磁场中的最小面积及动态圆积问题

磁场中的最小面积及动态圆积问题

因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。

【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于

ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该

质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方

加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在

一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。 【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点 和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O

点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒

子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。

【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB

= 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点

和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R =

故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：01

32(3)3

3r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限

区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场，

在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安

放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的

速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M

处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求：

（1）该带电粒子的比荷q m

； （2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。

R

R y

o

x

A B v v o

︒300v 0v b

【解析】（1）以连线PM 为直径的圆半径为最小，此时满足：22R L = 另由牛二：2v qvB m R = 得：74.910/q v C kg m BR

==⨯ （2）磁场可以限制在第一象限内以MN 为边界的矩形区域内，

如图所示，其最小面积为：22

20.25S R m ==

【例4】如图所示，一个质量为m ，带q +电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。为了使该粒子能在AC 边上的N 点（CM ＝CN ）垂真于AC 边飞出ABC ，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

（1）粒子在磁场里运动的轨道半径r 及周期T ；

（2）该粒子在磁场里运动的时间t ；

（3）该正三角形区域磁场的最小边长。 【解析】(1)由牛顿第二定律有：2v qvB m r = 又 2r T v

π= 可得：mv r qB = 2m T qB

π= (2)带电粒子进入磁场后先左偏，故只有在磁场中转个优弧N

才能从点射出磁场，轨迹如图：

其在磁场中运动的时间是：5563m t T qB

π== (3)恰与运动轨迹有两边相切的正三角形△DEF 是最小的，其边长

满足：°°°2cos30cos30cos30DG r r l +== 解得 4(31)3mv l qB

=+ 【例5】在xOy 平面内有许多质量为m 、电荷量为e 的电子，从坐标原点

O 不断地以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个

垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过

磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。试求：符合上述条件磁场的

最小面积。

【解析】由牛顿第二定律：2v evB m r = 得mv r eB = 其为一定值. 首先考察沿正+y 轴方向射入磁场中的电子及图中给定方向的两个电子，

其轨迹如图，要使这些电子穿过磁场后都能平行于x 轴向x 轴正向运动，

电子需在达各轨迹圆的最高点时离开磁场，而这些点恰在图中的虚线

OMP 上，由于这些点的圆心在以O 为圆心、轨迹圆半径为半径的1/4圆

弧上，如图中第Ⅳ象限的1/4圆弧NQ ，显见，虚线OMP 也是半径为r

的1/4圆弧，其圆心坐标为（0，r ）由此可知，图中圆弧ORP 与OMP 所

围得面积（阴影区域）就是磁场的最小面积，即有：

2222min 22112()(1)422m v S r r e B

ππ=-=- 【例6】如图，ABCD 是边长为a 的正方形。重力不计质量为m 、电荷量为

e 的电子，以大小为v 的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正

方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A

点射出磁场。试求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

【解析】（1）首先考察由C 点入射经过A 点的粒子，其圆心必在B

点，所以有r=a ，由牛顿第二定律 2v evB m r = 可得：mv B ea

= 由左手定则可知其方向垂直纸面向外。

（2）再考察从BC 之间射入磁场中的电子，要确保从A 点射出磁场就得晚

些进入磁场，设此边界点为M ，如图。这些电子各轨迹圆的圆心必然在以

A 为圆心、以轨迹圆半径a 为半径的圆周上，即图中的圆弧NP

B ，由此可

推断出磁场边界AMC 是以Ｄ点为圆心、也是以a 为半径的圆，圆弧AQC

与圆弧AMC 所围得面积（阴影区域）就是磁场的最小面积，即有：

222min 112()(1)422

S r r a ππ=-=- 「数理方法」以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐

标系，设边界点(,)M x y 射入磁场中的电子，从A 点射出时其速度方向

与BA 的夹角为θ，则有：sin x a θ= cos y a a θ=- 消参可得：

222()x y a a +-=，就是说：磁场的右边界AMC 是以D 点为圆心、以

轨迹圆半径a 为半径的圆。