沪科版九年级数学上册 相似三角形的判定(两角)经典练习题
数学：24.2《相似三角形的判定》同步练习(沪科版九年级上)
24.2相似三角形的判定第1题. 如图，AC BD ⊥，垂足为C ，过D 点作DF AB ⊥，垂足为F ，交AC 于E 点．请找出图中所有的相似三角形，并说明理由．答案：解：（1）因为90A A AFE ACB ∠=∠∠=∠=， 所以AFE ACB △∽△．（2）因为90AEF DEC AFE DCE ∠=∠∠=∠=，， 所以AFE DCE △∽△． 所以A D ∠=∠．（3）因为A D ∠=∠，90AFE DFB ∠=∠=， 所以AFE DFB △∽△．（4）因为D A ∠=∠，90DCE ACB ∠=∠=， 所以DCE ACB △∽△．（5）因为D A ∠=∠，90DFB ACB ∠=∠=， 所以DFB ACB △∽△．（6）因为D A ∠=∠，90DCE DFB ∠=∠=， 所以DCE DFB △∽△．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第2题.如图，一艘军舰从点A 向位于正东方向的C 岛航行，在点A 处测得B 岛在其北偏东75，航行75nmile 到达点D 处，测得B 岛在其北偏东15，继续航行5n mile 到达C 岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到B 岛？答案：解：根据题意，可得1590A CBD BCD ACB ∠=∠=∠=∠=，．所以.BCD ACB △∽△ 由相似三角形对应边成比例，得BC AC DC BC =，即805BC BC=． ＡＦＢＣＤＥＡＤ所以240020BC BC ==，．要求军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，因此航行速度至少是200.540=÷(n mile/h)知识点：三角形相似的条件 试题类型：应用题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第3题. 如图，点E C 、分别在AB AD 、上，BC 与DE 相交于一点O ，若B D ∠=∠， 则图中相似三角形有几对？分别写出来说明理由． 答案：2对BAC DAE BOE DOC △∽△，△∽△．理由略知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：容易考查目标：基本技能 第4题. 如图，已知:3:4DE BC AD DB =∥，，若5DE =cm ，求BC 的长． 答案：353cm 知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第5题. 如图，已知ABC ACB ∠=∠，若3AD =cm ，7AB =cm ，试求AC 的长．21cm知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能第6题. 如图，4cm 9cm 5cm 12cm AO DO AB BC O ====，，，，为BC 的中点，求CDO △的周长．答案：解：由12cm BC =，O 为BC 的中点，得6BO CO ==cm ．由4cm 9cm AO DO ==，，得23AO BO CO DO ==． 因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似， 所以AOB COD △∽△． 由相似三角形对应边成比例，得AB AO CD CO =，即523CD =． ＡＣＯ Ｄ ＢＥ ＡＤＥＣ Ｂ Ａ ＤＣＡＢＯＣ所以537.52CD ==×(cm)． 因此，CDO △的周长是67.5922.5++=(cm)．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第7题. 已知ABC △的三条边长之比为3:7:9，与其相似的另一个A B C '''△最大的边长为18cm ，则A B C '''△最小的边长为cm ，周长为cm ． 答案：6 38知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第8题. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且23AE AD AC AB ==，若4DE =cm ，则BC =cm ．答案：6知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：中等 考查目标：基本技能第9题.如图，点D E 、分别为边AB AC 、的三等分点（即：1133AD AB AE AC ==，），若22.5cm ADE S =△，求ABC S △的大小．答案：222.5cm知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第10题. 如图，在ABC △中，345AB AC BC D ===，，，是AB 上的一点，2AD =，在AC 上是否存在一点E ，使A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出AE 的长；如果不存在，请说明理由．答案：解：存在．因为22225AB AC BC +==，所以ABC △是直角三角形，90A ∠=． 设所求AE 的长为x ，在ADE △与ABC △中，90A A ∠=∠=， （1）若AD AEAB AC=，则ADE △∽ABC △． ＡＥ ＢＤ ＡＤ Ｅ Ｃ Ｂ ＡＤ ＢＣ此时234x =． 解得83x =．（2）若AD AEAC AB =，则ADE ACB △∽△． 此时243x =．解得32x =．所以，当AE 取83或32时，A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第11题. 如图，下列条件中不能判定ACD ABC △∽△的是（ ） (A)AB ADBC CD=(B)ADC ACB ∠=∠ (C)ACD B ∠=∠(D)2AC AD AB =答案：(A)知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第12题. 已知：如图，点C D ，在线段AB 上，PCD △是等边三角形．（1）当AC CD DB ，，满足怎样的关系式时ACP PDB △∽△；（2）当ACP PDB △∽△时，求APB ∠的度数．答案：解：（1）当2CD AC DB =时，ACP PDB △∽△； （2）当ACP PDB △∽△时，120APB ∠=．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：数学思考第13题. 在ABC △和A B C '''△中，326cm 10cm 32A AB A B A '''∠===∠=，，，， 3cm AC =，5cm A C ''=，则ABC △与A B C '''△是否相似？（填“是”或“不是”）． 答案：是知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第14题. 下列四组图形中不一定相似的是． Ａ．有一个角等于40的两个等腰三角形ＡＣ Ｄ Ｂ ＰＡ Ｃ Ｄ ＢＢ．有一个角为50的两个直角三角形Ｃ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 Ｄ．有一个角是60的两个等腰三角形 答案：Ａ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第15题. 能判定ABC △与A B C '''△相似的条件是．Ａ．ABAC A B A C =''''Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ Ｃ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠ 答案：Ｃ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第16题.已知：如图，9086ABD BCD AB BD ∠=∠===，，，当BC 为多少时，图中的两个三角形相似． 答案：BC 为3.6或4.8知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用第17题. 如图，线段AC BD ，相交于点O ，要使AOB DOC △∽△，已具备条件，还需要补充的条件是，或或．答案：BO OAAOB DOC B C A D OC OD ∠=∠∠=∠∠=∠=，，，知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第18题.如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下列条件中的（ ）Ａ．AC AB CD BD =Ｂ．2AB BD BC = Ｃ．AB BC CD AD=Ｄ．2AC CD CB = 答案：Ｂ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第19题. 如图，已知1234∠=∠∠=∠，． （1）图中有哪几对相似三角形？把它们写出来；ＡＢＣＡ ＤＯＢ ＡＢＤ（2）证明你所写出的结论．答案：（1）解：图中的相似三角形有三对，它们分别是AOD BOC AOBDOC △∽△，△∽△， ABD EBC △∽△ （2）证明：12AOD BOC ∠=∠∠=∠，，AOD BOC ∴△∽△，AO OD OB OC =，即AO OBOD OC=， 又DOC AOB ∠=∠，AOB DOC ∴△∽△又34∠=∠，43EBD EBO ∴∠+∠=∠+∠即ABD EBC ∠=∠ABD EBC ∴△∽△．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第20题. 如图12，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x t =，使它与直线y x =和直线122y x =-+分别交于点D E 、（E 在D 的上方），且PDE △为等腰直角三角 形．若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明原因．答案：解：存在．方法一：当x t =时，y x t ==；当t =时，112222y x t =-+=-+． E ∴点坐标为1(2)2t t -+，，D 点坐标为(t t ，． E 在D 的上方，132222DE t t t ∴=-+-=-+，且43t <．3分PDE △为等腰直角三角形，PE DE PD DE PE PD ∴===或或． 若022t PE DE t t >=-+=3，时，， 4182.525t t ∴=-+=，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若3022t PD DE t t >=-+=，时，， ＤＡＣ ＢＯ Ｅ1 234图12O122y x =-+y x = y x4.5t P ∴=∴点坐标为405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PE PD >=，时，即DE 为斜边，322.2t t ∴-+= 47t DE ∴=，的中点坐标为114t t P ⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭，，点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，． 若0t PE DE PD DE <==，和时，由已知得32402DE t t t t =--+=-=>，， （不符合题意，舍去）， 此时直线x t =不存在．若0t <，PE PD =时，即DE 为斜边，由已知得32222DE t t t =--+=-，， 14104t t P ∴=-+=∴，，点坐标为(00)，． 综上所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为(00)，． 方法二：设直线122y x =-+交y 轴于点A ，交直线y x =于点B ，过B 点作BM 垂直于y 轴，垂足为M ，交DE 于点N ．x t =平行于y 轴，MN t ∴=．43142..23y x x y x y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=-+⎪⎪=⎩⎪⎩，，解得B ∴点坐标为444.333BM ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，， 2分当0x =时，1222y x A =-+=∴，点坐标为(02) 2.OA ∴=，，3分PDE △为等腰直角三角形，.PE DE PD DE PE PD ∴===或或如图４，若0t PE DE >=，和PD DE =时，PE t PD t DE OA ∴==，，∥，BDE BOA ∴△∽△，DE BNOA BM∴=．443.4253t t t -∴=∴=，当45t =时，1842.255y x y x =-+===，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PD PE >=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==．.DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴∴=∥，△∽△， 42434273MNMN MN t DE -∴=∴==，，中点的纵坐标为181.47t P +=∴点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭， 如图5，若0t PE DE PD DE <==，或时，DE OA ∥，.DE BNBDE BOA OA BM∴∴=△∽△， 4DE =-（不符合题意，舍去），此时直线x t =存在． 10分若0t PE PD <=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==-..DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴=∥，△∽△4213 4.4104243MNMN MN t t +∴=∴=∴=-+=，，P ∴点坐标为（０，０）． 综上述所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当 4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（０，０）． 知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：合情推理题 试题难度：较难 考查目标：数学思考图5OyxDNMEABx 图4OyD N MEAB………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 第21题.如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C P 点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，满足这样条件 的直线共有（ ）条Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：C知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：数学思考第22题. ．如图５，ABCD 是平行四边形，则图中与DEF △相似的三角形 共有（ ） (A)１个 (B)２分(C)３个(D)4个答案：B知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于A ．4B ．6C ．8D ．10答案：B试题号：13094 知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 录入时间：2005-9-15(13134)第24题. 如图，AF CE ⊥，垂足为点21O AO CO EO FO ====，，． （1）求证：点F BC 为的中点； （2）求四边形BEOF 的面积． 答案：解：（1）连结EF AC ， ∵21AO CO EO FO ====，， 12EO FO OCOA==∴． EF AC ∴∥．BＡＢCDE F图５第12题 OCFEBAOFEB………………………………………………最新资料推荐………………………………………12BF EF EO BC AC OC ===∴． F BC ∴为的中点．（2）由（1）知，F BC 为的中点．113(21)1222BEF CEFSSCE OF ===⨯+⨯=∴． 又11111222OEF S OE OF ==⨯⨯=，∴31222BEF OEF BEOF S S S =+=+=四边形知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第25题. 小胖和小瘦去公园玩标准的．．．跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我 就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明； （2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明． 解：答案：解：（1）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1 米高”，情形如图（1）所示，OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最 高高度1米，BC 是地面．.OP BC AC BC OBP ABC OBP ABC ∠=∠∴⊥，⊥，，△∽△.BO OPBA AC∴= 又此跷跷板是标准跷跷板，BO OA =，12BO BA ∴=，而1AC =米，得0.5OP =米． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米(0)a >． 如图（2）所示，BD a =米，AE a =米BO OA BO a OA a =∴+=+，，即DO OE =．地面Ｐ第23题图ＯＡＢＥ………………………………………………最新资料推荐………………………………………11 / 1112DO DE ∴=，同理可得DOP DEF △∽△． DO OPDE EF ∴=，由0.5OP =米，得1EF =米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度， 跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍， 所以不可能翘得更高．（2）方案一：如图（3）所示，保持BO 长度不变．将 OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半． 使12AE OA =，则25BO BE =． 由BOP BEF △∽△，得.BO OPBE EF= 1.25EF ∴=米．方案二：如图（4）所示，只将支架升高0.125米．12B O B O P B AC B A ''''''''=''，△∽△，又0.50.1250.625O P ''=+=米．B O O P B A A C''''∴=''''． 1.25A C ''∴=米． （注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用第26题. 在△ABC 中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC =． 答案：9知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基础知识ＯＣ Ａ（3）FＥA '（4）CP 'B 'O '。
_22.2第3课时相似三角形判定定理2同步练习,沪科版九年级数学上册(含答案)
_22.2第3课时相似三角形判定定理2同步练习,沪科版九年级数学上册（含答案）22.2第3课时相似三角形判定定理2 一、选择题1.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别是60°,80°,则这两个三角形() A.一定不相似B.不一定相似C.一定相似D.全等2.如图1,在△ABC中,∠AED=∠B,则下列等式成立的是() 图 1 A.DECB=ADDB B.AECB=ADBD C.DECB=AEAB D.ADAB=AEAC 3.下列各选项中的三角形有可能不相似的是() A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形 4.如图2,在△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则DE的长为() 图 2 A.203 B.174 C.163 D.154 5.如图3,在矩形ABCD中,将△ABF沿着AF 折叠,点B恰好落在DC边上的点E处,则一定有() 图3A.△ADE∽△ECFB.△ECF∽△AEFC.△ADE∽△AEFD.△AEF∽△AFB6.[2018·淮南期末] 已知:如图4,∠ADE=∠ACD=∠ABC,则图中相似三角形共有() 图4 A.1对B.2对C.3对D.4对二、填空题7.如图5,在△ABC中,M是AB的中点,点N在BC上,BC=2AB,∠BMN=∠C,则BNNC=. 图58.如图6,已知在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,AC=4,BC=3,则AD=. 图69.如图7,一束光线从y轴上的点A(0,1)发出,经过x轴上的点C反射后,反射光线经过点B(6,2),则点C的坐标是. 图7 三、解答题10.如图8,在正方形ABCD中,M 为BC上的点,E是AD的延长线上的点,过点E作EF⊥AM于点F,EF交DC于点N. (1)求证:△ABM∽△EFA; (2)当F为AM的中点时,若AB=12,BM=5,求DE的长. 图8 11.已知:如图9,△ABC是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,∠ADE=60°. (1)求证:△ABD∽△DCE; (2)如果AB=3,EC=23,求DC的长. 图9 12.如图10,若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长2米,且与灯柱AB成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时,路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米(结果保留根号)? 图10 13.如图11,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),C是线段AB的中点.在x轴上是否存在一点P,使得以P,A,C为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图11 答案1.[解析] C第一个三角形中第三个内角的度数为180°-40°-60°=80°,所以这两个三角形有两角分别相等,故这两个三角形相似.故选C. 2.[解析] C 根据“一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似”可以判定△ADE∽△ACB,再根据相似三角形的对应边成比例,可知等式DECB=AEAB成立. 3.A 4.[解析] D ∵BD∶DC=5∶3,BC=8,∴BD=5,DC=3.∵∠BDE=∠ADC,∠E=∠C,∴△BDE∽△ADC,∴BDAD=DEDC,即54=DE3,解得DE=154. 5.[解析] A根据题意可知,∠DAE+∠AED=∠AED+∠CEF=90°,∴∠DAE=∠CEF. 又∵∠D=∠C=90°,∴△ADE∽△ECF. 6.D 7.[答案] 17[解析] ∵M是AB的中点,∴AB=2BM. ∵BC=2AB,∴BC=4BM. ∵∠BMN=∠C,∠B=∠B, ∴△BMN∽△BCA,∴BMBC=BNAB=14. ∵BC=2AB,∴BN=18BC, ∴BNCN=17.故答案为17. 8.[答案] 165 [解析] 在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=5. ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB,∴ACAB=ADAC, 则AD=AC2AB=165. 9.[答案] (2,0) [解析] 设点C的坐标是(x,0),则CO=x. 如图,过点B作BM⊥x轴于点M. ∵一束光线从y轴上的点A(0,1)发出,经过x轴上的点C反射后,反射光线经过点B(6,2), ∴AO=1,BM=2,OM=6,∠ACO=∠BCM. ∵∠AOC=∠BMC=90°, ∴△AOC∽△BMC, ∴AOBM=COCM,∴12=x6-x, 解得x=2.经检验,x=2是原方程的根且符合题意. 故答案为(2,0). 10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=90°,AD∥BC, ∴∠EAF=∠AMB. ∵EF⊥AM,∴∠AFE=∠ABC=90°, ∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠ABC=90°,AB=12,BM=5, ∴AM=AB2+BM2=13. ∵F为AM的中点,∴AF=6.5. ∵△ABM∽△EFA,∴AMEA=BMFA, ∴1312+DE=56.5,∴DE=4.9. 11.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°. ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=60°, ∴∠BAD=∠CDE, ∴△ABD∽△DCE. (2)由(1)得△ABD∽△DCE,∴BDCE=ABDC. 设DC=x,则BD=3-x,∴3-x23=3x, 解得x=1或x=2. 经检验,x=1或x=2都是原方程的根且符合题意. ∴DC 的长为1或 2. 12.解:如图,延长OC,AB交于点P. ∵∠ABC=120°,∴∠PBC=60°. ∵∠OCB=90°,∴∠P=30°. ∵AD=20米, ∴OA=12AD=10米. 在Rt△CPB中,∵BC=2米,∠P=30°, ∴PB=2BC=4米,PC=23米. ∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°, ∴△PCB∽△PAO, ∴PCPA=BCOA, ∴PA=PC·OABC=103米, ∴AB=PA-PB=(103-4)米. 答:路灯的灯柱AB的高应该设计为(103-4)米. 13存在.因为A(8,0),B(0,6), 所以AO=8,BO=6.由勾股定理,得AB=10. 因为C为AB 的中点,所以AC=12AB=5. (1)若∠CPA=90°,则△CPA∽△BOA, 此时AP∶AO=AC∶AB, 即AP∶8=5∶10, 解得AP=4,所以OP=4, 所以点P的坐标为(4,0); (2)若∠PCA=90°,则△APC∽△ABO, 所以AP∶AB=AC∶AO, 即AP∶10=5∶8, 解得AP=6.25, 所以OP=8-6.25=1.75, 所以点P的坐标为(1.75,0). 综上所述,符合条件的点P的坐标为(4,0)或(1.75,0).。
九年级数学上册 第22章 相似形(相似三角形)练习题(含解析)(新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年
相似三角形练习题一、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是（）D．A．B．C．2、若2：3=7：x，则x=（）A．2 B．33、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm24、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB 并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．-2 C．3 D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y 与x之间的函数图象大致为（）A ．B．C ．D．11、在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．12、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则=__________ ．三、解答题15、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）16、如图，△ABC为锐角三角形，AD 是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。
沪科版九上数学相似三角形练习题(含解析)
沪科版九上数学相似三角形练习题一、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．2、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm24、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11、在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12、如图，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB、△BOC、△COD、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题15、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）16、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。
沪科版数学九年级上册 22.2 相似三角形的判定 同步练习(带解析)
相似三角形的判定一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )A．5 B．8.2C．6.4 D．1.82．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )3.如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似的三角形有( )A.4对B.5对C.6对D.7对4.有下列判断：①顶角相等的两个等腰三角形相似；②有一个角相等的两个等腰三角形相似；③直角三角形都相似；④若一个三角形的两边长分别为2、6，夹角为32°，另一个三角形的两边长分别为3、9，夹角为32°，则这两个三角形相似.其中判断正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.有下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似。
其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6.如图，有下列条件：①∠B=∠C;②∠ADB=∠AEC；③AD AEAC AB=；④AD AEAB AC=；⑤PE BPPD CP=.其中不需要添加其他条件就能使△BPE∽△CPD的条件有____个，它们分别是____(填序号) .7．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．8．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．9．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．三、解答题10.已知两直角三角形ABC 与ACD ，∠ACB=∠ADC=90°，6AC =，AD=2.问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似.11.根据下列各组条件，判断ABC ∆和A B C '''∆是否相似，并说明理由.（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4，24.5A B ''=，17.5B C ''=，28C A ''=；（2）∠A=35°，∠B=104°，∠C=44°，35A '∠=︒；（3）AB=3，BC=2.6，∠B=48°， 1.5A B ''=， 1.3B C ''=，48B '∠=︒.12.已知线段0A 丄0B ，点C 为OB 的中点，点D 为AO 上一点，连接AC ，BD 交于点P.（1）如图①，当OA=OB 且点D 为AO 的中点时，求AP PC的值； （2）如图②，当OA=OB 且14AD AO =时，求AP AC 的值.13.如图，在ABC ∆和DEF ∆中，∠A=∠D=70°，∠B=50°，∠E=30°，分别过两个三角形的一个顶点画直线1，m ，使直线l 将ABC ∆分成两个小三角形，直线m 将DEF ∆分成两个小三角形，并使ABC ∆分成的两个小三角形分别与DEF ∆分成的两个小三角形相似，并标出每个小三角形各个内角的度数.（画图工具不限，不要求写作法，只需画出一种分法即可）参考答案1．D．2．A．3.B 解析：图中相似的三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC,△AFE∽△CBE,△BGE∽△BAF,△AGE∽△CDA，共5对.4.B解析：①④正确.5.C解析：②③④正确.6.4 ①②④⑤7．△ABC ∽△DFE ．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等．8．6对．9．6对．10.分析:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，直角边的对应需分情况讨论.解: ∵ AD=2，∴CD =.要使 Rt △ABC 与 Rt △ACD 相似，有两种情况：(1)当 Rt △ABC ∽Rt △ACD 时，有AC AB AD AC=， ∴23AC AB AD==, (2)当 Rt △ACB ∽Rt △CDA 时，有AC AB CD AC=,∴AB=2AC CD=故当AB 的长为3或时，这两个直角三角形相似.点拨:本题考査相似三角形的判定.判定两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比.11. 分析：（1)题中的条件全部是边长，因此验证三边是否成比例；(2)题中的条件全部是角，因此验证是否有两对对应角相等；(3)题中的条件既有边也有角，验证两边是否成比例且夹角相等.解：（1）因为3.51 2.5141,,''24.57''17.57''287AB BC CA A B B C C A ======， 所以''''''AB BC CA A B B C C A ==，所以△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇. 理由：三组对应边成比例的两个三角形相似.(2) 在△ABC 中，因为∠A=35°, ∠B=104°，所以 ∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-104°=41°在△A ＇B ＇C ＇中，因为∠C ＇=44°, ∠A ＇=35°，所以∠B ＇= 180°-∠A ＇-∠C ＇ = 180°-35°-44°=101°.因为对应角不相等，所以△ABC 与△A ＇B ＇C ＇不相似.(3) 在 △ABC 与 △A ＇B ＇C ＇中∠B=∠B ＇= 48°，且''AB A B = 2，''BC B C = 2，所以''''AB BC A B B C =,所以 △ABC ∽△A ＇B ＇C ＇. 理由:对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似.12. 解：（1)过点C 作CE//OA 交BD 于点E,则 △ABC ∽△BOD,. 得 CE= 12OD= 12AD. 再由△ECP ∽△DAP ，得23AP AD PC EC ==. (2)过点C 作CE//OA 交BD 于点E ，设AD=x ，则 AO=OB=4x ，OD=3x.由 △BCE ∽△BOD ，得 CE=12OD=32x ， 再由△ECP ∽△DAP ，得23AP AD PC EC ==，则25AP AC =. 13.解:如图(答案不唯一).则直线l ，m 即为所求作的直线.点拨：解答本题是从构造相等的角这一角度考虑的，当然也可以从构造比例线段出发，不过从这一角度考虑相对比较困难.。
沪科版九年级数学习题-相似三角形的判定(第2课时)
第2課時 相似三角形的判定（2）1．如圖，不能判定△ABC ∽△DCA 的條件是( )A ．∠B =∠DACB ．∠BAC =∠ADCC ．AC 2=DC ·BCD ．AD 2=BD ·BC2. 如下圖，小正方形的邊長均為1，則下圖中的三角形(陰影部分)與△ABC 相似的是( )3．在△ABC 和△DEF 中，①∠A ＝35°，∠B ＝100°，∠D ＝35°，∠F ＝45°；②AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，∠B ＝50°，DE ＝6 cm ，DF ＝10 cm ，∠D ＝50°.其中能使△ABC 與以D 、E 、F 為頂點的三角形相似的條件( )A ．只有①B ．只有②C ．①和②都是D ．①和②都不是 4. 如圖，△ABC 中，CD ⊥AB 於D ，一定能確定△ABC 為直角三角形的條件的個數是( )①∠1＝∠A ②CD DB AD CD③∠B ＋∠2＝90°④BC ∶AC ∶AB ＝3∶4∶5⑤AC ·BD ＝AC ·CDA ．1B ．2C ．3D ．45. 如圖，已知零件的外徑為25 mm ，現用一個交叉卡鉗(兩條尺長AC 和BD 相等，OC ＝OD )量零件的內孔直徑AB .若OC ∶OA ＝1∶2，量得CD ＝10 mm ，則零件的厚度x ＝__________mm.6. 將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF.已知AB=AC=3，BC=4，若以點B′、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，那麼BF的長度是__________.7.下圖中的每一個小正方形的邊長為1，將三個正方形並排組成一個矩形．求證：(1)△BCE∽△BED；(2)∠BEC+∠BED=45°.8．如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ACB 和△DCE的頂點都在格點上，ED的延長線交AB於點F.(1)求證：△ACB∽△DCE；(2)求證：EF⊥AB.9．(創新應用)如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3，AC＝2DF ＝4.(1)判斷這兩個三角形是否相似？並說明為什麼？(2)能否分別過點A、D在這兩個三角形中各作一條輔助線，使△ABC分割成的兩個三角形與△DEF分割成的兩個三角形分別對應相似？請證明你的結論．參考答案1答案：D2答案：A3解析：①的條件滿足“兩角對應相等，兩三角形相似”的判定方法；②的條件滿足“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”，所以①和②都可以．答案：C4解析：①②④均可．答案：C5解析：由題意，知OC ∶OA ＝OD ∶OB ＝1∶2，又∵∠COD ＝∠AOB ，∴△COD ∽△AOB .∴CD ∶AB ＝OC ∶OA ＝1∶2.∴AB ＝20 mm.∵零件的外徑為25 mm ，∴零件的厚度為(25－20)÷2＝2.5(mm)．答案：2.56解析：以點B ′、F 、C 為頂點的三角形與△ABC 相似，有兩種情況，一是CF 與CB 是對應邊；二是CF 與CA 是對應邊． 答案：127或2 7證明：(1)在△BCE 和△BED 中，，BC=1，BD=2，則2BC BE ==，2BE BD =∴BC BE BE BD =. ∵∠CBE =∠EBD ，∴△BCE ∽△BED .(2)∵△BCE ∽△BED ，∴∠BCE =∠BED .∴∠BEC ＋∠BED ＝∠BEC ＋∠BCE ＝∠ABE ＝45°.8證明：(1)∵32AC DC =，6342BC CE ==，∴AC BC DC CE=. 又∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴△ACB ∽△DCE .(2)∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC ＝∠DEC .又∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠DEC ＋∠A ＝90°.∴∠EFA ＝90°.∴EF ⊥AB .9解：(1)不相似．∵在Rt △BAC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，在Rt △EDF 中，∠D ＝90°，DE ＝3，DF ＝2， ∴32AB DF =，43AC DE =.∴ABDF≠ACDE.∴Rt△BAC與Rt△FDE不相似．(2)能作如下圖所示的輔助線進行分割．具體作法：作∠BAM＝∠E，交BC於M；作∠NDE＝∠B，交EF於N. 由作法和已知條件可知△BAM∽△DEN.∵∠BAM＝∠E，∠NDE＝∠B，∠AMC＝∠BAM＋∠B，∠FND＝∠E＋∠NDE，∴∠AMC＝∠FND.∵∠FDN＝90°－∠NDE，∠C＝90°－∠B，∴∠FDN＝∠C.∴△AMC∽△FND.。
沪科版九年级数学上册《相似三角形判定》经典题型
CB 相似三角形判定经典题型1．如下左图已知∠B ＝∠C ，则△ABF ∽________，△BDE ∽________．2. 如上右图3个相同的正方形拼成1个矩形，则∠EAD ＋∠EBD 的度数为________．3．在△ABC 中，AB ＝1.5，AC ＝2，BC ＝3.在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝3，B ′C ′＝4.5，A ′C ′＝________时，△ABC 与△A ′B ′C ′相似．4.如下左图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于点E ，则△BAE 相似于______．5.如下中图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加___________6.如上右图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，图中的相似三角形有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对7.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )8.如下左图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A. △ABE ∽△DGEB. △CGB ∽△DGEC. △BCF ∽△EAFD. △ACD ∽△GCF9.如上右图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）A.1 B.23 C.2 D.25 10.下列三角形相似的判断中，正确的是（ ）A.各有一个角是67°的两个等腰三角形B.邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形C.各有一个角是45°的两个等腰三角形D.邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形11.如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .如果△ABC ∽△CAD ，那么CD 的长为( )A. b 2cB. b 2aC. ab cD. a 2c12.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边为15.求△ A ′B ′C ′最短边的长.13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．(1)求证：△BDE∽△BAC；(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长．14.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若ADAC＝12，求AFFG的值．1、最困难的事就是认识自己。
沪科版九年级数学上22.2相似三角形判定课时练习含解析
九年级上学期数学课时练习题22.2 相像三角形的判断一、精心选一选1﹒以下说法中，不正确的选项是（）A . 直角边长分别是6、4 和、3 的两个直角三角形相像B . 底角为 40°的两个等腰三角形相像C. 一个锐角为30°的两个直角三角形相像D . 有个角为30°的两个等腰三角形相像2﹒如图，点P 是平行四边形ABCD边AB 上的一点，射线CP交DA的延伸线于点E，则图中相像的三角形有（）A . 0 对B . 1 对 C. 2 对 D. 3对第 2 题图第 3 题图第 5 题图第 6 题图3﹒如图，在△ ABC △ ABC∽△ ADE 中，点的是（D、 E 分别在边）AB、 AC上，且DE不可以于BC，则以下条件中不可以判断A .∠AED ＝∠B B .∠ ADE＝∠C C.AD＝AED.AD＝AC AB AC AE AB4﹒如图，在以下两个三角形是（4×4 的正方形（每个小正方形的边长都为）1）网格中均有一个三角形，能相像的A .①和②①②B. ②和③③C. ①和③④D. ②和④5﹒如图，在△ABC中， DE ∥ BC，AD＝1，DE ＝ 4，则BC的长为（）DB2A . 12 B. 11 C. 10 D. 86﹒如图，在平行四边形ABCD中，点 E 是边AD上一点，且AE＝ 2ED ， EC交对角线BD于点F，则EF等于（）FC1123A . B. C. D.3232 7﹒如图，在平行四边形ABCD中， EF ∥ AB 交AD于点E，交BD于点F ， DE： EA＝3： 4， EF ＝ 3，则CD的长为（）A . 4 B. 7 C. 3 D. 12第 7 题图第 8 题图第 9 题图第 10 题图8﹒如图，在等腰梯形ABCD中， AD∥ BC，过点 C 作CE∥ AB， P 是梯形ABCD内一点，连结BP 并延伸交CD于点F，交CE 于点E，再连结PC.已知BP＝ PC，则以下结论错误的选项是（）A .∠1＝∠ 2 B. ∠ 2＝∠ E C. △PFC∽△ PCE D.△EFC ∽△ ECB9﹒如图，在△ ABC DEFG 是正方形中， AB ＝AC，点. 若 DE＝ 2cm，则D、 E 分别是AC 的长为（AB、 AC）的中点，点G、 F 在BC边上，四边形A . 3 3 cmB . 4cm C. 2 3 cm D. 2 5 cm10.如图，四边形 ABCD 中， AC 均分∠ DAB，∠ ADC ＝∠ ACB＝ 90°，点 E 为 AB 的中点，给出以下结论：① CE∥ AD ；② AC 2＝ AB AD ；③△ CDF ∽△ BCE；④ AC： AF＝ DE ：DF ，此中正确的有（）A . ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④二、仔细填一填11. 如图，有以下条件：①∠B＝∠ C；②∠ ADB ＝∠ AEC；③ADAE ；④ AD AE ；AC AB AB AC⑤ PE BP，此中一个条件就能使△BPE∽△ CPD 的条件有 ___________ 个，它们分别是PD PC__________________. （只填写序号）第 11 题图第12题图第13题图12.如图，在边长为 1 的正方形网格中有点 P、 A、 B、 C，则图中所形成的三角形中，相像的三角形是 ______________________.13.如图，已知△ ABC 中， AB＝ 5， AC＝ 3，点 D 在边 AB 上，且∠ ACD＝∠ B，则线段 AD 的长为__________ .14.如图，点 D 为△ ABC 外一点， AD 与 BC 边的交点为 E，AE ＝3， DE＝ 5，BE＝ 4，要使△BDE ∽△ ACE ，且点 B， D 的对应点为A， C，那么线段CE 的长应等于 ________.第 14 题图第15题图第16题图15.如图，正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF ⊥ DE 于点 O，则AO等于 __________.DO16.如图，在矩形 ABCD 中， AB＝6， BC＝ 8，沿直线 MN 对折，使 A， C 重合，直线 MN 交 AC 于点 O，则线段 OM ＝ ________.三、解答题17. 已知：如图，△ ABC 中，∠合），∠ ADE＝ 45°. 求证：△BAC＝ 90°， AB＝ AC，点ABD∽△ DCE.D是 BC边上的一个动点（不与B，C重18. 在平行四边形ABCD 中， E 为 BC 边上的一点，连结AE.（1）若 AB＝ AE，求证：∠ DAE ＝∠ D；（2）若点 E 为 BC 的中点，连结 BD ，交 AE 于 F ，求 EF ：FA 的值 .19.如图，在△ ABC 中， D 、E 分别是边 AB、 AC 的中点， F 为 CA 延伸线上一点，∠F ＝∠ C.（1）若 BC＝8，求 FD 的长；（2）若 AB＝ AC，求证：△ ADE ∽△ DFE .20.如图，在△ ABC 中， AB ＝AC，点 P、 D 分别是 BC、 AC 边上的点，且∠ APD ＝∠ B.（1）求证： AC CD ＝CP BP；（2）若 AB＝ 10， BC＝ 12，当 PD∥ AB 时，求 BP 的长 .21.已知：如图， E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EF ⊥ AE， EF 分别交 AC、 CD 于点M、F ， BG⊥ AC，垂足为 G， BG 交 AE 于点 H.（1）求证：△ ABE∽△ ECF ；（2）找出与△ ABH 相像的三角形，并加以证明；（3）若 E 是 BC 的中点， BC＝ 2AB， AB＝ 2，求 EM 的长 .22. 如图，正方形ABCD 中， M 为 BC 上一点， F 是 AM 的中点， EF⊥ AM ，垂足为 F，交 AD 的延伸线于点 E，交 DC 于点 N.（1）求证：△ ABM∽△ EFA ；（2）若 AB＝ 12， BM ＝ 5，求 DE 的长 .23.如图，在△ ABC 中， AB ＝8cm， BC＝ 16cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，点Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度运动 . 假如 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发， 4 秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ 与△ BAC 相像？《相像三角形的判断》课时练习题参照答案一、精心选一选题号12345678910答案D D C B A A B D D C1﹒以下说法中，不正确的选项是（A . 直角边长分别是6、4 和）、3 的两个直角三角形相像B . C.底角为 40°的两个等腰三角形相像一个锐角为30°的两个直角三角形相像D . 有个角为30°的两个等腰三角形相像解答： A. 直角边长分别是6、 4 和、 3 的两个直角三角形相像，由于两边对应成比率，且夹角相等，因此这两个直角三角形相像，故 A 正确；B. 底角为40°的两个等腰三角形相像，由于有两角对应相等，因此这两个等腰三角形相像，故 B 正确；C. 一个锐角为30°的两个直角三角形相像，由于有两角对应相等，因此这两个等腰三角形相像，故C正确；D.有个角为 30°的两个等腰三角形相像，由于可能一个角为极点，另一个为底角，因此这两个等腰三角形不相像，故 D 错误，应选： D.2﹒如图，点P 是平行四边形ABCD边AB 上的一点，射线CP交DA的延伸线于点E，则图中相像的三角形有（）A . 0 对B . 1 对 C. 2 对 D. 3对解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC， AD∥ BC，∴△ EAP ∽△ EDC，△ EAP∽△ CPB，∴△ EDC ∽△ CBP，故有 3 对相像三角形．应选： D．3﹒如图，在△ ABC 中，点 D、 E 分别在边AB、 AC 上，且 DE 不可以于 BC，则以下条件中不可以判断△ ABC∽△ ADE的是（）A .∠AED ＝∠B B .∠ADE ＝∠C C.AD＝AED.AD＝AC AB AC AE AB解答：∵∠ DAE＝∠ CAB，∴当∠ AED ＝∠ B 或∠ ADE ＝∠ C 时，△ ABC ∽△ ADE ，当AD＝AC时，△ ABC∽△ ADE，AE AB应选： C.4﹒如图，在以下两个三角形是（4×4 的正方形（每个小正方形的边长都为）1）网格中均有一个三角形，能相像的①② ③④A . ①与②B . ①与③C. ②与③D . ②与④解答： 由勾股定理可求出图①中三角形的各边长分别为 2， 2 ，10 ，图③中三角形的各边长分别为2 2 ， 2， 25 ，∵2 ＝ 2 ＝ 210 ， 2225∴图①中三角形与图③中三角形相像，应选： B.5﹒如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ，AD＝ 1，DE ＝ 4，则 BC 的长为（）DB 2A . 12B . 11C. 10D . 8解答： ∵AD＝ 1， AD+DB ＝ AB ，DB 2∴AD＝1，AB 3∵ DE ∥BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴DE＝AD ，即 4 ＝ 1，BCABBC 3解得： BC ＝ 12.应选： A.6﹒在平行四边形ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，且AE ＝ 2ED ，EC 交对角线 BD 于点 F ，则EF等于（）FC1 1 C.2 3 A . B .3D .322解答： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ED ∥BC ， BC ＝ AD ， ∴△ DEF ∽△ BCF ，∴EF DE ， CF CB 设 ED ＝ k ，则 AE ＝ 2k ， BC ＝ 3k ，∴EFk1 ，CF3k3应选： A.7﹒如图，在平行四边形ABCD 中， EF ∥ AB 交 ADF ， DE ： EA ＝3： 4， EF ＝ 3，则 CD 的长为（于点）E ，交BD于点A . 4 B. 7 C. 3 D . 12解答：∵ DE： EA＝ 3： 4，∴DE ：DA ＝3：7，∵ EF ∥AB，∴DE EF ，DA AB∵EF ＝3，∴3 3，7 AB解得： AB＝ 7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ CD＝ AB＝ 7，应选： B.8﹒如图，在等腰梯形ABCD 中， AD∥ BC，过点 C 作 CE∥ AB， P 是梯形 ABCD 内一点，连结BP 并延伸交CD 于点 F，交 CE 于点 E，再连结 PC. 已知 BP＝ PC，则以下结论错误的选项是（）A . ∠1＝∠ 2 B. ∠ 2＝∠ E C. △ PFC ∽△ PCE D . △EFC ∽△ ECB解答：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠ ABC ＝∠ DCB ，∵ PB＝PC，∴∠ PBC ＝∠ PCB，∴∠ ABC －∠ PBC＝∠ DCB －∠ PCB，∴∠ 1＝∠ 2，故 A 正确，∵CE∥AB，∴∠ 1＝∠ E，∴∠ 2＝∠ E，故 B 正确；∵∠ CPF ＝∠ EPC，∴△ PFC ∽△ PCE，故 C 正确；由已知条件不可以证明△EFC ∽△ ECB，应选： D.9﹒如图，在△ ABC 中， AB ＝AC，点 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，点 G、 F 在 BC 边上，四边形DEFG 是正方形 . 若 DE＝ 2cm，则 AC 的长为（）A . 3 3 cm B. 4cm C. 2 3 cm D. 2 5 cm解答：∵ E 是 AAC 的中点，∴AE1 ，AC2∵四边形 DEFG 是正方形，∴ DE ∥ BC，∴ DE AE ，∴ 2 1 ，BC ACBC2∴BC＝4cm，∵ AB＝AC，且四边形DEFG 是正方形，∴FC ＝1( 4－2) ＝ 1cm，2由勾股定理得：EC＝EF 2FC 2＝ 5 cm，∴ AC ＝2EC ＝ 2 5 cm ，应选 D .10. 如图，四边形 ABCD 中， AC 均分∠ DAB ，∠ ADC ＝∠ ACB ＝ 90°，点 E 为 AB 的中点，给出以下结论：① CE ∥ AD ；② AC 2＝ AB AD ；③△ CDF ∽△ BCE ；④ AC ： AF ＝ DE ：DF ，此中正确的 有（ ） A . ①② B . ①②③C. ①②④D. ①②③④解答： ∵∠ ACB ＝ 90°，点 E 为 AB 的中点，∴ AE ＝CE ＝BE ，∴∠ ACE ＝∠ BAC ， ∵∠ DAC ＝∠ BAC ， ∴∠ ACE ＝∠ DAC ，∴ CE ∥AD ，故①正确；∵∠ ADC ＝∠ ACB ＝ 90°，∠ DAC ＝∠ BAC ， ∴△ ADC ∽△ ACB ，∴AC AD，即 AC 2＝ AB AD ，故②正确；AB AC∵ CE ∥AD ， ∴ FC EF ，∴ FC AF EF DF ，AF DFAFDF∴AC DE，故④正确，AF DF∵△ CDF 与△ BCE 不具备相像的条件，∴③不正确， 应选： C.二、仔细填一填11. 4，①②④⑤；12. △APB ∽△ CPA ；13. 9 ；514. 15 ；15. 1 ；16. 15 ；42411. 如图，有以下条件：①∠B ＝∠C ；②∠ ADB ＝∠ AEC ；③ADAE ；④ ADAE ；AC ABABAC⑤ PEBP，此中一个条件就能使△ BPE ∽△ CPD 的条件有 ___________ 个，它们分别是PD PC__________________. （只填写序号） 解答： 使△ BPE ∽△ CPD 的条件有 4 个，∵∠ CPD ＝∠ BPE ，∠ B ＝∠ C ，∴△ BPE ∽△ CPD ，故①切合； ∵∠ ADB ＝∠ AEC ，∴∠ CDP ＝∠ BEP ，∵∠ CPD ＝∠ BPE ，∴△ BPE ∽△ CPD ，故②切合 ∵∠ A ＝∠ A ，ADAE ，ABAC∴△ ACE ∽△ ABD ，∴∠ ADB ＝∠ AEC ，∴∠ CDP ＝∠ BEP ，∵∠ CPD ＝∠ BPE ，∴△ BPE ∽△ CPD ，故④切合；∵∠ CPD ＝∠ BPE ， PE BP，PDPC∴△ BPE ∽△ CPD ，故⑤切合，故答案为： 4，①②④⑤.12. 如图，在边长为 1 的正方形网格中有点 P 、 A 、 B 、 C ，则图中所形成的三角形中，相像的三角形是 ______________________.解答： ∵ AP ＝ 5 ， PB ＝ 1， PC ＝ 5，∴ AP 5 ， PB1 5 ， PC5AP55∵∠ APB ＝∠ CPA ， ∴△ APB ∽△ CPA ，故答案为：△ APB ∽△ CPA.13. 如图，已知△ ABC 中， AB ＝ 5， AC ＝ 3，点 D 在边 AB 上，且∠ ACD ＝∠ B ，则线段 AD 的长为__________ .解答： ∵∠ A ＝∠ A ，∠ ACD ＝∠ B ，∴△ ABC ∽△ ACD ，∴AB AC ，AC AD∵ AB ＝5， AC ＝ 3， ∴53 ，∴ AD ＝ 9，3 AD 5故答案为：9．514. 如图，点 D 为△ ABC 外一点， AD 与 BC 边的交点为 E ，AE ＝3， DE ＝ 5，BE ＝ 4，要使△BDE ∽△ ACE ，且点 B ， D 的对应点为 A ， C ，那么线段 CE 的长应等于 ________. 解答： ∵∠ AEC ＝∠ BED ，∴当 BE DE 时，△ BDE ∽△ ACE ，AE CE即4 5，3 CE∴ CE ＝15，4故答案为：15．415. 如图，正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF ⊥ DE 于点 O ，则 AO等于 __________.DO解答： ∵∠ ADO ＝∠ ADO ，∠ DOA ＝∠ DAE ＝90°， ∴△ AOD ∽△ EAD ，∴AO AE 1 ， DOAD 2故答案为：1.216. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝ 8，沿直线 MN 对折，使 A ， C 重合，直线 MN 交 AC 于点 O ，则线段 OM ＝ ________. 解答： 在 Rt △ABC 中， AB ＝ 6， BC ＝ 8， ∴ AC ＝10，∴ OC ＝ 5，∵ A 与 C 对于直线 MN 对称， ∴ AC ⊥MN ，∴∠ COM ＝ 90°，∵在矩形 ABCD 中，∠ B ＝90°，∴∠ COM ＝∠ B ＝ 90°， 又∵∠ MCO ＝∠ ACB ，∴△ COM ∽△ CBA ，∴OC OM ， BC AB∴ OM ＝15，4故答案为： 15.4三、解答题17. 已知：如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ AC ，点 合），∠ ADE ＝ 45°. 求证：△ ABD ∽△ DCE. 解答： ∵∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ C ＝ 45° ，∴∠ 1+ ∠ 2＝ 180° －∠ B ＝ 135°，∵∠ 2+ ∠ ADE+∠ 3＝ 180°，∠ ADE ＝45°，∴∠ 2+ ∠ 3＝ 180° －∠ ADE ＝ 135°，D 是 BC边上的一个动点（不与B ，C重∴∠ 1＝∠ 3，∴△ ABD ∽△ DCE .18. 在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上的一点，连结 AE.（ 1）若 AB ＝ AE ，求证：∠ DAE ＝∠ D ；（ 2）若点 E 为 BC 的中点，连结 BD ，交 AE 于 F ，求 EF ：FA 的值 . 解答： （ 1）在平行四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∴∠ AEB ＝∠ DAE ，∵ AE ＝AB ，∴∠ B ＝∠ AEB ， ∴∠ B ＝∠ DAE ， ∵∠ B ＝∠ D ， ∴∠ DAE ＝∠ D ；（ 2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ， AD ＝ BC ， ∴△ BEF ∽△ AFD ，∴EF BE ，FA AD∵ E 为 BC 的中点，∴ BE ＝ 1 BC ＝ 1AD ，即BE1 ，2 2AD2∴EF ：FA ＝1： 2．19.如图，在△ ABC 中， D 、E 分别是边 AB、 AC 的中点， F 为 CA 延伸线上一点，∠F ＝∠ C.（1）若 BC＝8，求 FD 的长；（2）若 AB＝ AC，求证：△ ADE ∽△ DFE .解答：（ 1）∵ D 、E 分别是边AB、 AC 的中点，∴DE ＝1BC＝ 4， DE∥ BC．2∴∠ AED ＝∠ C．∵∠ F ＝∠ C，∴∠ AED ＝∠ F ，∴FD ＝DE ＝ 4；（2）∵ AB＝ AC， DE ∥ BC．∴∠ B＝∠ C＝∠ AED ＝∠ ADE，∵∠ AED ＝∠ F ，∴∠ ADE ＝∠ F ，又∵∠ AED ＝∠ AED ，∴△ ADE ∽△ DFE ．20.如图，在△ ABC 中， AB ＝AC，点 P、 D 分别是 BC、 AC 边上的点，且∠ APD ＝∠ B.（1）求证： AC CD ＝CP BP；（2）若 AB＝ 10， BC＝ 12，当 PD∥ AB 时，求 BP 的长 .解答：（ 1）∵ AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C，∵∠ APD ＝∠ B，∴∠ APD ＝∠ B＝∠ C，∵∠ APC ＝∠ BAP+∠ B，∠ APC＝∠ APD +∠ DPC ，∴∠ BAP ＝∠ DPC，∴△ ABP ∽△ PCD，∴BP AB ，CD CP∴AB CD ＝ CP BP ，∵ AB＝AC，∴AC CD＝ CP BP；（2）∵ PD ∥ AB，∴∠ APD ＝∠ BAP．∵∠ APD ＝∠ C，∴∠ BAP＝∠C．∵∠ B＝∠ B，∴△ BAP ∽△ BCA，∴BA BP ．BC BA∵ AB＝10， BC＝ 12，∴10BP，12 10∴ BP＝25 ．321.已知：如图， E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EF⊥ AE， EF 分别交 AC、CD 于点M 、F ， BG⊥ AC，垂足为 G， BG 交 AE 于点 H.（1）求证：△ ABE∽△ ECF ；（2）找出与△ ABH 相像的三角形，并加以证明；（ 3）若 E 是 BC 的中点， BC ＝ 2AB ， AB ＝ 2，求 EM 的长 . 解答： （ 1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABE ＝∠ ECF ＝ 90°，∵ EF ⊥AE ，∴∠ AEB+∠FEC ＝ 90°， ∵∠ AEB +∠ BAE ＝90°，∴∠ BAE ＝∠ FEC ， ∴△ ABE ∽△ ECF ； （ 2）△ ABH ∽△ ECM ， ∵ BG ⊥AC ，∠ ABC ＝90°，∴∠ ABH +∠BAG ＝ 90°，∠ ECM +∠ BAG ＝ 90° ， ∴∠ ABH ＝∠ ECM ， 又∠ BAH ＝∠ CEM ， ∴△ ABH ∽△ ECM ； （ 3）作 MN ⊥ BC 于点 N ， ∵ AB ＝BE ＝EC ＝2， MN ∥AB ，∴ABMN1，∠ AEB ＝45°，BC NC2∴∠ MEN ＝ 45°， NC ＝ 2MN ， ∴ MN ＝ EN ＝ 1NC ，2∵ NC+EN ＝ EC ＝ 2，∴ MN ＝ EN ＝ 2× 1 ＝ 2， 3 3∴ EM 2＝ MN 2+EN 2＝ ( 2)2+( 2)2 ，33∴ EM ＝2 2.322. 如图，正方形 ABCD 中， M 为 BC 上一点， F 是 AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延伸线于点 E ，交 DC 于点 N.（ 1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；（ 2）若 AB ＝ 12， BM ＝ 5，求 DE 的长 . 解答： （ 1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝AD ，∠ B ＝ 90°， AD ∥ BC ， ∴∠ AMB ＝∠ EAF ，又∵ EF ⊥ AM ， ∴∠ AFE ＝ 90°， ∴∠ B ＝∠ AFE ， ∴△ ABM ∽△ EFA ；（ 2）解：∵∠ B ＝ 90°，AB ＝12， BM ＝5，∴ AM ＝ 122 52 ＝13， AD ＝12，∵ F 是 AM 的中点，∴ AF ＝ 1AM ＝，2 ∵△ ABM ∽△ EFA ，∴BMAM，即 5 13 ，AFAEAE∴AE＝，∴DE ＝AE－ AD＝．23.如图，在△ ABC 中， AB ＝8cm， BC＝ 16cm，点 P 从点 A 开始沿点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度运动 . 假如 P、 Q停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ 与△ BAC 相像？解答：设在开始运动后第 x 秒，△ BPQ 与△ BAC 相像，由题意得： AP＝ 2xcm，PB ＝（ 8﹣ 2x）cm，BQ＝ 4x，分两种状况考虑：当∠ BPQ ＝∠ C，∠ B＝∠ B 时，△ PBQ ∽△ CBA，AB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，分别从 A、 B 同时出发， 4 秒后∴ BP BQ ，即 8 2 x 4 x ，BC AB168解得： x＝，当x＝ 0.8 秒时，△ BPQ 与△ BAC 相像；当∠ BPQ ＝∠ A，∠ B＝∠ B 时，△ BPQ ∽△ BAC，∴ BP BQ ，即 82x4x ，BA BC816解得： x＝ 2，当 x＝ 2 秒时，△ BPQ 与△ BAC 相像．综上，当x＝0.8 秒或 2 秒时，△ BPQ 与△ BAC 相像．。
沪科版-数学-九年级上册-九上23.2相似三角形的判定习题及答案
O A C E DF 23.2相似三角形的判定新颖题赏析如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交BC 于F ，交CD 于O ，EF•∥AB ，交CD 于E ．求证：CE=DO ．证明 AF 平分∠CAB ，∠CAF=∠DAO ，CD ⊥AB ．∠ODA=∠ACF=90°，所以△ADO ∽△ACF ，DO ADCF AC =． 又EF ∥AB ，△CEF ∽△CDB ∽△ADC ．CE ADCF AC=． 所以DO CECF CF=，所以DO=CE ．一、基础练习1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比k=25，则''A B AB=_______．若B•′C•′=•15cm ，•则BC=______cm ．2．已知△ABC 和△DEF 中，点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应，且∠A=70°，•∠B=34°，∠D=70°，则当∠F=_______时，△ABC ∽△DEF ．3．已知△ABC 和△DEF 中，AB=4，BC=5，AC=8，DE=6，DF=12，那么为EF=_______时，△ABC ∽△DEF ．4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且2AB=3A ′B ′，△ABC 的周长为18cm ，则△A ′B•′C ′的周长为________cm ．5．已知D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，△ADE 的周长与△ABC•的周长分别为63和84，则AD ：DB=_______．6．如图1，已知BE 与CD 相交于A ，且BC 与DE 不互相平行，再添加一个条件________，•则△ABC ∽△ADE ．B ACEDB AC DBC EDF(1) (2) (3)7．如图2，在△ABC 中，AB ⊥BC ，BD ⊥AC 于D ，DE ∥AB 交BC 于E ，则图中与△ABC•相似的三角形的有______个，它们分别是_________． 8．如图3，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC•于E ，•BE•与CD•相交于点F ，•则图中共有相似三角形______对，它们分别是__________．9．如图4，AB ∥EF ∥DC ，若每两个相似的三角形构成一对，•那么图中的相似三角形有_________对，它们分别是___________．O BACE DFBAC EF(4) (5)10．如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，•则图中与△ABC 相似的有______个，它们分别是__________． 二、整合练习1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DC 交BE 于F ，且AD=13AB ，AE=12EC ． 求证：（1）△DEF ∽△CBF ；（2）DF ·BF=EF ·CF ．A CEDF2．如图，已知△ABD ∽△ACE ，求证：△ABC ∽△ADE ．BAED3．如图，已知△ABC 是等边三角形，∠DAE=120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 延长线上，求证：△ADB ∽△EAC ．AC4．已知抛物线y=a x 2+bx+c 的顶点坐标为（4，-1），与y 轴交于点C （0，3），O 是原点． （1）求此条抛物线的函数解析式；（2）设此抛物线与x 轴的交点为A 、B （A 在B 的左边），问y 轴上是否存在点P ，•使以O 、B 、P 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案:一、基础练习1． 6 2．76° 3． 4．12 5．3：1 6．∠B=∠D或∠C=∠E或AB AC AD AE=7．4 △DEC △BDC △BED △ADB8．6 △ABE和△ACD，△ABE和△FCE，△ABE和△FBD，△ACD和△FCE，•△ACD•和△FBD，△FCE和△FBD9．3 △ABO和△DCO，△ABO和△FEO，△DCO和△FEO10．6 △ACD，△CBD，△ADE，△DCE，△CDF，△DBF二、整合练习1．（1）因为AE=12EC，AEAC=13，AD=13AB，ADAB=13，AEAC=ADAB，∠A=∠A．所以△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），所以∠ADE=∠ABC，DE∥BC，所以△DEF∽△CBF（2）DF EFCF BF=，所以DF·BF=EF·CF2．因为△ABD∽△ACE，所以∠BAD=∠CAE，AB ADAC AE=，∠BAC=∠DAE，所以△ABC∽△ADE3．因为△ABC为等边三角形，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠ECA=120°，• 因为∠DAE=120°，∠DAB+∠CAB=60°，∠CAB+∠CEA=60°，∠DAB=∠CEA，所以△ADB•∽△EAC．4．（1）设y=a（x-4）2-1，抛物线与y轴交于点C（0，3），所以3=16a-1，则a=14，•所以抛物线的函数解析式为y=14（x-4）2-1即y=14x2-2x+3．（2）存在．当y=0时，14（x-4）2-1=0．解得x1=2，x2=6，所以A（2，0），B（6，0），设点P（0，m），则OP=│m│，在△AOC与△BOP中，①若∠OCA=∠OBP，则△BOP∽△COA．所以62,3OB OPOPOC OA⨯===4，所以m=±4．②若∠OCA=∠OPB，则△BOP∽△AOC，所以62,3OP OBOPOC OA⨯===9，所以m=±9，所以存在符合题意的点P，其坐标为（0，4），（0，-4），（0，9）或（0，-9）。
244 相似三角形的判定(作业)-2021-2022学年九年级数学上(沪教版)(解析版)
24.4相似三角形的判定一、单选题1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．A D∠=∠C．OA OBOD OC=D．OA ABOD CD=【答案】D【解析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由OA OBOD OC=、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD=，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）A．AD AEBD EC=B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．AD DE AB BC=【答案】D【解析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；由AE﹒AC=AB﹒AD得AD ACAE AB=，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；而D不是夹角相等，故选项D符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．下列各组图形中，不一定相似的是（）A．各有一个角是100°的两个等腰三角形B．各有一个角是90°的两个等腰三角形C．各有一个角是60°的两个等腰三角形D．各有一个角是50°的两个等腰三角形【答案】D【解析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．【详解】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．4．如图，已知12,∠=∠则添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADE ∆∆的是（ ）A ．AB BC AD DE = B ．AB AC AD AE = C ．B ADE ∠=∠ D ．C E ∠=∠【答案】A【解析】先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE ，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE ． A. AB BC AD DE=，∠B 与∠D 的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE ，故本选项符合题意； B.AB AC AD AE =，∴△ABC∽△ADE ，故本选项不符合题意；∠=∠∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C. B ADE∠=∠∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；D. C E故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．5．下列说法中，正确的是（）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．A．①，②B．②，③C．③，④D．①，④.【答案】B【解析】根据三角形相似的判定判定即可；【详解】①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；故答案选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确判断是解题的关键．6．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．7．如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∆∆的是（ ）A ．2AC AD AB =⋅B ．2BC BD AB =⋅ C ．ACD B ∠=∠D ．ADC ACB ∠=∠ 【答案】B【解析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A 、∵AC 2=AD•AB ， ∴AC AB AD AC=， ∵∠A=∠A ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；B 、∵BC 2=BD•AB ， ∴BC AB BD BC=， ∵∠B=∠B ，∴△BCD∽△ABC ，不能推出△ACD∽△ABC ，故本选项符合题意；C 、∵∠A=∠A ，∠ACD=∠B ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；D 、∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ，∴△ACD∽△ABC ，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记并理解应用相似三角形的判定定理是解此题的关键．8．在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（）A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】C【解析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有△BED∽△BAC，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．9．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【详解】解：如图示，在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，①55A ∠=︒905535B35D ，B D ∴∠=∠C F ∠=∠ABC EDF ∴∆∆∽，故①是不正确的；9=AC ，12BC =，6DF =，8EF =， ∴32ACBC DF EF ， C F ∠=∠，ABC DEF ∴∆∆∽， 故③是正确的；10AB =，6BC =，15DE =，9EF =， ∴23ABBC DE EF ， C F ∠=∠，ABC DEF ∴∆∆∽；故④是正确的；∵3AC =，4BC =，6DF =，8DE =， ∴12ABBC DF DE ，C F ∠=∠有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；故②是错误的；综上所述③④是正确的，正确的有2个，故选：B ．【点睛】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．10．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC ＝，AE=BE ，则有（ ）A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD【答案】B【解析】 本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，13AD AC ＝，AE=BE ，我们可以分别得到：△AED 、△BCD 为锐角三角形，△BED 、△ABD 为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】由已知中正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，13AD AC ＝，AE=BE ， 易判断出：△AED 为一个锐角三角形，△BED 为一个钝角三角形，故A 错误；△ABD 也是一个钝角三角形，故C 也错误；但△BCD 为一个锐角三角形，故D 也错误；故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．11．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B BC AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BC AC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BC AC ======【答案】B【解析】【解析】 根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B AC B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确； C、1111AB BC A B B C =≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C ==≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．12．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】试题解析：如图①，∠OAB =∠1BAC ，∠AOB =∠1ABC 时，△AOB ∽△1ABC ．如图②，AO ∥BC ，BA △2AC ，则∠2ABC =∠OAB ，故△AOB ∽△2BAC ；如图③，3AC ∥OB ，∠ABC 3=90 ，则∠ABO =∠CAB ，故△AOB ∽△3C BA ；如图④，∠AOB =∠4BAC =90 ，∠ABO =∠4ABC ，则△AOB ∽△4C AB ．故选D ．二、填空题13．如图，在△ABC 中，DE∥BC ，则DE BC=______．【答案】=AB AD AE AC【解析】 根据平行线的性质得∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得△ADE∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】∵DE∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴△ADE∽△ABC ， ∴=AB AD AE AC， 故答案为：=AB AD AE AC ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC ，13ADBD ，则△ABC∽______，其相似比为______．【答案】△ADE41【解析】 根据已知条件判定相似三角形即可；【详解】∵DE∥BC ，∴ABC ADE ， ∵13AD BD ， ∴1A 4AD B =， ∴4A 1=AB D ; 故答案是△ADE 和41． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确分析是解题的关键．15．点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【解析】先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得．【详解】依题意，画图如下：2AC AD AB=⋅，即AB AC AC AD=，又A A∠=∠，ABC ACD~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．16．如图，添上条件________，则ABC ADE∽．【答案】∠ABC=∠ADE（答案不唯一）【解析】根据相似三角形的判定定理添加即可.【详解】添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ．故答案为∠ACD=∠B （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题键． 17．如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE ．【答案】解：∠D=∠B 或∠AED=∠C ．【解析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE ：AC 或AD•AC=AB•AE 时两三角形相似．故答案为∠D=∠B （答案不唯一）．18．在ABC 和A B C '''中，若B B '∠=∠，6AB =，8BC =，4B C ''=，则当A B ''=________时，ABC A B C '''.【答案】3【解析】在ABC 和A B C '''中，已知了B B '∠=∠，要判定这两个三角形全等，可以利用定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，得到AB BC A B B C '''='，即可求出A B ''的值． 【详解】由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若要使ABC A B C '''， 已知'B B ∠=∠，只要::AB BC A B B C ''''=即可，解得3A B ''=.【点睛】本题考查的是利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定两三角形相似方法为图形补充条件，紧扣定理构成比例式是解题的关键．19．如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中______对相似三角形．【答案】3【解析】由□ABCD 可得//AB CD ，//AD BC ，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE ，从而完成求解．【详解】∵□ABCD∴//AB CD ，//AD BC∴E DCF ∠=∠，EAFEBC ∠=∠ ∵AFE CFD ∠=∠∴AEF DCF ∽∵EAFEBC ∠=∠，AEF BEC ∠=∠ ∴AFE BCE ∠=∠∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案．20．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在边AD 上，8AE =，点F 在边DC 上，则当EF =________时，ABE △与DEF 相似．【答案】5或203【解析】 若要ABE △与DEF 相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可．【详解】由题意,知ABE △与DEF 都是直角三角形, 所以当AB BE DE EF =或AE BE DE EF =时,ABE △与DEF 相似, 由6AB=,8AE =,12AD =,得10BE =,4DE =, ∴6104EF =或8104EF=, ∴EF =5或203． 故答案为: 5或203． 【点睛】ABE △与DEF 相似和ABE DEF △△∽是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论．21．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK ，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）【答案】③④⑤【解析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1②△BCD的各边长分别为1③△BDE的各边长分别为2、2△ABC各边长的2倍）；④△BFG的各边长分别为5（为△ABC；⑤△FGH的各边长分别为2（为△ABC；⑥△EFK的各边长分别为3根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．故答案为③④⑤．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．22．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度【答案】145【解析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，△ABD与△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题23．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．【答案】见解析【解析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．24．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF 于点G，求证：△BGF∽△DCF．【答案】见解析．【解析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F 为公共角即可得出结论．【详解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90︒，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF＋∠F=90︒∴∠CBE＋∠F=90︒∴∠BGF=90︒=∠DCF∴△BGF∽△DCF【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．25．如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．【答案】△ADE∽△BDA【解析】先利用勾股定理求得AD=，进而有ED AD AD BD ==，又∠ADB=∠ADB ，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE∽△BDA ．【详解】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，∴AD=，BD=2CD ， ∴ED AD AD BD ==， ∵∠ADB=∠ADB ，∴△ADE∽△BDA ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．26．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ．（1）写出图中的两对相似三角形；（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．【答案】（1）ACD ABC ∽，CDB ACB ∽；（2）详见解析【解析】（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出ACD ABC △∽△，CDB ACB ∽△△，ACD CBD △∽△； （2）根据题意可选择证明ACD ABC △∽△，利用等角代换得出B ACD ∠=∠，从而利用两角法判断ACD ABC △∽△．【详解】解：()1根据相似三角形的判定定理可知：图中的两对相似三角形为：ACD ABC △∽△和CDB ACB ∽△△；（2）∵90A B ∠+∠=，90A ACD ∠+∠=，∴B ACD ∠=∠，又∵90ACB ADC CDB ∠=∠=∠=，∴ACD ABC △∽△．【点睛】本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．27．如图，已知//,//,//AB DE AC DF BC EF .求证：~DEF ABC ．【答案】证明见解析【解析】根据对应边平行可得对应边之比，从而证明~DEF ABC .【详解】 解：//,~,DE OE AB DE ODE OAB AB OB∴∴=． //,~,EF OE OF BC EF OEF OBC BC OB OC∴∴==． //,~,DF OF AC DF ODF OAC AC OC ∴∴=． ∴DE EF DF AB BC AC ==， ∴~DEF ABC .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.28．如图，在△ABC 中，∠C=90°，DM△AB 于点M ，DN△BC 于点N ，交AB 于点E ．求证：△DME∽△BCA ．【答案】见解析【解析】先证明∠DEM=∠A ，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明DME ∽BCA ．【详解】证明：∵∠C=90°，DM△AB 于点M ，DN△BC 于点N ，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，∴AC∥DN ，∴∠BEN=∠A ，∵∠BEN=∠DEM ，∴∠DEM=∠A ．在DME 与BCA 中，DEM A DME C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴DME ∽BCA ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．29．如图，ABC 和EFD △的顶点都在正方形网格的格点上，则ABC 与EFD △相似吗？请说明理由．【答案】~ABC EFD .理由见解析【解析】利用勾股定理求出网格中三角形的边长，再证明两个三角形三边对应成比例即可得到结论.【详解】解：相似，理由如下：设网格中小正方形的边长均为1．根据勾股定理，得5,AB AC BC EF DE DF ====∴AB AC BC EF DE DF === ∴~ABC EFD .【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键.30．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝45°．求证：△ABD ∽△DCE ．【答案】见解析【解析】已知等腰直角三角形的两底角相等：∠B ＝∠C ＝45°，所以欲证明△ABD ∽△DCE ，只需推知∠1＝∠3，由“两角法”证得结论．【详解】∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B ＝135°，∵∠2+∠ADE +∠3＝180°，∠ADE ＝45°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠ADE ＝135°，∴∠1＝∠3，∴△ABD ∽△DCE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 31．如图，在ABCD 中，E 是DC 上一点，连接AE 、F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠. 求证：ABF EAD .【答案】证明见解析.【解析】本题要证明ABF EAD ，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明BFE C ∠=∠，BAE AED∠=∠即可完成．【详解】证明∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，//AD BC ，∴180D C ∠+∠=︒∵180AFB BFE ∠+∠=︒，且BFE C ∠=∠，∴D AFB ∠=∠.∵//AB CD ，∠=∠，∴BAE AED∴ABF EAD.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．32．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）求证：△ADP∽△BDF；（3）如图2，若PE＝BE，PC CF的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF1，【解析】（1）根据SAS证明即可；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论；（3）如图2，作PH△BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC得：HF进而求出CF，即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠FCH＝45°，∵AB∥FH，∴∠HFC＝∠ABC＝90°，∴∠FCH＝∠H＝45°，∴CF＝FH＝AE，∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH，∴△APE≌△HPF（AAS），∴PE＝PF，∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵EP＝PF，∴∠EDP＝∠FDP＝45°，∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，∴∠ADP＝∠BDF，∵∠DAP＝∠DBF＝45°，∴△ADP∽△BDF；（3）如图2中，作PH△BC于H．∵∠ACB＝45°，PC∴PH＝CH＝1．由（2）得：BE＝PE＝PF，∴BE＝12 EF，∴∠BFE＝30°，∴PF＝2，∴HF∴CF1，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键．。
A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题练习.doc
（ 1）判定定理 1：AA相似三角形的判定文字语言 数学语言图形一． 知识点讲解如果一个三角形的两个角分别与另 一个三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似。
1. 相似三角形的定义A A ABC ∽/, B B/A /B /C / B /C/（1）相似三角形定义： 如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。
（简记为：两角分别相等的两个三如图所示， ABC 与 DEF 相似 ,记作“ ABC ∽ DEF ”，读作 ABC 相似于 DEF 。
角形相似。
） （ 2）判定定理 2：SAS 文字语言 数学语言图形如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例，并且AB AC //,且 A A A B A C/ / /（2）相似比： 相似三角形对应边长度的比叫做相似比。
夹角相等， 那么这两个三角形相似。
ABC ∽ A / B /C/B /C/（3）注意： ①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。
（简记为：两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似。
）② 相似三角形相似比是有顺序的。
（ 3）判定定理 3：SSS③ 全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。
文字语言 数学语言图形④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果一个三角形的三条边与另一个 AB AC BC三角形的三条边对应成比例，那么/ / / / B / C / A B A C2. 平行线截三角形相似的定理这两个三角形相似。
A BC ∽ /B C/A/（1）平行线截三角形相似的定理：（简记为：三边成比例的两个三角 形相似。
）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
（ 4）判定定理 4：HL （2）数学表达式：文字语言 数学语言图形DE // BC如果一个直角三角形的斜边和一条 AB AC BC ABC ∽ DEF/ / / /B /C / A B A C直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这A BC ∽ A /B /C/B /C/两个三角形相似。
2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定(2) 同步练习
2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定（2）同步练习一、选择题1.下列说法中，不正确的是（）A、直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似B、底角为40°的两个等腰三角形相似C、一个锐角为30°的两个直角三角形相似D、有个角为30°的两个等腰三角形相似+2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）A、∠AED＝∠BB、∠ADE＝∠CC、＝D、＝+3.如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A、B、C、AC2=AD?AB D、CD2=AD?BD+4.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A、=B、=C、=D、=+5.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（）A、∠B=∠ACDB、∠ADC=∠ACBC、D、AC2=AD?AB+6.下列命题中正确的有( )①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．A、0个B、1个C、2个D、3个+7.下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A、∠A=∠E且∠D=∠FB、∠A=∠B且∠D=∠FC、∠A=∠E且D、∠A=∠E且+8.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A、B、C、D、+二、填空题9.如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3A E，点F为BC边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）+10.已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）+11.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是.+12.如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③；④；⑤个，它们分别是，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有.（只填写序号）+13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是.+三、解答题14.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是DC上的点，且DF=3FC，试说明：△ABE∽△ECF．+15.如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求证：△ABC∽△AED．+16.如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：(1)、∠OAE=∠OBE；(2)、AE=BE+ OE．+17.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．(1)、求证：△ABE∽△DEF；(2)、若正方形的边长为4，求BG的长．+18.如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2c m/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：(1)、当t为何值时，∠ANM=45°？(2)、计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；(3)、当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？+。
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相关资料
习题：
三角形相似的判定方法
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
课堂练习
1 、填一填
（1）如图3，点D 在AB 上，当∠ ＝∠ 时， △ACD ∽△ABC 。
（2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则满足条件 ，
就可以使△ADE 与原△ABC 相似。
A
B
D 图 3
A B C E 图 42．已知：如图，∠1=
∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．
3. 如图，△ABC 中， DE ∥BC ，EF ∥AB ，试说明△ADE ∽△EFC .
A
E
F B C
D 4．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
课后检测作业
1 、图1中DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形。
2 、图2中AB ∥CD ∥EF ，找出图中所有的相似三角形。
F
A
B
C D
G E 图 1A B 图 2C F D E O 3 、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
4 、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：． FD EF
BF AF
5．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．
（1）求证：AC•BC=BE•CD ；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O
的直径BE 的长．
6 .已知D 、E 分别是△ABC 的边AB,AC 上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °求证：AD·AB= AE·AC。