高中数学第3章统计案例章末高效整合课件

＝24600＝6.5.
a＝ y －b x ＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
∧
y－257＝b(x－2 012)＋a＝6.5(x－2 012)＋3.2.
∧
即y＝6.5(x－2 012)＋260.2.
①
(2)利用直线方程①，可预测 2016 年的粮食需求量为
6．5×(2 016－2 012)＋260.2＝6.5×6＋260.2
5．在研究两个变量之间的关系时，可以先根据散点图来 粗略地判断它们是否存在线性相关关系，是否可以用线性回归 模型来拟合两个变量的关系，如果可以用线性回归模型来拟合 时，再求出回归直线方程，最后再作残差分析来判断拟合的效 果，并判断原始数据中是否存在可疑数据．
要分析学生初中升学的数学成绩 对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选 10名学生分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成 绩，如下表所示：
知能整合提升
一、回归分析 1．线性回归分析 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)，其线性回归直线方程为 y＝bx＋a，
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x ·y
i＝1
i＝1
其中 b＝
＝
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x
热点考点例析
回归分析的基本思想及其初步应用
1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定 关系，函数关系有具体的函数关系式，而相关关系没有一个确 定的关系式，用回归直线来估计相应的量的关系，但这种关系 也不是确切的，也存在着一定的误差．
2．利用散点图来确定两个变量之间是否具有线性相关关系 时，作图要规范，如果样本点呈条形分布，我们就认为具有线 性相关关系，如果有个别的样本点出现异常，而绝大多数的样 本点在这个条形区域内，我们可以不考虑这个别的点，或认为 这几个出现异常的点对我们的结论影响不大．但如果出现异常 的点过多就认为不具有线性相关关系．
2．相关系数
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝
n
n
xi－ x 2· yi－ y 2
i＝1
i＝1
n
xiyi－n x ·y
i＝1
＝
n
xi2－n x 2·
i＝1
n
y2i －n y 2
i＝1
|r|值越大，相关性越高，|r|值越接近 0，线性相关程度越低．
二、独立性检验 独立性检验的一般步骤 (1)列出 2×2 列联表； (2)代入公式计算 χ2＝ a＋can＋adb－bb＋cd2 c＋d； (3)根据 χ2 的值的大小作出判断．
＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
确定线性回归方程的策略
准确确定线性回归方程，有利于进一步加强数学应用意识， 培养运用所学知识解决实际问题的能力，正确地求出线性回归 方程是本节的重点，现介绍求线性回归方程的三种方法．
y2 4 225 6 084 2 704 6 724 8 464 7 921 5 329 9 604 3 136 5 625 59 816
xy 4 095 5 226 2 340 7 216 7 452 6 319 3 796 9 702 3 248 5 700 55 094
可求得 x ＝110×(63＋67＋…＋76)＝70， y ＝110×(65＋78＋…＋75)＝76. b＝555019447－4－101×0×707×0276≈0.765 56， a＝76－0.765 56×70≈22.41， 所求的线性回归直线方程为 y＝22.41＋0.765 56x. (3)若学生王明亮入学成绩 80 分，代入上面线性回归直线方 程 y＝22.41＋0.765 56x，可求得 y≈84(分)． 答：王明亮同学高一期末数学成绩预测值为 84 分．
1．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数
据：
年份
2010 2011 2012 2013 2014
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
∧
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y
＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2016 年的粮食需
求量．
解析： (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似
直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2012
－4
－2 0 2
4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
由预处理后的数据，容易算得 x ＝0， y ＝3.2，
b＝－4×－21＋42－＋222×＋2－2＋114＋ 2 2×19＋4×29
解析： (1)作出散点图如图所示，从散点图可以看出，这 两个变量具有线性相关关系．
(2)列表计算
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
63 65
67 78
45 52
88 82
81 92
71 89
52 73
99 98
58 56
76 75
700 760
x2 3 969 4 489 2 025 7 744 6 561 5 041 2 704 9 801 3 364 5 776 51 474
∧
附：若(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)为样本点，y＝bx＋a
为回归直线，则 x ＝ 1ni＝n1xi， y ＝ 1ni＝n1yi，
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，a＝ y －b x .
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
说明：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运 算．
3．回归直线方程 y＝bx＋a 过样本点中心( x ， y )．
4．在线性回归模型中，随机误差用y预报真实值y的误 差．它是一个不可预测的变量，但可以通过这个随机变量的数 字特征来刻画它的一些总体特征，均值是反映随机变量取值平 均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数 字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差来衡量随机 误差的大小．
x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75
表中x是学生入学成绩，y是指高一年级期末考试数学成 绩．
(1)画出散点图； (2)求回归直线方程； (3)若某学生王明亮的入学成绩为80分，试预测他在高一年 级期末考试中的数学成绩为多少？