确定磁场最小面积的方法
专题：圆形磁场问题
O1
例题(多选)如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀
强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆 心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的
时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子
（
CD ）
B v O s1 θ1 R1 s2
A．射入时的速度一定较大 B．在该磁场中运动的路程一定较长 C．在该磁场中偏转的角度一定较大 D．从该磁场中飞出的速度一定较小
2 2
2
当速度变为2V的带电粒子，不具备“磁会聚”的 条件，因此不会都通过O点。但此题可采用极端分析 法，带电微粒在磁场中经过一段半径为r’=2R的圆 弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做 匀速直线运动，如图所示。靠近上端点发射出来的带 电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处； 靠近下端点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿 出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围 是x>0. y
θ2
R2
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长对应 时间越长。(直径对应的弧最长)
例题：如图，半径为 r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁 场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入 磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使
粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应 如何（以v0与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？ 解析：R=mv/Bq=5×102m>r 说明：半径确定时，通过的弧越 长，偏转角度越大。而弧小于半 个圆周时，弦越长则弧越长。 sin = r/R = 37º，
h 2vt 4 3mv / qE
2
圆形磁场多次碰撞问题
磁场的计算和测量方法
磁场的计算和测量方法磁场是我们生活中常见的一种物理现象，它可以通过计算和测量来揭示其特性和行为。
在本文中，我们将探讨磁场的计算和测量方法，并深入了解其原理和应用。
一、磁场的计算方法磁场的计算方法有多种，其中最常见的是通过安培定律和比奥-萨伐尔定律来计算。
安培定律表明，磁场的大小与电流强度成正比，与距离成反比。
因此，我们可以通过测量电流和距离来计算磁场的强度。
具体而言，我们可以使用安培表来测量电流，并使用磁感应强度计来测量距离。
然后，根据安培定律的公式B = μ0 * I / (2πr)，其中B表示磁场强度，μ0表示真空中的磁导率，I表示电流强度，r表示距离，我们可以计算出磁场的数值。
此外，还有一种常见的计算方法是通过磁通量和磁场的关系来计算。
磁通量是磁场穿过一个平面的总磁场量，可以通过使用磁感应强度计和测量平面面积来计算。
然后，根据比奥-萨伐尔定律的公式Φ = B * A * cosθ，其中Φ表示磁通量，B表示磁场强度，A表示平面面积，θ表示磁场与平面法线的夹角，我们可以计算出磁场的数值。
二、磁场的测量方法除了计算方法外，我们还可以使用各种仪器和设备来测量磁场。
其中最常见的是磁感应强度计和霍尔效应传感器。
磁感应强度计是一种用于测量磁场强度的仪器，它包含一个磁场感应元件和一个指示器。
当磁感应元件暴露在磁场中时，它会产生一个电压信号，指示器会根据该信号显示磁场的强度。
这种仪器的优点是简单易用，适用于实验室和工业环境中的磁场测量。
另一种常用的磁场测量方法是使用霍尔效应传感器。
霍尔效应是一种基于磁场对电流的影响而产生的电势差现象，可以通过将霍尔效应传感器放置在磁场中来测量磁场的强度。
传感器会产生一个电压信号，该信号与磁场的强度成正比。
这种方法的优点是精确度高，适用于需要高精度测量的应用，如磁共振成像和磁力计。
除了这些仪器和设备，还有其他一些测量方法，如磁力计和磁化强度计。
磁力计是一种用于测量磁场力的仪器，它可以通过测量磁场对物体施加的力来确定磁场的强度。
圆形磁场中的几个典型问题
圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
专项练习--磁场地最小面积求解
25题练习〔3〕--磁场的最小面积1.如以下图,第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1,E 的大小为1.5×103 V/m,B 1大小为0.5 T ；第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面的匀强磁场,磁场的下边界与x 轴重合.一质量m ＝1×10－14 kg,电荷量q ＝2×10－10 C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点射入,沿直线运动,经P 点后即进入处于第一象限内的磁场B 2区域.一段时间后,微粒经过y 轴上的N点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出.M 点的坐标为<0,－10>,N点的坐标为<0,30>,不计微粒重力,g 取10 m/s 2.如此求：<1>微粒运动速度v 的大小；<2>匀强磁场B 2的大小；<3>B 2磁场区域的最小面积.解析：<1>带正电微粒在电场和磁场复合场中沿直线运动,qE ＝qvB 1,解得v ＝E/B 1＝3×103 m/s.<2>画出微粒的运动轨迹如图,粒子做圆周运动的半径为R ＝错误! m.由qvB 2＝mv 2/R,解得B 2＝3错误!/4 T.<3>由图可知,磁场B 2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD 内,由几何关系易得PD ＝2Rsin 60°＝20 cm ＝0.2 m,PA ＝R<1－cos60°>＝错误!/30 m.所以,所求磁场的最小面积为S ＝PD ·PA ＝错误! m 2.答案：<1>3×103 m/s <2>错误! T<3>错误! m 22．如图甲所示,x 轴正方向水平向右,y 轴正方向竖直向上.在xoy 平面内有与y 轴平行的匀强电场,在半径为R 的圆形区域内加有与xoy 平面垂直的匀强磁场.在坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置,它可以连续不断地发射具有一样质量m 、电荷量q 〔0>q 〕和初速为0v 的带电粒子.重力加速度大小为g.〔1〕当带电微粒发射装置连续不断地沿y 轴正方向发射这种带电微粒时,带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场,并继续沿x 轴正方向运动.求电场强度和磁场强度的大小和方向.〔2〕调节坐标原点0处的带电微粒发射装置,使其在xoy 平面内不断地以一样的速率v 0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限,如图乙所示.现要求带电微粒最终都能平行于x 轴正方向运动,如此在保证匀强电场、匀强磁场的强度和方向不变的条件下,应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积.解〔1〕由题目中"带电粒子从坐标原点O 处沿y 轴正方向进入磁场后,最终沿圆形磁场区 域的水平直径离开磁场并继续沿x 轴正方向运动〞可知,带电微粒所受重力与电场力平衡.设电场强度大小为E,由平衡条件得：qE mg =1分 N ∴q mg E =1分 电场方向沿y 轴正方向 带电微粒进入磁场后,做匀速圆周运动,且圆运动半径r=R.设匀强磁场的磁感应强度大小为B.由牛顿第二定律得：R mv B qv 200=1分 ∴qR mv B 0=1分 磁场方向垂直于纸面向外1分〔2〕设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x 轴承夹角θ, 如此θ满足0≤2πθ<,由于带电微粒最终将沿x 轴正方向运动,故B 应垂直于xoy 平面向外,带电微粒在磁场内做半径为qBmv R 0=匀速圆周运动. 由于带电微粒的入射方向不同,假如磁场充满纸面,它们所对应的运动的轨迹如以下图.2分为使带电微粒经磁场偏转后沿x 轴正方向运动.由图可知,它们必须从经O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场.这样磁场边界上P 点的坐标P 〔x,y 〕应满足方程：θsin R x =,)cos 1(θ-=R y ,所以磁场边界的方程为：222)(R R y x =-+2分由题中0≤2πθ<的条件可知, 以2πθ→的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹即为所求磁场的另一侧的边界.2分因此,符合题目要求的最小磁场的X 围应是圆222)(R R y x =-+与圆222)(R y R x =+-的交集局部〔图影局部〕.1分由几何关系,可以求得符合条件的磁场的最小面积为：22202min )12(B q v m S -=π1分 3.如以下图,在平面直角坐标系xOy 中的第一象限内存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域〔图中未画出〕；在第二象限内存在沿x 轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x 轴上的A 点,A 点坐标为〔-L,0〕．粒子源沿y 轴正方向释放出速度大小为v 的电子,电子恰好能通过y 轴上的C 点,C 点坐标为〔0,2L 〕,电子经过磁场偏转后方向恰好垂直ON,ON 是与x 轴正方向成15°角的射线．〔电子的质量为m,电荷量为e,不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用．〕求：〔1〕第二象限内电场强度E 的大小．〔2〕电子离开电场时的速度方向与y 轴正方向的夹角θ．〔3〕圆形磁场的最小半径R min ．解：〔1〕22mv EeL〔2〕=45°〔3〕电子的运动轨迹如图,电子在磁场中做匀速圆周运动的半径电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出,如此磁场最小半径：由以上两式可得：4.〔某某适应性测试>在如右图所示的平面直角坐标系中,存在一个半径R＝0.2m的圆形匀强磁场区域,磁感应强度B＝1.0T,方向垂直纸面向外,该磁场区域的右边缘与坐标原点O 相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场,方向沿y轴正方向,电场区域宽度l＝0.1m．现从坐标为<－0.2m,－0.2m>的P点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子,沿y轴正方向射入匀强磁场,速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．<1>求该带电粒子射出电场时的位置坐标；<2>为了使该带电粒子能从坐标为<0.1m,－0.05m>的点回到电场后,可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场,试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．解析：<1>带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B＝m错误!解得r＝0.20m＝R根据几何关系可知,带电粒子恰从O点沿x轴进入电场,带电粒子做类平抛运动．设粒子到达电场边缘时,竖直方向的位移为y,有l＝v0t,y＝错误!·错误!t2联立解得y＝0.05m所以粒子射出电场时的位置坐标为<0.1m,0.05m>．<2>粒子飞离电场时,沿电场方向速度v y＝at＝5.0×103m/s＝v0粒子射出电场时速度v＝错误!v0由几何关系可知,粒子在正方形区域磁场中做圆周运动半径r′＝0.05错误!m由qvB′＝m错误!,解得B′＝4T正方形区域最小面积S＝<2r′>2解得S＝0.02m2.答案：<1><0.1m,0.05m> <2>0.02m25.如以下图,在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁场,电场强度E＝1.0×103 V/m,方向未知,磁感应强度B＝1.0 T,方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′<图中未画出>．一质量m＝1×10－14 kg、电荷量q＝1×10－10 C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限,在第一象限内做直线运动,而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后,粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．A点坐标为<10,0>,C点坐标为<－30,0>,不计粒子重力．<1>判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v.<2>画出粒子在第二象限的运动轨迹,并求出磁感应强度B′.<3>求第二象限磁场B′区域的最小面积．解析<1>粒子在第一象限内做直线运动,速度的变化会引起洛伦兹力的变化,所以粒子必做匀速直线运动．这样,电场力和洛伦兹力大小相等,方向相反,电场E的方向与微粒运动的方向垂直,即与x轴正向成30°角斜向右上方．由平衡条件有Eq＝Bqv得v＝错误!＝错误! m/s＝103 m/s<2>粒子从B点进入第二象限的磁场B′中,轨迹如图粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系可知R＝错误! cm＝错误! cm由qvB′＝m错误!,解得B′＝错误!＝错误!,代入数据解得B′＝错误! T.<3>由图可知,B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点,磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD＝20 cm,即磁场圆的最小半径r＝10 cm,所以,所求磁场的最小面积为S＝πr2＝3.14×10－2 m2答案<1>与x轴正向成30°角斜向右上方103 m/s <2>运动轨迹见解析图错误! T <3>3.14×10－2 m26．如图甲所示,在xOy平面内有足够大的匀强电场,电场方向竖直向上,电场强度E＝40 N/C,在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场,磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示,15π s后磁场消失,选定磁场垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场,分布在一个半径为r＝0.3 m的圆形区域<图中未画出>,且圆的左侧与y轴相切,磁感应强度B2＝0.8 T．t＝0时刻,一质量m＝8×10－4 kg、电荷量q＝2×10－4 C的微粒从x轴上x P＝－0.8 m处的P点以速度v＝0.12 m/s向x轴正方向入射．<g取10 m/s2,计算结果保存两位有效数字><1>求微粒在第二象限运动过程中离y轴、x轴的最大距离．<2>假如微粒穿过y轴右侧圆形磁场时,速度方向的偏转角度最大,求此圆形磁场的圆心坐标<xy>．解析<1>因为微粒射入电磁场后受到的电场力F＝Eq＝8×10－3 N,G＝mg＝8×10－3 N电F＝G,所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动电因为qvB1＝m错误!所以R1＝错误!＝0.6 mT＝错误!＝10π s从图乙可知在0～5 π s内微粒向左做匀速圆周运动在5π s～10π s内微粒向左匀速运动,运动位移x＝v错误!＝0.6π m1在10π s～15π s内,微粒又做匀速圆周运动,15π s以后向右匀速运动,之后穿过y轴．所以,离y轴的最大距离s＝0.8 m＋x＋R1＝1.4 m＋0.6π m≈3.3 m1离x轴的最大距离s′＝2R1×2＝4R1＝2.4 m<2>如图,微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大,〔因为R=2r〕入射点A与出射点B的连线必须为磁场圆的直径因为qvB2＝错误!所以R2＝错误!＝0.6 m＝2r所以最大偏转角θ＝60°所以圆心坐标x＝0.30 my＝s′－r cos 60°＝2.4 m－0.3 m×错误!≈2.3 m,即磁场的圆心坐标为<0.30,2.3>答案<1>3.3 m,2.4 m <2><0.30,2.3>7.如以下图,虚线MO与水平线PQ相较于O点,二者夹角θ=300,在MO右侧某个区域存在着磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场,在MO左侧存在着垂直纸面向里的另一匀强磁场,磁感应强度为B’.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v〔0≤v≤EB〕垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时,速度方向均平行于PQ向左,不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求：〔1〕磁场区域的最小面积．〔2〕速度最大的粒子从O开始射入磁场至返回水平线POQ所用的时间．。
18 磁场最小面积问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破
一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。
现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。
求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。
(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。
设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。
(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。
答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。
磁场区域的最小面积问题
磁场区域的最小面积问题考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。
其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。
下面我们以实例对此类问题进行分析。
一、磁场范围为树叶形例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=mq C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。
⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106-⨯πs 时间这些离子所在位置构成的曲线方程；⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。
15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2mv qvB R=２分运动周期22R mT v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间611066t s T π-=⨯= ２分根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动， 转过的角度均为1263πθπ⨯=＝ １分这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan2y x x θ==２分⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有2mvqv B R=００ ２分 0mv R qB=1=ｍ １分这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分调整后磁场区域的最小面积22min22()422R R S ππ-=⨯-=m2２分例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。
最小磁场面积、最短时间
磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0
（2）C点到 b点的距离 h。
y O2
A v
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
O1 60°
30°
v
x
h E
解：(1) 反向延长vb交y 轴于O2 点，作∠bO2 O的角平分线
交x 轴于O1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为R = OO1 =mv/qB，画出圆形轨迹交b O2于A点，如图虚线所示。
最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示：
d
例 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状
如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面内
的A点，有一个电量为 －q、质量为 m、速度
-q A v m
为 v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与 磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间 最短？（已知 mv/Bq > d） 对象模型：质点
d
αR O
过程模型：匀速圆周运动 规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式 条件：要求时间最短
解 ：质点在磁场中圆周运动半径为
r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是 a 1/4 圆周，如图中M、N两点间的圆弧。
y v0 M B
r 2R
在通过M、N两点的不同的圆中，最小 的一个是以MN 连线为直径的圆周。
Or N
O
bx
圆形磁场区域的最小半径
R
1 2
MN
2 mvqB
例、如图，质量为m、带电量为+q 的粒子以速度v 从O点沿
故P1P2=20cm
a P1 N l
S
P2 b B
解题经验
1、临界问题，经常是运动轨迹圆与磁场边界相切时为临 界状态。
磁场中的最小面积问题
磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。
很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。
那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。
相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。
例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。
角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得："二崂则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺qB由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以0,为圆心、R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周.即得圆形区域的最小半径 一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、 磁感应强度为B 的匀强磁场。
专题1：圆磁场问题
圆弧应是磁场区域的下边界。
两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
S2(1 4r2r2 2)(21)m e22 B v0 2 2
一点发散成平行
R r
R r
平行会聚于一点
结论4：如果在圆形匀强磁场区域的 边界上某点向磁场发射速率相同的 带电粒子，且粒子在磁场中运动的 轨道半径与磁场区域半径相同，那 么粒子射出磁场时运动方向一定相 同．反之，粒子以相同速度平行射 人这样的磁场，粒子就能会聚于磁 场边界上的某点。
且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为
q/m＝1.0×108 C/kg，不计粒子重力．
(1)粒子的轨迹半径； (2)粒子在磁场中运动的最长时间；
(3)若射入磁场的速度改为v0＝3.0×105 m/s，其他条
件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的 区域．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
[解析 ] (1)由牛顿第二 定律可求得粒子在磁场中运动的半 径．qv0B＝ mvR02，
R＝mqBv0＝5.0×10－2 m.
(2)由于 R＞r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中 运动的圆弧所对应的弧长最长，从图甲中可以看出，以直径 ab 为弦、R 为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，
T＝2qπBm， 运动时间 tm＝22πα×T＝2qαB·m，
又 sinα＝Rr ＝35，∴tm＝6.4×10－8 s.
(3)R′＝mqvB0′＝1.5×10－2 m， 粒子在磁场中可能出现的区域如图乙所示(以 aO 为直径的半圆加上 以 a 为圆心，aO 为半径所作圆与磁场相交的部分)．
例题：在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从 坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限， 如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的 匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴 且沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积
带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题
３０ ｌ
运 动 ，初 速度 为 ｖ，方 向 沿 Ｘ正 方 向 。 后
Ｔ Ｐ
来 ．粒 子 经 过 Ｙ轴 上 的 Ｐ点 ．此 时速 度 方 向 与ｖ轴 的 夹 角 为 ３０。，Ｐ到 ０的 距 离 为
Ｊ
０
Ｌ，如 图所 示 。不 计 重 力 的 影 响 。求 磁 场 的磁 感 应 强 度Ｂ的 大 小 和ｘｖ平 面上 磁 场 区域 的 半 径 Ｒ。
经 过 ｖ轴 上 的 Ｎ点 并 与 ｖ轴 正 方 向成 ６０。 角 的方 向飞 出 。Ｍ点 的 坐标 为 （０，一１Ｏ），
Ｎ点 的 坐标 为 （０，３Ｏ），不 计 粒 子 重 力 ，ｇ取 １０ｍ／ｓ 。 （１）请 分 析 判 断 匀强 电场 Ｅ，的 方 向 并 求 出微 粒 的 运 动 速
度 ｖ： （２）匀 强 磁 场Ｂ，的大 小 为 多 大 ？
Ｒ，由图 中几 何 关 系 可得
Ｒ： Ｌ
④
例 题 ２．如 图所 示 ，第 四象 限 内有 互 相正 交 的 匀 强 电场 Ｅ与 匀 强磁 场Ｂ ，Ｅ的 大 小 为０．５ｘ１０ Ｖ／ｍ，Ｂ．大 小 为０．５Ｔ；第 一 象 限 的 某 个 矩形 区域 内 ，有 方 向垂 直 纸 面 向里 的匀 强 磁 场 Ｂ，，磁 场
ＰＡ：Ｒ（１一ｃｏｓ６０。）： ３Ｏ ｍ
所 以 ． 所 求 磁 场 的 最 小 面 积 为 Ｓ：而 ．ＰＡ：一１ Ｘｘ／３－
—
—
：
、／３ ２
—
—
ｍ —
—
１５０
例题３．一个质量为ｍ，带＋ｑ电量 的
粒 子 在 ＢＣ边 上 的 Ｍ点 以速 度 ｖ垂 直 于
·
／、
， ＼
ＢＣ边 飞入 正 三 角 形ＡＢＣ。为 了使 该 粒
巴申定律公式求最小值
巴申定律公式求最小值
（最新版）
目录
1.巴申定律简介
2.巴申定律公式
3.求最小值的方法
4.实际应用案例
正文
1.巴申定律简介
巴申定律，又称巴申 - 霍尔定律，是由法国物理学家巴申和英国物理学家霍尔于 1939 年提出的。
该定律主要描述了在磁场中，电子在金属导体中运动时，其电阻与磁场强度之间的关系。
该定律对于理解磁性材料的电导率变化以及磁场对电子运动的影响具有重要意义。
2.巴申定律公式
巴申定律的数学表达式为：
R = ρ * (L / A) * (B^2 / μ0)
其中，R 代表金属导体的电阻；ρ代表金属导体的电阻率；L 代表导体长度；A 代表导体截面积；B 代表磁场强度；μ0 代表真空磁导率。
3.求最小值的方法
在实际应用中，我们常常需要求解巴申定律公式中的最小值。
为了求解最小值，可以对公式进行变形，得到：
B = sqrt((μ0 * A * R) / (L * ρ))
从上述公式可以看出，当 L/A 的比值最大时，磁场强度 B 最小。
也就是说，为了使电阻最小，应当使导体的长度与截面积之比最大。
4.实际应用案例
巴申定律在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在磁悬浮列车的设计中，需要考虑磁场对列车的影响，以保证列车在高速行驶过程中能够稳定悬浮。
此外，在磁性材料的研究中，巴申定律也为研究者提供了理论依据，帮助他们更好地理解磁性材料的电导率变化。
总之，巴申定律是描述磁场中电子运动规律的重要定律，其在实际应用中具有广泛的价值。
有界磁场的最小面积模型
一模型界定带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法.二模型破解在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题.1.单一粒子的运动(i)确定粒子在磁场运动的轨迹半径粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来.(ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出.(iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直线的垂线,使O点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点.(iv)确定有界磁场的边界连接入射点与出射点得到一条线段或直线,并作出粒子在磁场处于入射点与出射点之间的一段运动轨迹圆,再由题目对磁场边界形状的要求确定磁场边界线的位置或圆形磁场的最小半径.①圆形有界磁场(I)当题目对圆形磁场区域的圆心位置有规定时,连接圆心与粒子在磁场中的出射点即得到磁场区域的半径.但是这种情况下磁场区域的大小是固定的.(II)当题目对圆形磁场区域的圆心位置无规定时,若粒子在磁场中转过的圆弧为一段劣弧时，将连接入射点a 与出射点b 所得的线段作为磁场区域的直径,则所得圆即为最小面积的圆形磁场区域,如图1所示.图1图中几何关系为θsin R r =若粒子在磁场中转过的圆弧为半圆弧或一段优弧时,最小磁场区域的边界极限圆弧与粒子运动轨迹重合,即无最小值.②半圆形有界磁场(I)当粒子在磁场中运动轨迹是一段劣弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以ab 为直径作出的半圆弧即为所求,如图2甲所示.图中几何关系为θsin R r =(II)当粒子在磁场中运动轨迹是一段优弧时，连接入射点a 与出射点b 所得直线与半圆形边界的直边重合，以其中点为圆心作出与粒子运动轨迹相切的圆弧，此圆弧即为半圆形磁场区域的曲线边界,如图2乙所示．图2图中几何关系为)cos 1(θ+=R r (III)当粒子在磁场中运动轨迹是一个半圆弧时，磁场圆形边界与粒子运动轨迹重合.③矩形有界磁场(I)当题目对矩形磁场区域边界某个边有规定时,过入射点或过出射点作已知边界线的平行线或垂线,再作与已知边界线平行或垂直的、与粒子在磁场中运动轨迹相切的直线,则所得矩形即为题目要求的最小矩形.(II)当题目对矩形磁场区域边界无规定时,第一步:连接入射点a 与出射点b 得一条直线ab;第二步:作ab 的平行线且使其与粒子运动轨迹圆相切;第三步:作ab 的两条垂线,若粒子在磁场中转过的是一个优弧时,应使这两条垂线也与粒子运动轨迹圆弧相切,如图3甲所示;若粒子在磁场转过的是一段劣弧时,两条垂线应分别过入射点a 和出射点b,如图3乙所示.所得矩形即为题目要求的最小矩形.图3甲图中几何关系为)cos 1(1θ+=R L 、RL 22=乙图中几何关系为)cos 1(1θ-=R L 、θsin 22R L =○4正三角形有界磁场当粒子在磁场中转过的圆心角超过1200时,先作入射点a、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点作粒子运动轨迹圆的两条切线,且使两切线间的夹角为600,则此三条直线所组成的三角形即为题目所要求的最小三角形,如图4甲所示.当粒子在磁场中转过的圆心角不超过1200时,也是先作入射点a、出射点b 连线的中垂线,再从中垂线上某点连接入射点a 与出射点b,使其与ab 组成一正三角形,此正三角形即为所示如图4乙所示.图4甲图中几何关系为θcos 30sin 30cos 00R R L +=;乙图中几何关系为θsin 2R L =.例1.一质量为m 、带电量为＋q 的粒子以速度v 0从O 点沿y 轴正方向射入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，同时进入场强大小为大小为E ，方向沿x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b 点正下方c 点，如图所示，已知b 到O 的距离为L ，粒子的重力不计，试求：30°v o bcv 0xyyEO 例1题图⑴磁感应强度B⑵圆形匀强磁场区域的最小面积；⑶c 点到b 点的距离例2.如图所示，在直角坐标xOy 平面y 轴左侧（含y 轴）有一沿y 轴负方向的匀强电场，一质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子从x 轴上P 处发速度v0沿x 轴正方向进入电场，从ｙ轴上Q 点离开电场时速度方向与ｙ轴负方向间夹角θ＝300，Q 点坐标为(0,-ｄ)，在ｙ轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁场磁感应强度大小qdmv B 0=，粒子能从坐标原点O 沿ｘ轴负方向再进入电场，不计粒子重力，求：例2题图(1)电场强度大小E(2)如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积(3)粒子从P 点运动到O 点的总时间【解析】：（1）设粒子从Q 点离开电场时速度大小v 由粒子在匀强电场中做类平抛运动得：02v v =由动能定理得2022121mv mv qEd -=（2分）解得qdmv E 2320=（1分）例2答图（3）设粒子在匀强电场中运动时间为1t 粒子从Q 点离开电场时沿y 轴负向速度大小为y v 有03v v y例3.如图所示，第三象限内存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场方向向里，大小为B 0，匀强电场场强为E。
磁场的大小与方向测量
磁场的大小与方向测量磁场的大小与方向测量是现代科学中一个非常重要的技术领域。
磁场是指物体周围存在的磁力的空间分布。
磁场的大小与方向测量可以帮助我们了解磁场对物体的作用，并且还可以在许多实际应用中发挥重要作用。
首先，我们来看一下磁场的大小测量。
磁场的大小可以通过测量磁感应强度来确定。
磁感应强度也被称为磁场强度，是描述磁场强弱的物理量。
在国际单位制中，磁感应强度的单位是特斯拉（T）。
在实际测量中，我们通常会使用一种叫做霍尔效应的技术来测量磁场的大小。
霍尔效应是指在导体中，当有电流通过时，在导体两侧会产生一种垂直于电流和磁场的电势差。
通过测量这个电势差的大小，我们可以计算出磁场的大小。
其次，我们来看一下磁场的方向测量。
磁场的方向是指磁力作用的方向。
在物理中，我们通常使用一个叫做磁针的仪器来判断磁场的方向。
磁针是一种能够在磁场中自由旋转的磁性指针，它会指向磁场方向。
通过观察磁针的指向，我们可以确定磁场的方向。
除了上述的常见测量方法外，现代科学还发展了一些更为精确的磁场测量技术。
例如，磁力传感器、磁阻传感器、霍尔传感器等。
这些传感器通过不同的原理来实现对磁场大小和方向的测量，并且具有更高的精确度和灵敏度。
磁场的大小与方向测量在实际应用中有着广泛的应用。
首先，磁场的测量在地理勘探中起着重要作用。
地球本身就带有磁场，通过测量地球的磁场，我们可以了解地球内部的结构和变化，进而进行地质勘探和地震预测。
其次，磁场测量在电子设备中也有着重要的应用。
例如，在电子罗盘中，通过测量地磁场的大小和方向，我们可以确定设备的朝向，用于导航和定位。
在磁共振成像中，磁场测量可以帮助我们获取人体内部的详细结构信息，用于医学诊断和治疗。
此外，磁场测量还在物理实验中起着重要作用。
例如，在粒子加速器中，我们需要精确测量加速器中的磁场大小和方向，以确保粒子的轨道稳定和粒子束的准确控制。
在磁共振研究中，磁场测量可以帮助我们研究物质的结构和性质。
磁场大小b计算公式
磁场大小b计算公式
磁场大小B的计算公式涉及到磁场的各种特定情况，因此需要
根据具体情况来确定。
在一般情况下，可以使用以下公式来计算磁
场大小B：
B = μ0 (I / (2 π r))。
其中，B代表磁场大小，μ0代表真空中的磁导率（μ0约为
4π×10^-7 T·m/A），I代表电流的大小，r代表距离电流的位置。
这个公式描述了通过一根长直导线产生的磁场大小，适用于计算导
线周围的磁场。
在其他情况下，比如环形线圈、螺线管等，磁场大
小的计算公式会有所不同。
例如，对于环形线圈，可以使用公式B
= (μ0 I N) / (2 R)，其中N代表匝数，R代表环形线圈的半径。
另外，在电磁学中，还有一些其他情况下的磁场大小计算公式，比如磁铁的磁场大小计算、长直导线两端的磁场大小计算等，每种
情况都有相应的计算公式。
因此，在实际应用中，需要根据具体情
况选择合适的计算公式来计算磁场大小B。
总之，磁场大小B的计算公式是根据具体情况而定的，需要根
据不同情况选择合适的公式进行计算。
希望这些信息能够帮助到你。
高考回归复习—电磁学之带电粒子在磁场中运动求磁场面积模型 (word 含答案)
高考回归复习—电磁场之带电粒子在磁场中运动求磁场面积问题模型1．如图，xoy为平面直角坐标系，y>0的区域内有一个底边与x轴重合的等腰直角三角形，在该等腰直角三角形区域内存在着垂直于坐标平面向里的匀强磁场，y<0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。
一v沿x轴正方向运动，由质量为m、电荷量为+q(q >0)的带电粒子(不计重力)从电场中P(0，-h)点以速度v通过P点并重复上述运动。
求：Q(2h，0)点进入磁场，经磁场偏转后再次射人电场，恰能以同样的速度(1)电场强度的大小;(2)磁感应强度的大小;(3)粒子连续两次通过P点的时间间隔;(4)等腰三角形磁场区域的最小面积。
2．在如图所示的平面直角坐标系中存在一个半径R＝0.2 m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝1.0 T，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与坐标原点O相切．y轴右侧存在电场强度大小为E＝1.0×104N/C的匀强电场，方向沿y轴正方向，电场区域宽度L＝0.1 m．现从坐标为(－0.2 m，－0.2 m)的P 点发射出质量m＝2.0×10－9kg、带电荷量q＝5.0×10－5C的带正电粒子，沿y轴正方向射入匀强磁场，速度大小v0＝5.0×103m/s.重力不计．(1)求该带电粒子射出电场时的位置坐标；(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1 m，－0.05 m)的点回到电场，可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积．3．电子对湮灭是指电子e－和正电子e＋碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描(PET)及正电子湮灭能谱学(PAS)的物理基础。
如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x 轴上，且OP＝2L，Q点在负y轴上某处。
在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅰ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，OA＝L，在第Ⅰ象限内有一未知的矩形区域(图中未画出)，未知矩形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里。
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一、几何法。 二、参数法。
一、磁场范围为矩形 例 如图所示，直角坐标系第一象限的区域存 在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为，电量 为的电子从第一象限的某点（，）以初速度沿轴 的负方向开始运动，经过轴上的点（，0）进入 第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面 的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别 与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O， 并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求 （1）电子经过点的速度； （2）该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。
二、磁场范围为圆形
• 15．一质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从O点沿y 轴正方向射入一圆形匀强磁场区域（O点在磁场区域 内），磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后， 从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°， 同时进入场强为E，方向沿点，如图所示，已知 b到O的距离为L，粒子的重力不计，试求： • （1）磁感应强度B； • （2）圆形匀强磁场区域的最小面积； • （3）c点到b点的距离.
三、磁场范围为三角形 例3 如图，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点 以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子 能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC， 可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的 区域内，且不计粒子的重力。试求： （1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间t； （3）该正三角形区域磁场的最小边长；
四、磁场范围为树叶形
例4 在平面内有许多电子（质量为、电量为）， 从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象 限，如图7所示。现加一个垂直于平面向内、磁 感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后 都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场 的最小面积。