求磁场区域最小面积的三类问题

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带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为圆形例1一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间；（3）点的坐标。

解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。

可知，其离开磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。

如图2，过点逆着速度的方向作虚线，与轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的点即为圆周运动的圆心，圆的半径。

由，得。

弦长为：，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即：，面积（2）粒子运动的圆心角为1200，时间。

（3）距离，故点的坐标为（，0）。

点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。

练习：如图所示，在倾角为30°的斜面OA 的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P ，OP=0.5m.现有一质量m=4×10－ 20kg ，带电量q =+2×10－14C 的粒子，从小孔以速度v 0=3×104m/s 水平射向磁感应强度B=0.2T 、方向垂直纸面向外的一圆形磁场区域．且在飞出磁场区域后能垂直打在OA 面上，粒子重力不计．求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）圆形磁场区域的最小半径．解析：（1）由r v m qvB 2=，v r T π2=得： m qBmv r 3.0== （2）可知T t 61=，得：s s qB m t 551005.110331--⨯=⨯==ππ （3）圆形面积半径m r r 15.02min ==二、磁场范围为矩形例2 如图3所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。

带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

一、磁场范围为圆形例1 一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间；（3）b点的坐标。

二、磁场范围为矩形例2 如图3所示，直角坐标系xoy第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场。

现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，3L）以初速度8沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点Q（L，0）进入第四象限，4先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力。

求（1）电子经过Q点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积。

三、磁场范围为三角形例3 如图5，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；四、磁场范围为树叶形例4 在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率加一个垂直于沿不同方向射入第一象限，如图7所示。

求磁场区域最小面积的三类问题

求磁场区域最小面积的三类问题1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0．50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3．5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0．50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

2、如图所示，在竖直平面内，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角θ=30°，在MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 点处在磁场的边界上，现有一群质量为m、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v （0<v ≤BE）垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。

求：（1）速度最大的粒子在磁场中运动的时间；（2）速度最大的粒子打在水平线POQ 上的位置离O 点的距离；（3）磁场区域的最小面积。

3、如图，ABCD 是边长为a 的正方形。

质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。

不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。

磁场区域的最小面积问题201409

磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为圆形1、一带电质点，质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入如图所示的第一象限所示的区域、为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当地方加一个垂直于xOy平面磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计．2、（2013·北京朝阳一模，23题）（18分）如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x 轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，PQ间的距离d=30cm。

坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C。

一带电油滴在xOy平面内，从P点与x轴成30°的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所带电荷量q=1.0×10-7C，重力加速度为g=10m/s2。

（1）求油滴的质量m。

（2）若在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场，使油滴通过Q点，且其运动轨迹关于y轴对称。

已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T，求：a．油滴在磁场中运动的时间t；b．圆形磁场区域的最小面积S。

2、【答案】见解析【解析】（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有qE mg-=所以81.010qEmg-==⨯kg……（4分）（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时间为t，根据牛顿第二定律：所以20.10mv mvqvB RR qB=⇒==m所以20.1RTv==ππs设带电油滴从M点进入磁场，从N点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y轴对称，如图所示，根据几何关系可知60MO N'∠=o，所以，带电油滴在磁场中运动的时间20.166Tt==πs由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等。

带电粒子在磁场中运动最小面积问题.

带电粒子在磁场中运动最小面积问题例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求：(1)圆形磁场区域的最小面积．(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间．(3)b点的坐标．例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m 的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

磁场中的最小面积及动态圆积问题

磁场中的最小面积及动态圆积问题因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。

【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。

【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。

【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB= 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R =故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：0132(3)33r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场，在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求：（1）该带电粒子的比荷q m；（2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。

磁场区域的最小面积.

磁场区域的最小面积传统的磁场题一般是已知磁场,画轨迹,本部分题目是由轨迹反推磁场区域,是逆向推理,难度较大。

1.一匀强磁场,磁场方向垂直于 xoy 平面,在 xy 平面上,磁场分布在以 O 为中心的一个圆形区域内。

一个质量为 m 、电荷量为 q 的电带粒子,由原点 O 开始运动, 初速度为 v ,方向沿 x 正方向。

后来,粒子经过 y 轴上的 P 点,此时速度方向与 y 轴的夹角为 30°, P 到 O 的距离为 L ,如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度 B 的大小和 xy 平面上磁场区域的半径 R 。

2. 如图所示,第四象限内有互相正交的匀强电场 E 与匀强磁场 B 1, E 的大小为0.5×103V/m, B 1大小为 0.5T ;第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面向里的匀强磁场 B 2,磁场的下边界与 x 轴重合.一质量 m =1×10-14kg 、电荷量 q =1×10-10C 的带正电微粒以某一速度 v 沿与 y 轴正方向 60°角从 M 点沿直线运动, 经 P 点即进入处于第一象限内的磁场 B 2区域.一段时间后,小球经过 y 轴上的 N 点并与 y 轴正方向成 60°角的方向飞出。

M 点的坐标为 (0, -10 , N 点的坐标为 (0, 30 ,不计粒子重力, g 取 10m/s2.(1请分析判断匀强电场 E 1的方向并求出微粒的运动速度 v ;(2匀强磁场 B 2的大小为多大?;(3B 2磁场区域的最小面积为多少?3. 一个质量为 m, 带 +q电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC 。

为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点垂直于 AC 边飞出该三角形,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里, 磁感应强度为 B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力。

确定磁场最小面积的方法(无答案)

求磁场区域最小面积的三类问题难点：磁场的区域未知，带电粒子运动轨迹只是部分圆弧，在运动过程中的临界点（如轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。

求磁场区域最小面积问题中关于带电粒子运动的速度大小和方向变化的三类问题：类型一：速度大小和方向都不变这类问题，先根据题意确定好运动轨迹，再由几何知识找到矩形磁场面积最小时的边界点和轨迹的相切点，问题就迎刃而解了。

类型二：速度大小改变、方向不变这类问题，磁场的边界主要是根据粒子运动方向的限制，分析各个粒子的运动轨迹特点而找到。

这部分相对来说有一定的分析难度。

类型三：速度大小不变、方向改变。

这类问题，难点在于磁场区域边界的确定，其中一个边界根据物理规律可以分析找到，另一个边界则要结合数学方法即参数法可以找到。

这种类型对综合分析问题的能力要求较高。

总的来说，解决这三种类型问题的关键是，依据题意根据物理规律分析带电粒子的运动情形，适当地结合数学方法，认真加以分析，找到问题的突破口，那么关于求磁场区域最小面积的问题都可以得到解决。

确定磁场最小面积的方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。

近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。

一、几何法，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。

图1二、参数方法例2. 在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同沿不同方向射入第一象限，如图3所示。

现加一个垂直于xOy平面向里，磁感应的速率v强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。

18 磁场最小面积问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破

一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。

现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。

求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。

(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。

设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ，则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。

(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。

答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。

磁场区域的最小面积

1、如图所示一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计）。

1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m、电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。

后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B的大小和xy 平面上磁场区域的半径R。

2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m, B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B2区域．一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。

M点的坐标为(0，-10)，N点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g取10m/s2．(1)请分析判断匀强电场E1的方向并求出微粒的运动速度v；(2)匀强磁场B2的大小为多大？；(3)B2磁场区域的最小面积为多少？3．一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：（1）该粒子在磁场里运动的时间t；（2）该正三角形区域磁场的最小边长；（3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。

磁场中的最小面积问题

磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。

很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。

那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。

相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。

例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。

角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得："二崂则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺qB由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以0,为圆心、R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef 连线为直径的圆周.即得圆形区域的最小半径一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

最小磁场区域面积问题

最小磁场区域面积问题1.（09年海南物理）16．如图，ABCD 是边长为a 的正方形。

质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为0v 的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。

不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。

解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。

令圆弧 AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。

电子所受到的磁场的作用力0f ev B =应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。

圆弧 AEC 的圆心在CB 边或其延长线上。

依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故 B 点即为圆心，圆半径为a 按照牛顿定律有202v f m =联立①②式得 0mv B ea=（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。

因而，圆弧 AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02πθ≤<）的情形。

该电子的运动轨迹qpA 如图所示。

图中，圆 AP 的圆心为O ，pq 垂直于BC 边，由③式知，圆弧 AP 的半径仍为a ，在D 为原点、DC 为x 轴，AD 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为sin [(cos )]cos x a y a z a a θθθ==---=-④⑤这意味着，在范围02πθ≤≤内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 AFC ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 AEC 和 AFC 所围成的，其面积为2221122()422S a a a ππ-=-=评分参考：本题10分。

带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析江苏省扬中高级中学刘风华近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点(如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等)难以确定。

下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为圆形例1 一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30?，如图1所示(粒子重力忽略不计)。

试求:(1)圆形磁场区的最小面积;(2)粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间;(3)点的坐标。

解析:(1)由题可知，粒子不可能直接由,点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。

可知，其离开磁场时的临界点与,点都在圆周上，到圆心的距离必相等。

由，得。

弦长为:，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即:，面积0 (2)粒子运动的圆心角为120，时间。

(3)距离，故点的坐标为(，0)。

点评:此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等;还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。

二、磁场范围为矩形例2 如图3所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。

现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点(，)以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点(，0)进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。

带电粒子在磁场中运动最小面积问题

为了使该粒子能在AC边上的N点图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T；(2)该粒子在磁场里运动的时间t；(3)该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向．(2)此匀强磁场区域的最小面积．2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

一、磁场范围为圆形基准1一质量为m、磁铁量为q的粒子以速度v0从o点沿y轴正方向射入磁感强度为b的一圆形坯强磁场区域，磁场方向旋转轴纸面，粒子飞出来磁场区后，从b处为沿着轴，速度方向与轴正向夹角为30°，例如图1右图（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o点步入磁场区抵达点所经历的时间；（3）b点的座标。

二、磁场范围为矩形基准2例如图3右图，直角坐标系xoy第一象限的区域存有沿y轴正方向的匀强电场。

现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，3l）以初速度8沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点q（l，0）步入第四象限，4先搞匀速直线运动然后步入横向纸面的矩形坯强磁场区域，磁场左边界和上时边界分别与y轴、x轴重合，电子偏移后恰好经过座标原点o，并沿y轴的也已方向运动，数等电子的重力。

谋（1）电子经过q点的速度；（2）该坯强磁场的磁感应强度b和磁场的最轻面积。

三、磁场范围为三角形基准3例如图5，一个质量为，带电量的粒子在bc边上的m点以速度垂直于bc边飞入正三角形abc。

为了使该粒子能在ac边上的n点（cm＝cn）垂真于ac边飞出abc，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为b的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期t；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最轻边长；四、磁场范围为树叶形例4在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标o不断以相同速率提一个旋转轴沿不同方向射入第一象限，如图7所示。

带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。

一、磁场范围为圆形例1 一质量为m 、带电量为q 的粒子以速度0v 从O 点沿y 轴正方向射入磁感强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b 处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O 点进入磁场区到达点所经历的时间；（3）b 点的坐标。

二、磁场范围为矩形例2 如图3所示，直角坐标系xoy 第一象限的区域存在沿y 轴正方向的匀强电场。

现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，L 83）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点Q （4L，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与y 轴、x 轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O ，并沿y 轴的正方向运动，不计电子的重力。

求（1）电子经过Q 点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度B 和磁场的最小面积。

三、磁场范围为三角形例3如图5，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。

为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。

试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；四、磁场范围为树叶形例4在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图7所示。

高中物理磁场最小面积问题

高中物理磁场最小面积问题
在高中物理学习中，关于磁场的应用问题是一个重要的考察点。

其中，磁场最小面积问题是一类比较常见的问题。

这类问题通常给出一个磁场的分布情况，要求我们在该磁场中找到一个最小的面积，使得该面积内的磁通量达到最大值。

对于这类问题，我们需要掌握一定的磁场知识，以及一些基本的数学技巧。

首先，我们需要了解磁通量的概念，即磁场穿过一个给定面积的总磁通量。

其次，我们需要掌握磁场的计算方法，特别是在不同形状的磁场中的计算方法。

最后，我们需要运用微积分中求极值的方法来解决这类问题。

在解决具体问题时，我们需要进行一些常见的步骤。

首先，我们需要根据问题给出的磁场分布情况，找到一个符合要求的面积。

其次，我们需要计算该面积内的磁通量，并将其表示为一个关于面积的函数。

最后，我们需要求解该函数的极值，从而得到使磁通量达到最大值的面积大小。

总之，掌握磁场最小面积问题的解决方法，不仅有助于我们深入理解磁场的物理本质，也能够提高我们的数学分析能力。

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带电粒子在磁场中运动最小面积问题

带电粒子在磁场中运动最小面积问题例 1.在 xOy 平面内有许多电子(质量为 m,电荷量为 e), 从坐标原点 O 不断以相同大小的速度 v 0沿不同的方向射入第一象限 ,如图所示 . 现加上一个垂直于 xOy 平面的磁感应强度为过该磁场后都能沿平行于 x 轴正方向运动 , 试求出符合条件的磁场最小面积例 2．一质量为 m 、带电荷量为 q 的粒子以速度 v0 从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的一圆形匀强例 3．一个质量为 m ，带＋ q 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 v 垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC 。

为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点图示 (CM ＝CN)垂直于 AC 边飞出三角形 ABC ，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求： (1) 粒子在磁场里运动的轨迹半径 r 及周期 T ； (2) 该粒子在磁场里运动的时间 t ； (3) 该正三角形磁场区域的最小边长；针对训练1．(09 年海南高考 )如图甲所示， ABCD 是边长为 a 的正方形．质量为 m 、电荷量为 e 的电子以大小为 v 0的初速度沿纸面垂直于 BC 边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从 BC 边上的任意点入射，都只能从 A 点射出磁场．不计重力，求： (1) 此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向． (2) 此匀强磁场区域的最小面积．2．( 09 年福建卷)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 B=2.0×10-3T,在 X 轴上距坐标原点 L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在 Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以 v=3.5 × 104m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在 y 轴上距坐标原点 L=0.50m的 M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为 m,电量为 q, 不记其重力。