浅谈数学解题中的分类讨论思想

浅谈数学解题中的分类讨论思想

洪湖市第一中学 付志刚

分类讨论的数学思想方法就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。本文想就分类讨论的原则、方法和步骤等作一些阐述，不妥之处，敬请斧正。

一、科学合理的分类

把一个集合分成若干个非空真子集（、、• • •）（≥，∈），使集合中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即

①∪∪∪•• • •∪＝

②∩＝φ（∈,且≠）。

则称对集进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）

科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。

二、确定分类标准

在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：

（）根据数学概念来确定分类标准

例如：绝对值的定义是： 所以在解含有绝对值的不等式 (－)≥时，就必须根据确定 ， （－）正负的值和将定义域（，）分成三个区间进行讨论，即＜＜，

≤＜，≤＜三种情形分类讨论。

例、 已知动点到原点的距离为，到直线：＝的距离为，且＝

（）求点的轨迹方程。

（）过原点作倾斜角为α的直线与点的轨迹曲线交于两点，求弦长｜｜的最大值及对应的倾斜角α。

解：（）设点的坐标为（），依题意可得： 根据绝对值的概念,轨迹方程取决于＞还是≤，所以以为标准进行分类讨论可

得轨迹方程为： 解（）如图，由于，的位置变化，

弦长｜｜的表达式不同，故必须分点， 都在曲线()以及一点 在曲线() 上而另一点在曲线－（－）上可求得： 从而知当 或 时 （）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准。

数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==0000<

>a a a a a a 3131

314

222=-++x y x ⎩⎨⎧()()

3221<

α

例如，对数函数＝的单调性是分＜＜和＞两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式；如 >－就应以底数＞和＜＜进行分类讨论，即：当＞时， ，当＜＜时， 。 又如，等比数列前项和公式是分别给出的： 所以在解这类问题时，如果是可以变化的量， 就要以为标准进行分类讨论。 例，设首项为，公比为（＞）的等比数列的前项和为,又设＝ ，＝，， 求

解：当＝时，＝，＝ , 当≠时，＝ ， ， 。 于是当＜＜时， 当＞时，

， 综上所述， （）根据运算的需要确定分类标准。

例如：解不等式组 显然，应以，为标准将分为＜≤，＜≤，＞三种情况进行讨论。

例，解关于的不等式组 其中＞且≠。

解，由于不等式中均含有参数，其解的状况均取决于＞还是＜，所以为标准进行分类，

（Ⅰ）当＜＜时，可求得解为: ; （Ⅱ）当＞时，可解得: , 此时不等式组是否有解关键取决于 与的大小关系，所以以 即＝为标准进行第二次分类。

（） 当＜≤时解集为Φ

（） 当＞时解集为

综上所述：当＜＜时，原不等式解集为 ;当＜≤时，解集为Φ；

当＞时，解集为 。

三、分类讨论的方法和步骤

（）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围； （）确定分类标准科学合理分类；

（）逐类进行讨论得出各类结果；

（）归纳各类结论。

例，若函数（）＝的图象经过点（）和（ ）两点，且∈[, ]时，｜（）｜≤恒成立，试求的取值范围。

解：由（）＝＝，（ ）＝＝，求得＝＝－ （）＝（－）（）＝ （－）（ ） ∵ ∴ ①当≤时，≤（）≤＋ （－）∵｜（）｜≤∴只要 （－）≤解得≥ ∴－ ≤≤；②当＞时，＋ （－）≤（）≤，∴只要＋ （－）≥－，解得≤ , ∴＜≤ ，综合①，②知实数的取值范围为[－ ， ]。 例，已知函数（）＝ 试求以表示（）的最大值。

解：原函数化为（）＝ χ131>χ131<()()⎪⎩⎪⎨⎧--==q q a q na S n n 1111

1()()11≠=q q 1+n n

S S 1+n n 1lim =Tn ∞→n q q n --11q q S n n --=++111

11

11+--=n n

n q q T 0lim =n q 1lim =n T ∞

→n ∞→n 01lim =n q q T n 1lim =∞→n ∞→n ()()⎪⎩

⎪⎨⎧=11101lim ><

<<<<χχ143()⎩⎨⎧--11log 22log 2

2a a a a <<χχχ2

1<<χ+a ⎩⎨⎧+1

02a <<>χχ21=+a ()12+a ，()12+a ，()12+a ，2π2π2π4π24344ππχπ≤+≤14sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝

⎛+≤πχ2

22-222

222

22χ()R R ，∈∈αχ()16

442

2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛

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