殊途同归 异曲同工---- 一道高考题的四种解

殊途同归 异曲同工 ---- 一道高考题的四种解法
一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另 一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速 度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为 原点建立坐标系xOy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡 面的抛物线方程为 y 1 x2 ；探险队员的质量为m。人视为
2h
质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。 (1)求此人落到坡面时的动能； (2)此人水平跳出的速度为多大
时，他落在坡面时的动能最小？动能 的最小值为多少？
解：(1)设该队员在空中运动的时间为 t，在坡面上落点
的横坐标为 x，纵坐标为 y。由运动学公式和已知条件得
x＝vBiblioteka Baidut ①
2h－y＝1gt2 ② 2
根据题意有
y＝ x2 ③ 2h
y
2hv02 v02 gh
由机械能守恒得，此人落到坡面时的动能为
1m 2
v
2＝12mv
20＋mg(2h
－y)
④
联立①②③④式得
12mv2＝12m(v20＋v420g＋2hg2h) ⑤
解法一
(2) ⑤式可以改写为
v2＝( v20＋gh－ v220g＋hgh)2＋3gh ⑥ v2 极小的条件为⑥式中的平方项等于 0，由此得
动能的最小值为
Emin
3mgh 2
解法三
(2) 由
EK
1 2
mv02
2mg 2h2 v02 gh
令 v02 ngh ，则
EK
nmgh 2
2mgh n 1
mgh( n 2
2) n 1
当n=1时，即 v02 gh ，v0 gh
探险队员的动能最小，最小值为
Emin
3mgh 2
解法四
由
EK
1 2
mv02
2mg 2h2 v02 gh
对v0求导可得
EK
mv0
4mg 2h2v0 (v02 gh)2
当 EK 0 时有极小值即
mv0
4mg 2h2v0 (v02 gh)2
0
即 v02 gh
探险队员的动能最小，最小值为
Emin
3mgh 2
v0＝ gh
⑦
此时 v2＝3gh，则最小动能为
(12mv2)min＝32mgh ⑧
解法二
(2) ⑤式可以改写为
EK
1 2
mv02
2mg 2h2 v02 gh
1 2
m(v02
gh
4g 2h2 v02 gh
gh)
当
v02
gh
4g 2h2 v02 gh
即 v0 gh 时，他落在坡面时的动能最小。