平面几何难题解答

平面几何难题解答

，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

解：（1）∠EBF=30°；

∠QFC=60°；

（2）∠QFC=60°．

设BP＞√3AB，如图1所示．

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，

∴∠BAP=∠EAQ．

在△ABP和△AEQ中

AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，

∴△ABP≌△AEQ．（SAS）

∴∠AEQ=∠ABP=90°．

∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．

∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．

（当BP≤√ 3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立）

（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．

∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2√ 3．

由（1）得∠EBF=30°．

在Rt△BGF中，BG= BE/2=√ 3，

∴BF= BG/cos30°=2．

∴EF=2．

∵△ABP≌△AEQ．

∴QE=BP=x，

∴QF=QE+EF=x+2．

过点Q作QH⊥BC，垂足为H．

在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=√ 3/2（x+2）．（x＞0）

即y关于x的函数关系式是：y= √3/2x+√3．