华杯赛决赛第13~16届(初一组)试题及答案
初一华杯赛试题及答案
初一华杯赛试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个选项是最小的正整数?A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B2. 如果一个数的绝对值是5,那么这个数可能是:A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是答案:C3. 计算下列表达式的结果是偶数的是:A. 3 + 5B. 4 × 6C. 7 - 3D. 2 × 3答案:B4. 一个数的平方等于它本身,这个数可能是:A. 0B. 1C. 0或1D. 都不是答案:C5. 下列哪个数是质数?A. 2B. 4C. 6D. 8答案:A二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的相反数是-8,这个数是________。
答案:87. 如果一个数的立方等于-27,那么这个数是________。
答案:-38. 一个数的平方根是4,那么这个数是________。
答案:169. 一个数的绝对值是10,这个数可能是________或________。
答案:10 或 -1010. 一个数的倒数是1/2,那么这个数是________。
答案:2三、解答题(每题5分,共20分)11. 计算下列表达式的值:(3x - 2) / (x + 1),当x = 3时。
答案:将x = 3代入表达式,得到(3×3 - 2) / (3 + 1) = (9 - 2) / 4 = 7 / 4。
12. 一个长方形的长是宽的两倍,如果长和宽的和是20厘米,求长和宽各是多少?答案:设宽为x,则长为2x。
根据题意,x + 2x = 20,解得x = 20 / 3,所以宽为20 / 3厘米,长为40 / 3厘米。
13. 一个数的平方加上这个数的两倍等于21,求这个数。
答案:设这个数为x,根据题意,x^2 + 2x = 21。
解这个一元二次方程,得到x = 3 或 x = -7。
14. 一个班级有40名学生,其中1/4的学生是男生,求班级中女生的人数。
答案:班级中有1/4 × 40 = 10名男生,所以女生的人数为40 - 10 = 30名。
华杯赛试题及答案
华杯赛试题及答案1. 选择题1)以下哪个不属于华杯赛的参赛项目?A. 数学竞赛B. 语言表达C. 程序设计D. 跳高比赛2)华杯赛是哪个国家的赛事?A. 中国B. 美国C. 日本D. 英国3)以下哪个城市曾举办过华杯赛?A. 北京B. 上海C. 广州D. 香港4)华杯赛是以什么形式进行的?A. 线下比赛B. 线上比赛C. 线下与线上结合D. 每个参赛者可以自行选择5)华杯赛设立了哪些奖项?A. 一等奖、二等奖、三等奖B. 冠军奖杯、亚军奖杯、季军奖杯C. 最佳表现奖、创新奖、团队合作奖D. 所有参赛者都会获得奖励2. 填空题1)华杯赛是每年________举办一次。
2)参赛者需要先进行________报名,通过审核后方可参加比赛。
3)华杯赛的目的是________学生综合能力的培养。
4)参赛者需要在规定的时间内完成________项目的考核。
5)华杯赛的题目涵盖了多个学科,要求参赛者具备________知识。
3. 简答题请简要回答以下问题:1)你为什么想参加华杯赛?2)你认为参加华杯赛对你的个人发展有何帮助?3)你的学习方法和备考策略是什么?4)在华杯赛中,你最想获得哪个奖项,并为之付出什么努力?答案:1. 选择题1)D2)A3)B4)C5)C2. 填空题1)一次2)在线上3)促进4)指定5)跨学科3. 简答题1)参加华杯赛可以锻炼自己的能力,提高学科知识水平,同时还能通过与其他优秀学生交流,拓宽视野。
2)参加华杯赛可以提升个人的学术竞争力和综合素质,对今后的升学和就业都有积极的影响。
3)我的学习方法是注重理论与实践相结合,善于总结归纳,通过解题训练提高自己的应试能力;备考策略是提前规划时间,有针对性地复习重点知识,并进行模拟考试。
4)我最想获得的奖项是最佳表现奖,我会通过充分准备,认真完成每个项目的考核,展现出自己的才能和潜力,努力争取取得好成绩。
华杯赛试题及答案到此结束。
请注意按照华杯赛的要求认真准备,祝你取得优异的成绩!。
初中华杯赛试题及答案
初中华杯赛试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是正确的因式分解?A. \(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\)B. \(x^2 - 9 = (x + 3)^2\)C. \(x^2 - 9 = (x - 3)^2\)D. \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)答案:A2. 如果一个数的平方是16,那么这个数是多少?A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案:C3. 下列哪个方程的解是x=2?A. \(x + 2 = 4\)B. \(x - 2 = 0\)C. \(2x = 4\)D. \(x^2 = 4\)答案:C4. 一个圆的半径是5厘米,那么它的面积是多少平方厘米?A. 25B. 50C. 78.5D. 100答案:C5. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm,那么它的体积是多少立方厘米?A. 24B. 26C. 12D. 8答案:A6. 一个等腰三角形的两个底角相等,如果顶角是60度,那么底角是多少度?A. 30B. 60C. 90D. 120答案:B7. 一个数的相反数是-5,那么这个数是多少?A. 5B. -5C. 0D. 10答案:A8. 下列哪个分数是最简分数?A. \(\frac{4}{8}\)B. \(\frac{3}{9}\)C. \(\frac{5}{10}\)D. \(\frac{7}{14}\)答案:A9. 一个数的绝对值是5,那么这个数可能是多少?A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案:C10. 下列哪个选项是正确的比例关系?A. \(2:3 = 4:6\)B. \(3:4 = 6:8\)C. \(5:7 = 10:12\)D. \(1:2 = 3:6\)答案:D二、填空题(每题2分,共20分)1. 一个数的平方根是2,那么这个数是______。
答案:42. 一个数的立方是-8,那么这个数是______。
历届华杯赛数学试题及答案
历届华杯赛数学试题及答案# 历届华杯赛数学试题及答案## 第一届华杯赛数学试题及答案### 试题1. 计算下列表达式的值:\[ 3 + 4 \times 2 \]2. 一个长方形的长是宽的两倍,如果宽增加3米,长减少4米,面积不变,求原长方形的长和宽。
### 答案1. 根据运算顺序,先乘法后加法,所以表达式的值为:\[ 3 + 4\times 2 = 3 + 8 = 11 \]2. 设原长方形的宽为 \( x \) 米,则长为 \( 2x \) 米。
根据题意,有:\[ x \times 2x = (x + 3) \times (2x - 4) \]\[ 2x^2 = 2x^2 - 4x + 6x - 12 \]\[ 0 = 2x - 12 \]\[ x = 6 \]所以原长方形的宽为6米,长为 \( 2 \times 6 = 12 \) 米。
## 第二届华杯赛数学试题及答案### 试题1. 一个数的三倍加上4等于这个数的五倍减去6,求这个数。
2. 一个工厂有A、B两个车间,A车间的人数是B车间的4倍,如果从A车间调100人到B车间,则A车间人数是B车间的2倍,求原来A、B车间各有多少人。
### 答案1. 设这个数为 \( x \),则根据题意有:\[ 3x + 4 = 5x - 6 \]\[ 2x = 10 \]\[ x = 5 \]所以这个数是5。
2. 设B车间原来有 \( x \) 人,则A车间原来有 \( 4x \) 人。
根据题意有:\[ 4x - 100 = 2(x + 100) \]\[ 4x - 100 = 2x + 200 \]\[ 2x = 300 \]\[ x = 150 \]所以B车间原来有150人,A车间原来有 \( 4 \times 150 = 600 \) 人。
## 第三届华杯赛数学试题及答案### 试题1. 一个数的平方减去这个数的两倍再加上1等于0,求这个数。
2. 一个圆的直径增加10%,面积增加了多少百分比?### 答案1. 设这个数为 \( x \),则根据题意有:\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]这是一个完全平方公式,可以写成:\[ (x - 1)^2 = 0 \]所以 \( x = 1 \)。
初一数学华杯赛试题及答案
初一数学华杯赛试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16,那么这个数是多少?A. 4B. ±4C. 16D. ±83. 一个长方形的长是宽的两倍,如果宽是5厘米,那么长是多少厘米?A. 5B. 10C. 15D. 204. 一个数的绝对值是5,这个数可能是?A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是5. 一个数加上8等于这个数的两倍,这个数是多少?A. 8B. 4C. 0D. 166. 以下哪个分数是最接近0的?A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 一个圆的半径是3厘米,那么它的面积是多少平方厘米?A. 28.26B. 18.84C. 9.42D. 3.148. 一个数的立方是-27,这个数是多少?A. -3B. 3C. -27D. 279. 以下哪个算式的结果是一个整数?A. 3 × 4 + 2B. 4 ÷ 2 - 1C. 5 × 3 - 2D. 6 ÷ 3 + 110. 一个数的平方根等于它本身,这个数是?A. 0B. 1C. -1D. 4二、填空题(每题4分,共20分)11. 一个数的平方等于25,这个数是_________。
12. 如果一个数的绝对值是3,那么这个数可能是_________。
13. 一个数的立方等于-8,这个数是_________。
14. 一个数的倒数是1/4,这个数是_________。
15. 一个数的平方根是2,这个数是_________。
三、解答题(每题10分,共50分)16. 一个班级有40名学生,其中1/4的学生喜欢数学,1/5的学生喜欢英语。
请问喜欢数学和喜欢英语的学生总数是多少?17. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米,求这个三角形的面积。
18. 一个数的平方加上8倍的这个数等于64,求这个数。
第13届华杯赛初赛试题及答案
2.将等边三角形纸片按图1所示的步骤折3次(图1中的虚线是三边中点的边线),然后沿两边中点的边线剪去一角(图2)。
将剩下的纸展开、铺平,得到的图形是()。
(A)(B)(C)(D)
3.将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形,则正方形最少是()个。
10、将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友,原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比是5∶4∶3,实际上,甲、乙多得了15块糖果,那么这位小朋友是(填“甲”、“乙”或“丙”),他实际所得的糖果数为块。
答案:
1:C,2:A,3:B,4:C,5:B,6:D,
6.若a= ,b= ,c= ,则有()。
(A)a>b>c(B)a>c>b(C)a<c<b(D)a<b<c
二、填空题。(毎小题10分,满分40分。第10题每空5分)
7.如图4所示,甲车从A,乙车从B同时相向而行,两车第一次相遇后,甲车继续行驶4小时到达B,而乙车只行驶了1小时就到达A,甲乙两车的速度比为1:2。
8.华杯赛网址是,将其中的字母组成如下算式:
www+hua+bei+sai+cn=2008.
如果每个字母分别代表0~9这十个数字是的一个,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,并且w=8,h=6,a=9,c=7,则三位数 的最小值是。
9、如图5所示,矩形ABCD的面积是24平方厘米,、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米,则四边形PMON的面积是平方厘米。
(A)78(B)7(C)5(D)6
4.已知图3是一个轴对称图形,若将图中某些黑色
的图形去掉后,得到一些新的图形,则其中轴对称图
华杯赛决赛试题及答案
华杯赛决赛试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若一个数的平方根是a,则这个数是:A. a^2B. -a^2C. |a|D. a^32. 一个等差数列的前三项分别为2,5,8,则此数列的通项公式为:A. 3n - 1B. 3n - 2C. 3n + 2D. 3n - 33. 对于函数f(x) = ax^2 + bx + c,若a < 0,b > 0,则f(x)的图像可能是:A. 一个开口向上的抛物线B. 一个开口向下的抛物线C. 一个开口向上的双曲线D. 一个开口向下的双曲线4. 一个圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,若圆与直线相交,则:A. d > rB. d < rC. d = rD. d ≤ r答案:1. A2. B3. B4. B二、填空题(每题5分,共10分)1. 一个圆的周长为2π,那么它的面积是______。
2. 如果一个三角形的两边长分别为3和4,夹角为60度,那么第三边的长度是______。
答案:1. π2. √13三、解答题(每题15分,共30分)1. 证明:若一个三角形的两边长分别为a和b,且满足a^2 + b^2 = c^2,则这个三角形是直角三角形。
2. 解方程组:\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x + 3y = 11\end{cases}\]答案:1. 证明:根据勾股定理的逆定理,如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
设三角形ABC,其中AB=a,BC=b,AC=c。
根据题目条件,有a^2 + b^2 = c^2。
根据勾股定理的逆定理,可以得出∠C=90°,即三角形ABC是直角三角形。
2. 解:将第一个方程乘以2得到2x + 2y = 10。
然后用这个新方程减去第二个方程,得到y = 1。
将y = 1代入第一个方程,得到x + 1 = 5,解得x = 4。
因此,方程组的解为x = 4,y = 1。
华杯赛历届试题及答案
华杯赛历届试题及答案华杯赛,全称“华罗庚数学金杯赛”,是一项面向中学生的数学竞赛,旨在激发学生对数学的兴趣,提高他们的数学素养。
以下是历届华杯赛的部分试题及答案,供参考:一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数?- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案:B2. 如果一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,那么这个数除以15的余数是多少?- A. 3- B. 4- C. 5- D. 6答案:A二、填空题1. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm,其体积是________ 立方厘米。
答案:2402. 计算下列数列的第10项:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...答案:55三、解答题1. 一个水池有注水口和排水口,单开注水口每小时可注水20吨,单开排水口每小时可排水10吨。
如果同时打开注水口和排水口,水池每小时净增水量是多少吨?如果池中原有水100吨,需要多少时间才能将水排空?答案:同时打开注水口和排水口时,水池每小时净增水量是20吨- 10吨 = 10吨。
要将100吨水排空,需要的时间为100吨÷ 10吨/小时 = 10小时。
2. 一个班级有48名学生,其中1/3是男生,剩下是女生。
问这个班级有多少名女生?答案:班级中有48名学生,其中1/3是男生,即48 * (1/3) = 16名男生。
剩下的学生是女生,所以女生人数为48 - 16 = 32名。
四、证明题1. 证明对于任意的正整数n,n的立方与n的和不小于n的平方与n 的两倍之和。
答案:设n为任意正整数。
我们需要证明n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
展开立方项,得到n^3 + n - n^2 - 2n = n(n^2 - n - 1) = n(n - (1 + √5)/2)(n - (1 - √5)/2)。
由于n是正整数,(n - (1 +√5)/2)和(n - (1 - √5)/2)都是负数或零,因此整个表达式是非负的,即n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
华杯赛初一组试题及答案
华杯赛初一组试题及答案一、选择题(每题5分,共40分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B2. 一个等腰三角形的两个底角相等,如果其中一个底角是45度,那么顶角是多少度?A. 45度B. 90度C. 135度D. 180度答案:B3. 如果一个数的平方等于36,那么这个数是多少?A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案:B4. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c,那么它的体积是多少?A. abcB. ab + bc + acC. a + b + cD. a/b + b/c + c/a答案:A5. 下列哪个分数是最简分数?A. 3/4B. 4/6C. 5/8D. 7/9答案:D6. 一个圆的半径是r,那么它的面积是多少?A. πrB. πr^2C. 2πrD. 2πr^2答案:B7. 如果一个数x满足方程x^2 - 5x + 6 = 0,那么x的值是多少?A. 2B. 3C. 2或3D. 以上都不是答案:C8. 一个等差数列的首项是a1,公差是d,那么它的第n项是多少?A. a1 + (n-1)dB. a1 - (n-1)dC. a1 + ndD. a1 - nd答案:A二、填空题(每题5分,共30分)9. 一个数的相反数是-5,那么这个数是______。
10. 一个数的绝对值是8,那么这个数可以是______或______。
答案:8或-811. 一个等腰直角三角形的斜边长是10,那么它的直角边长是______。
答案:5√212. 一个数列的前三项是1,2,3,如果每一项都是前一项的两倍,那么第10项是______。
答案:2^9 = 51213. 一个圆的周长是2πr,如果周长是12π,那么半径r是______。
14. 一个长方体的长、宽、高分别是2,3,4,那么它的表面积是______。
答案:5215. 一个数列的前三项是1,3,5,如果每一项都比前一项多2,那么第n项是______。
(华杯)16届初一总决赛试题答案讲解版
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题解答一、填空题(共3题,每题10分)1. 计算)]5(31[)41(2)32(|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷---⨯-= 解: 3432228594(2)(1)|123|()8122832781146472()[13(5)]4⎡⎤-⨯---÷---⨯-÷--⎢⎥⎣⎦==+-⨯-+-⨯- 6459431.4784--==-⨯ 2. 正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.如图,DE 与CF 相交于G.已知125ADE CDG S S ∆∆==平方厘米.△BFG 的面积是 平方厘米.答:△BFG 的面积是50平方厘米.解:由于正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.所以,边长25AB =厘米.由于125ADE S ∆=平方厘米,所以AE =10厘米.连接CE , 则1162531222CDE S ∆=⨯=(平方厘米). 而已知125CDG S ∆=(平方厘米), 则1252,312.55CDG CDE S DG DE S ∆∆===连接AG . 由221255055ADG ADE S S ∆∆==⨯=(平方厘米) 但16252ADGCBG S S ∆∆+=⨯,而16252BFG CBG S S ∆∆+=⨯,比较可得 50BFG ADG S S ∆∆==(平方厘米).3. 用长度分别为50,,2,1 的木条去摆三角形,每个三角形的三条边的长度分别为c b a ,,,c b a <<,问),,(c b a 最多有多少种不同的取法?答案:9500.解:利用三条边可以构成三角形的条件:任意的两个边的和大于第三边. 边长为1的木条不能与其它长度的木条构成三角形.三角形的最小边长为2时,边长为2的木条只能与差值为1的两个木条构成三角形,故有47对.三角形的最小边长为3时,边长为3的木条只能与差值为1,2的两个木条构成三角形,故有46+45对.三角形的最小边长为4时,边长为3的木条只能与差值为1,2,3的两个木条构成三角形,故有45+44+43对.......三角形的最小边长为k ()25≤k 时,边长k 为的木条只能与差值为1,2,3,⋯,1-k 的两个木条构成三角形,故有(49)(491)(4922)k k k -+--++-+ 对.三角形的最小边长为k ()25>k 时,边长k 为的木条只能与差值为1,2,3,⋯,1-k 的两个木条构成三角形,故有1)149()49(++--+- k k 对. 故总数为(47461)(45441)(43421)(212k k +++++++++++++-+-+++ (321)1++++ 47244523(21)53321k k =⨯+⨯++-⨯++⨯+⨯+()22224231(24231)9500.=+++-+++=二、解答题(共3题,每题10分,写出解答过程)4. 用)(n S 表示自然数n 的数字和,如1)1(=S ,6)123(=S ,10)1234(=S 等等,求自然数n ,使得2011)(=+n S n .答: 1991.解1: 2011)(=+n S n ,20111900<<∴n 则可设y x n ++=101900或y x n ++=102000,其中90,90≤≤≤≤y x ,且y x ,为整数.若y x n ++=101900,则201191101900=++++++y x y x ,即101211=+y x ⎩⎨⎧==∴19y x 1991=n 若y x n ++=102000,则20112102000=+++++y x y x ,即9211=+y x 没有符合条件的整数解.因此,n =1991.解2:因为()(mod9),n S n ≡要使2011)(=+n S n ,只须()2011(mod9),n S n +≡ 即220114(mod9)2(mod9).n n ≡≡⇒≡已知在2011n ≤时()S n 最大为38,所以19832011,n ≤≤其中被9除余2的有1991,2000,2009.其中只有1991满足1991+20=2011,所以1991.n =5. 两个21位自然数m 和n ,每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成,使得nm k =是自然数,问k 能取哪几个自然数?说明你的理由.答:1.解:显然777666555444333222111 1.777666555444333222111k == 假设存在这样的m 和n ,使得数m n 是一个大于1的自然数,则可设m k n=,故m kn =. 两边分别除以9,用数被9除的性质知m 和n 被9除的余数均等于3(1234567)⨯++++++被9除的余数,即84被9除的余数,为3. 因此3与3k 模9同余. 由7776665554443332221117111222333444555666777m k n =≤<, 及m 和n 不同(即1k ≠)推得4k =,即4m n =. 考虑数n 最低位的数字7,当把n 乘以4时,这个数字7的下一位(如果有)最多为6,因此乘以4最多进两位,这说明m 中对应位的数字为8(下面不进位,7×4=28)或9(下面进一位)或0(下面进两位),这与m 由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成相矛盾!即不存在满足条件的m 和n .使得数m n是一个大于1的自然数. 所以,只有 1.k =6. 使得关于未知数x 的方程k x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32无解的自然数 k 由小到大排成一行,其前2011个k 的值之和等于多少?解. k0 1 2 3 x 1 2 3 4 23x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0 1 2 3 设5,0,1,2,3k m r r =+=;令6,x m p p =+待定. 325232323x x p p p p m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 从上表可知,=,0,1,2,3,23p p r r ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是有解的. 因此,5,0,1,2,3,(1)k m r r =+=都有解.下面考虑 5 1.k m =-显然,665.23m m m ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而对于01,q <<66323121115 2.232323m q m q q q q q m m m m m --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-+-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦上式对于任意01q <<的q 成立. 所以当51k m =-时,方程无正有理数解.因此,前2011个k 的值之和=20112012(511)(521)(520111)5201110113319.2⨯⨯-+⨯-++⨯-=⨯-=初一组二试试题解答图3 一、填空题(共3题,每题10分)1. 一水池有一进水口,若干同样大小的排水口.如果同时打开进水口和5个排水口,连续30个小时可以将水排尽;如果同时打开进水口和6个排水口,连续20小时可以将水排尽.如果同时打开进水口和15个排水口,几小时可以将水排尽?答:5小时.解:设一水池水为z 立方米,进水口每小时过水y 立方米,一个排水口每小时排水x 立方米.于是 3053020620x y z x y z ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩由此此得 2305230232063203x y z xy z ⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩ 两式两边分别相减得 60x z = ∴ 160x z =;同样可得 120y z =. 设同时打开一进水口和15个排水口,t 小时可以将水排尽. 则1115,6020t z t z z ⨯=⨯+ 即 11 1.420t t =+ 所以 1155t t =⇒=(小时). 2. 图中,四边形ABCD 是一个长方形,EF //AB ,GH //AD , EF 和GH 相交于点O , 三角形OBD 的面积是m ,求长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的面积差.答:2.m解:从图中可见,1.2BODC BOD ABCD BODA BOD S S S S S ∆∆-==+ 即 22.BODC BODA BOD S S S m ∆-==即 ()()2O F C H B O F D O H A G O E B O G D O ES S S S S S m ∆∆∆∆++-++= 但 ,,BOF BOG DOH DOE S S S S ∆∆∆∆== 因此得2.OFCH AGOE S S m -=3. 自然数a ,b 互质,如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡,n b a b 101⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧,n 是10进制数b 的位数,则a b = .其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数,⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分.答:.25 解:设符合题意的最简分数为b a ,a 、b 均为正整数且互质.可知b >a ,根据题意即,则110n b a b a+⨯=,整理成正整数方程为210()n b a -=ab . 从方程中可知2a a b ≤<.因为a 与b 互质,所以b - a 2与ab 也互质.因为若 b -a 2与ab 有公因子p ,那么p 能整除a (或能整除b ),也能整除b -a 2,从而p 也能整除b (或也能整除a ),这样,与题意最简分数(分子与分母互质的分数)矛盾.因此,互质的a 与b 的积只能是10n 与1的乘积或5n 与2n 的乘积两种可能.若10n b =,1a =,这时21b a -≠; 若ab =10n =)(52n⨯,b =5n ,2n a =, 这时b -a =1得25(2)1n n -=,即()2521n n -=. 因此,n 只能是1时才成立,即a =2,b =5. 最简分数为.25 二、解答题(共3题,每题10分,写出解答过程)4. 将正整数1,2,3,… ,8分别放置于正方体的8个顶点,每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”.对每一种填法,都可以得到最大“众数”的与最小“众数”的差,那么这个差至少等于多少.答:2解:首先考虑这样的8个众数能否全相等,如果能,因为它们的和等于144,即 1444364)8_321(=⨯=⨯+++,所以每个都等于18,那么最大与最小的众数之差就是0.如果不能全相等,为了求得最小可能值,如果有一个是19,那么 相应地得有一个是17,(总和须等于144)所以这个最小的可能值就不能小于21719=-.这样我们只要先证明8个众数不能全相等,然后找出一种布法,其最大与最小众数之差等于2,就可以断定所求的这个最小值是2.设顶点的编号为1,2,3,4,5,6,7,8,如图,记在顶点i 的数为,18,i x i ≤≤.这样,顶点1的众数为1234x x x x +++;顶点5的众数为1568x x x x +++. 若此二顶点的众数相等,则864286515421x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++同样地,顶点2的众数为1236x x x x +++,顶点4的众数为1348x x x x +++,若此二顶点的众数相等,则846284316321x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++由上面得到的二式相加得 2822,x x =即 28,x x =这是不可能的. 这就证明了8个众数不能全相等.构造一个摆放方式的图例(见右图),最大数和最小数的差等于2,故最小差值等于2.5. 已知三角形边长都是整数,周长不超过28,三个边长两两之差的平方和等于14. 问这样的三角形共有多少个?(三条边长分别对应相等的三角形只算1个)答:12个.解:设三角形三条边长分别为a,b,c ,由已知等式可得:()()()22214a b b c a c -+-+-=. ①令a b m,b c n -=-=,则a c m n -=+,其中m,n 均为自然数.于是,等式①变为 227m n mn ++=. ② 由于m,n 均为自然数,判断易知,2()3737.m n mn mn -+=⇒≤因此,使得等式②成立的m ,n 只有两组:21m n =⎧⎨=⎩ 和 12m n =⎧⎨=⎩. (1)当m =2,n =1时,b =c +1,a =c +3.又a ,b ,c 为三角形的三边长,所以b c a +>,即13c c c ++>+,解得2c >.又因为三角形的周长不超过28,即3428a b c c ++=+≤,解得8c ≤.因此28c <≤,所以c 可以取值3,4,5,6,7,8,对应可得到6个符合条件的三角形.(2)当12m ,n ==时,23b c ,a c =+=+.a,b,c 又为三角形的三边长,所以b c a +>,即23c c c ++>+.解得1c >.又因为三角形的周长不超过28,即()()3228a b c c c c ++=++++≤,解得233c ≤,因此17c <≤,所以c 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形,且和(1)中得到的三角形不同.综合可知:符合条件且周长不超过28的三角形的个数为6612+=个.6. 求最小自然数k , 使得对于任意正整数n , k 个奇数2n +1, 2n +3, ……, 2n +2k -1中至少有一个数, 不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.解. 试验可知,我们有6个奇数: 115,117,119,121,123,125,它们中每一个都可以被3,5,7,11中的一个或几个数整除.所以,k>6.对于任意的正整数 n , 当 k >6时, 取前7 个数:2n +1, 2n +3, ….., 2n +13 (1)由于2个能被3整除的奇数之差,不小于6; 2个能被5整除的奇数之差,不小于10; 2个能被7整除的奇数之差,不小于14; 2个能被11整除的奇数之差,不小于22. 因此,(1)中能被3整除的数最多有3个,且只能是2n +1, 2n +7, 2n +13.(1)中能被5整除的数最多有2个,且只能是2n +1,2n +11或者2n +3,2n +13;(1)中能被7整除的数最多有1个;(1)中能被11整除的数最多有1个.下面证明(1)中能被3 或5 整除的数的个数不超过4.若能被3整除的数只有2个,显然能能被3 或5 整除的数的个数不超过4. 若能被3整除的数有3个,不管什么情况,能被3整除的数和能被5整除的数,必有一个重合. 能被3整除和能被5整除的数一共不能超过4个.除了能被3 或5 整除的数外,还余下3个.但能被7或11整除的数最多只有2个,因此,必有一个数不能含有质因子3,5,7,11.即这个数不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.答.k的最小值是7。
初一华杯赛初赛试题及答案
初一华杯赛初赛试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个选项是正确的数学表达式?A. 2 + 3 = 5B. 4 × 3 = 12C. 5 - 2 = 3D. 6 ÷ 2 = 3答案:A2. 如果一个数的平方等于9,那么这个数是:A. 3B. -3C. 3 或 -3D. 9答案:C3. 一个圆的直径是10厘米,那么这个圆的半径是:A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案:A4. 下列哪个分数是最简分数?A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 6/9答案:C5. 如果一个三角形的两个内角分别是40度和60度,那么第三个角的度数是:A. 40度B. 60度C. 80度D. 100度答案:C二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的平方根是4,那么这个数是________。
答案:167. 一个数的立方根是2,那么这个数是________。
答案:88. 如果一个长方形的长是6厘米,宽是4厘米,那么它的周长是________厘米。
答案:209. 一个数的倒数是1/5,那么这个数是________。
答案:510. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米,那么它的斜边长是________厘米。
答案:5三、计算题(每题5分,共20分)11. 计算下列表达式的值:(3 + 2) × (5 - 1)答案:2512. 计算下列分数的和:1/2 + 1/3 + 1/4答案:13/1213. 计算下列代数式的值,当x = 2时:2x² - 3x + 1答案:314. 解下列方程:2x + 5 = 11答案:x = 3四、解答题(每题10分,共30分)15. 一个班级有40名学生,其中1/4是男生,其余是女生。
请问这个班级有多少名男生和女生?答案:男生有10名,女生有30名。
16. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米,求这个长方体的体积。
华杯赛决赛试题及答案
华杯赛决赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的?A. 2 + 3 = 5B. 3 + 4 = 7C. 5 - 2 = 2D. 4 - 3 = 2答案:A2. 如果一个数的平方根是正数,那么这个数是:A. 负数B. 零C. 正数D. 任意实数答案:C二、填空题1. 圆的周长公式是 ________ 。
答案:2πr2. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4,斜边长为________ 。
答案:5三、简答题1. 请解释什么是质数,并给出一个质数的例子。
答案:质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外,不能被其他自然数整除的数。
例如,2是一个质数,因为它只能被1和2整除。
2. 什么是勾股定理,并给出一个应用的例子。
答案:勾股定理是指在一个直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。
例如,如果一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4,根据勾股定理,斜边的长度应该是√(3² + 4²) = 5。
四、计算题1. 计算下列表达式的值:(3 + 4) × (8 - 2) ÷ 2答案:352. 一个数的平方是36,求这个数的值。
答案:±6五、证明题1. 证明:对于任意正整数n,n² - 1总是能被8整除。
答案:对于任意正整数n,可以表示为n = 8k + r,其中k是整数,r是0到7之间的整数。
那么n² - 1 = (8k + r)² - 1 = 64k² +16kr + r² - 1 = 8(8k² + 2kr) + (r² - 1)。
由于r² - 1是8的倍数或者-1,所以n² - 1能被8整除。
2. 证明:在一个直角三角形中,如果斜边是直角边的两倍,那么这个三角形是等腰直角三角形。
答案:设直角三角形的直角边长分别为a和b,斜边为c。
根据题意,c = 2a。
初中华杯赛试题及答案
初中华杯赛试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是正确的?A. 2的平方等于4B. 3的立方等于27C. 4的平方等于16D. 5的立方等于125答案:A2. 一个数的相反数是它本身,这个数是:A. 0B. 1C. -1D. 2答案:A3. 以下哪个是质数?A. 4B. 6C. 8D. 11答案:D4. 一个三角形的三个内角之和等于:A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度答案:B5. 以下哪个选项是正确的等式?A. 2x + 3 = 5x - 7B. 3x - 2 = 2x + 3C. 4x = 2x + 8D. 5x + 6 = 5x - 6答案:C6. 一个圆的直径是10厘米,那么它的半径是:A. 5厘米B. 10厘米C. 20厘米D. 15厘米答案:A7. 以下哪个选项是正确的不等式?A. 3 > 4B. 2 < 1C. 5 ≥ 5D. 6 ≤ 7答案:C8. 以下哪个选项是正确的分数?A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/5答案:A9. 以下哪个选项是正确的比例?A. 2:3 = 4:6B. 3:4 = 6:8C. 4:5 = 8:10D. 5:6 = 10:12答案:B10. 以下哪个选项是正确的几何图形?A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 一个数的绝对值是5,这个数可以是______。
答案:±52. 一个数的平方根是3,这个数是______。
答案:93. 一个数的立方根是2,这个数是______。
答案:84. 一个数的倒数是1/4,这个数是______。
答案:45. 一个数的两倍是8,这个数是______。
答案:4三、解答题(每题10分,共50分)1. 解方程:2x - 5 = 9答案:x = 72. 计算:(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1),当x = 2时的值。
华杯赛试题及答案解析
华杯赛试题及答案解析一、选择题1. 下列哪个选项是正确的?A. 2+2=5B. 3+3=6C. 4+4=8D. 5+5=10答案:C2. 哪个国家是联合国的创始会员国之一?A. 中国B. 巴西C. 印度D. 德国答案:A二、填空题3. 请填写下列算式的空白处:2×3×______=24。
答案:44. 请填写下列单词的中文意思:_________(environment)。
答案:环境三、简答题5. 请简述牛顿的三大定律。
答案:牛顿的三大定律包括:- 第一定律:惯性定律,即物体在没有外力作用时,将保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律:加速度定律,即物体的加速度与作用在其上的力成正比,与物体的质量成反比。
- 第三定律:作用与反作用定律,即对于每一个作用力,总有一个大小相等、方向相反的反作用力。
四、计算题6. 计算下列表达式的值:(3x^2 + 2x - 5) / (x + 1),其中x=2。
答案:将x=2代入表达式,得到(3*2^2 + 2*2 - 5) / (2 + 1) = (12 + 4 - 5) / 3 = 11 / 3。
五、论述题7. 请论述光的波粒二象性。
答案:光的波粒二象性是指光既表现出波动性,又表现出粒子性。
波动性表现在光的干涉、衍射等现象中,而粒子性则表现在光电效应等现象中。
这一理论是量子力学的基础之一。
六、实验题8. 请设计一个实验来验证阿基米德原理。
答案:实验步骤如下:- 准备一个弹簧秤、一个金属块和水。
- 首先,在空气中测量金属块的重量。
- 然后,将金属块完全浸入水中,再次测量其重量。
- 观察到在水中测量的重量小于空气中的重量,这是因为金属块受到水的浮力作用,从而验证了阿基米德原理。
七、案例分析题9. 阅读以下案例,并分析其原因:案例:小明在跑步时突然感到呼吸困难,心跳加速。
答案:小明可能由于剧烈运动导致身体氧气供应不足,心跳加速是为了加快血液循环,以更快地将氧气输送到身体各部位。
华杯赛七年级数学决赛试卷
一、选择题(每题5分,共50分)1. 下列各数中,哪个数是质数?A. 39B. 49C. 81D. 1012. 下列各式中,哪个式子的结果是1?A. (1/2) × (1/3) × (1/4) × ... × (1/10)B. (1/2) × (3/4) × (5/6) × ... × (19/20)C. (2/3) × (4/5) × (6/7) × ... × (20/21)D. (3/4) × (5/6) × (7/8) × ... × (21/22)3. 一个长方形的长是12cm,宽是8cm,它的周长是多少cm?A. 32cmB. 40cmC. 56cmD. 64cm4. 下列各数中,哪个数是负数?A. -3/4B. 0.25C. -2D. 1/45. 下列各式中,哪个式子的结果是0?A. 3 + (-3)B. 5 - 5C. 7 × (-1)D. 8 ÷ 86. 下列各数中,哪个数是整数?A. 3.14B. -0.5C. 0.001D. -3.141597. 一个等腰三角形的底边长是8cm,腰长是10cm,它的面积是多少平方厘米?A. 32cm²B. 40cm²C. 48cm²D. 56cm²8. 下列各数中,哪个数是偶数?A. 17B. 18C. 19D. 209. 一个正方形的边长是6cm,它的对角线长是多少cm?A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm10. 下列各数中,哪个数是无限循环小数?A. 0.333...B. 0.666...C. 0.777...D. 0.888...二、填空题(每题5分,共50分)11. 2的平方根是_________,它的立方根是_________。
华杯赛初中试题及答案
华杯赛初中试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是正确的?A. 2 + 2 = 3B. 2 + 2 = 4C. 2 + 2 = 5D. 2 + 2 = 6答案:B2. 一个长方形的长是10厘米,宽是5厘米,它的面积是多少平方厘米?A. 25B. 30C. 50D. 60答案:C3. 一个数的3倍加上5等于20,这个数是多少?A. 5B. 4C. 3D. 2答案:A4. 一个圆的直径是14厘米,它的半径是多少厘米?A. 7B. 14C. 28D. 21答案:A5. 一个班级有40名学生,其中女生占60%,那么女生有多少人?A. 24B. 26C. 28D. 30答案:A6. 一个数的一半加上4等于9,这个数是多少?A. 5B. 10C. 8D. 6答案:B7. 一个三角形的底边长是8厘米,高是6厘米,它的面积是多少平方厘米?A. 24B. 48C. 32D. 16答案:A8. 一个数的4倍减去8等于12,这个数是多少?A. 6B. 4C. 5D. 3答案:A9. 一个数的3倍是45,那么这个数是多少?A. 15B. 20C. 30D. 45答案:A10. 一个数的2倍加上3等于11,这个数是多少?A. 4B. 3C. 2D. 1答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 一个数的5倍是25,这个数是______。
答案:52. 一个数的6倍减去12等于18,这个数是______。
答案:63. 一个长方形的长是15厘米,宽是10厘米,它的周长是______厘米。
答案:504. 一个数的4倍加上8等于32,这个数是______。
答案:65. 一个数的3倍是27,那么这个数是______。
答案:9三、解答题(每题10分,共50分)1. 一个数的7倍加上14等于56,求这个数。
答案:(56 - 14) / 7 = 42. 一个班级有50名学生,其中男生占40%,求男生有多少人。
答案:50 * 40% = 203. 一个圆的周长是31.4厘米,求这个圆的半径。
2011年第16届华杯赛决赛小学组及初中组共四套试卷及答案
A卷:第16届华杯赛决赛小学组试卷(A卷)第1题:答案:第2题:丫丫、丫丫的爸爸妈妈、丫丫的表弟今年的岁数总和是95,爸爸比妈妈大4岁,丫丫比弟弟大三岁,8年前,他们的年龄总和是65,问爸爸今年几岁答案:42第3题:两个自然数的和是210,最小公倍数是1547,问这两个数的积是________.答案:10829第4题:AB两地相距600千米,甲乙两人骑车从A往B行,甲每天骑40千米,乙每天骑60千米,但乙骑一天要休息一天,第______天时,乙距B地的距离是甲距B地的2倍。
答案:12第5题:如图,平行四边形BCEF、AHCI,已知三角形ABD=22,三角形DHG=36,求三角形FGI=?答案:14第6题:某班去植树,同学们被分为3组,第一组每人植树5棵,第二组每人植树4棵,第三组每人植树3棵,第二组的人数是一、三两组总人数的三分之一,第二组植的树比一、三两组植树棵树总和少72,问这个班最少有几个人答案:32第7题:11×101×1001×10001×1000001×111的末八位是____________.答案:87654321第8题:银行密码是100000至999999之间的数字,某人取钱时忘了密码,只记得有1 3 5 7 9且没有别的数字如果不限输密码次数,某人最多试几次答案:1800第9题:下面的数字谜中,不同的汉字可以表示相同的数字,问“华杯决赛”最大为几?兔年十六届+ 华杯决赛-------------------2 01 1答案:1901第10题:如图:(见下图)BC=BE=5,AD=AE=10,三角形OED=10,问整个图形的面积是多少?答案:52.5第11题:有50张一面为红一面为蓝的卡片,老师在卡片正反两面上写上1~50(正反一样),然后把卡片一律蓝色向上放在桌面上,让50名同学去翻卡片。
老师说:“凡是序号为你的号码的倍数的就翻过来。
华杯赛初一组决赛试题
华杯赛初一组决赛试题参考答案第一届华杯赛初赛试题答案:1.【求解】就是这五个数的平均数,所以和=×5=。
2.【解】方框的面积是。
每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。
重叠部分共有8个()×5一l×8=(100―64)×5―8=36×5―8=172(平方厘米)。
故被遮住的面积就是172平方厘米。
3.【解】105=3×5×7,共有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个约数,即1,3,5,7,15,21,35,105。
4.【求解】在这道题里,最合理的精心安排必须最省时间。
先洗开水壶,接着烧开水,烧上水以后,小明须要等15分钟,在这段时间里,他可以洗脸茶壶,洗脸茶杯,拎茶叶,水上开了就泡茶,这样就用16分钟。
5.【解】149的个位数是9,说明两个个位数相加没有进位,因此,9是两个个位数的和,14是两个十位数的和。
于是,四个数字的总和是14+9=23。
6.【求解】松鼠改采了:112÷14=8(天)假设这8天都是晴天,可以采到的松籽是:20×8=160(个)实际只挖掘出112个,共少采松籽:160-112=48(个)每个下雨天就要少采:20-12=8(个)所以存有48÷8=(6)个雨天。
7.【解】因为正方体的边长是1米,个正方体堆成实心长方体的体积就是立方米。
已经晓得,低为10米,于是短×阔=210平方米把210分解为质因数:210=2×3×5×7由于短和阔必须大于低(10米),短和阔就可以就是:3×5和2×7。
也就是15米和14米。
14米+15米=29米。
答:长与宽的和是29米。
8.【求解】39-32=7。
这7分钟每辆高速行驶的距离恰好等同于第二辆车在8点32支行过的距离的1(=3-2)倍。
因此第一辆车在8点32分已行及7×3=21(分后),它就是8点11分后返回化肥厂的(32-21=11)。
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y 的, 而当 y 1时, 由第一个等式得到 2x 1, 所以 x 1 .
2 评分参考: 1) (1)之前给 2 分; 2) (1)和(2)各给 4 分.
三、解答下列各题(每题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程)
1 k
4k 2 9
4k
2
9
,
其中,
对于有理数
x,
x= x x.
所以有1 k2
,
9
1
1
k
4k 9
2
0.
当 k 取不同整数时, 1 k 4k 2 的情况如下表: 9
k
2
1
0
=1
=2
xy 0 . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) x y xy x . 由后一等式得到, y 1或 y 1, 而 y 1是不可能的, 因为 y
此时由第一个等式得到 x 1 x , 矛盾. 当 y 1 时, 由第一个等式得到 x 1 x , 即 2x 1 , 所以 x 1 .
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷(初一组)
(建议考试时间:2008 年 4 月 19 日 10:00~11:30)
一、填空(每题 10 分,共 80 分)
1. 某地区 2008 年 2 月 21 日至 28 日的平均气温为-1℃,2 月 22 日至 29 日的平
枚围棋
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)
二、解答下列各题(第题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程) 9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的 4 倍,
那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值?
10. 小明将 164 个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相 同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?
(1) l 3 时, n 可以为 32 (12 12 12 ) 9 3 6 .
(2) l 4 时, n 可以为 42 (22 12 12 ) 16 6 10 . 42 (12 12 12 ) 16 3 13 . (3) l 5 时, 与上面不同的 n 可以为
均气温为-0.5℃,2 月 21 日的平均气温为-3℃,则 2 月 29 日的平均气温为
.
2. 已知 新北京 ×(新+奥+运)=2008,其中每个汉字都代表 0 到 9 的数字,相同的 汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,则算式
(新北
京)
1 新
(奥
运)
=
.
3. 代数和-1×2008+2×2007-3×2006+4×2005+…-1003×1006+1004×1005 的
11. 下图中,E,F 为三角形 ABC 边上的点,CE 与 BF 相交于 P. 已知三角形 PBC 的
面积为 12, 并且三角形 EBP, 三角形 FPC 及四边形 AEPF 的面积都相同,求三角形 EBP
的面积.
A F
E
P
B
C
12. 现有代数式 x+y, x-y, xy 和 x ,当 x 和 y 取哪些值时,能使其中的三个代数式 y
个式子得到 x 22.5 , 所以 20 x 22 . 评分参考: 1) 给出三个关系①给 4 分; 2)得出范围给 4 分; 3)给出答案给 2 分.
10. 答案:10. 解答: 设有 n 只猴子, 小明留给自己 p 个桃子. 每只猴子分到了 4p 个桃子. 则
164 p 4 pn , 所以 p 是 4 的倍数, 令 p 4 p1 , 则 41 p1 4 p1n , 41 p1是 4 的倍数.
若令三角形 APF 的面积为 Y, 则三角形 AEP 的
A F
E P
B
C
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)
面积为 X Y . 因为
S BCF : S BFA S FPC : S APF X : Y , S BCE : S AEC S EBP : S AEP X : ( X Y )
Пᰃ
乍ᓣ.
4. ϔৡ䖤ࡼਬ䖯㸠⠀ቅ䆁㒗, Ңቅ㛮ߎথ, Ϟቅ䏃䭓 10 ग㉇, ↣ᇣᯊ㸠 3 ग㉇;
⠀ࠄቅ乊ৢ⊓ॳ䏃ϟቅ, ϟቅ↣ᇣᯊ㸠 5 ग㉇, 䙷М䖭ԡ䖤ࡼਬϞϟቅⱘᑇ
ഛ䗳ᑺᰃ↣ᇣᯊ
62 (42 12 12 ) 36 18 18 , 62 (32 12 12 ) 36 11 25 .
62 (22 22 22 ) 36 12 24 , 62 (22 22 12 ) 36 9 27 .
62 (22 12 12 ) 36 6 30 , 62 (12 12 12 ) =36-3=33. (5) l 7 时, 与上面不同的 n 都比 27 大. (6) l 8 时, 可以证明满足要求的 n 都不小于 26. 由(1)到(6)可得,前 10 个满足要求的 n 为 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25 评分参考: 1)写出 10 个中的 1 个给 1 分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给 5 分.
个位数字是
.
4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条.
5. 一列数 1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上
前一个数的和,那么第 2008 个数是
.
6. 当 x 取相反数时,代数式 ax+bx 2 对应的值也为相反数,则 ab 等于
而 SBCE SBCF ,
SBFA SAEC X X 2 X ,
所以有 X : Y X : (X Y ) ,
解得Y X , 2
即 S BCF
: S BFA
(12
X ) : 2X
X
:
X 2
2 :1,
所以 X=4.
三角形 EBP 的面积为 4.
评分参考: 1)引出辅助线给 2 分; 2)得到X与Y的关系给 4 分; 3)得到答案给 4 分.
52 (32 12 12 ) 25 11 14 , 52 (22 22 12 ) 25 9 16 .
52 (22 12 12 ) 25 6 19 , 52 (12 12 12 ) 25 3 22 . (4) l 6 时,与上面不同的 n 可以为
等国三角形的角而得到, 其中 a,b,c 为正整数, 并且满足 a b c 1, l a b . 又由于用边长为 1 的等边三角形拼成的一个边长为 x (正整数)的等边三角形所需
要 的 个 数 是 1 3 5 (2x 1) x2 . 因 此 , n l 2 (a2 b2 c2 ) , 其 中 l 3 , l a b, a b c 1.
13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25. 解答: 设所用的等边三角形的边长单位为 1. 任何满足条件的六边形的外接三角
形一定是一个边长为 l 的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为 a,b,c 的
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)
0
,
1
3y 10
y2 25
0
.
所以 3y 是整数, 10
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)
3y 是 10 的倍数. 令 3y 10k , k 是整数, 代入得
0
1 k
100k 2
9
25
1
k
4k 9
2
.
7. 已知 (m2 9)x 2 (m 3)x 6 0 是以 x 为未知数的一元一次方程,如果 a m ,
那么 a m a m 的值为
.
8. 在 3×4 方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.
20
3y
10
25 y 25
2
0
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(初一组)
第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛
决赛试题参考答案(初一组)
一、填空(每题 10 分,共 80 分)
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 1℃ 29
8
6 2017036 0
6
4
二、解答下列各题(每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程)
9. 答案:20,21,22. 解答: 设最小角为 x, 最大角为 4x, 另一个角为 y. 则由题目的条件得
x y 4x 180 , x y 4x , 4x 90
①
由①的前两个式子得到: 6x x y 4x 180 9x , 解得 20 x 30 ; 又由①的第三
12. 答案: x 1 , y 1, x 1 , y 1.
2
2
解答: 首先必须 y 0 , 否则 x 没有意义. 若 x y x y , 则 y 0 , 矛盾. 所以 y