242二分法 (2)

的图象如图所示，则
A．b (-, 0)
C．b (1, 2)
B．b (0,1)
D．b (2, +)
1
2
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得 到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4.
由|a-b|<ε可知，区间[a，b]中任意一个值都是 零点x0 的满足精确度ε的近似值，这是为什么呢？ （当然为了方便，这里统一取区间端点a（或b）作 为零点的近似值）
设函数的零点为x0 ，则a< x0 <b．做出数轴.
1.若知道零点在(2．50，2．53)内，我们就可 以得到方程的一个精确到0．1的近似解2.50；
2.若知道零点在(2．515，2．516)内，我们就 可以得到方程的一个更为精确近似解，等等．
求方程近似解的问 题(或函数零点的近
似值)
不断缩小零点所 在范围(或区间)的
问题
如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越 小的区间，以使零点仍在此区间内?
探究1
函数f (x) ln x 2x 6的零点.
方程ln x 2x 6 0的根.
1.你能找出零点落在下列哪个区间吗？
√ A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.4,5
2.你能继续缩小零点所在的区间吗？
方程近似解(或函数零点的近似值)的精确度 与函数零点所在区间范围的大小有何关系?
二分法的实质就是将函数零点所在的区间 不断地一分为二，使新得到的区间不断变小， 两个端点逐步逼近零点．
思考：下列函数中 哪个能用二分法求零点？
√
二分法求方程近似解的一般步骤：
1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定 精确度ε.
2、求区间(a,b)的中点c. 3、计算f(c); (1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点 (2) 若f(a)f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c)) (3) 若f(a)f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))
例: 求出方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度 0.1)
解：做出函数f(x)=x2-2x-1的对应值表与图 像．
x
-1
0
f(x) 2
-1
由图可知道此函数在 区间（-1，0）与（2， 3）内有零点．
1
2
3
-2
-1
2
y
2
-2 -1 1 1 2 3
o
xFra Baidu bibliotek
-1
-2
在区间（2，3）中
f(2) < 0,f( 2 + 3) > 0 2
到零点 近似值a(或b)；否则重复步骤2-4．
课堂练习
1.下列函数中能用二分法求零点的是（ B ）
y
y
y
y
0x A
0x B
0x C
0x D
2.用二分法求函数y=f(x)在x (1, 2)内零点 近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0， f(1.25)<0，则函数的零点落在区间（ A ）
f(
2+2.5 2
)
<
0,
f(2.5)
>
0
f( 2.25 + 2.5) < 0,f(2.5) > 0 2
x1 (2, 2.5) x1 (2.25, 2.5)
x1 (2.375, 2.5)
f(2.375) < 0,f(2.4375) > 0
x1 (2.375, 2.4375)
由于 2.375 - 2.4375 = 0.0625 < 0.1
想一想
2.4.2 二分法
x2+x-6=0 ax2+bx+c=0
教学目标
知识与能力
通过具体实例理解二分法的概念，了 解二分法是求方程近似解的常用方法，从中 体会函数与方程之间的联系及其在实际问题 中的应用．
过程与方法
能借助计算器用二分法求方程的近似 解，并了解这一数学思想，为学习算法做 准备．
情感态度与价值观
A.（1，1.25） C. （1.5，2）
B.（1.25，1.5） D.不能确定
3.已知函数 f(x) = mx2 + (m - 3)x + 1
的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则
实数m的取值范围是（ D ）
A． (0,1] C．(-,1)
B．(0,1)
D．(-,1]
4.已知函数 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
解：令f(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3) -1, 零点为x0, 精确度为ε
易知：f(-1)<0，f(0)>0 取x=-0.5，计算f(-0.5)≈3.375>0
x0 (-1, -0.5)
取x=-0.75，计算f(-0.75)≈1.58>0
x0 (1, • 0.75)
从学校教学楼到学校食堂的电缆有5个接点. 现在某处发生故障，需及时修理.为了尽快把故 障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多 少__2_次．
1
2
3
4
5
猜数字游戏，看谁先猜中
从1～1000这1000个自然数随机抽出１个 数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了” 先猜出这个数？
10次以内猜出，你们能做到吗 ？
取x=-0.875，计算f(-0.875)≈0.39>0
x0 (1, • 0.875)
取x=-0.9375，计算f(-0.9375)≈-0.28<0
x0 (0.9375,0.875) 此时 | (0.9375) (0.875) | 0.0625 0.1
∴ 原方程的近似解取为-0.9375
值表，若在区间 (a, b)上连续，并且有 f (a) f (b) 0
那么函数 y f (x)在区间[a, b]内至少有一个实数
根、若能证明 y f (x)在 [a,b]上的单调性，则在
[a,b] 有且只有一个零点、再在其它区间内去寻找.
解二：试探着找到两个x对应值为一正一负 （至少有一个）；再证单调增函数即可得有 且只有一个.
体会数学逼近过程，感受精确与近似 的相对统一．
教学重难点
重点
通过用二分法求方程的近似解，体会函 数的零点与方程根之间的联系，初步形成 用函数观点处理问题的意识．
难点
恰当地使用信息技术工具，利用二分法 求给定精确度的方程的近似解．
一元二次方程可以用公式求根,但没有公式 可用来求lnx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关 知识来求它根的近似值呢？
新课导入
回想一下上一节课所学的内容. （1）函数的零点及其等价关系？
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做 函数y=f(x)的零点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
（2）如何求零点个数及所在区间？
解一：利用计算器或计算机作 x, f (x)的对应
解三：构造两个易画函数，画图，看图象 交点个数，很实用.
（3）连续函数在某个区间上存在零点的判别 方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么， 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方 程f(x)=0的根.
课堂小结
1.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0
的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在 区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零 点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．
2.概括利用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤
1．确定区间[a，b]，验证 f(a)f(b) < 0，给定
(2.53125,2.5390625) 2.5351562 负 0.001 正
5
| 2.5390625 －2.53125|=0.0078125<0．01 精确度已达到0．01
这种运用缩小零点所在范围的方法在数学和计 算机科学上被称为二分法.
对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)<0的函数 y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
精确度ε.
2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)
(1)若f(c)=0，则c 就是函数的零点;
(2)若f(a)f(b) < 0 ，则令b=0（此零点 x0 (a,c)）; (3)若f(c)f(b) < 0，则令a=0（此时零点x0 (c,b) ）.
4．判断是否达到精确度 ε ：即若a - b < ε ，则得

b
,
b)
2
内，从而将零点所在范围缩小了一
半． 2
解方程 :••lnx + 2x - 6 = 0
找函数•f(x) = lnx + 2x - 6的零点
逐渐缩小函数f(x) = lnx + 2x - 6的零点所在范围
(a，b) (2 , 3)
中点x1 f(a) f(x1) f(b) 2.5 负 -0.084 正
将一个区间分为两个区间. 该找怎样的分点?
取中点
对于一个已知的零点所在区间(a，b)，取中
点
a
2
b，计算
f
(a
2
b
)，根据零点所在范围的判断
方法，如果这个函数值为0，那么中点就是函数
的零点；
如果不为0，通过比较中点与两个端点函数
值的正负，即可判知零点是在 (a, a b) 内，还是
在
(a
a
x0
b
所以，0< x0 – a<b-a，a-b< x0 –b<0. 由于︳a-b ︳< ε，所以
︳ x0 –b ︳<b-a< ε， ︳ x0 -b ︳<︳a-b ︳< ε.
确定初始区间
求中点，算其函数值
返
缩小区间
回
算长度，比精度
下结论
口诀
定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
所以方程的一个近似解可取为2.4375.
在区间（-1，0）中同理可得到方程的另外 一个近似解为0.375. 综上所述方程的近似解分别是0.375，2.4375.
用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函 数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用.
例：用二分法求方程 ( x 1)( x 2)( x 3) 1 在区间(-1,0)内的近似解(精确度0.1)
(2.5,3)
2.75 负 0.512 正
(2.5,2.75)
2.625 负 0.215 正
(2.5,2.625)
2.5625 负 0.066 正
(2.5,2.5625)
2.53125 负 -0.009 正
(2.53125,2.5625) 2.546875 负 0.029 正
(2.53125,2.546875) 2.5390625 负 0.010 正