高中数学必修四优质课教案1.2.1三角函数的定义(一)

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高中数学第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(第1课时)教案新人教A版必修4(202

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1.2.1任意角的三角函数（1）一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一;（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义。

根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》7

教学设计人教B版2021版。

必修4 1.2.1三角函数的定义（第一课时）一、【教学目标】1、知识与技能目标：（1）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义。

（2）会利用三角函数的定义分析、解决一些三角函数求值、确定三角函数的符号问题。

2、过程与方法目标：由三角函数的定义引导学生自主研究同角三角函数的基本关系式，提高学生的建模意识。

培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，特殊到一般的思维方法，渗透分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．3、情感与态度目标：通过经历的用三角函数的定义出发，求三角函数值，激发学生的求知欲，鼓励学生积极参与、大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

引导学生养成自主学习的学习习惯。

二、【学情分析】1学生具备初中三角函数的定义，高中终边相同的角的概念方面的知识。

2、这个班级是营口市第二高级中学的理科普通班，学生基础知识掌握一般。

有学习积极性。

有一定的参与意识。

三、【教学重点、难点】（一）教学重点三角函数的定义，明确对应法则和定义域。

（二）教学难点1 通过坐标求任意角的三角函数的值，判断三角函数在各个象限的符号。

2、对学生进行思维灵活性的培养。

在解题过程中常常要分类讨论思想，提高学生从特殊到一般的概括能力。

四、【教学方法】讲练结合【教学过程】1.2.1三角函数的定义（第一课时）1.2.1教学活动【预习要求】1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。

【预习】教材第14-16页，1初中知识再现：在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:sin α= ；cos α=tan α=cot α=2．任意角的三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P,，则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 根据三角形的相似知识得到xyr y r x ,,均为定值。

人教版数学必修四1.2.1《任意角的三角函数(第一课时)》教学设计

“任意角的三角函数”第一课时教学设计一、教学目标设置1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点.2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性，必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性.3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力.二、教学重点1、对任意角的三角函数定义的理解；2、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的确定；3、三角函数的周期性特点（公式一）.三、教学难点任意角的三角函数概念的建构过程.四、学生学情分析学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华.五、教学策略分析本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在问题中形成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法.课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学.六、教学过程（一）创设情境，导入新课（问题1到问题2是温故知新化过程）问题1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的范围是什么？设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.问题2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数R，那么对于任意角α，比如当α为钝角时，角α的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三角函数该如何定义呢？设计意图：利用角α的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利于将探究的主动权交给学生.（二）提出问题，探求新知（问题3到问题5是定义坐标化过程）问题3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础.问题4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任意角三角函数概念的建构这一教学难点.问题5 对于任意角α都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角α可以方便研究？在锐角α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点O 的距离为r ，你能用点P 的坐标及r 来表示锐角α的三角函数吗？设计意图：把锐角α放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般化做铺垫.（问题6到问题7是表达式形式优化过程）问题6 当锐角α确定，如果改变α的终边上的P 点位置，角α的正弦值会发生改变吗？设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值.这是为单位圆定义的提出做好铺垫.问题7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点P 的位置无关，那么当P 点选在何处时，sin cos αα和的形式最简单？设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出sin cos αα和的简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上P 点有对应关系.（问题8到问题10是函数化过程）问题8 当锐角α发生变化时，P 点的坐标会发生相应的改变吗？（追问）当锐角α确定了，P 点的坐标是否唯一确定？（配合动画演示）（教师板书：任意锐角α（实数）→唯一实数b ；任意锐角α（实数）→唯一实数a .）设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键.问题9 你能给这个函数（任意锐角α（实数）→唯一实数b ）命名吗？设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.问题10 既然是函数，你能说出锐角α正弦函数的自变量吗？以什么为函数值呢？设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础.（问题11到问题12是特殊到一般化过程）问题11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在x 轴非负半轴上，其终边定与单位圆有唯一交点，从而能形成函数关系.为归纳任意角三角函数概念扫清心理障碍.问题12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生交流中，板书定义）设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义.学生可以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸.（三）分析思考，加深理解（下列问题是概念理解强化过程）问题13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数，强调了其函数属性.问题14 当α为锐角时，sin ,cos ,tan ααα的值都是正数，当α的终边落在各个象限时，它们分别取什么符号？设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律解决问题的意识.设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”.设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情.（四）强化训练，巩固双基第一关求53π的正弦、余弦和正切的值. 设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运用概念，巩固对概念的理解.问题15 （追问）求113π的正弦、余弦和正切的值. 设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公式一的作用和三角函数的周期性.第二关确定下列三角函数值的符号：（1）cos 260；（2）sin()4π-；（3）tan(700)-；（4）tan3π.第三关求下列三角函数值：(1)sin(1050)-； 9(2)cos 4π； 11(3)tan()6π-. 设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一结论.第四关已知角α的终边经过点0(3,4),P --求角α的正弦，余弦和正切值.0(3,4)(0),P a a a--≠情况又如何？设计意图：该点不在单位圆上，与例题1的解法对比；为课后探究“角α终边上任一点(,)Q x y，求角α的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫；增加了一个问题，加强了学生对任意角三角函数定义的理解，同时渗透了分类讨论的思想.（五）课堂小结,升华提高知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点.思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.（六）作业布置：1、课本15页练习2、3、5.2、假设角α的顶点是直角坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，已知角α终边上任一点(,)Q x y，求角α的正弦、余弦和正切函数值.3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.。

高中数学人教B版必修四第一章《1.2.1 三角函数的定义》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学人教B版必修四第一章《1.2.1 三角函数的定义》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
知识与技能目标:理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角的余切、正割、余割的定义;会求给定角的三角函数值;会判断三角函数值在各象限的符号。

过程与方法目标:经历学习任意角三角函数定义和探索三角函数值符号规律的过程,丰富数形结合的经验,培养良好的思维习惯。

情感态度与价值观目标:认识数形结合思想的重要性,提高学习数学的兴趣。

2学情分析
本节课面对的是A层的学生,他们思维活跃,数学基础扎实,理解能力较强,对数学充满兴趣,能积极参与课堂讨论。

但他们在思维的严谨性上有所欠缺,同时对研究数学的方法还比较生疏。

因此,在设计中,一方面积极发挥学生的主动性,让学生参与到概念的形成过程中;另一方面,通过教师的引导和帮助,来培养学生逻辑推理能力,培养他们良好的思维习惯。

3重点难点
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】问题情境
展示问题情境:
摩天轮的中心离地面的高度为5米,它的半径为4米,逆时针方向匀速转动。

初始时座舱A 与O在同一水平线上。

当A逆时针旋转30°时,离地面的距离h=_______,当A逆时针旋转a( )时,离地面的距离h =_______。

(2)当A逆时针旋转240°时,离地面的距离h=_______
(3)当A逆时针旋转a时,离地面的距离h=_______。

1.2.1任意角的三角函数的定义(第一课时)

第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt △ABC 中,设A 的对边为a ,B 的对边为b ,C 的对边为c ,锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .2.探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ),点P 与原点的距离r=,sin α= ;cos α= ;tan α= . 思考:对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.思考:怎样适当地选取P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以为半径的圆为单位圆. 新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ): 那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2)x 叫作α的余弦,记作cos α,即 ;(3)叫作α的正切,记作 ,即tan α=(x ≠0).三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4.思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．梳理诱导公式一典型例题【例1】求π的正弦、余弦和正切值.解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】已知角α的终边过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:sin α==-,cos α==-,tan α=.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.证明:如果sin α<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan α>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°; (2)sin(-4π); (3)tan(-672°); (4)tan3π. 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 cos250°<0; (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0; (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0. 【例5】求下列三角函数值. (1)sin1480°10'; (2)cos; (3)tan(-).解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645; (2)cos =cos(+2π)=cos ;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.【例6】已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数的值解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值【例7】判断下列各式的符号： (1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号答案二解析由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角．类型三诱导公式一的应用例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点诱导公式一题点诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点诱导公式一题点诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 C解析根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角．二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 答案－3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上， sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3. 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．答案32，12，3或－32，－12， 3 解析因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________.答案－1解析原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是________________．答案 {－4,0,2}解析由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0， sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0， sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0， sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin αB.cos αC.tan αD.2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P (-1,2),则cos α的值为 .4.已知角α的终边过点(a ,2a )(a ≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-)的符号.参考答案复习:探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ), 点P 与原点的距离r=,sin α=,cos α=,tan α=.由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P 在角的终边的位置改变而改变. 2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sin α=b ,cos α=a ,tan α=,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P 点.此时,点P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 新知:1.cos α=x ;tan α;自变量2.≠+k反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】解:sinα==-,cosα==-,tanα=.【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos=cos(+2π)=cos;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.达标检测1.B2.B3.-4.当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=2;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=2.5.略。

2019_2020学年高中数学第1章1.2.1三角函数的定义教案(含解析)新人教B版必修4

1.2.1 三角函数的定义1．任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？[提示]对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．1．已知角α终边经过P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( ) A.12 B.32 C.33 D ．±12B [由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cosα＝32.] 2．若α的终边与y 轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( ) A ．sin α与cos α B ．tan α与cot α C ．tan α与sec αD ．cot α与csc αC [由三角函数的定义及其定义域可知，对tan α与sec α中角α的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z，故选C.] 3．若角α的终边上有一点P (3,4)，则sin α＋cos α＝________. 75 [由三角函数定义知，sin α＝45，cos α＝35， ∴sin α＋cos α＝75.]4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角．第三或第四 [∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号．故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．]任意角三角函数的定义及应用【例1】 (1)若sin α＝5，cos α＝－5，则在角α终边上的点有( )A ．(－4,3)B ．(3，－4)C ．(4，－3)D ．(－3,4)(2)若α＝－π3，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(3)已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝________. [思路探究] (1)由定义确定终边位置，结合函数值求解． (2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解． (3)分α＞0，α＜0两种情况分别求解． (1)A (2)－32 12－ 3 (3)1或－1 [(1)由sin α，cos α的定义知x ＝－4，y ＝3，r ＝5时，满足题意，故选A.(2)因为角－π3的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以sin α＝－32，cos α＝12， tan α＝－ 3.(3)因为r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.]由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.1．设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值．[解] 由点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，所以f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.三角函数符号的判断(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°； (2)tan 191°－cos 191°； (3)sin 2cos 3tan 4.[思路探究] 先确定角所在象限，进一步确定各式的符号． [解] (1)∵2 015°＝5×360°＋215°，2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0. (2)∵191°角是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r ＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.2．判断下列式子的符号：sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)．[解] 270°<320°<360°，360°<385°<450°，90°<155°<180°，－540°<－480°<－360°，则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第四象限角，所以sin 320°<0，cos 385°>0，tan 155°<0，tan(－480°)<0. 所以sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)<0，即符号为负.1．正切函数tan α的定义域为何不是R?[提示] 根据正切函数的定义tan α＝y x ，当α的终边在y 轴上，即α＝k π＋π2(k ∈Z )时，x ＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z. 2．怎样解决与三角函数有关的定义域问题？[提示] 解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况：(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.【例3】求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos xtan x ；(2)y ＝－cos x ＋sin x .[思路探究] (1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于0； (2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集．[解] (1)要使函数有意义，需tan x ≠0，所以x ≠k π＋π2，k ∈Z 且x ≠k π，k ∈Z ，所以x ≠k π2，k ∈Z .于是函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意求解结果应用区间或集合表示.3．求函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域．[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－x 2≥0，sin x ≥0，由y ＝16－x 2的图象解得16－x 2≥0的解集为[－4,4]．sin x ≥0的解集为[2k π，2k π＋π]，k ∈Z .结合数轴知函数定义域为[－4，－π]∪[0，π]．(教师用书独具)1．对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．根据三角函数定义知：(1)正弦值的符号取决于纵坐标y 的符号．(2)余弦值的符号取决于横坐标x 的符号．(3)正切值的符号是由x ，y 的符号共同决定的，即x ，y 同号为正，异号为负．2．巧记三角函数值符号为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．2．对三角函数定义的三点说明(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数值的大小只与角有关，而与点P (x ，y )的位置无关.1．已知P (1，－5)是α终边上一点，则sin α＝( )A ．1B ．－5C ．－52626D ．2626C [∵x ＝1，y ＝－5，∴r ＝26， ∴sin α＝y r ＝－52626.] 2．sin 1·cos 2·tan 3的值是( )A ．正数B ．负数C ．0D ．不存在A [∵0<1<π2，π2<2<π，π2<3<π，∴sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，∴sin 1·cos 2·tan 3>0.]3．如果sin x ＝|sin x |，那么角x 的取值集合是________．{}x | 2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z[∵sin x ＝|sin x |，∴sin x ≥0，∴2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .] 4．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值． [解] 根据三角函数的定义，tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12，∴P (5，－12)，r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.。

人教版高中数学数学必修四1.2+三角函数定义第一课时+教案

第一学期高一数学教案主备人：使用人：时间：轴的检测题1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45 B.35C ．－35 D ．－45 答案 D解析因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.32答案 A解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34C.43 D ．－43 答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5， ∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．如果sin x ＝|sin x |，那么角x 的取值集合是________．答案 {x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》0

三角函数的定义教学设计兴城二高中武丹一、教学目标 1知识与技能（1）使学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解正割、余割、余切的定义。

（2）掌握三角函数的定义域。

（3）会判断三角函数在各象限的符号。

2、过程与方法经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验 3、情感态度与价值观（1）利用多媒体直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；（3）通过三角函数定义的学习，体会三角函数像一般函数一样，具有一般函数的抽象美。

二、教学重点、难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；难点：三角函数的定义域；判断三角函数值在各象限内的符号三、教学过程: （一）复习引入面对全体学生提问：在初中我们初步学习了锐角三角函数，锐角函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：（二）引伸铺垫、创设情景1、提问：如何用坐标表示锐角三角函数呢？留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：把锐角α放在（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点⊥轴于M ，构造一个Rt ΔOMO =、对边MP=，斜边长|OP ∣=rin α=斜边对边=ry ，con α=斜边邻边=rx ，tan α=邻边对边=xy根据锐角三角函数定义用、、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值 2、追问：P 点的位置改变，比值会改变吗？引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α确定的，不会随P 在终边上的移动而变化得出结论强调：当α为锐角时，三个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化所以，三个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数设计意图：初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键这样做能够使学生有效地增强函数观念（三）新课讲授1、提问能将锐角的比值情形推广到任意角α吗对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形：（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P （，），P 与原点O 之间的距离记作r（图3）（图4）P,O· P,O· P,O · P,O ·（图5）（r=22y x +＞0），列出六个比值：r y r xxy2、追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画多媒体演示，再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：对于任意角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化综上得到（强调）：当角α变化时，三个比值随之变化；对于确定的角α，六个比值（如果存在的话）都不会随P 在角α终边上的改变而改变，三个比值是确定的因此，三个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数另外的三种三角函数：正割：1sec cos αα= 1csc sin αα= 1cot tan αα=指导学生识记六个比值及函数名称教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（四）、探索定义域（1）函数概念的三要素是什么？函数三要素：定义域、值域、对应法则、引导学生自主探索：α的取值范围关于in α=/r 、co α=/r ，对于任意角α（弧度数），r ＞0，/r 、/r 恒有意义，定义域都是实数集R对于tan α=/，α= ππ/2 时=0，/无意义，tan α的定义域是：{α|α∈R ，且α≠ππ/2 } … … …教师指出: in α、co α、tan α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cot α、cc α、ec α的定义域不要求记忆设计意图：定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握（五）符号判断、形象识记能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r ＞0,三角函数值的符号决定于、值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：－－＋＋－＋－＋＋－－＋设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键（六）练习巩固、理解记忆例1：已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值要求：读完题目，思考：计算什么需要准备什么闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义例2：求出下列各角的三个三角函数值0 π3 2π设计意图：及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终（七）回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：设计意图：遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力（八）布置作业教材17、18页A组和B组。

高中数学 121三角函数的定义教案新人教版必修4 教案

1.2.1 任意角的三角函数（1）一、课题：任意角的三角函数（1）二、知识与技能：1、掌握任意角的三角函数的定义；2、已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3、记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

三、过程与方法：1、理解并掌握任意角的三角函数的定义；2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；3、通过对三角函数的定义域、三角函数值的符号、诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

四、情感、与价值观：学习转化的思想，培养学生严谨治学的态度和一丝不苟的科学精神。

五、教学重、难点：任意角的三角函数的定义，三角函数值的符号，根据定义求三角函数值。

六、突破重、难点的方法：先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，直角坐标系中考查锐角三角函数，得出用角终边上的点的坐标表示锐角三角函数的结论，然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论。

在此基础上，再定义任意角的三角函数七、学情分析：学生已经掌握的内容及学生的学习能力：1、初中已经学习了锐角的三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识与求法；2、学生的运算能力欠缺；3、学生对数学学习具有较强的兴趣和积极性；4、学生的探究能力、合作交流意识等不够均衡。

八、教学过程：（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

（二）新课讲解： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；④对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。

高中数学人教B版必修4教案：1.2.1 三角函数的定义1 Word版含答案

三角函数的定义一、教学目标1.知识与技能目标（1）理解并掌握任意角三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等；（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域；（3）熟记三角函数在各象限的符号.2.过程与方法目标（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；（2）通过对任意角三角函数的定义的探究，培养学生自主探究、合作交流的能力；3.情感、态度与价值观目标通过三角函数定义的学习，体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示我们在研究问题时，要在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑，从中体会三角函数，像一般实函数一样，体现了一般函数的抽象美。

二、教学重难点重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的定义域，判定三角函数值的符号.难点：任意角的三角函数的定义.三、教学方法在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，引导学生重新定义任意角的三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号．【教学过程】新课例题讲解、变式训练探究：三角函数在各象限的符号．三角函数在各象限的符号如下图所示：例题2. 确定下列各三角函数值的符号：（1）cos260°例题3.设sinα<0且tanα>0, 试确定α是第几象限角？变式训练2.10tan3π（1）（）的符号sin cos0,ααα⋅<（2）则是第几象限角？(3)cos22βββ、已知是第三象限角且<0，问是第几象限角？学生探究得到三角函数在各象限的符号，教师可以引导学生总结口诀，帮助学生记忆：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．教师：PPT展示求解过程并点明，解决这一类问题主要就是判断角的终边落在哪一个象限，并且熟记三角函数在各个象限的符号.教师也可以借助超级画板动态演示，可以更直观形象的得到三角函数在各象限的符号，符合新课程理念提出的借助信息技术辅助教学，同时也是直观教学的一种体现..例题的讲解主要是让学生体会如何利用三角函数在各象限的符号解决问题，加深学生对这一部分知识的体会.小结本节课所学知识点：内容总结：(1)任意角三角函数的定义．(2三角函数的定义域．(3)任意角三角函数值的符号（记住口诀）．思想方法方面：（1）定义法求解三角函数值.让学生总结，教师适当的提醒给予补充完整．培养学生的语言组织总结能力和数学语言表达能力．O xy＋＋－－sin αO xy＋－＋－cos αO xy＋－－＋tan αsin-3π（2）（）。

人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.2.1任意角的三角函数》教案(1)

1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；（4）比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot xy α=；（5）比值r x叫做α的正割，记作sec α，即sec rx α=；（6）比值r y叫做α的余割，记作csc α，即csc ry α=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy yα=与csc ryα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

高中数学人教版必修4教案第一章三角函数 1.2.1任意角的三角函数(1)

1. 2.1 任意角的三角函数<第一课时>班级姓名学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。

.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。

教学过程（一）提出问题问题1:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?问题3:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?（二）新课导学 1、单位圆的概念：.在直角坐标系中,我们称以为圆心,以为半径的圆为单位圆.2、三角函数的概念我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =ab.图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy (x≠0).所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.注意:(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. （3）由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.3、例1：已知角α的终边与单位圆的交点是求角α的正弦、余弦和正切值。

高中数学 1.2.1《三角函数的定义》教案1 新人教B版必修4

正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oo o xyxy x y 学习目标：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入任意角的三角函数定义教师提出问题：任意角的三角函数是如何定义的？温故知新，为新课引入埋下伏笔概念的形成1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ,y ）则P与原点的距离2222>+=+=y x y x r ，xyr y r x ,,比值只与角的大小有关.2．三角函数是以“比值”为函数值的函数。

3．三角函数值的符号的讨论①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．教师提出问题：我们发现xy r y r x ,,这三个比值中0>r 而x ,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定请同学们探讨一下三角函数值的符号是如何？问题2。

你能否归纳出更易记忆的规律？学生甲：记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.学生乙：ααcsc sin 为正全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正学生丙：教师点评：由学生讨论得出新的结论ry)(x,αP例1.确定下列三角函数值的符号 (1) cos260º (2))3sin(π-(3) tan(-672º20’) (4) )310tan(π例2.设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的角。

高中数学必修4第一章三角函数1.2.1-任意角的三角函数教案

一、教学目标:掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)；掌握并能初步运用公式一；引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,稳固练习.引导学生从自己已有认知根底出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响,“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突,而且“比值〞需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解.二、教学重、难点:重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)；终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)；三角函数线的正确理解.三、教学过程〔一〕、创设情境1.在我们是如何定义锐角三角函数的？2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？3.如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？〔二〕、探究新知1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做α的正弦,记做sinα,即sin yα=；(2)x叫做α的余弦,记做cosα,即cos xα=；(3)yx叫做α的正切,记做tanα,即tan(0)yxxα=≠.注意:当α是锐角时,此定义与定义相同(指出对边,邻边,斜边所在)；当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点(,)P x y,从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点Pr =,那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.例1 求53π的正弦、余弦和正切值. 例2 角α的终边过点0(3,4)P --,求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-则5r ==.于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==.P15 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:例3 求证:当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时,角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=；cos(2)cos k απα+=(其中k Z ∈)； tan(2)tan k απα+=。

高中数学必修四优质课教案1.2.1任意三角函数的定义(一)

【优质课精品教案】数学人教B版必修4教案1.2.1任意三角函数的定义（一）Word版含课后习题答案1．2．1 任意三角函数的定义（一）一、教学目标1．知识目标：（1）让学生理解任意角的三角函数的定义；（2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域;(3).理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2．能力目标：（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力；（2）学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值；（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；（3）通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一般函数的抽象美。

二、教学重点（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；（2）三角函数的定义域；（3）根据任意角的三角函数定义求三角函数值。

（4）判断.三角函数值在各象限内的符号.三、教学难点任意角的正弦、余弦、正切的定义；教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入角的概念初中学过的锐角三角函数的定义教师运用多媒体展示在初中学习的锐角三角函数的定义。

师：前面我们学习了角的概念的推广和弧度制，今天我们在这些知识的基础上一起来学习任意角的三角函数。

我们在初中已学习了锐角三角函数，下面先复习锐角三角函数的有关知识。

共同回顾，点明主题概念形成1．用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：设点P (x,y)是锐角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（022yxr）,则用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分别是：sinα=ry，cosα=rx，1．以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边，则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（022yxr）,试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来。

2022年高中人教B版数学必修四优课教案：1.2.1三角函数的定义1

教学设计课题：《任意角的三角函数》教学目标：1.把握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区分；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。

教学重点：1. 任意角的三角函数的定义；2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。

教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法：1. 情境教学法；2. 问题驱动教学法。

教学过程：一、复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。

这节课我们要争辩的问题是任意角的三角函数。

学校阶段我们学习了锐角的三角函数。

【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（同学回答）二、新授学问【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。

我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。

α的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相像的性质可以得到。

）【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数明显已经达不到要求，必需寻求一种新的方法！前面我跟同学们示意过：今后在争辩任意角的相关时，我们经常把角放在坐标系里进行争辩！【问题2】任意角在坐标系中是如何放置的？（同学回答）将角的顶点放在原点，始边与x 轴正半轴重合。

角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。

出示PPT 。

我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P ，则P 有一确定的坐标，（x,y ），P 点到原点的距离也是确定的，。

在有意义的前提下这样我们可以得到三组比值：y r ，x r ，yx。

由相像三角形可以得到这些比值和取的点的位置无关，比值只和终边的位置有关！定义：y r 为α的正弦，sin α=y r ; x r 为α的余弦，cos α=xr ;y x 为α的正切，tan α=y x。