管理统计学12 第十二章 统计决策

❖
原概率修改为P（A1）P（a2/ A1）=0.6×0.1=0.06；
❖ 当新产品销路不好时，采用新产品就要亏损X21=－3万元；不采用新产 品，就有可能用更多的资金来发展老产品，获利X22=10万元。
❖ 现确定销路好（A1）的概率为P（A1）=0.6，
❖
销路差（A2）的概率为P（A2）=0.4。
方案 ❖
新产品销路好 A1
P（A1）概率 0.6
新产品销路差 A2
P（A1）概率 0.4
管理统计学 [第四版]
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第十二章 统计决策
• §12.1 统计决策概述 • §12.2 以期望值为准则的决策方法 • §12.3 以最大可能性为准则的决策方法 • §12.4 决策树方法 • §12.5 贝叶斯决策方法
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案例导入
1981年3月30日，一个大学退学生Hinckley企图对里根总统行刺。他打伤了里根、 里根的新闻必输以及两个保安人员。在1982年审判他时，Hinckley以精神病为理由 作为其无罪的辩护。在18个医师中作证的医师是Daniel R.Weinberger，他告诉法院 当给被诊断为精神分裂症的人以CAT扫描（计算机辅助层析扫描）时，扫描显示 30%的案例为脑萎缩，而给正常人以CAT扫描时，只有2%的扫描显示脑萎缩。 Hinckley的辩护律师试图拿Hinckley的CAT扫描结果为证据，争辩说因为Hinckley的 扫描展示了脑萎缩，他极有可能患有精神病，从而免于受到法院的起诉。一般地， 在美国精神分裂症的发病率大约为1.5%。利用以上数据，运用贝叶斯公式，我们 可以算出即使Hinckley的扫描展示了脑萎缩，他也只有18.6%的可能性患有精神分 裂症，因此CAT扫描无法作为其无罪的证据。
• min{100，93.75}＝93.75．
• 所以，应选择整箱不检验的方案。
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§12.3 以最大可能性为准则的决策方法
❖ 当各种自然状态出现的概率相差较大，且有一种状态出 现的概率明显地高于其他自然状态的概率时，则可以只 考虑概率最大的那个自然状态下各行动方案的损益值， 从中择优选取最佳方案，而这就是以最大可能性为准则 的决策方法。
❖ （3）用概率乘法定理计算联合概率，用概率加法定理计算边际概率 ，用贝叶斯定理计算后验概率；
❖ （4）用后验概率进行决策分析。
❖ 在贝叶斯决策中，先验分析是进行更深入分析的必要条件。决策者常常 考虑是否要搜集和分析追加的信息，并权衡所需增加的费用及其对决策 者的价值，对比这些信息的费用与根据预后验分析作出决策的风险和可 能结果。所以，这种预后验分析主要涉及到两个问题：一是要不要追加 信息，或者说追加信息对决策者有多大的价值；二是如果追加信息应采 取什么策略行动。
❖ 选择决策方案时，不一定费力去寻求经济上“最优”方案，而是 选择使人满意的方案。也就是说，在某些情况下，应该以令人满 意的合理的准则代替经济上最优的准则。
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§12.2 以期望值为准则的决策方法
❖ 决策的方法与所选择的决策准则直接相关，期望值准则是风险型决策最 常用的准则。以期望值为准则进行决策的基本方法是：根据收益表（或 亏损表），计算各行动方案的收益期望值，然后从中选择期望收益最大 （或亏损最小）的方案为最优方案。各个方案的期望收益值由以下公式 计算得到：
❖ 解 根据已知资料，可编制收益表如下：
❖ 表12-1 某施工单位的收益表
❖
方案
天气好
天气坏
概率0.8
概率0.2
开工收益
10
3
不开工收益
－1
－1
❖ 以上Al代表开工，A2代表不开工，计算得到两种方案的期望值如下： ❖ E(A1)＝10×0.2+(－2)×0.8＝0.4(万元)； ❖ E(A2)＝－0.4×0.2+(一0.4)×0.8＝一0.4(万元) ❖ 按期望值准则，应选取期望收益最大者：
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❖ 在已具备先验概率的情况下，一个完整的贝叶斯决策过程包括以下几个 步骤：
❖ （1）进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补充资料 可能得到的结果和如何决定最优对策；
❖ （2）搜集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑概率，对 历史概率要加以检验，辨明它是否适合计算后验概率；
❖ 所谓预后验分析，实际上是后验概率决策分析的一种特殊形式，也即用 一套概率对多种行动策略组合，从中择优。
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❖ 例12-5，某工厂要研制开发一种新型童车，首要的问题是要研究这种新 产品的销路A及竞争者优劣a的情况。他们估计：
❖ 当新产品销路好时，采用新产品可盈利X11=8万元；生产老产品，则因 其他竞争者会开发新产品，而使老产品滞销，工厂可能亏损X12=－4万 元；
❖ 第一，在销路好（A1）的情况（自然状态）下进行调查，其结果对原 来的先验概率P（A1）=0.6有三种修改：
❖ （1）认为销路好(有竞争优势a1)的概率为P（a1/ A1）=0.8，
❖
原概率修改为P（A1）P（a 1/ A1）=0.6×0.8=0.48；
❖ （2）认为销路差(无竞争优势a2)的概率为P（a 2 / A1）=0.1，
开发新产品 U1
8
-3
采用老产品 U2
-4
10
期望收益 (万元)
3.6 1.6
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❖ 采用新产品方案（U1）的期望值：
❖
EU1
n j
1 X1
j
P

A
j

❖
= X11P（A1）+ X12P（A2）=8×0.6+(－3)×0.4=3.6（万元）
❖ 不采用新产品方案（U2）的期望值：
n
EAi X ij Pj j 1
❖ 式中，为第i个方案的损益期望值；表示在第i个方案在第j种状态下的损 益值；表示第j种状态发生的概率；n为总共可能发生的状态数目。
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❖ 例12-1，某施工单位对下月是否要开工进行决策。如果开工，天气好 时可获利10万元，天气不好时将赔2万元；如果不开工，无论天气好坏 都要赔0.4万元。根据预测表明，天气好的概率为0.8，天气不好的概率 为0.2。按期望值决策准则对以上方案进行决策。
❖ 无论哪种决策类型，都要经过确定决策目标、拟定决策方案、预 测方案得失、选择最优方案和实施方案等五个基本决策程序。
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§12.1 统计决策概述—狭义的统计决策
❖ 一般来说，统计决策有广义和狭义之分，凡是应用统计方法进 行的决策称为广义的统计决策。狭义的统计决策是指不确定情况 下的决策。在不确定情况下进行决策需要具备以下四个条件：
E U 2

j
n

ห้องสมุดไป่ตู้
1
X
2
j
P
A
j

❖
= X21P（A1）+ X22P（A2）=(－4)×0.6+10×0.4=1.6（万元）
❖
以上所示的数据即为先验分析，可根据其中所列出的期望值作为决
策标准，选择行动方案A1。
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❖ 为了对先验概率进行补充和修正，就要进行实际（自然状态）调查。 分别在销路好（A1）和销路差（A2）两种情况下进行调查，结果如下 ：
志“∥”，表示被淘汰方案。 星蓝14海学习网
§12.5 贝叶斯决策方法
❖ 风险型决策方法依据概率进行决策，具有一定的风险性。 ❖ 概率分为先验概率和后验概率。 ❖ 先险概率是根据历史资料或主观判断所确定的概率，并未经试验
证实。 ❖ 依此进行决策的风险必然很大。为了减少这种风险，就要通过科
学试验、调查、统计分析等方法获得较为准确的信息，修正先验 概率，并据以确定各个方案的期望损益值，拟订出可供选择的决 策方案。 ❖ 贝叶斯决策方法便是这种以获得新的信息修正先验概率，按后验 概率进行分析判断的决策方法。
❖
方案
羊绒服装热继续 0.25
羊绒服装热下降 0.75
期望收益 (万元)
引进新生产线
240
—50
22.5
不引进新生产线
50
10
20
❖ 根据期望值准则，“引进新生产线”是最优方案，但是从一次性损益考虑， “羊绒服装热下降”的概率最大，采用最大可能性为准则进行决策的结果， 应该选择“不引进新生产线”方案，进行小指量试产。
• 表12-2 某公司每箱产品检验费用亏损表
方案
不合格品率
5％
10％
15%
整箱检验费用 整箱不检验费用
概率0.6 100 62.5
概率0.3 100 125
概率0.1 100 187.5
• 解：根据表11-2提供的数据，设Al为整箱检验，A2为整箱不检验，计 算得到两种方案的期望费用支付额为
• E(A1)＝100(元)， • E(A2)＝62.5×0.6+125X0.3+187.5×0.1＝93.75(元) • 按期望值准则应选取期望支付额最小者
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§12.4 决策树方法
❖ 决策树是由决策点□、方案枝 、机会点○、概率枝 和终 点●等构成的一种类似树木的决策图。
❖ 例12-4 某公司为生产某种新产品而设计了两种基本建设方案， 一个方案是建大厂，另一个方案是建小厂，建大厂需投资300万 元，建小厂需投资140万元，两者的使用期都是10年，无残值。 估计在寿命期内产品销路好的概率是0.7，产品销路差的概率是 0.3，两种方案的年度损益值如表11-4所示。试用决策树进行决 策。
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❖ 例12-3，目前市场上正流行羊绒服装，某服装厂打算在原有的基础上增加 羊绒大衣的生产。现有两种方案：
❖ 方案一，引进一条新的生产线进行大批量生产；