精品课件-精品课件--工程力学-10 第10章 选上变形能 莫尔积分

注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段 相同，并且每段自变量的基准点相同
A
C
P
D
B
考虑 ：求C点铅垂位移yc
计算莫尔积分的图乘法
一、推导：
l
y
M
(x)M EI
(x)
dx，若EI为常量，则公式可变形
为：
M (x) x tg
1 EI
l
M
(x)M
(x)dx
M (x)M (x)dx x tg M (x)dx
2a2a )2a3 a3)M 3
3
)
a
5Pa3
12EI
P
A
1
I
2I
5、求 A 施加单位载荷：
B
a
a
1
2
Pa
（图 1）
（图3）
C
6、画单位载荷引起的内力
图
7、图乘：
2Pa
A
1 EI
(1
M1)
1 2EI
(2
M2)
1 1 Pa a 1 EI 2
1 (Pa 2Pa) a 1) Pa 2
P
例5：求 D
aa
2a
解：1、画原载荷引起的内
BC D
A
BC D
A
1
Pa
2 MC
M图
2、3、求画 D单施力位加图载单荷位引力起偶的内 力图
4、图乘方法（1）
1
3Pa
D
1 EI
(1
MC1
2
MC2)
1 (1 a Pa 0 Pa 3Pa 2a 1)
BC D BC D
1
A
EI 2
A
4Pa2 EI
4EI
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
知识就是力量，感谢支持 ！
LOGO
----谢谢大家！！
2 lh
3
顶点
3l
4l
h
C
l
4
(2)二次抛物线：
1 lh
3
三、应用图乘法的注意事项：
1、 MC有正负号：原为原载正载荷荷与与单单位位载载荷荷引引起起的的内内力力图图在在轴轴的的同异侧侧，，
为负
2、 M (x)为一条光滑的的曲线M ，(x)为一条折线时必，须以折点为界,分
当 图乘, k k MCk
C
l
l
M (x)
A
B
x xc dx
tg x M (x)dx tg x d
l
tg xc
M (x)
Al
MC x
B
又 tg xc MC
M (x)M (x)dx MC
l
MC
EI
为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标
顶点
Ch
5l
3l
8l 8
(1)二次抛物线：
EI
2 1 ql3 5l 5ql4 EI 24 32 384EI
P
I
A
B
a
1
Pa （图 1）1
（图 2）
2I
例2：用图乘法求yB, A
a
C
解：1、画原载荷引起的内力 图：
2、 yB 施加单位载荷
2
3 2Pa
求 3、画单位载荷引起的内力 图 4、图乘：
yB
yB2E1E1I (I(1EPMMIa 1C)a 2a2(1E12I (122PP2 EaaMI
2、计算圆轴发生扭转变形的位移：GITPC
3、计算杆发生轴向拉压变形的位 NC
移：
EA
4、计算结构组合变形的位移 ： MC TC NC
EI GIP EA
q
A
l Cl
2
2
ql 2
8
P0 1
l
l 4
B 例1:已知q,l, EI,
求:C点铅垂方向的位移C
解：1、画原载荷引起的内力 图：2、 C 施加单位载荷
M 图 5、图乘方法（2）D 1
注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都
1 EI 1 EI
2
(
(2a
MC ) 1 2Pa)
MC
可以是单是位直载线荷时引，起内力图
4Pa2
可以是单位的载面荷积引起内力图的形心对应到原载EI荷引起的内
力图的纵坐标
二、图乘法的应用：
1、计算梁发生弯曲变形的位移：EMI C
.li
i1 Ei Ai
构
5、计算结构组合变形的位移：
l
M
(x)M EI
(x)dx
T ( x)T ( x)
l
GI P
dx
l
N(x)N(x)dx EA
位移符号的含义：
+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同
-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反
五、用莫尔积分计算的步骤： 1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程 2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷 3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程 4、将同一段的同一种内力方程相乘积分
0 2EI
l M 2 ( x) dx
0 2EI
10-4 单位载荷法--莫尔积分及图乘法
一、摩尔积分：
P1 P2 Pn
A
c
l
1、弯曲变形的位移
由于P1，P2，…作用的变形能为
B
M (x)
U
M 2( x) dx
l 2EI
为P1，P2，…作用下梁内的弯矩
P0 1
只有单位力P0=1作用时的应变能
求 3、画单位载荷引起的内力 图
q
A
l Cl
2
2
ql 2
8
P0 1
l
l 4
4、图乘法：
B AC、CB两段弯矩图的面积ω1、ω2
为
1
2
2 3
ql 2 8
l 2
1 24
ql 3
ω1、ω2的形心c1、 c2所对应的
图的纵坐标为：
M C1
M C2
5 8
l 4
5l 32
跨中挠度为
fc
1 M C1
EI
2 M C2
10 莫尔积分
LOGO
10-4 单位载荷法--莫尔积分及图乘法
补、线弹性弯曲杆的变形能 弹性弯曲杆的应变比能为
u
1
2
2
2E
M 2 (x) y2 2EI 2
——莫尔积
整个杆的变形能为
U
udV
V
l M 2 (x)
0
EI 2
A
y
2dAdx
I y2dA A
U
l M 2(x) dx
A
c
B
M 2( x)
M (x) U0
l
2EI
dx
l
——为P0作用下梁内的弯矩
P1，P2，…与P0=1共同作用的变形能
P1 P2 P0 Pn
先加 P0 U0
A
c
B
再加 P1, P2 Pn
U
l
梁的总变形能为：
P0
U1 U0 U P0 U0 U 1
实际上，P1，P2，…与P0=1共同作用
即:
i1 EI
段
3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要
4分、段 M (x)图很复杂时可，将M (x) 分成若干个简单图形,分部分图
当5、图乘时，只有对同一段梁上乘的同一种内力才能互乘，
注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：
1 M ( x) 的折点； (2) EI是否阶梯变化；
3 M ( x ) 图是否需要划分为若干简单图形；
(
x)dx
——弯曲变形位移的摩尔积分公式
1、弯曲变形位移的摩尔积分公式
l
M
(x)M EI
( x)dx
只 适
2、拉压变形的轴向位移的摩尔积分公式
n i 1
Ni N (EA)
i i
li
用 于 线
弹
3、扭转变形的扭转角的摩尔积分公式
T (x)T (x)dx
l GI
性 结
4、计算桁架节点位移：
n
N.N
2
时，则梁内弯矩为 ，
M (x) M (x) U1
M (x) M (x)
l
2EI
dx
此时应变能为
U1 U0 U P0 U0 U 1
P1 P2 P0 Pn
A
c
B
2
U1
l
M (x) M (x) 2EI
dx
2
l
U U 1
l
M
(
x) M 2EI
(
x)
dx
l
M
(x)M EI