学法指导：学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合.五、教学实施（一）、 导入新课提出问题：1.高一年级1班和2班的男生在100米短跑测试后, 两个班各随机抽取10名男生, 成绩如下（单位:秒）:问哪个班男生100米短跑平均水平高一些?2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行6次测试, 测得他 们最大速度(m/s)的数据如下:试比较这两名划艇运动员谁更优秀？（学生思考交流）. 教师点出课题：数据的数字特征 （二）、推进新课 Ⅰ、新知探究提出问题：1、什么叫平均数？有什么意义？2、什么叫中位数？有什么意义？3、什么叫众数？有什么意义？4、什么叫极差？有什么意义？5、什么叫方差？有什么意义？6、什么叫标准差？有什么意义？ 讨论结果：1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据12,,,n x x x 的平均数为12nx x x x n+++=.平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平.2、一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势.3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势.4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.5、方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2s 表示，通常用公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-来计算.反映了数据的离散程度.方差越大，数据的离散程度越大.方差越小数据的离散程度越小. 6、标准差等于方差的正的平方根，即s =描述一组数据围绕平均数的波动程度的大小. Ⅱ、应用示例例1 某公司员工的月工资情况如表所示：（1）、分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数. （2）、公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元.（2）、公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的员工最多.点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用.变式训练：1、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：请参照这个表解答下列问题：（1）用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ；(2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值.解：（1）355940x y f ++=；(2)依题意，有354111{x y x y +=+=解得74{x y ==例2.在上一节中, 从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示. 如图所示:（1）甲、乙两组数据中的中位数、众数、极差分别是多少?（2）你能从左图中分别比较甲、乙两组数据平均数和方差的大小吗? 例3 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件.为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差. 解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均.值40()x x mm==乙甲我们分别计算它们直径的标准差：==0.161()s mm甲(39.90.077()=+-=s mm乙由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些.点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度. Ⅲ、知能训练1、下列说法正确的是（D ）A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样.B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好.C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好.D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好.2、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：甲的成绩：乙的成绩：丙的成绩：123s s s 、、分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差，则有（C ）A.123s s s >>B.312s s s >>C.213s s s >>D.231s s s >>3、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 -3 Ⅳ、拓展提升甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？ 解：（1）30()x cm =甲，31()x cm =乙 x x ∴<乙甲，即乙种玉米的苗长得高. （2）222222104.2(),128.8()s cm s cm ss ==∴<乙甲乙甲即甲种玉米的苗长得齐.（三）、课堂小结： 本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，让学生体会所学内容与现实世界的密切联系.（四）、作业： 课本30—31页 习题1—4 1、2. 六、设计体会（教后反思）统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习.因此在本节教学设计中所采用的数据和问题情境尽可能来源于实际，充分挖掘学生生活中与数据有关的素材，使他们体会所学内容与现实世界的密切联系.另外，在教学活动中，还要特别加强小组活动的组织与教学，并在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想.。
2017-2018版高中数学 第一章 统计 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差
4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差4．2 标准差[学习目标] 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想．知识点一众数、中位数、平均数1．众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)称为这n个数的平均数．2．三种数字特征与频率分布直方图的关系1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．假设样本数据是x1，x2，…，x n，x表示这组数据的平均数．x i到x的距离是|x i－x|(i＝1,2，…，n)，则用如下公式来计算标准差：s ＝1nx1－x2＋x2－x2＋…＋x n－x2].(2)计算标准差的步骤①求样本数据的平均数x；②求每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n )； ③求(x i －x )2(i ＝1,2，…，n )；④求s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；⑤求s ＝s 2，即为标准差． 2．方差标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．题型一 众数、中位数、平均数的简单运用 例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：(1)(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 解 (1)平均数是：x ＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)新的平均数是x ′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋ 1 788＝3288(元)，新的中位数是：1 500元，新的众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a 的左右摆动时，用简化公式：x ＝x ′＋a .跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表格里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 题型二 平均数和方差的运用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定． 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定． 题型三 数据的数字特征的综合应用例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．反思与感悟要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．跟踪训练3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．46 25.32 25.45 25.39 25.3625．34 25.42 25.45 25.38 25.4225．39 25.43 25.39 25.40 25.4425．40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25．40 25.43 25.44 25.48 25.48 25．47 25.49 25.49 25.36 25.34 25．33 25.43 25.43 25.32 25.47 25．31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位) 解 用计算器计算可得x 甲≈25.405，x 乙≈25.406； s 甲≈0.037，s 乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s 甲<s 乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．分类讨论思想例4 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．分析 由于x 未知，因此中位数不确定，需讨论．解 该组数据的平均数为14(10＋10＋x ＋8)＝14(28＋x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由14(28＋x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是12(x ＋10)，由14(28＋x )＝12(10＋x )，得x ＝8，与8＜x ≤10矛盾，舍去； (3)当x ＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x ，中位数是10，由14(28＋x )＝10，得x＝12，符合题意，此时中位数是10. 综上所述，这组数据的中位数是9或10.解后反思 当题目中含有参数，且参数的不同取值影响求解结果时，需对参数的取值分类讨论．1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数答案 C解析 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( ) A ．21 B ．22 C ．20 D ．23 答案 A解析 根据题意知，中位数22＝x ＋232，则x ＝21.3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，则x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 由题意知，10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9＝7×7，解得x ＝8.4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． 答案 (1)7 (2)2解析 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)∵s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序． 2．利用直方图求数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两边直方图的面积应相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．。
数据的统计 (标准差,众数、中位数、平均数)
频率/组距
0.08 . . . . .
0.16
0.3 0.44 0.5 0.28 0.12 0.08 0.04 2.00
[2.5 , 3)
[3 , 3.5) [3.5 , 4) [4 , 4.5) 合计
.
. . . .
频率/组距
频率分布直方图
0.50 0.40
频率分布折线图
0.30
0.20 0.10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
表2－1
3.1 2.5
100位居民的月均用水量 （单位 ：t )
2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4
3.2 3.3 3.2 3.0
2.6
2.7 2.8 2.9 2.9
2.2
2.3 2.3 2.4 2.4
2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
2.1 2.2 2.3 2.4 1.6 1.7 1.8 1.9 1.2 1.3 1.4 1.3 3.7 3.6 3.5 1.4 1.5 1.7 1.9 1.8 0.5 0.6 0.8 0.7 3.8 4.1 4.3 2.0
（二）、频率分布直方图中中位数的获得
中位数是样本数据所占频率的等分线，即在 样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有 50％的个体大于或等于中位数， 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和 右边的直方图的面积应该相等，由此可以估 计中位数的值。
2、中位数是样本数据所占频率的等分线，即在样本中， 有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于 或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左 边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位 数的值。
高中数学第一章统计1.4.1_1.4.2平均数中位数众数极差方差标准差课时素养评价含解析北师大版必
学习资料课时素养评价五平均数、中位数、众数、极差、方差标准差（20分钟·35分)1.近几年,我国农村电子商务发展迅速，使得农副产品能够有效地减少流通环节，降低流通成本，直接提高了农民的收益。
某农村电商对一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A。
46。
5，48,60 B.47,48，60C。
46.5，48,55 D。
46.5，51,60【解析】选A.由题中茎叶图共有30个数据，所以中位数为=46.5,茎叶图中出现次数最多的数是48,故众数是48，图中最大的数是72，最小的是12，可得极差为72-12=60。
2。
在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84，84,86，86，86，88，88，88,88。
若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( ）A。
众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差【解析】选D。
只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.3.如图是某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A。
84，4。
84 B。
84，1.6C.85,1.6 D。
85,4【解析】选C.由题意知平均分==85，s2=［（84—85）2+（84-85）2+(84—85）2+（86—85)2+(87—85）2］=×8=1.6。
4。
某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛,现将他们最近集训的10次成绩（单位:秒）的平均数与方差制成如下表格,根据表中数据，应选________选手参加全省的比赛（）甲乙丙丁平均数59 57 59 57方差12 12 10 10A.甲B.乙C。
丙 D.丁【解析】选D.结合表格数据判断，四人中用时最短，波动性最小的是丁。
5.已知一组数据x1，x2,…,x n的方差为2,若数据ax1+b，ax2+b,…，ax n+b（a>0)的方差为8，则a的值为________。
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_7
《数据的数字特征》教学设计一、教学背景分析在初中学生已经学习过了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。
在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。
二、教学目标1.知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
在实际问题中，可以学会用合适的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。
3.情感、态度与价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。
三、教学重难点重点：能够计算数据的标准差，并理解掌握各个统计量的计算和意义作用。
难点：根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。
四、教学过程1、复习回顾利用一些实际生活的数据统计图片让学生回顾条形统计图、折线统计图、扇形统计图和茎叶图，并对他们适用的范围和作用掌握2、新知引人数据的特征除了利用统计图表外，还可以利用一些统计量来表示，比如：平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差等来表示。
问题1：什么是平均数？它的意义是什么？解析：平均数就是一组数据的平均，代表该组数的平均水平。
设有n 个数据x1 ,x2, …,xn,则这组数据的平均数为：问题2：什么是中位数？它的意义是什么？解析：中位数是一组数据按照从小到大顺序排列时处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中趋势.问题3：什么是众数？它的意义是什么？解析：众数是一组数据中出现次数最多的数．反映了数据的集中趋势. 问题4：什么是极差？它的意义是什么？解析：极差是一组数据中最大数与最小数之间的差．反映该组数据差异情况.问题5：什么是方差？它的意义是什么？解析：方差是一组数据中所有数与平均数的差的平方和的平均数．反映了数据的波动情况.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，nx x x x n +++= 21数据的离散程度越小.设有n 个数据x1，x2，…，xn ，这组数据的方差为： 问题6：什么是标准差？它的意义是什么？解析：标准差就是一组数据中所有数与平均数的差的平方和的平均数的算术平方根.可以刻画数据的稳定程度.3、巩固新知例1：这是本届世界杯第一轮比赛结果，计算该届世界杯一场比赛进球数的平均数、中位数、众数、极差、方差及标准差。
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_12
数据的数字特征教学目标1、知识与技能（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释．23、情感态度价值观通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性．教学重点、难点教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差．教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据．教学设计：（1）教法构想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息．（2）学法指导学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合．课时计划：2课时教学过程：一、【情景引入】提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下：这到底是怎么了？（学生思考交流）教师点出课题：数据的数字特征二、【探求新知】数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征．请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考．1、平均数、中位数、众数某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下：（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？为什么？（4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同的统计数据，并且有着各自的特点．平均数：一般地，对于N 个数N x x x ,,,21 ，我们把Nx x x N+++ 21叫做这N 个数的算术平均数，简称平均数．平均数是数据的重心，它是反映数据集中趋势的一项指标．它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据．众数：一组数据中出现次数最多的数据．众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量. 注意：（1）一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、-1、2、l 、3中， 2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．（2）如果出现个数一样的数据，或者每个数据都只有一次，那么众数可以 不止一个或者没有．中位数：将一组数据从小到大排列或从大到小排列，处在中间位置上一个数据（或中间两个数据的平均数）．中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数据大，对于非对称的数据集，中位数更能实际地描述数据的中心．某些数据的变动对它的中位数影响不大．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．注意：（1）求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），排序时，从小到大或从大到小都可以．（2）在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据中的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等．在同一组数据中,众数、中位数和平均数也各有其特性:（1）中位数与平均数是唯一存在的,而众数是不唯一的；（2）众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等,但在特殊情况下也可 能相等．如,在数据6、6、6、6、6中,其众数、中位数、平均数都是6． （3）众数和中位数可以代表数据分布的大体趋势，缺点在于并没有对数据中的其它值加以利用．到底用什么统计量来刻画数据，需要结合数据的特点及你想要说明的问题进行选择．不同的人立场不同，会选择不同额统计量来说明他的观点，这也就是我们要对统计结论进行批判性思维的原因． 2、极差、方差甲、乙两台机床同时生产直径是40mm 的零件．为了检验产品的质量，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，结果如下：那么，我们可以用哪些数据来刻画数据的离散情况呢？方法1、极差甲：40.2-39.8=0.4（mm ），乙：40.1-39.9=0.2（mm ）； 方法2、方差甲：()1022111400.02610i i s x ==-=∑，乙：()1022211400.00610i i s x ==-=∑；方法3、甲：()()404039.84039.840100.14mm -+-++-÷=， 乙：()()4040404039.940100.06mm -+-++-÷=；方法4、甲：()()333404039.84039.840100.005mm -+-++-÷=乙：()()3334040404039.940100.0006mm -+-++-÷=那么，在刻画数据的离散程度时，这个统计量应该满足哪些原则呢？（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息； （2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值也大． 极差是指一组数据内的最大值和最小值之间的差． 极差=最大值—最小值极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能细致地反映测量值彼此相符合的程度．极差是总体标准偏差的有偏估计值，当乘以校正系数之后，可以作为总体标准偏差的无偏估计值，它的优点是计算简单，估算大致范围时用它.极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的，极差不一定也大． 方差，是一组数据据内，每个数与平均数的差数的平方和．方差是表现数据的离散程度的（波动情况），方差越小，数据的离散程度越小，也就越接近平均值,当要求某问题的稳定程度就用它.计算公式：设在一组数据,,12n x x ,x …中，x -是它们的平均数，则方差为：2222121[()()()]---=-+-+⋯+-n S x x x x x x n3、标准差方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画数据离散程度的一种理想度量应该具有与原始数据相同的单位，因而引入标准差，标准差更能反映数据的离散程度．标准差（Standard Deviation ），也称均方差（mean square error ），是各数据偏离平均数的距离的平均数，在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion ）上的测量．标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度．测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值， 与测量资料具有相同单位． 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别．标准差能反映一个数据集的离散程度．平均数相同的，标准差未必相同．标准差的意义：标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确．注：以上各量都带单位． 三、【知识应用】例 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．（1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出这两组数据的方差；（3）请根据这两名射击手的成绩画出折线统计图，并估计这两名战士的 射击情况．解：（1）7107768=++++=甲x （环），7105776=++++= 乙x （环）（2）22221[(87)(67)(77)] 3.010=-+-++-=s 甲（环2）22221[(67)(77)(57)] 1.210=-+-++-=s 乙（环2）（3）因为=甲x 乙x ，所以说明甲、乙两名战士的平均水平相当．又因为>甲2s 乙2s ，所以说明甲战士射击情况波动大．故乙战士比甲战士射击情况稳定．四、【课堂练习】1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销量 如表所示：指出这组数据的众数、中位数、平均数．解：30cm ，21cm 的鞋各出现5次，故众数为30cm ，21cm ；求中位数时应注意，在排列数据时应考虑每一个数出现的次数，本题 中共有20514352=+++++个数据，第10位数据为23，第11位 数据是25，故中位数22423+＝24(cm) ． 平均数为6.2420254215233202281305=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm) 2、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：请参照这个表解答下列问题：（1）用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； （2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值． 解：（1）355940x y f ++=；（2）依题意，有354111{x y x y +=+=解得74{x y ==3、（2007海南高考，理11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各 射箭20次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩：乙的成绩：丙的成绩：123s s s 、、分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差， 则有（C ）A.123s s s >>B.312s s s >>C.213s s s >>D.231s s s >>4、课本第31页 练习 五、【课堂小结】本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据12,,,n x x x 的平均数为12nx x x x n+++=．平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．2、一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势．3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势．4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．5、方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2s 表示，通常用公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-来计算．反映了数据的离散程度．方差越大，数据的离散程度越大．方差越小数据的离散程度越小．6、标准差等于方差的正的平方根，即s =组数据围绕平均数的波动程度的大小．六、【分层作业】1、课本第23页 习题1—4 1、22、课本第69页 复习参考题一 A 组5、63、创新设计相关内容4、阅读课本第29—30页 利用信息技术计算数字特征。
2017_2018版高中数学第一章统计4数据的数字特征课件北师大版
知识拓展 平均数、方差公式的推广： 1.若数据 x1， x2， …， xn 的平均数为 x ， 那么 mx1＋a， mx2＋a， mx3＋a， …， mxn＋a 的平均数是 m x ＋a. 2.设数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则 1 2 2 2 a.s ＝n[(x1＋x2＋…＋xn )－n x 2]；
第一章 统计
§4 数据的数字特征
学习目标
1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.
2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.
3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征
估计总体的数字特征.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
众数、中位数、平均数
思考1
Байду номын сангаас
计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差 (标准差结果精
解答
确到0.1).
反思与感悟
(1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比 较两组数据的波动大小. (2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差 越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大， 表明各样本数据在样本平均数的两边越分散. (3)若样本数据都相等，则s＝0. (4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来 估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.
平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有 关，它有何缺点？ 答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关
于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》培优课课件_5
A
B
C
ED
二分法
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，
按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、
实验设计、查资料 是方程求根的常用方法！
实例体验：
假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我们 依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。 取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即 f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解， 于是再取[2,5]的中点3.5，…… y 如果取到某个区间的中点x0, f(x) 恰好使f(x0)=0, 则x0就是 所求的一个解；如果区间 -1 O 1 2 3 4 5 x 中点的函数总不为0，那么， 不断重复上述操作，
(5) f (2.5625) 0, f (2.625) 0 x0 (2.5625, 2.625)
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6, 所以原方程的近似解为2.6.
抽象概括 利用二分法求方程实数解的过程
1.初始区间是一个两端 函数值符号相反的区间
选定初始区间 取区间的中点
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确 度ε ；
2、求区间（a,b）的中点c，
3、计算f(c)
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
2017_2018学年高中数学第一章统计4_1_4_2平均数中位数众数极差方差标准差教学案北师大版必
2．在某次考试中，10名同窗的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.那么这一组数据的众数和中位数别离为( )
A．84,68B．84,78
C．84,81D．78,81
解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为 84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.
解析：依题意知，运动员在5次竞赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为 ＝11.
由方差公式得s2＝ [(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝ (9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
答案：6.8
中位数、众数、平均数的计算及应用
[典例]据报导，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：
s甲＝ ＝ ≈1.673.
乙＝ ＝7，
s ＝ ×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，
s乙＝ ＝ ≈1.095.
(3)∵ 甲＝ 乙，s甲＞s乙，
∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳固一些，从成绩的稳固性考虑，能够选择乙参赛．
A．第一组B．第二组
C．第三组D．第四组
解析：选D 法一：第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；
第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为 ；
第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为 ；
第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2 .
2017_2018版高中数学第一章统计1从普查到抽样课件北师大版必修
题型探究
类型一 普查与抽样调查 例1 医生是如何检验人的血液中血脂的含量是否偏高的？ 解答
大家都知道，医生在检验时是不可能将一个人的血液都抽出来进行普 查的，因此，医生在检验人的血液中血脂含量是否偏高时，通常是抽 取少量的血样进行检验，然后由此作出推断，认为这个人的血液状况 基本如此.
反思与感悟
是抽样调查，样本是我们班的全体同学所穿的鞋号，总体是学校高一年
级学生所穿的鞋号.
(3)为了了解我们班的同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取2名学
生做调查；(4)为了了解我们班的同学每源自的睡眠时间，选取班级中学号为双数的
所有学生做调查. 解答
(3) 、(4) 也都是抽样调查，样本分别是每小组中选取的 2 名学生的睡眠
由专业人员收集、整理、分析出来的.
梳理
统计是研究如何合理收集、 整理 、 分析 数据的学科.
知识点二
普查
思考
你对 “ 武汉一人口普查员劳累过度以身殉职 ” 的报道有 何看法？ 答案 人口普查是一个规模宏大的政府工程.普查是一项非常艰
苦的工作，工作量很大，要耗费大量的人力、物力与财
力，并且组织工作繁重、时间长.更值得注意的是，在很
设计合理的调查方案是调查的基础，是统计活动中非常重要的环节.若 对大批量且有破坏性的检验问题，只能进行抽样调查，这样检验是科 学、合理的.在抽样调查中应注意：抽取的样本要具有全面性、代表性、 随机性.
跟踪训练1 数据的？
下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽样方法来收集
(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查； 解答 因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查. (2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学 做调查； 解答 通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_4
2.3.1平均数及其估计【学习目标】1．理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平；2．掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法．9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.789.729.93 9.949.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？（设计目的是通过对重力加速度数据的估计帮助学生更好的理解这节课的内容，从具体到一般）活动二：合作探究我们常用算术平均数 （其中)21(n i a i ，，， =为n 个实验数据）作为重力加速度的“最理想”的近似值.处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据______________．设这个近似值为x ，它与n 个实验值)21(n i a i ，，， =的离差分别为1a x -，2a x -，3a x -，…，n a x -．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑离差的平方和，即22221)()()(n a x a x a x -+⋯+-+-=22221212)(2n n a a a x a a a nx ⋯+++⋯++-．所以当=x 时，离差的平方和最小，故可用 作为表示这个物理量的理想近似值．（设计目的是通过学生之间合作探究的学习理解平均数即可以作为物理量的理想的近似值，解决活动一的问题，活动方式是学生讨论，教师指导）活动三：知识建构1．数据12n a a a ，，，的平均数或均值，一般记为__________________________a =；2．若取值为n x x x x ，，，， 321的频率分别为n p p p ，，， 21，则其平均数为________________________x=．（设计目的是帮助学生对平均数概念下定义，活动方式是学生讨论，教师指导）活动四：例题讲解例1．某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩(总分：150分)如下，试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些．甲班112 86 106 84 100 105 98 102 94 10787 112 94 94 99 90 120 98 95 119108 100 96 115 111 104 95 108 111 105104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84 94 94 100 90 84 114乙班116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96108 100 110 98 107 87 108 106 103 97107 106 111 121 97 107 114 122 101 107107 111 114 106 104 104 95 111 111 110例2．下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间．例3．某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入．（设计目的是通过例题帮助学生更好的理解平均数的定义，学生能够熟练的利用定义解题，这个环节是学生先小组讨论，再请学生上黑板板演，教师评讲点评）活动五：教学总结（设计目的是帮助学生更好的理解这节课的教学重点，和难点，设计方式是请学生回答，教师做补充） 活动六：当堂检测(设计目的是帮助学生利用概念熟练的解题，方式是学生板书，学生自己点评，教师补充)1．若一组数据54321x x x x x ，，，，的平均数是x ，则另一组数据432154321++++x x x x x ，，，，的平均数是 ____ ．2．如果两组数n x x x x ，，，， 321和n y y y ，，， 21的样本平均数分别是x 和y ，那么一组数1122,,,n n x y x x y ++⋯+的平均数是 ．3．有六个数4，x ，－1，y ，z ，6，它们的平均数为5， 则x ，y ，z 三个数的平均数为________．4．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间，结果如下(单位：分钟)：80 70 70 70 60 60 80 60 60 70在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是多少？5．为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？ (3)问在这次测试中，学生跳绳次数的众数、 中位数、平均数各是多少？。
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》课件_9
所以������甲2 < ������乙2 ,由于甲、乙两人平均水平相同,但甲更稳定,因此
应派甲去.
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2.1 简单随机抽样
探究一
探究二
探究三
探究四
首页
课前篇 自主预习
思维辨析 当堂检测
课堂篇 合作学习
反思感悟处理统计图表与数字特征问题应注意的方法技巧 1.由图形得到对应的样本数据,计算出平均数、方差(标准差). 2.从图形直观分析样本数据的分布情况,大致判断平均数的范围, 并利用方差(标准差)的大小反映数据的波动性大小.此点可称为方 差(标准差)的几何意义.
(2)方差 s2 的取值范围是[0,+∞).
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2.1 简单随机抽样
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探究二
探究三
探究四
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课前篇 自主预习
思维辨析 当堂检测
课堂篇 合作学习
பைடு நூலகம்变式训练3若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x21,…,2x10-1的标准差为( )
A.8 B.15 C.16 D.32 答案:C
课堂篇 合作学习
试求该班同学右眼视力的平均数、中位数、众数.
解:由题图可知,右眼视力的平均数为(0.2+0.3×2+0.4×3+0.5×5 +0.6×5+0.7×6+0.8×6+1.0×7+1.2×9+1.5×6)÷50=43.3÷50=0.
866. 中位数应该是第25、第26这两个数据的平均数,由于右眼视力不
-13-
2.1 简单随机抽样
探究一
探究二
探究三
探究四
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课前篇 自主预习
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》课件_19
【点拨】 利用总体、个体、样本、样本容量、众数、中 位数、样本平均数的概念解题．
【解】 (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全 体；个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的20颗手 榴弹的杀伤半径；样本容量是20.
(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出这两组数据的极差和方差、标准差； (3)根据计算结果比较这两名战士的射击情况． 【点拨】 对于(1)，(2)直接套用公式即可，对于(3)由于 极差、方差和标准差都反映了一组数据的离散性，其值越小， 数据波动越小．
【解】
(1)
－x
甲＝
8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7 10
年利润差距很大，导致平均数与中位数、众数偏差较大，所以
应该用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平，而不
能使用平均数来描述．
【例2】 已知x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，求mx1＋ b，mx2＋b，…，mxn＋b的平均数．
【点拨】 利用平均数公式解题． 【解】 设这n个数的平均数为－x ，由题意，得 －x ＝mx1＋b＋mx2＋nb＋…＋mxn＋b ＝mx1＋x2＋n…＋xn＋nb＝ma＋b， ∴mx1＋b，mx2＋b，…，mxn＋b的平均数为ma＋b.
第一章 统计
§4 数据的数字特征
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
预习导航
1. 平均数 、 中位数 和 众数 刻画了一组数据的集中趋势， 极差、 方差 刻画了一组数据的离散程度．
2．设x1，x2，x3，…，xn为一组样本，－x 为样本平均
数，则其标准差s＝
x1－－x 2＋x2－－x 2＋…＋xn－－x 2 n
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_2
1.3.1统计图表教材目标1、知识与技能：（1）通过实例初步体会分布的意义和作用，了解各种统计图表的概念；（2）结合具体的实际问题情境，灵活选用不同的统计图表。
2、过程与方法：（1）能够针对不同问题，得到恰当的统计图表；（2）在表示数据的过程中，复习几种统计图表（包括象形、条形、折线、扇形统计图），学习茎叶图，让学生体会它们各自的特点和用途．3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会用数学知识解决现实世界及各学科问题的方法，认识数学的重要性。
重点和难点：能根据问题的需要选择合适的统计图表，并能用自己的方式进行表示．一、问题提出【问题1】我们对50人的智商情况进行了调查，如果按照区间[80，85),[85,90),…[115,120)进行分组，得到的分布情况如下：（1）有多少人的智商在90~105之间？ （2） 有多少人的智商低于100？（3） 有多少人的智商不低于100？ 你还能从图中获得其他的信息吗？分析：由于已经学习过一些统计图表的知识，学生在回答上面几个问题时可能比较容易，教师还可以鼓励学生从这个统计图中获取更多的信息，并通过该问题初步体会分布的含义．（1） 38人的智商在90~105之间； （2） 29人的智商低于100； （3） 21人的智商不低于100．【问题2】下面是关于某个总体包含的所有学生的身高分布的几种表述，其中哪一种表述反映的总体信息较多？（1） 身高在160cm 以下的学生数占50%，不低于160cm 的学生数占50%。
（2） 身高在150cm 以下、150~160cm 之间，不低于160cm 的学生数分别占10%、40%、50%。
（3） 身高在150cm 以下、150~160cm 之间，160~170cm 之间 ，不低于170cm 的学生数分别占10%、40%、40%、10%。
160以下 不低于160 身高/cm10 20 50150以下不低于160身高/cm150-160分析：从该总体包含的所有学生的身高分布的几种表述（包括文字和统计图）来看，不难发现：从（1）～（3），反映的总体信息依次增多．就这个问题而言，说“身高在160 cm 以下的学生数占50%，不低于160 cm 的学生数占50%”,是身高分布一种很粗略的表述；说“身高在150 cm 以下、150～160 cm 之间、不低于160 cm 的学生数分别占10%，40%，50%”，则相对精确一些；而说“身高在150 cm 以下、150~160 cm 之间、160～170 cm 之间、不低于170 cm 的学生数分别占10%，40%，40%，10%”，表述就更精确了．（从每一种表述对应的统计图来看，这种越来越精确的趋势非常直观）通过这个问题，一方面让学生体会对于同样的数据，可以用不同的方式来表示；另一方面为学生进一步理解总体分布的意义，并会用样本的频率分布来估计总体的分布作一个铺垫． 二 、分析理解：图1－6是某学校学生的一幅真实的照片，图1－7是根据图1－6得到的一种象形统计图，图1－8则是学生比较熟悉的条形统计图．图1－7的实质与图1－8是一致的，但由于它非常形象、直观，容易使人很快就能了解它所要表达的是哪方面的信息．在教学时，可以让学生先观察图1－7，说说自己对它的第一感觉，它是如何表达信息的，然后再比较它和图1－8的异同．还可以鼓励学生课后自己去查找报刊或浏览网页，收集类似的统计图，分析它们的特点和用途，并进一步发展学生收集和分析数据的能力．【思考交流】2001年上海市居民的支出构成情况如下所示：0 10 20 50 150以下不低于170 身高/cm150-160 160-170观察并比较这两种统计图：（1）它们分别有什么特点？你觉得那种统计图更合适？（2）你还有其他表示2001年上海市居民的支出构成情况的方法吗？分析：这里给出了折线统计图和扇形统计图，分别表示2001年上海市居民的支出构成情况．可以先让学生通过思考，进一步体会它们各自的特点和用途，再鼓励他们用自己的方式来进行表示，并与同学进行交流．（1）折线统计图能够清晰地反映数据的变化情况，扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．就此问题而言，用扇形统计图来表示数据更合适一些．（2）还可以用条形统计图来表示，条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【例】有关部门从甲、乙两个城市所有的自动取货机中分别随机抽取了16台，记录下上午8：00-11：00间各自的销售情况（单位：元）甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41；乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23。
北师大版必修3高中数学第1章统计44.1平均数中位数众数极差方差4.2标准差
(2)方差的求法： 标准差的平方 s2 叫作方差． s2＝ 1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] 其中，xn 是样本数据，n 是样本容量， x 是样本均值． (3)方差的简化计算公式：
s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x 2] ＝1n(x21＋x22＋…＋xn2)－ x 2.
数为 1，则样本方差为( )
6
6
A. 5
B.5
C. 2
D．2
D [∵样本的平均数为 1，即51×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，
∴样本方差 s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2] ＝2.]
3．一次选拔运动员的测试中，测得 7 名选手中的身高(单位：cm)
(2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据 就是众数．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能 反映数据的集中趋势．
(3)平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数 据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极 端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数 去估计总体．有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计 总体．
第一章 统计
§4 数据的数字特征
4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差
4．2 标准差
学习目标
核心素养
1.通过求一组数据的平均数、中 1.会求一组数据的平均数、中位
位数、众数、极差、方差、标 数、众数、极差、方差、标准差．(重
准差，培养数学运算素养． 点)
2．通过方差、标准差在实际问 2．方差、标准差在实际问题中的
1．已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位 数和众数的大小关系是( )
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4．1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差预习课本P25～31，思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数？(2)什么是极差、方差、标准差？(3)方差、标准差的计算公式是什么？[新知初探]1．平均数、中位数、众数 (1)平均数如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，叫作这n 个数的平均数． (2)中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．(3)众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．[点睛] 如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．2．极差、方差、标准差 (1)极差一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差． (2)方差标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． (3)标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].[点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． (3)标准差的大小不会超过极差．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( )(2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( )(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( ) (4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( )A ．84,68B ．84,78C ．84,81D ．78,81解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________．解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为17×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68.答案：684.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.答案：6.8中位数、众数、平均数的计算及应用[典例职务 董事长 副董事长董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法． [解] (1)平均数是x ＝1 500＋133(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是x ′＝1 500＋133(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．[活学活用]1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是( )A ．85分、85分、85分B ．87分、85分、86分C ．87分、85分、85分D ．87分、85分、90分解析：选C 由题意知，该学习小组共有10人， 因此众数和中位数都是85，平均数为100＋95＋2×90＋4×85＋80＋7510＝87.2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．方差解析：选C 判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.方差、标准差的计算与应用[典例] 两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．[解] (1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7； 对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7. (2)x 甲＝7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋410＝7，s 2甲＝110×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，s 甲＝s 2甲＝ 2.8≈1.673. x 乙＝9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋710＝7，s 2乙＝110×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，s 乙＝s 2乙＝ 1.2≈1.095.(3)∵x 甲＝x 乙，s 甲＞s 乙，∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．[活学活用]某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； (2)哪一组的成绩较稳定？解：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)， 平均分为x 甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，方差为s 2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s 甲＝s 2甲＝119≈10.91(分)．乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为x 乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，方差为s 2乙＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，标准差为s 乙＝s 2乙＝75.25≈8.67(分)．(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.数字特征与统计图表的综合问题[典例] (1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则( )A．m e＝m o＝x B．m e＝m o＜xC．m e＜m o＜x D．m o＜m e＜x(2)如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则( )A.x A＞x B，s A＞s BB.x A＜x B，s A＞s BC.x A＞x B，s A＜s BD.x A＜x B，s A＜s B[解析] (1)由条形统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e＝5.5，5出现次数最多，故m o＝5.x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o＜m e＜x.(2)观察图形可得：样本A的数据均小于或等于10，样本B的数据均大于或等于10，故x A＜x B，又样本B的波动范围较小，故s A＞s B.[答案] (1)D (2)B(1)由于茎叶图保留了原始数据，因此根据茎叶图进行有关数据计算可以直接进行；另外，在茎叶图中，数据的分布能直观体现数据的平均水平和离散程度，因此给出茎叶图解决与平均数和方差有关的统计问题时，我们也可以直观观察来完成．(2)折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的意义有关，一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，波动性小的方差小．(3)若条形统计图的横坐标是单一数据，则可通过该统计图还原真实的样本数据，进而中位数、众数、平均数均可直接计算得到．(4)当条形统计图的横轴是区间形式，各数字特征就不能直接求出，但是可以近似估计． ①中位数：条形统计图(直方图)中，中位数左边和右边的各矩形的面积和应该相等，由此可以估计中位数的值．②平均数：平均数的估计值等于条形统计图(直方图)中每个小矩形的高度(面积)乘小矩形底边中点的横坐标之积的总和．③众数：在条形统计图(直方图)中，众数是最高的矩形的中点的横坐标． [活学活用]1．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，它们的条形统计图如图所示，则标准差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组解析：选D 法一：第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0； 第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63； 第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2 2. 故标准差最大的一组是第四组．法二：从四个条形图可看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．2.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1＝a2D．a1，a2的大小与m的值有关解析：选B 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据，剩下的数据我们只要计算其叶上数字之和即可．此时甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2＞a1.[层级一学业水平达标]1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：选A 样本的中位数是(45＋47)÷2＝46，众数是45，极差为68－12＝56.2．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6 h B．0.9 hC．1.0 h D．1.5 h解析：选B 由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 5×0＋20×0.5＋10×1.0＋10×1.5＋5×2.050＝0.9(h)，因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 h.3．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( )A.x ＝5，s 2＜2 B.x ＝5，s 2＞2 C.x ＞5，s 2＜2 D.x ＞5，s 2＞2解析：选A ∵18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，∴19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，∴x ＝5.由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s 2＜2，故选A.4．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10，11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：由题意可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则t 2＝4，|t |＝2，故|x －y |＝2|t |＝4. 答案：4[层级二 应试能力达标]1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2D ．2解析：选D 由题可知样本的平均值为1， 所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选C 由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．3．如果5个数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是7，那么x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1，x 4＋1，x 5＋1这5个数的平均数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 法一(定义法)：依题意x 1＋x 2＋…＋x 5＝35，所以(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋…＋(x 5＋1)＝40，故所求平均数为405＝8.法二(性质法)：显然新数据(记为y i )与原有数据的关系为y i ＝x i ＋1(i ＝1,2,3,4,5)，故新数据的平均数为x ＋1＝8.4．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,75B ．70,50C ．75,1.04D ．62,2.35解析：选B 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，则由题意可得s 2＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，而更正前有75＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]，化简整理得s 2＝50.5.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数的茎叶图如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是________．解析：由茎叶图可知最低分为88.若90＋x 为最高分，则平均分为8 8 9 9923x21489＋89＋91＋92＋92＋93＋947≈91.4≠91.故最高分为94.则去掉最高分94和最低分88，平均分为89＋89＋91＋92＋92＋93＋90＋x 7＝91，解得x ＝1. 答案：16．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．解析：根据题意知，该组数据的平均数为18×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150. 答案：1507．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数，则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2， 即得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 2＋x 3＝4， 又∵x 1，x 2，x 3，x 4为正整数， ∴x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝2或x 1＝1，x 2＝x 3＝2，x 4＝3或 x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3， ∵s ＝14[x 1－22＋x 2－22＋x 3－22＋x 4－22]＝1，∴x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3.由此可得这四个数为1,1,3,3.答案：1,1,3,38．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3.如下表：平均数方差中位数命中9环及9 环以上的次数甲7 1.27 1乙7 5.47.5 3(2)②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力．9．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？解：甲的平均成绩和方差如下：x 甲＝18(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6. 乙的平均成绩和方差如下： x 乙＝18(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15. 显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m 的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m 方可获得冠军，应派乙参赛．。