振动理论11(1)-自激振动

自激振动

●迄今讨论的问题都是自由振动或者受迫振动

●存在另一类的扰动，称为自激振动

⏹通过例子中二者区别的实质

●普通单缸蒸汽发动机

⏹活塞完成一个往复运动，可以看成是一个振动

⏹维持这一振动的力来自蒸汽，在活塞的两侧交替推动

●带失衡圆盘的弹性轴

⏹弹性轴承在两个支撑上旋转

⏹不平衡质量导致的离心力交替推动圆盘上下运动

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●蒸汽发动机是自激振动

⏹通过约束飞轮限制活塞运动，阀门将停止，不会有交替的蒸汽力作用

在活塞上

●盘的运动是普通的受迫振动

⏹限制盘的振动，例如轴上靠近盘的两侧装两个球轴承，并把球轴承的

外圈附在牢固的基础上，这样就限制了盘的振动，但是转动并未受影响.

⏹因为失衡旋转继续，交替力一直保留不会消失

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●于是总结出以下区别：

⏹在自激振动中，维持运动的交替外力由运动自身产

生或者控制；如果运动停止，交替外力将消失

⏹在受迫振动中，交替外力与运动相互独立，即使运

动停止，交替外力仍然存在

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另一种看待此问题的方法是把自激振动定义成带有负阻尼的自由振动

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●如下的含负阻尼的单自由度运动微分方程:

其解可以写为

是一个振幅呈指数增加的振动

●普通的正阻尼力正比于振动速度并与其方向相反

●负阻尼力也与速度成比例，但是与振动方向相同

⏹负阻尼不仅没有减少自由振动的振幅，反而使其增

加

●不管是正阻尼还是负阻尼，都会随着运动停止而消失6

●系统的动态稳定性质

⏹具有正阻尼：动态稳定

⏹具有负阻尼：动态不稳定

●系统的静稳定性质

⏹静态稳定:从平衡位置开始的位移所形成的力或力偶倾向

于驱动系统回到平衡位置

⏹静不稳定:这样形成的力倾向于增加位移

⏹静不稳定性意味着负的弹性常数，或者更一般地说，其

中一个固有频率的值为负

●动态稳定和静态稳定的区别

⏹动稳定性总是以静稳定性为前提的

⏹反过来是不成立的：静态稳定的系统也可以是动不稳定

的

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系统的三个不同的稳定性阶段的行为

(a) 静不稳定; (b) 静稳定，动不稳定; (c) 静稳定且动稳定8

自激振动的频率

●在大多数的实际例子中，负阻尼相对于运动的弹性力和惯性力很小

⏹如果阻尼力为零，振动频率就是固有频率

⏹不管是正的阻尼力还是负的阻尼力, 阻尼力将或多或少降低

系统的固有频率

⏹在机械工程的实践中，这一频率上的区别可以忽略不计，

所以自激振动的频率就是系统的固有频率

●只有当负阻尼力大于弹性力或者惯性力的时候，自激振动的频率才会与固有频率显著不同

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●从能量角度考虑

⏹对于正阻尼情况

阻尼力做负功，总是与速度反向

机械能转变成热能（通常耗散在阻尼器的油里面）这些能量来源于振动系统

接下来每次振动振幅减小，动能减小，损失的动能被阻尼力吸收

⏹负阻尼的情况

阻尼力作为驱动力做正功，在一个循环里面，该功转化成动能，使振动增加

●如果没有外来能源(如蒸汽锅炉), 自激振动就不能存在

⏹能源自身是没有运动的交替频率的

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●对于一个线性自激振动系统，由于每个循环都有能量进入系统里来，其振幅会随时间发展为无限大

⏹实际观测不到无限大振幅

●在大多数的系统里面，自激振动机制与阻尼同时、独立存在

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●线性系统中阻尼每周的耗散能为，一个抛物线●如果负阻尼力也是线性的，每周输入能量将是另一个

抛物线

●是自激系统还是阻尼系统，取决于哪个抛物线高一些

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●在实际的例子中，输入和阻尼力其中之一或者同时，都是非线性的，输入和耗散曲线是相交的

⏹假定振幅为，那么输入的能量就会多于耗散的能

量，振幅会增加

⏹假如振幅为，阻尼力会大于自激振动，振动会消

减

⏹这两种情况下，振幅都会倾向

于向发展, 此时能量平衡，

系统所做的运动为无阻尼的稳

态自由振动

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11.2稳定的数学判据

●对于单自由度系统，采用简单的物理推理即可显示阻尼常数是否为负，因而可以不通过数学方法，而直接以物理方法推导动态稳定准则。

●对于含有两个或者三个自由度的系统，相应的物理概念不足以完整解释事件的全部，而有必要采用数学方法，第一步就是要建立问题的微分方程。

●如果处理的是小振动问题，可以忽略任何的非线性, 方程都是线性的，并且是二阶的

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●假定解具有以下形式

⏹:复数;

⏹实部确定了阻尼;

⏹虚部确定了固有频率

代入自由振动的微分方程，使其化为一组个齐次线性代数方程，含如下复未知量

经过代数消去法处理，得到不包含以上变量的方程，即频率方程，通常是的自由度方程。

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●的根通常是复数，以共轭对的形式出现

第一个微分方程的解写为

用共轭对把这些项重新组合

因此，的虚部就是频率, 的实部确定了阻尼比.

●如果全部值的实部都是负的，系统就是动态稳定的;

●如果其中任何一个s的值的实部是正的，系统就是动态不稳定的. 16

●于是，稳定性可以通过检查频率方程解的实部的符号来确定

⏹没有必要求解方程，因为可以通过检查方程的系数

，按照一定的规则，即可得出关于稳定性的结论。

●这些规则由Routh在1877年给出，但是对于高阶频率方程而言，相当复杂

⏹对于大多数实际问题（三个或四个自由度），规则

很简单

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