反三角函数典型例题

反三角函数典型例题

例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。

（1）（2）arcsin 4

π

；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。

例2：求下列反正弦函数值

（1）= 解：3

π

（2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2

π

点评：熟练记忆：0，1

2

±、，，1±的反正弦值。

思考：1sin(arcsin

)24

π

+该如何求？

例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x

(1)sin x 5=

，x [,]22ππ

∈- 解：x ＝arcsin 5 变式：x [,]2

π

∈π?

解：x [,]2π

∈π时，π－x [0,]2

π∈，sin(π－x)＝sinx ＝5

∴π－x ＝，则x ＝π－

变式：x [0,]∈π? 解：x ＝或x ＝π－

(2)1

sin x 4

=-，x [,]22ππ∈- 解：1x arcsin 4=-

变式：1

sin x 4=-，3x [,2]2π∈π

解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1

4

∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1

4

点评：当x [,]22ππ

∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ∉-，可以将角转化到区间[,]22

ππ-上，再用诱导公式

处理对应角之三角比值即可。

练习：

(1)sin x =

，x [,]22ππ

∈- 解：x 3π=

(2)sin x =，x [0,]∈π 解：x =x =π-

(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3

x arcsin 5

=π+

例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。

解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。

变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22

ππ

∈--+

思考：当3x [,]44

ππ

∈-时，求函数y arcsin(cosx)=的值域。

解：当3x [,

]44ππ∈-时t cos x [=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42

ππ∈-。

例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2

π∈π

解：y [0,1]∈，x [,0]2

π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-，

则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =，x [0,1]∈

解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2

π∈。

[例6] 求下列反三角函数的值：

(1) ＝6

π

(2) arccos(＝

34

π

（两种方法）

(3) arccos0＋arctan1＝34π

(4) arctan(＝3

π-

(5) arcsin (－12)＋arccos (－12

)＝2π (6) 5arctan(tan )6π＝6π

-

[例7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的x ：

(1) 1cos x 3

=，x [0,]∈π

解：1x arccos 3= 变式：1cos x 3

=-，x [,2]∈ππ

解：1

x 2arccos 3

=π-

(2) tan x 2,x (,)22

ππ=-∈-

解：x arctan(2)=-

变式：3x (,

)22

ππ

∈ 解：x arctan2=π+

[例8] (1) 已知arcsin x arcsin(1x)≥-，求x 的取值范围。

解：由11x x 1-≤-≤≤，得

1

x 12

≤≤。 (2) arccosx arccos(1x)>-

解：由1x 1x 1-≤<-≤，得10x 2

≤<

。

(3) arctan x 3π

>

解：x > (4) arccosx 3π> 解：1

1x 2

-≤<

[例9 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。

解：∵－1≤x ≤1 ∴－

34π≤y ≤34

π ——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性

[例10] 求下列各式的值：

(1) sin(arccos(

解：设x arccos(=，则cos x =且x [,]2

π

∈π，则sin x =

(2) tan[arccos(]6

π-

解：3tan()243ππ-=

==+ (3) 213cos (arccos )25

解：设3x arccos 5=，则3cos x 5=且x [0,]2π∈，则2x 1cos x 4cos 225

+== (4) 123

sin[arctan arcsin ]55

-

解：设12arctan

5α=，3arcsin 5β=，则12tan 5α=，4sin 5

β=且,(0,)2π

αβ∈，

则1231245333

sin[arctan arcsin ]sin()5513513565-=α-β=⨯-⨯=。

思考：若求11

arctan arctan 23

+的值呢？

解：1arc tan 2α=，1arctan 2β=，则1tan 2α=，1

tan 3

β=且,(0,)2παβ∈，

∵tan()1α+β=，且(0,)α+β∈π，∴4

π

α+β=。