平面几何经典难题及解答之令狐文艳创作

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初二上几何证明题50题专题训练之令狐文艳创作

八年级上册几何题专题训练50题令狐文艳1. 如图，已知△EAB≌△DCE，AB，EC分别是两个三角形的最长边，∠A＝∠C＝35°，∠CDE＝100°，∠DEB＝10°，求∠AEC的度数．2. 如图,点E、A、B、F在同一条直线上,AD与BC交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证：∠C=∠D3.如图，OP平分∠AOB，且OA=OB．（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；（2）从（1）中任选一个结论进行证明．4. 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，AD的延长线交BC于点E，求证：BE＝EC。

5. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，求∠B和∠C的度数。

6. 如图，B、D、C、E在同一直线上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。

7. 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；•如果是假命题，请举反例说明．命题：有两边上的高相等的三角形是等腰三角形．8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º， D是AC上的一点，且AD=BC，DE AC于D，∠EAB=90º．求证：AB=AE．9. 如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC 外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．10. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=13，AC=5，则△ACD的周长为多少？11.如图所示，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：CE＝DF.12. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D.(1)判断直线BE与AD的位置关系是____；BE与AD之间的距离是线段____的长；(2)若AD＝6 cm，BE＝2 cm，求BE与AD之间的距离及AB 的长．13. 如图，已知△ABC、△ADEBC延长线上一点，连结CE，求证：BD=CE14. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BACBC•于点D，求证：•BC=3AD.15. 如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M 为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC．16、已知：如图所示，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：DG=DF．17. 如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数.18. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F.求证：AF平分∠BAC.19. 如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．20. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，求证：△ABD≌△ACD 21. 如图，一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，求CD的长．22. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，EA是底边BC的延长线上的一点且CD=CE.（1）求证：△BDE是等腰三角形（2）若∠A=36°，求∠ADE的度数.23. 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：AE=CD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．24. 如图，在ABC∆中，点D在AC边上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，则可以得到结论：12EF AB=，请说明理由.25. 已知：如图，在ABC∆中，C ABC∠=∠，点D为边AC上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连结DE，交BC于点P.（1）DP与PE相等吗？请说明理由.（2）若60C∠=︒，AB=12，当DC=_________时，BEP∆是等腰三角形.（不必说明理由）26. 如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G。

小学二年级奥数17个专题之令狐文艳创作

小学二年级奥数教材令狐文艳一、比谁眼力好王牌例题 1 下面一组图中，有一个是不同的，你能找到它吗？叠一小部分。

而图④是两个完全一样的半圆拼成一个整圆，没有重叠。

这几组图形中，第4组图形与其他的不同。

疯狂操练11、下面一组图形，其中有一个是不相同的，你能找出来吗？2、找出与其他图形不同的那组图。

（1）（2）（3）（4）3、你能把与其他不同的找出来吗？王牌例题2 根据规律接着画。

① ② ③ ④ ⑤【思路导航】仔细观察图可以发现，第一竖行是三个基本图形○、△、□，第二竖行是在○、△、□外面加了一个圆，第三竖行由上两个图形发现是在○、△外加上了一个方框，由此可推断第三个空格的图应该在□外加上一个方框。

所以图中疯狂操练21、按顺序仔细观察图，第三幅图“？”处该怎么填？2、按顺序仔细观察，在“？”处填图。

？3、接着画。

王牌例题3 在方框里填上适当的字母。

【思路导航】仔细观察这些字母，不难发现，每一横行、竖行都有字母A、B、C，只不过是排列顺序不同而已。

因此空格里横看、竖看，都应该填B。

疯狂操练31、按规律在空格里画上图形。

2、在空格里填上适当的图形。

3、接着画。

王牌例题 4 请你根据前三个图形的变化规律，画出第四个图形来。

【思路导航】通过观察可以发现这三幅图都是把完全一样的圆平均分成4份，把其中的一份涂上阴影。

第一幅图阴影部分在左上角，第二幅图阴影部分在左下角，第三幅图阴影部分在右下角，根据这个规律，第四幅图阴影部分应该转到右上角。

所以第四个方框里应填。

疯狂操练41、请你根据前三个图形的变化规律，画出第四个图形来。

○○○○○○○●○○●●○○○○○●○●○●●●○○○●○●○●●●●●2、接下去该怎样画？△△△△△△△△△△△▲△△△△△△△▲△△▲△△△△△△▲△△△▲△△3、仔细观察图，在第四幅中应画什么图形？第十幅图应画什么图形？王牌例题5 接着应该怎样画？请画在空格里。

※★★§§☆☆§※☆★※【思路导航】先观察※这朵花，⑴在左上角，⑵在左下角，⑶在右下角，由此可见这朵花按逆时针方向依次转动。

初三数学几何证明题(经典)之令狐文艳创作

如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O令狐文艳交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E．求证：BE=CE证明：连接CD∵AC是直径∴∠ADC=90°∵∠ACB=90°，ED是切线∴CE=DE∴∠ECD=∠EDC∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90°∴∠B=∠BDE∴BE=DE∴BE=CE如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切；（2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切；相切分两种情况，如图，①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm则：t=4/2=2s；---------------②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2;=========（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π不明之处请指出~~。

《平行四边形的性质与判定》典型例题之令狐文艳创作

《平行四边形的性质》典型例题令狐文艳例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长.例 3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由.例4已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例5如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，若︒=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=.求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积. 《平行四边形的判定》典型例题例1 如图，△DAB、△EBC、△FAC 都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形．例2 如图，E 、F 分别是ABCD 边AD 和BC 上的点，并且AE=CF ，AF 和BE 相交于G ，CE 和DF 相交于H 、EF 与GH 是否互相平分，请说明理由．例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD.例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G.求证：EG=FH.例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.。

八年级下册几何证明题之令狐文艳创作

_ O_ A_ B_ D_ C _ E _E _F _ A_ B_ D_ C_ G_ A_B _ D_ C_ E_ F_ D_ A _ B_ C_ E_ F_ A_ B_ D_ C _ O_ D_ A_ B_ C_ H_ F_ G_ E四边形试题令狐文艳1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60，E 、F 分别为梯形的腰AB 、DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ，AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC∆=SEBF∆，求证：DF ∥AC 。

_ E_ A_ B_ F_ D_ C_ C _ D_ A_ B_ G_ E _ F_ H _ E_ D_ B_ C_ A_ G_F _ D_ A _ B_ E_ F_ j _ H_ G_ K_ B _ C_ D _A_ F _ E8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。

大学解析几何之令狐文艳创作

空间解析几何令狐文艳基本知识一、向量1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a 二、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、（1）平面过原点)0,0,0(⇔ 0=++Cz By Ax（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于x 轴0=++⇔D Cz By（如果0=D ，则平面过x轴）平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）⇔法向量→n 垂直于y 轴0=++⇔D Cz Ax（如果0=D ，则平面过y轴）平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）⇔法向量→n 垂直于z 轴0=++⇔D By Ax（如果0=D ，则平面过z轴）（3）平面与xoy 面平行⇔法向量→n 垂直于xoy 面0=+⇔D Cz平面与xoz面平行⇔法向量→n 垂直于xoz面0=+⇔D By平面与yoz 面平行⇔法向量→n 垂直于yoz 面0=+⇔D Ax注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程32010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面1111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tv z z t v y y tv x x 3020104、（1）方向向量),,0(32v v v =→，直线垂直于x 轴（2）方向向量),0,(31v v v =→，直线垂直于y 轴（3）方向向量)0,,(21v v v =→，直线垂直于z 轴 5、（1）方向向量),0,0(3v v =→，直线垂直于xoy 面（2）方向向量)0,,0(2v v =→，直线垂直于xoz 面（3）方向向量)0,0,(1v v =→，直线垂直于yoz 面应用一、柱面1、设柱面的准线方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为又因为),,(111z y x M 在准线上，故),,(1111=z y x f （1）0),,(1112=z y x f （2）令t v z z v y y v x x =-=-=-312111 （3）由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程例1：柱面的准线为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v ，求这柱面方程。

初中几何经典例题及解题技巧之令狐文艳创作

初中几何证明技巧及经典试题令狐文艳证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

北师大七年级下几何证明入门专项练习之令狐文艳创作

几何证明题专项训练1令狐文艳1、（1）∵∠1=∠A（已知），∴∥，（）；（2）∵∠3=∠4（已知），∴∥，（）；（3）∵∠2=∠5（已知），∴∥，（）；（4）∵∠ADC+∠C=180º（已知），∴∥，（）；2，如图，（1）∵∠ABD=∠BDC（已知），∴∥，（）；（2）∵∠DBC=∠ADB（已知），∴∥，（）；（3）∵∠CBE=∠DCB（已知），∴∥，（）；（4）∵∠CBE=∠A，（已知），∴∥，（）；（5）∵∠A+∠ADC=180º（已知），∴∥，（）；（6）∵∠A+∠ABC=180º（已知），∴∥，（）；3、如图，∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明：DC∥AB.4，如图，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，试说明：DE∥FB.5．如图2-67，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数．6、如图2-56①∵AB//CD（已知），∴∠ABC=_______（）______=______（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD+______=180（）②∵∠3=∠4（已知），∴______∥_____（）③∵∠FAD=∠FBC（已知），∴_____∥_____（）7、如图2-57，直线AB，CD，EF被直线GH所截，∠1=︒110，∠70，∠2=︒3=︒70．求证：AB//CD．证明：∵∠1=︒7070，∠3=︒（已知），∴∠1=∠3（）∴ ____∥_____（）∵∠2=︒110，∠3=︒70（），∴______+_____=____,∴_____//______,∴AB//CD（）．8.如图2-58，①直线DE，AC被第三条直线BA 所截，则∠1和∠2是________，如果∠1=∠2，则___//___,其理由是（）．②∠3和∠4是直线__________、__________，被直线____________所截，因此____//____．∠3____∠4,其理由是（）．9.如图2-59，已知AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，求证∠1+∠2= 90．证明：∵ BE 平分∠ABC （已知），∴∠2=_________（）同理∠1=_______________,∴∠1+∠2=21____________（）又∵AB//CD （已知），∴∠ABC+∠BCD=_____（）∴∠1+∠2=︒90（）10、如图2-60，E、F、G分别是AB、AC、BC上一点．①如果∠B=∠FGC，则____//____,其理由是（）②∠BEG=∠EGF，则_____//____，其理由是（）③如果∠AEG+∠EAF=︒180，则____//____，其理由是（）11.如图2-61，已知AB//CD，AB//DE，求证：∠B+∠D=∠BCF+∠DCF．证明：∵AB//CF（已知），∴∠______=∠________（两直线平行，内错角相等）．∵AB//CF，AB//DE（已知），∴CF//DE（）∴∠_________=∠_________（）∴∠B+∠D=∠BCF+∠DCF（等式性质）．几何证明题专项训练21、如图，∠B=∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF=∠C。

《画法几何》练习题之令狐文艳创作

答：答：答：
（1）（2）（3）
答：答：答：
（4）（5）（6）
判断下列各对直线的相对位置（平行、相
交、交叉、相交垂直、交叉垂直）。

令狐文艳
分析绘图题：根据形体的三面投影图，作出其正等轴测图（尺寸从投影图中量取）。

（二）
选择填空题：判断下列各对直线的相对位置（平行、相交、交叉、相交垂直、交叉垂直）。

（1）
（2）
（尺寸从投影图中量取）。

（11分）
（三）
一、选择填空题：判断下列各对直线的相对位置（平行、相交、交叉、相交垂直、交叉垂直）。

（每小题2分，共12分）
七、分析绘图题：根据台阶的正等轴测投影，作出其三面投影（尺寸从轴测投影中量取）（12分）
八、分析绘图题：根据形体的三面投影图，作出其正等轴测图（尺寸从投影图中量取）。

（11分）。

经典竞赛几何题之令狐文艳创作

绝密★启用前令狐文艳2018年05月17日张朋松的初中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．解答题（共50小题）1．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D 不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．2．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE．3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；（2）如图2，若AB≠BC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由．4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，在△ABC外取一点E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且线段ED与线段AB相交，交点记为K，问线段EK与DK有怎样的大小关系？并说明理由．5．已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE=AD．6．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD．7．如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC 至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．8．如图，在正方形ABCD中，取AD，CD的边的中点E，F，连接CE，BF交于点G，连接AG，试判断AG与AB是否相等，并说明理由．9．如图，设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点，AD⊥BM 于E，AD交BC于D．求证：∠AMB=∠CMD（请用两种不同的方法证明）10．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB 的中点，射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G．试猜想∠AHF与∠BGF的关系，并给出证明．提示：若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系，可考虑使四边形ABCD为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP．11．如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．（1）求证：PN=QN；（2）求证：MN⊥BC．12．在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．13．如图：已知AB∥DC，∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点．猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系，并证明．14．如图，已知△ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是BC上一点，△DGH是等边三角形．求证：EG=FH．15．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．16．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；（2）试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明．17．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．18．已知A，C，B在同一条直线上，△ACE，△BCF都是等边三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MG⊥CN，垂足为G．求证：CG=NG．19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D、E引直线交AC于点F，请判定AF与FC的数量关系，并证明之．20．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．21．已知如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=（AB+AD），求证：∠B与∠D互补．22．如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求证：BD=2CE．23．AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E．（1）求证：CE=BF；（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明．24．如图，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°．判断线段AD与EF数量和位置关系．25．如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长．26．如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°﹣∠DBC．求证：AC=AD．27．如图，正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形，P、Q为它们的中心，M是BC的中点，试判断MP、MQ 在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论．28．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB．29．如图，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN，CM相交于点P，试求∠APM的度数．30．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，（1）求：∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．31．如图，已知△ABC中AB＞AC，P是角平分线AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．32．如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP ⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．33．如图已知△ABC中，AB=AC，∠ABD=60°，且∠ADB=90°﹣∠BDC，求证：AB=BD+DC．34．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE度数．35．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M、N 分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM．点E在射线NA上，且NE=2NA，求证：BD⊥DE．36．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD．求证：BD=CD．38．如图所示，在△ABF中，已知BC=CE=EF，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求的值．39．如图，已知过△ABC的顶点A，在∠BAC内部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC边中点．求证：MD=ME．40．已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF 平分∠BAC，DH⊥AF于点H，交AC于点G，DH延长线交AB于点E求证：．41．已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，AE ⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．42．如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD，求证：CD=2EC．43．如图，在△ABC中，BD=CD，AG平分∠DAC，BF⊥AG，垂足为H，与AD交于E，与AC交于F，过点C的直线CM交AD的延长线于M，且∠EBD=∠MCD，AC=AM．求证：DE=CF．44．如图，BE、CF是△ABC的高，它们相交于点O，点P在BE 上，Q在CF的延长线上且BP=AC，CQ=AB，（1）求证：△ABP≌△QCA．（2）AP和AQ的位置关系如何，请给予证明．45．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠BAC交CD于E，交BC于F，EG∥AB交BC于G，说明BG=CF的理由．46．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD的中点，若∠AMD=∠BMD，求证：∠CDA=2∠ACD．47．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF．48．如图，在等腰直角△ABC中，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE延长线于G，求证：BG=AF+FG．49．已知△ABC，∠C=90°，AC=BC．M为AC中点，延长BM到D，使MD=BM；N为BC中点，延长NA到E，使AE=NA，连接ED，求证：ED⊥BD．50．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．2018年05月17日张朋松的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四边形BCEF是平行四边形；（3）易证AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可证明△AFB≌△ADC；根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，∴∠FAB=∠DAC，在△AFB和△ADC中，，∴△AFB≌△ADC（SAS）；（2）由①得△AFB≌△ADC，∴∠ABF=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABF=∠BAC，∴FB∥AC，又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（3）成立，理由如下：∵△ABC和△ADF都是等边三角形，∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，又∵∠FAB=∠BAC﹣∠FAE，∠DAC=∠FAD﹣∠FAE，∴∠FAB=∠DAC，在△AFB和△ADC中，，∴△AFB≌△ADC（SAS）；∴∠AFB=∠ADC．又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，∴∠ADC=∠EAF，∴∠AFB=∠EAF，∴BF∥AE，又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．2．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点（如图所示）．求证：∠DEF=∠HFE．【分析】EF为中位线，所以EF∥BC，又因为∠HFE和∠FHB，∠DEF和∠CDE 分别为一组平行线的对角，所以相等；转化成求证∠FHB=∠CDE．【解答】证明：∵E，F分别为AC，AB的中点，∴EF∥BC，根据平行线定理，∠HFE=∠FHB，∠DEF=∠CDE；同理可证∠CDE=∠B，∴∠DEF=∠B．又∵AH⊥BC，且F为AB的中点，∴HF=BF，∴∠B=∠BHF，∴∠HFE=∠B=∠DEF．即∠HFE=∠DEF．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半．3．在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；（2）如图2，若AB≠BC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由．【分析】（1）可证明△ACF≌△CAE，再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA，从而得出OE=OF；（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上，从而得出∠OBN=∠OBM=30°，由已知得出∠OEM=∠OFN，能证明Rt△OFN≌Rt △OEM，则OE=OF成立．【解答】证明：（1）∵∠B=60°，AB=BC，∴∠A=∠C=60°，∵AECF分别平分∠A，∠C，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴OA=OC，△ACF≌△CAE（ASA），∴AE=CF，∴OE=OF；（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．∵点O在∠A，∠C的平分线上，∴ON=OH，OH=OM，从而OM=ON，∴点O在∠B的平分线上（1分）∴∠OBN=∠OBM=30°，ON=OM （2分）又∠OEM=∠B+∠A=60°+∠A∠OFN=∠A+∠C=（∠A+∠C）+∠A=（180°﹣60°）+∠A=60°+∠A．∴∠OEM=∠OFN．（2分）∴Rt△OFN≌Rt△OEM（AAS），（1分）∴OE=OF．（1分）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，注意一题多解以及方法的简单性．4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，在△ABC外取一点E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且线段ED与线段AB相交，交点记为K，问线段EK与DK有怎样的大小关系？并说明理由．【分析】首先作出EI⊥AB，DH⊥AB，证明△EAI≌△DCF再得出DH=DF进而得出△EKI≌△DKH即可证出．【解答】解：结论：EK=DK．（2分）理由：过点E作EI⊥AB，过点D作DH⊥AB于H，DF⊥BC于F，在△EAI和△DCF中∵，∴△EAI≌△DCF（AAS），（2分）∴EI=DF，（2分）∵BD是∠ABC的平分线，∴DH=DF，（2分）∴DH=EI，在△EKI和△DKH中，∵，∴△EKI≌△DKH（AAS），（2分）∴EK=DK．（2分）【点评】此题主要考查了三角形全等证明方法，根据题意作出EI⊥AB，DH⊥AB，从而利于全等证明是解决问题的关键．5．已知如图，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD于E，求证：BE=AD．【分析】延长AC、BE交于点M，易证得△ACD≌△BCM，可得AD=BM①，可证得△AEM≌△AEB，可得EM=BE，即BM=2BE②，由①②即可得结论．【解答】解：如图，延长AC、BE交于点M，∵∠A的平分线AD，BE垂直AD于E，∴∠MAE=∠BAE，∠AEM=∠AEB=90°，∵AE=AE，∴△AEM≌△AEB（ASA），∴EM=BE，即BM=2BE①；∵∠A的平分线AD，AC=BC，∠C=90°，∴∠CAD=∠DAB=22.5°，∠ABC=45°，∵BE垂直AD于E，∴∠DAB+∠ABC+∠DBE=90°，即∠DBE=22.5°，∴∠CAD=∠DBE，又∵AC=BC，且∠ACB=∠BCM=90°，∴△ACD≌△BCM（ASA），∴AD=BM②；由①②得AD=2BE，即BE=AD．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．6．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD．【分析】先延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，根据已知条件得出A，B，D，C四点共圆，得出∠ACB=∠ADE，再根据等边三角形的性质得出△ABC是等边三角形，在△ABE和△ACD中，根据SAS得出△ABE≌△ACD，得出△ADE是等边三角形，得出AD=DE，再根据DE=BD+BE，即可证出AD=BD+CD．【解答】解：延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，∵∠BAC+∠ACD+∠BDC+∠ABD=360°，∠BAC=60°，∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴A，B，D，C四点共圆，∴∠ACB=∠ADE，∵∠ABD+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠ACD，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ADE=60°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE=AD，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵DE=BD+BE，∴AD=BD+CD．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，关键是根据题意作出辅助线．7．如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．【分析】由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=AE，HS∥CF，HS=CF，由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD．【解答】证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，∵GHM分别为BD，AC，EF的中点，∴MS∥AE，MS=AE，HS∥CF，HS=CF，∵GT∥CD，HT∥AB，GT=CD，HT=AB，∴GT∥HS，HT∥SM，∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，∴∠TGH=∠THG，∴GT=TH，∴AB=CD．【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及平行线的性质．8．如图，在正方形ABCD中，取AD，CD的边的中点E，F，连接CE，BF交于点G，连接AG，试判断AG与AB是否相等，并说明理由．【分析】延长CE、BA交于P，易证△CDE≌△BCF，可得∠CFB=∠DEC，即可求得CE⊥BF，进而可以求证△PAE∽△PBC，可得PA=AB，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半性质即可解题．【解答】解：延长CE、BA交于P，∵在△CDE和△BCF中，，∴△CDE≌△BCF；（SAS）∴∠CFB=∠DEC，∵∠FCG+∠DEC=90°，∴CE⊥BF，∴△PAE∽△PBC，==，∴A是PB的中点，即AB=PB，∵RT△BPG中，AG=PB．∴AG=AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△CDE≌△BCF是解题的关键．9．如图，设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点，AD⊥BM于E，AD交BC于D．求证：∠AMB=∠CMD（请用两种不同的方法证明）【分析】法（1）先延长AD至F，使得CF⊥AC，得出∠ABM=∠DAC，再根据AB=AC，CF⊥AC，得出△ABM≌△CAF，从而证出∠BMA=∠F，AM=CF，再根据所给的条件得出△FCD≌△MCD，即可得出∠AMB=∠F=∠CMD；法（2）先作∠BAC的平分线交BM于N，得出∠ABN=∠CAE，再根据∠BAN=∠C=45°，AB=AC，证出△BAN≌△ACD，得出AN=CD，证出△NAM≌△DCM，即可得出∠AMB=∠CMD．【解答】证明：法（1）如图，延长AD至F，使得CF⊥AC，∵AB⊥AC，AD⊥BM，∴∠ABM=∠DAC，又∵AB=AC，CF⊥AC，∴△ABM≌△CAF，∴∠BMA=∠F，AM=CF，∵∠BCA=∠BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，∴△FCD≌△MCD，法（2）AD交BM于E，作∠BAC的平分线交BM于N，∵AE⊥BM，BA⊥AC，∴∠ABN=∠CAE，∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，∴△BAN≌△ACD．∴AN=CD，∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC∴△NAM≌△DCM，∴∠AMB=∠CMD．【点评】此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判断与性质进行解答即可．10．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB的中点，射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G．试猜想∠AHF与∠BGF的关系，并给出证明．提示：若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系，可考虑使四边形ABCD为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP．【分析】方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AHF=∠MEF，两直线平行，内错角相等可得∠BGF=∠MFE，从而得证；方法二：作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP，根据独角戏互相平分的四边形的平行四边形可得APBC是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AP=BC=AD，连结AP，根据等边对等角可得∠APD=∠ADP，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥DP根据两直线平行，同位角相等可得∠AHF=∠ADP，根据两边互相平行的两个角相等或互补可得∠BGF=∠APD，然后等量代换即可得证．【解答】答：∠AHF=∠BGF．证明：方法一：连AC，取其中点为M，连EM和FM，∵EM是△ACD的中位线，∴EM∥AD，2EM=AD，同理FM∥BC，2FM=BC，∴EM=FM，∴∠MEF=∠MFE，∵∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，∴∠AHF=∠BGF；方法二：作法，连结AC，以F为中心，将△ABC旋转180°，得到△ABP，∵F是AB的中点，∴APBC是平行四边形，∴AP=BC=AD，连结AP，则∠APD=∠ADP，∵EF是△CDP的中位线，∴EF∥DP，∴∠AHF=∠ADP，∵GF∥DP，GB∥AP，∴∠BGF=∠APD，∴∠AHF=∠BGF．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出三角形的中位线．11．如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．（1）求证：PN=QN；（2）求证：MN⊥BC．【分析】（1）要证明PN=QN，只有证明这两条线段所在的三角形全等就可以了，连接DN，利用斜边直角边对应相等的两个三角形全等就可以了．（2）△BPM和△CQM是直角三角形，由条件知道MB=CM，取BM、CM的中点S、T，连接PS、QT可以得到PS=QT，利用角的关系证明∠SPN=∠TQN，再证明△SPN≌△TQN，从而得到NS=NT，利用等腰三角形的三线合一的性质证明MN⊥BC．【解答】证明：（1）方法一：连接DN∵D为△ABC中线AM的中点∴AD=MD，MB=CM∵MP⊥AB，MQ⊥AC∴∠APM=∠AQM=90°∴△APM、△AMQ是直角三角形∴PD=AM，QD=AM∴PD=QD∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）∴NP=PQ；方法二：∵MP⊥AB，MQ⊥AC∴∠APM=∠AQM=90°，所以∠APM+∠AQM=180°，所以四边形APMQ为圆内接四边形．∵D为AM的中点，∴PD，DQ为以D为圆心的四边形APMQ内接圆的半径．∵PN⊥PD，QN⊥QD，∴PN，NQ为圆的两条切线，∴PN=NQ．（2）取BM、CM的中点S、T，连接SP、SN、TQ、TN∴SP=BM=MC=TQ∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM=90°﹣∠B﹣∠DPA=90°﹣∠B﹣∠BAM=90°﹣∠AMC=90°﹣∠DMQ﹣∠QMT=90°﹣∠DQM﹣∠MQT=∠TQN∴△SPN≌△TQN∴SN=TN∵SM=TM∴NM⊥BC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质．12．在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．【分析】①要证△DEM≌△DFN，由D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，所以DM=BP，DN=AP，再有过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，所以EM=AP=DN，FN=BP=DM．又DE=DF所以△DEM≌△DFN．②由①得∠EMD=∠FND，由∠AMD=∠BND=∠APB所以∠AME=∠BNF，那么∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF），即∠PAE=∠PBF．【解答】证明：①如图，在△ABP中，∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，∴DM=BP，DN=AP，又∵PE⊥AE，BF⊥PF∴EM=AP=DN，FN=BP=DM，∵DE=DF∴△DEM≌△DFN（SSS）；②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，∵DM∥BP，DN∥AP，∴∠AMD=∠BND=∠APB，∴∠AME=∠BNF又∵PE⊥AE，BF⊥PF，∴△AEP和△BFP都为直角三角形，又M，N分别为斜边PA与PB的中点，∴AM=EM=AP，BN=NF=BP，∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，∴∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF）．即∠PAE=∠PBF，【点评】此题考查了线段之间的关系，和全等三角形的判定和性质，同学们应该熟练掌握．13．如图：已知AB∥DC，∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点．猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系，并证明．【分析】在AD上截取AF=AB，连接EF，根据SAS证△BAE≌△FAE，推出∠B=∠EFA，求出∠C=∠EFD，证△CDE≌△FDE，推出DC=DF，即可得出答案．【解答】答：AD=AB+DC，证明：在AD上截取AF=AB，连接EF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵在△BAE和△FAE中∴△BAE≌△FAE（SAS），∴∠B=∠EFA，∵AB∥DC，∴∠B+∠C=180°，∵∠EFD+∠EFA=180°，∴∠C=∠EFD，∵DE平分∠CDA，∴∠CDE=∠FDE，∵在△CDE和△FDE中∴△CDE≌△FDE（AAS），∴DC=DF，∴AD=AF+DF=AB+DC．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用，关键是能正确作辅助线．14．如图，已知△ABC中，AB=BC=CA，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是BC上一点，△DGH是等边三角形．求证：EG=FH．【分析】连接DE、DF，根据三角形中位线定理及等边三角形的性质，可证明△DEG≌△DFH，即可得结论．【解答】证明：连接DE、DF，（如图）∵D、E、F是各边中点，∴DE平行且等于AC，DF平行且等于BC，∵AB=BC=CA，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴DE=DF，∠EDF=∠DFA=∠C=60°∵已知等边△DHG，∴DG=DH，∠HDG=60°=∠EDF，∴∠EDF﹣∠FDG=∠HDG﹣∠FDG，即∠1=∠2，∴△DEG≌△DFH（SAS），∴FH=EG．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，涉及到三角形中位线定理、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等判定方法是解题的关键．15．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．【分析】根据角平分线性质作辅助线连接FE，进而证得HCEF是菱形从而证得．【解答】证明：连接FE，∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠A=∠DCB，又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠DAE，又∵∠AHD=∠CHE，∠ADH=90度，∴∠CGE=90度，在三角形ACF中，AE是高，中线，角平分线，∴CF⊥HE，CG=FG，∴CH=FH，CE=EF，∴CF是△CHE的高，中线，角平分线，∴CH=CE，∴CH=HF=EF=CE，∴四边形HCEF是菱形，∴HF∥BC．【点评】本题考查了角平分线性质以及其应用，问题有一定难度．16．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；（2）试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明．【分析】（1）连接MD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得MD=MC，然后利用“边边边”证M明△MFC与△MAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠MAD=∠MFC，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD，然后求出∠BAM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明；（2）根据全等三角形对应角相等和轴对称的性质可得∠BMP=∠FMD=∠DMA，然后用∠BMP表示出∠FCM，再根据直角三角形两锐角互余列式整理即可得解．【解答】（1）证明：连接MD，∵点E是CD的中点，ME⊥D，∴MD=MC，在△MFC与△MAD中，，∴△MFC≌△MAD（SSS），∴∠MAD=∠MFC=120°，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°，∴∠BAM=∠MAD﹣∠BAD=120°﹣90°=30°，∵∠ABM=90°，∴AM=2MB；（2）解：2∠MPB+∠FCM=180°．理由如下：由（1）可知∠BMP=∠FMD=∠DMA，∵∠FCM=∠ADM=∠DMC=2∠BMP，∴∠BMP=∠FCM，∵∠ABC=90°，∴∠MPB+∠BMP=90°，∴∠MPB+∠FCM=90°，∴2∠MPB+∠FCM=180°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．17．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．【分析】作∠OBF=∠OAE交AD于F，由已知条件用“ASA”可判定△AOE≌△BOF，所以AE=BF，再有条件AE=BD得BF=BD，所以∠BDF=∠BFD，再利用三角形的外角关系证得∠BOF=∠C，又因为∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，所以：∠BAD=∠C．【解答】证明：作∠OBF=∠OAE交AD于F，∵∠BAD=∠ABE，∴OA=OB．又∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴AE=BF．∵AE=BD，∴BF=BD．∴∠BDF=∠BFD．∵∠BDF=∠C+∠OAE，∠BFD=∠BOF+∠OBF，∴∠BOF=∠C．∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，∴∠BAD=∠C，【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：本题中的对顶角∠AOE=∠BOF．18．已知A，C，B在同一条直线上，△ACE，△BCF都是等边三角形，BE交CF于N，AF交CE于M，MG⊥CN，垂足为G．求证：CG=NG．【分析】先证△ACF与△ECB全等，得到∠AFC=∠ABE，再证△FMC≌△BNC 得到MC=MN，有条件MG垂直于NC而得到结论．【解答】证明：∵△ACE，△BCF都是等边三角形，∴AC=EC，FC=BC，∠ACE=∠BCF=60°，∴∠ECN=60°，∠BCE=∠ACF，∴△ACF≌△ECB，∴∠AFC=∠ABE，∵∠FCM=∠BCN=60°，CF=CB，∴△FMC≌△BNC，∴CM=CN，∵∠ECN=60°，∴△CNMN是等边三角形，∴CM=MN，∵MG⊥NC，∴GC=GN．【点评】本题考查了等边三角形的性质，通过两次全等得到MC=MN，通过MG垂直于NC得到结论．19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E 点，使BE=BD，过点D、E引直线交AC于点F，请判定AF与FC的数量关系，并证明之．【分析】根据等边对等角可得∠E=∠BDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC=2∠BDE，从而求出∠C=∠BDE，再求出∠C=∠CDF，然后根据等角对等边求出DF=FC，再根据等角的余角相等求出∠CAD=∠ADF，根据等角对等边求出DF=AF，即可得到AF=FC．【解答】解：AF=FC．理由如下：∵BE=BD，∴∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE，∠ABC=2∠C，∴∠C=∠BDE，又∵∠BDE=∠CDF，∴∠C=∠CDF，∴DF=FC，∵AD为BC边上的高，∴∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∠C+∠CAD=180°﹣90°=90°，∴∠CAD=∠ADF，∴DF=AF，∴AF=FC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记性质与判定并准确识图是解题的关键．20．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．【分析】可在AC延长线上截取CM1=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM1，得出边角关系，再求解△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，再通过线段之间的转化即可得出结论．【解答】证明：如图，在AC延长线上截取CM1=BM，∵△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴∠DCM1=90°，∵BD=CD，∵在△BDM和△CDM1中，，∴△BDM≌△CDM1（SAS），得MD=M1D，∠MDB=∠M1DC，∴∠MDM1=120°﹣∠MDB+∠M1DC=120°，∴∠NDM1=60°，在△MDN和△M1DN中，∵，∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN=NM1，故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结论．21．已知如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且AE=（AB+AD），求证：∠B与∠D互补．【分析】可在AB上截取AF=AD，可得△ACF≌△ACD，得出∠AFC=∠D，再由线段之间的关系AE=（AB+AD）得出BC=CF，进而通过角之间的转化即可得出结论．【解答】证明：在AB上截取AF=AD，连接CF，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又AC=AC，∴△ACF≌△ACD（SAS），∴AF=AD，∠AFC=∠D，∵AE=（AB+AD），∴EF=BE，又∵CE⊥AB，∴BC=FC，∴∠CFB=∠B，∴∠B+D=∠CFB+∠AFC=180°，即∠B与∠D互补．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练运用三角形的性质求解一些简单的计算、证明问题．22．如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求证：BD=2CE．【分析】延长CE、BA交于F，根据角边角定理，证明△BEF≌△BEC，进而得到CF=2CE的关系．再证明∠ACF=∠1，根据角边角定理证明△ACF≌△ABD，得到BD=CF，至此问题得解．【解答】证明：如图，延长CE、BA交于F．∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°，∴∠1=∠2，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=EC，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，∵CE⊥BD，∴∠ACF=∠1，在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质．解决本题主要是恰当添加辅助线，构造全等三角形，将所求问题转化为全等三角形内边间的关系来解决．23．AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交AB的延长线于F，交AC于E．（1）求证：CE=BF；（2）探索线段CE与AB+AC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）延长CA交FM的平行线BG于G点，利用平行线的性质得到BM=CM、CE=GE，从而证得CE=BF；（2）利用上题证得的EA=FA、CE=BF，进一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【解答】（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，∠G=∠CAD、∠GBA=∠BAD∵AD平分∠BAC，∴AG=AB，∵FM∥AD∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC∵∠BAD=∠DAC，∴∠F=∠FEA，∴EA=FA，∴GE=BF，∴M为BC边的中点，∴BM=CM，∵EM∥GB，∴CE=GE，∴CE=BF；（2）AB+AC=2EC．证明：∵EA=FA、CE=BF，∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是正确地构造辅助线，另外题目中还考查了平行线等分线段定理．24．如图，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°．判断线段AD与EF数量和位置关系．【分析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解题．【解答】解：EF=2AD，EF⊥AD．证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，∴AD=DM，AM=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△MCD中，，∴△ABD≌△MCD，（SAS）∴AB=MC，∠BAD=∠M，∵AB=AE，∴AE=MC，∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠FAC=90°，∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．在△AEF和△CMA中，，∴△AEF≌△CMA，∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠FAN=90°，∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠FAN=90°，∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△MCD和△AEF≌△CMA是解题的关键．25．如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分∠BAD，且AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长．【分析】作辅助线构建直角三角形，求证△CFD≌△CEB，即可得DF=EB，即可求得DF，根据DF求CF，根据CF、AF求AC．【解答】解：过C作CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠CEA=90°，∠CFD=90°，∵AC平分∠BAD，∴CF=CE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），又∵BC=DC，∴△CFD≌△CEB（HL），∴DF=EB，同理可得△ACF≌△ACE，∴AF=AE，∴AD+DF=AB﹣BE，即9+DF=21﹣BE，。

人教版高中数学必修4课后习题答案之令狐文艳创作

第二章平面向量令狐文艳2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB，BA. 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB=， 2.5CD =，3EF =，22GH=4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同.习题2.1 A组（P77）1、（2）.3、与DE 相等的向量有：,AF FC；与EF相等的向量有：,BD DA；与FD相等的向量有：,CE EB.4、与a相等的向量有：,,CO QP SR；与b相等的向量有：,PM DO；与c 相等的向量有：,,DC RQ ST 5、332AD =. 6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×. 习题2.1 B 组（P78） 1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD 同向的共有3对，与AD 反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ；（2）CB .4、（1）c ；（2）f ；（3）f ；（4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略.练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =；（2）74b a =-；（3）12b a =-；（4）89b a =.4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -；（2）111123a b -+；（3）2ya .6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走km ；（6）向东南走2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =所以228AC AB AD =+==因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒ 所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0；（2）AB ；（3）BA ；（4）0；（5）0；（6）CB ；（7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥时，a ba b +=-9、（1）22a b --；（2）102210a b c -+；（3）132a b +；（4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =，34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=. 4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.（第11题）（第12题）EHGFC AB（第1题）BC证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形.（3）四边形ABCD 为菱形. 证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-；（2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-；（3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=；（4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--；（2）(9,1)AB =-，（第4题(3)）（第5题）(9,1)BA =-；（3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-；（4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3- 7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=----∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-.1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-.5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-；故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-习题2.3 B 组（P101） 1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P . 2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP=（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=.2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107） 1、2(3)5a=-=，252b =+=，35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a=，74b =，88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108） 1、63a b ⋅=-，222()225a b a a b b +=+⋅+=-，25a b +=-2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b ab a b λλθλθ⋅=︒-=-所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+ 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角. 证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a b a bθ⋅==-，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 于是35(,a=或35(a =-. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,e =或5(,e =-. 习题2.4 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=，即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CACB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-. ∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222ABAB AD AD AB AB AD AD+⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD=，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113） 1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y =-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =,所以23BO BF =.（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-；（2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则OD FE AB C（第2（第4题）001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=.所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,AB =-.将AB 绕点A沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2)(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sincos44x x yy x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即))2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-；（3）33OA OB ⋅=. 6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=. 10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D .（第4题）2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b +=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b⊥，所以a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-.再证a b a b a b +=-⇒⊥. 由于222a b a a b b+=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b ab +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111()4242AM AE EM a b a a b =+=++=+5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.（第3题）DOP 3P P 2（第5题）（第6题）6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为沿与水流方向成90︒+. 8、解：因为OA OB OB OC⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅=同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=；（2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ；（4）d =第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α===；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin33317217πππθθθ-=+=-⨯+=.4、解：由23sin,(,)32πααπ=-∈，得cosα===又由33cos,(,2)42πββπ=∈，得sinβ===.所以32cos()cos cos sin sin((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=.练习（P131）1、（1（2（3（4）22、解：由3cos,(,)52πθθπ=-∈，得4sin5θ==；所以413sin()sin cos cos sin()333525πππθθθ+=+=⨯+-=3、解：由12sin13θ=-，θ是第三象限角，得5cos13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=.4、解：tan tan314tan()241311tan tan4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-. 6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β=-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=.练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos85α=-，得3sin85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===-所以3424sin sin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α===，所以sintan (2)cos ααα=-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos884πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒；（4）原式=cos45︒=.习题3.1 A 组（P137） 1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-；（4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=+⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α== 又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+= 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++ 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒ 又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒6、（1）（2）；（3）2-+7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α==又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角 ∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+A B π+>，不合题意，舍去 ∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ===-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC ADADαβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯（第12又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒13、（1）)6x π+；（23sin()3x π-；（3）2sin()26x π+；（47sin()x π-；（5；（6）12；（7）sin()αγ+；（8）cos()αγ--；（9）（10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯=15、解：由cos270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯.18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α=又3(,2)2παπ∈，所以sin α===∴1sin 22sin cos 2(3ααα==⨯⨯= ∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=--=19、（1）1sin2α+；（2）cos2θ；（3）1sin 44x；（4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=.3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x=. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Zππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2. 习题3.2 A 组（P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略；（6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+；（8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……② （1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===----∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈. 习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒= 3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+=又tantan 22αβ=tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=，4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，11(2MOM ∠=在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==.在1Rt OM M ∆中，11cos cos2OM OM MOM αβ+=∠=11sin sin2M M OM MOM αβ+=∠=于是有 1(cos cos )cos cos 222αβαβαβ+-+=，5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤ 6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ== 所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章复习参考题A 组（P146） 1、1665. 提示：()βαβα=+-2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2；（3）2；（4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin ︒-︒==；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒=2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 6、（1）95；（2）2425；（3）3±. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（4）左边=222234cos 22cos 212(cos 22cos 21)34cos 22cos 212(cos 22cos 21)A A A A A A A A -+--+=++-++2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos22)24y x x x x x π=+++=++=++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（22，最小值为2.10、（第12（2）2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π. 11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图： 12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos h AC α=所以1212sin 2ABCh h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h .第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， 13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-， 312sin(2)sin 2cos cos2sin 444πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=.又由1sin cos 5αα-=，得2sin()4πα-=.αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)450πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=，4sin()65πα+=-.又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-=4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x+++==---由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 44444410x x x x ππππππ=+-=+++=，sin x =7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ=本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π+++=+++. 由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =. ()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈ 7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xy αβ-++=+- 又APQ ∆的周长为2，即2x y +=，变形可得2()2xy x y =+-于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-. 又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=. 8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--= 解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=- （2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。

初一下册数学压轴题精练答案之令狐文艳创作

初一下册数学压轴题精练答案令狐文艳参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．考点：三角形内角和定理；坐标与图形性质．专题：证明题．分析：（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等即可证明；（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠E；然后根据外角定理知∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°；从而求得∠DOB=30°，即∠A=30°；（3）由角平分线的性质知∠FOM=45°﹣∠AOC ①，∠PCO=∠A+∠AOC ②，根据①②解得∠PCO+∠FOM=45°+∠A，最后根据三角形内角和定理求得旋转后的∠P的度数．解答：（1）证明：∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°，∵∠A=∠AOC，∴∠B=∠BOC；解：（2）∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°，∴∠A=∠DOB，又∵∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，∴∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA，∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，∴∠A=30°；（3）∠P的度数不变，∠P=25°．理由如下：（只答不变不得分）∵∠AOM=90°﹣∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，又∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM=45°﹣∠AOC ①，∠PCO=∠A+∠AOC ②，①+②得：∠PCO+∠FOM=45°+∠A，∴∠P=180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）=180°﹣（45°+∠A+90°）=180°﹣（45°+20°+90°）=25°．点评：本题综合考查了三角形内角和定理、坐标与图形的性质．解答时，需注意，△ABO 旋转后的形状与大小均无变化．2．在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），点C 在x轴上．（1）如图（1），若△ABC的面积为3，则点C的坐标为（2，0）或（﹣4，0）．（2）如图（2），过点B点作y轴的垂线BM，点E是射线BM上的一动点，∠AOE的平分线交直线BM于F，OG⊥OF且交直线BM于G，当点E在射线BM上滑动时，的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．考点：三角形内角和定理；坐标与图形性质；垂线；平行线的性质；三角形的面积；三角形的外角性质．分析：（1）利用A，B点坐标，△ABC的面积为3，得出AC的长，进而得出C点坐标；（2）首先根据已知得出∠EOG=∠EOx，进而得出FM∥x轴，再利用已知得出∠BOF=∠EGO，即可得出∠BEO=2∠BOF，得出答案即可．解答：解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，2），点C在x轴上．△ABC的面积为3，∴AC的长为3，则点C的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；故答案为：（2，0）或（﹣4，0）；（2）∵∠AOE+∠EOx=180°，∴∠AOE+∠EOx=90°，即∠EOF+∠EOx=90°∵∠EOF+∠EOG=90°，∴∠EOG=∠EOx，∴FM∥x轴，∴∠GOx=∠EGO，∴∠EOG=∠EGO，∴∠BEO=2∠EGO，∵∠FOG=90°，∴∠EGO+∠OFG=90°，∵FM⊥y轴，∴∠BOF+∠OFG=90°，∴∠BOF=∠EGO，∴∠BEO=2∠BOF，∴=2．点评：此题主要考查了三角形内角和定理应用以及平行线的判定和三角形面积求法等知识，根据已知得出FM∥x轴以及∠BOF=∠EGO是解题关键．3．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．考点：三角形内角和定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；解二元一次方程组；三角形的面积；三角形的外角性质．分析：（1）根据非负数的性质即可列出关于a，b的方程组求得a，b的值；（2）①过点C做CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S，根据三角形的面积公式即可求得OM的长，则M的坐标即可求得；②根据三角形的面积公式，即可写出M的坐标；（3）利用∠BOF根据平行线的性质，以及角平分线的定义表示出∠OPD和∠DOE 即可求解．解答：解：（1）∵|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0，又∵|2a+b+1|≥0，（a+2b﹣4）2≥0，∴|2a+b+1|=0且（a+2b﹣4）2=0．∴∴即a=﹣2，b=3．（2）①过点C做CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．∵A（﹣2，0），B（3，0），∴AB=5，因为C（﹣1，2），∴CT=2，CS=1，△ABC的面积=AB•CT=5，要使△COM的面积=△ABC的面积，即△COM的面积=，所以OM•CT=，∴OM=2.5．所以M的坐标为（2.5，0）．②存在．点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）．（3）的值不变，理由如下：∵CD⊥y轴，AB⊥y轴∴∠CDO=∠DOB=90°∴AB∥CD∴∠OPD=∠POB∵OF⊥OE∴∠POF+∠POE=90°，∠BOF+∠AOE=90°∵OE平分∠AOP∴∠POE=∠AOE∴∠POF=∠BOF∴∠OPD=∠POB=2∠BOF∵∠DOE+∠DOF=∠BOF+∠DOF=90°∴∠DOE=∠BOF∴∠OPD=2∠BOF=2∠DOE∴．点评：本题考查了非负数的性质，三角形的面积公式，以及角平分线的定义，平行线的性质，求点的坐标问题常用的方法就是转化成求线段的长的问题．4．长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限．（1）求点B的坐标；（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P 的坐标；（3）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM=∠CMB，N 是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．考点：平行线的判定与性质；坐标与图形性质；三角形的面积．分析：（1）根据第三象限点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；（3）首先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=∠NCF=∠MCF﹣∠NCM=2∠BMC﹣2∠DCM，得出答案．解答：解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，∴B（﹣5，﹣3）．（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP=×OA×OC，即×3×AP=×5×3，∴AP=2∵OA=5，∴OP=3，∴P（﹣3，0），若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC=×OA×OC，即×5×PC=×5×3，∴PC=∵OC=3，∴OP=，∴P（0，﹣）．综上所述，点P的坐标为（﹣3，0）或（0，﹣）．（3）延长BC至点F，∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC．∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．∵∠CBM=∠CMB，∴∠MCF=2∠CMB．过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC=∠MCD．又∵CD平分∠MCN，∴∠NCM=2∠EMC．∴∠D=∠BME=∠CMB﹣∠EMC，∠CNM=∠NCF=∠MCF﹣∠NCM=2∠BMC﹣2∠DCM=2∠D，∴=．点评：此题主要考查了平行线的性质以及矩形的性质、图形面积求法等知识，利用数形结合得出的是解题关键．5．如图，直线AB∥CD．（1）在图1中，∠BME、∠E，∠END的数量关系为：∠E=∠BME+∠END；（不需证明）在图2中，∠BMF、∠F，∠FND的数量关系为：∠BMF=∠F+∠FND；（不需证明）（2）如图3，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E与∠F互补，求∠FME的大小．（3）如图4中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠FEQ的度数．考点：平行线的性质．分析：（1）过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠BME=∠1，∠END=∠2，然后相加即可得解；先根据两直线平行，同位角相等求出∠3=∠FND，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（2）设∠END=x°，∠BNE=y°，根据（1）的结论可得x+y=∠E，2x+∠F=y，然后消掉x并表示出y，再根据2∠E与∠F互补求出y，然后根据角平分线的定义求解即可；（3）根据（1）的结论表示出∠MEN，再根据角平分线的定义表示出∠FEN和∠ENP，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NEQ=∠ENP，然后根据∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ整理即可得解．解答：解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠BME=∠1，∠END=∠2，∴∠1+∠2=∠BME+∠END，即∠E=∠BME+∠END；如图2，∵AB∥CD，∴∠3=∠FND，∴∠BMF=∠F+∠3=∠F+∠FND，即∠BMF=∠F+∠FND；故答案为：∠E=∠BME+∠END；∠BMF=∠F+∠FND；（2）如图3，设∠END=x°，∠BNE=y°，由（1）的结论可得x+y=∠E，2x+∠F=y，消掉x得，3y=2∠E+∠F，∵2∠E与∠F互补，∴2∠E+∠F=180°，∴3y=180°，解得y=60°，∵MB平分∠FME，∴∠FME=2y=2×60°=120°；（3）由（1）的结论得，∠MEN=∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN=∠MEN=（∠BME+∠END），∠ENP=∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ=∠ENP，∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=（∠BME+∠END）﹣∠END=∠BME，∵∠BME=60°，∴∠FEQ=×60°=30°．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．6．在平面直角坐标系中，点B（0，4），C（﹣5，4），点A是x轴负半轴上一点，S四边形AOBC=24．（1）线段BC的长为5，点A的坐标为（﹣7，0）；（2）如图1，BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，BM交CM于点M，试给出∠CMB与∠CAO之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P是在直线CB与直线AO之间的一点，连接BP、OP，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，BN交ON于N，请依题意画出图形，给出∠BPO与∠BNO之间满足的数量关系式，并说明理由．考点：三角形内角和定理；坐标与图形性质；三角形的面积；三角形的外角性质．专题：分类讨论．分析：（1）根据点B、C的横坐标求出BC的长度即可；再根据四边形的面积求出OA的长度，然后根据点A在y轴的负半轴写出点A的坐标；（2）根据两直线平行，同旁内角互补用∠CAO表示出∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠MAB和∠MBC，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）分①点P在OB的左边时，根据三角形的内角和定理表示出∠PBO+∠POB，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义表示出∠NBP+∠NOP，然后在△NBO中，利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；②点P在OB的右边时，求出∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，再根据角平分线的定义表示出∠PBN+∠PON，然后利用四边形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）∵点B（0，4），C（﹣5，4），∴BC=5，S四边形AOBC=（BC+OA）•OB=（5+OA）•4=24，解得OA=7，所以，点A的坐标为（﹣7，0）；（2）∵点B、C的纵坐标相同，∴BC∥OA，∴∠ACB=180°﹣∠CAO，∠CBO=90°，∵BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，∴∠MCB=（180°﹣∠CAO）=90°﹣∠CAO，∠MBC=∠CBO=×90°=45°，在△MBC中，∠CMB+∠MCB+∠MBC=180°，即∠CMB+90°﹣∠CAO+45°=180°，解得∠CMB=45°+∠CAO；（3）①如图1，当点P在OB左侧时，∠BPO=2∠BNO．理由如下：在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°﹣∠BPO，∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，∴∠NBP+∠NOP=（180°﹣∠PBO﹣∠POB），在△NOB中，∠BNO=180°﹣（∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB），=180°﹣[（180°﹣∠PBO﹣∠POB）+∠PBO+∠POB]，=90°﹣（∠PBO+∠POB），=90°﹣（180°﹣∠BPO），=∠BPO，∴∠BPO=2∠BNO；②如图2，当点P在OB右侧时，∠BNO+∠BPO=180°．理由如下：∵BC∥OA，∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，∴∠PBN+∠PON+∠BPO=×360°=180°，∴∠PBN+∠PON=180°﹣∠BPO，在四边形BNOP中，∠BNO=360°﹣∠PBN﹣∠PON﹣∠BPO=360°﹣（180°﹣∠BPO）﹣∠BPO=180°﹣∠BPO，∴∠BNO+∠BPO=180°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及坐标与图形性质，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题关键，（3）要注意分情况讨论．7．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD各个顶点的坐标分别是O（0，0），B（2，6），C（8，9），D （10，0）；（1）三角形BCD的面积=30（2）将点C平移，平移后的坐标为C′（2，8+m）；①若S△BDC′=32，求m的值；②当C′在第四象限时，作∠C′OD的平分线OM，OM交于C′C于M，作∠C′CD的平分线CN，CN交OD于N，OM与CN相交于点P（如图2），求的值．考点：作图-平移变换；坐标与图形性质；三角形内角和定理．分析：（1）三角形BCD的面积=正方形的面积﹣3个小三角形的面积；（2）①分平移后的坐标为C′在B点的上方；在B点的下方两种情况讨论可求m 的值；②利用外角以及角平分线的性质得出∠ODC+∠CC′O=2∠P，即可得出答案．解答：解：（1）三角形BCD的面积为：×6×10=30；故答案为：30；（2）①当C在x轴上方，如图1所示：∵S△BDC′=32，D到BC″的距离为8，∴BC″=8，∵B（2，6），∴8+m=14，∴m=6，∵AB=6，BC′=8，∴C′在x轴下方，且AC′=2，∴8+m=﹣2，∴m=﹣10，即m=6或m=﹣10；②如图2，在△OC′M中，∵∠OMC是∠OMC′的外角，∴∠2+∠6=∠OMC，在△PMC中，∵∠OMC是∠CMP的外角，∴∠4+∠P=∠OMC，∴∠2+∠6=∠4+∠P，在△CND中，∵∠ONC是∠CND的外角，∴∠3+∠7=∠ONC，在△ONP中，∵∠ONC是∠ONP的外角，∴∠1+∠P=∠ONC，∴∠3+∠7=∠1+∠P，∴∠3+∠7+∠2+∠6=∠4+∠P+∠1+∠P，∵∠2=∠1，∠3=∠4，∴∠6+∠7=2∠P，∴∠ODC+∠CC′O=2∠P，∴=．点评：此题主要考查了外角的性质以及三角形面积求法和点坐标性质等知识，利用数形结合得出C′的不同位置是解题关键．8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．（1）求证：∠1+∠2=90°；（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC；（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），的值是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．考点：等腰三角形的性质；角平分线的定义；平行线的性质．专题：综合题．分析：本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递．（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四边形ABCD中，AD∥BC，∠F=55°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；（3）在△BMF中，根据角之间的关系∠BMF=180°﹣∠ABD﹣∠BFH，得∠GND=180°﹣∠AED﹣∠BFG，再根据角之间的关系得∠BAD=﹣∠DBC，在综上得出答案．解答：（1）证明：AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180，∵DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，∴∠ADE=∠EDB，∠BDC=∠BCD，∵∠ADC+∠BCD=180°，∴∠EDB+∠BDC=90°，∠1+∠2=90°．解：（2）∠FBD+∠BDE=90°﹣∠F=35°，∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=70°，又∵四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；（3）的值不变．证明：在△BMF中，∠BMF=∠DMH=180°﹣∠ABD﹣∠BFH，又∵∠BAD=180°﹣（∠ABD+∠ADB），∠DMH+∠BAD=（180°﹣∠ABD﹣∠BFH）+（180°﹣∠ABD﹣∠ADB），=360﹣∠BFH﹣2∠ABD﹣∠ADB，∠DNG=∠FNE=180°﹣∠BFH﹣∠AED，=180°﹣∠BFH﹣∠ABD﹣∠ADB，=（∠DMH+∠BAD），∴=2．点评：本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题为探索题，比较新颖，实际涉及的知识不多．9．如图（1）所示，一副三角板中，含45°角的一条直角边AC在y轴上，斜边AB交x轴于点G．含30°角的三角板的顶点与点A重合，直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H．（1）若AB∥ED，求∠AHO的度数；（2）如图2，将三角板ADE绕点A旋转．在旋转过程中，∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM相交于点M，∠COF的平分线ON与∠OFE的平分线FN相交于点N．①当∠AHO=60°时，求∠M的度数；②试问∠N+∠M的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质；三角形的外角性质．专题：综合题．分析：（1）由AB∥ED可以得到∠BAD=∠D=60°，即∠BAC+∠CAD=60°，然后根据已知条件即可求出∠AHO；（2）①由∠AHO+∠AHF=180°，∠AHO=60°，可以求出∠AHF，而HM是∠AHF 的平分线，GM是∠AGH的平分线，∠MHF=∠MGH+∠M，由此即可求出∠M；②∠N+∠M的度数不变，当∠BAC与∠DAE没有重合部分时，∠GAH﹣∠OAF=（45°+∠OAH）﹣（30°+∠OAH）=15°；当AC与AD在一条直线上时，∠GAH﹣∠OAF=45°﹣30°=15°；当∠BAC与∠DAE有重合部分时，∠GAH﹣∠OAF=（45°﹣∠OAH）﹣（30°﹣∠OAH）=15°，即∠GAH﹣∠OAF=15°．而根据已知条件∠M=∠MHF﹣∠MGH=∠AHF﹣∠AGH=∠GAH，∠N=180°﹣（∠OFE+90°）=180°﹣（∠OAF+90°）﹣90°=90°﹣∠OAF，由此即可得到结论．解答：解：（1）∵AB∥ED∴∠BAD=∠D=60°（两直线平行，内错角相等），即∠BAC+∠CAD=60°．∵∠BAC=45°，∴∠CAD=60°﹣45°=15°，∠AHO=90°﹣∠CAD=75°；（2）①∵∠AHO+∠AHF=180°，∠AHO=60°，∴∠AHF=180°﹣60°=120°∵HM是∠AHF的平分线，∴∠MHF=∠AHF=60°（角平分线的定义）．∵GM是∠AGH的平分线，∠AGH=45°，∴∠MGH=∠AGH=22.5°，∵∠MHF=∠MGH+∠M，∴∠M=60°﹣22.5°=37.5°；②∠N+∠M的度数不变，理由是：当∠BAC与∠DAE没有重合部分时，∠GAH﹣∠OAF=（45°+∠OAH）﹣（30°+∠OAH）=15°；当AC与AD在一条直线上时，∠GAH﹣∠OAF=45°﹣30°=15°；当∠BAC与∠DAE有重合部分时，∠GAH﹣∠OAF=（45°﹣∠OAH）﹣（30°﹣∠OAH）=15°；∴∠GAH﹣∠OAF=15°．易得出∠M=∠MHF﹣∠MGH=∠AHF﹣∠AGH=∠GAH，∠N=180°﹣（∠OFE+90°）=180°﹣（∠OAF+90°）﹣90°=90°﹣∠OAF，∴∠M+∠N=∠GAH+90°﹣∠OAF=90°+×15°=97.5°（定值）．点评：此题比较复杂，考查了三角形的内角和、三角形的外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质等多个知识，综合性比较强，难度比较大，学生首先心理上要相信自己，才能有信心解决问题．。

平面向量专项练习题及答案之令狐文艳创作

平面向量专项练习题及答案令狐文艳一、选择题 1若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（） A 3,5b ==-B 10b -+=C 23a b -=D 20b -= 2设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（）C 23D 33下列命题正确的是（）A 单位向量都相等B 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（）C |||b a b a -=+，则0a b ⋅=D 若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅= ,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（）D 4 5已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为 A 6π B 4π C 3π D 2π6若平面向量与向量)1,2(=平行，且52||=，则=( ) A )2,4 B )2,4-- C )3,6- D )2,4或)2,4(-- 二、填空题1已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是2若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状_________3若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________ 4若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b +=5平面向量b a ,中，已知(4,3)a =-，1b =，且5a b =，则向量=b ______三、解答题1已知,,a b c 是三个向量，试判断下列各命题的真假（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量2证明：对于任意的,,,a b c d R ∈，恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++3平面向量13(3,1),(,)22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =4如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值参考答案一、选择题1C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-⇒-=--= 2C 12(2sin cos ,2cos sin ),PPθθθθ=+--- 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b=时，与可以为任意向量；||||b a b a -=+，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角 4C 2236916cos a b a a b b +=++=+=5 C 21cos ,423a ba b πθθ==== 6 D 设(2,),b ka kk ==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或二、填空题 12(2cos 3,2sin 1),288sin()43a b a b πθθθ→→-=-+-=+-≤= 2直角三角形 (1,1),(3,3),0,AB AC AB AC ABAC ==-=⊥3),(2222--或设所求的向量为22(,),220,1,x y x y x y xy -=+=== 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得 543(,)55- 设2243(,),435,1,,55b x y x y x y x y =-=+===- 三、解答题 1解：（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =，这是一个假命题因为,()0a b a c a b c ⋅=⋅⋅-=，仅得()a b c ⊥-（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量这是一个假命题因为向量a 在b 的方向上的投影是个数量，而非向量2证明：设(,),(,)x a b y c d ==，则2222,,x y ac bd x a b y c d =+=+=+而cos ,cos x y x y x y x y x y θθ==≤ 即x y x y ≤，得2222ac bd a b c d +≤++ 3解：由13(3,1),(,)2a b =-=得0,2,1a b a b ===4解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=。

人教版七年级下册数学题集之令狐文艳创作

第六章平面直角坐标系基础训练题令狐文艳一、填空题1、原点O 的坐标是，x 轴上的点的坐标的特点是，y 轴上的点的坐标的特点是；点M （a ，0）在轴上。

2、点A （﹣1，2）关于y 轴的对称点坐标是；点A 关于原点的对称点的坐标是。

点A 关于x 轴对称的点的坐标为3、已知点M ()y x ,与点N ()3,2--关于x 轴对称，则______=+y x 。

4、已知点P ()3,3b a +与点Q ()b a 2,5+-关于x 轴对称，则___________==b a 。

5、点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是。

6、线段CD 是由线段AB 平移得到的。

点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （–4，–1）的对应点D 的坐标为______________。

7、在平面直角坐标系内，把点P （－5，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是。

8、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________ 。

9、已知AB ∥x 轴，A 点的坐标为（3，2），并且AB ＝5，则B 的坐标为。

10、A （– 3，– 2）、B （2，– 2）、C （– 2，1）、D （3，1）是坐标平面内的四个点，则线段AB 与CD 的关系是_________________。

11、在平面直角坐标系内，有一条直线PQ 平行于y 轴，已知直线PQ 上有两个点，坐标分别为（－a ，－2）和（3，6），则=a 。

12 、点A 在x 轴上，位于原点左侧，距离坐标原点7个单位长度，则此点的坐标为； 13、在Y 轴上且到点A （0，－3）的线段长度是4的点B 的坐标为___________________。

14、在坐标系内，点P （2，－2）和点Q （2，4）之间的距离等于个单位长度。

线段PQ 的中点的坐标是________________。

线面、面面平行、垂直例题之令狐文艳创作

第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定令狐文艳 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”. ¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示.¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC【例2】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1D.【例3】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点（1）求证：MN //平面PAD ；（2）若4MN BC ==，43PA =，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小..第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭.¤例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .. 【例2】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC . 第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭. ¤例题精讲：【例1】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B【例2】如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH .第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.¤知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2. 其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直 β a α b αE N MC A N M P DCQ B A线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.【例4】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD . 第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.¤知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m α，n α，则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.¤例题精讲：【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .【例2】已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心.G N M F E E C D B A D 1C 1B 1A1第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.¤知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）2. 二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 范围：0180θ︒<<︒.3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直）¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P .（1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA ==,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD .【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面．第18讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用.¤知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）B DA E F G2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥，则a β⊥.（面面垂直→线面垂直） ¤例题精讲：【例1】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．【例2】如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

初二数学几何练习题之令狐文艳创作

(三)平行四边形令狐文艳3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（几何表达式举例： (1) ∵ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD AD ∥BC (2) ∵ABCD 是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD 是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD 是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180° 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫.几何表达式举例： (1) ∵AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 (3)……………1.如图,ABCD 的周长为16 cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为( )2.如图,已知在平行四边形ABCD 中，AB=4 cm ，AD=7 cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=_____________ cm. 矩形5.矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（(2)(1)(3) 几何表达式举例： (1) …………… (2) ∵ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵ABCD 是矩形∴AC=BD 6. 矩形的判定： ⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. (1)(2) (3)几何表达式举例： (1) ∵ABCD 是平行四边形又∵∠A=90° ∴四边形ABCD 是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD 是矩形 (3) ……………ABCD CB E CE AC =F AE 点．求证：BF DF ⊥．ABD OCAD OC AD BCADB COADBCADBCO菱形1.已知：如图，C 是线段BD 上一点，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，R 、F 、G 、H 分别是四边形ABDE 各边的中点，求证：四边形RFGH 是菱形。

初二下学期难题、易错题集锦之令狐文艳创作

初二下学期错题档案令狐文艳周全福 2014、2——2014、71、平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<162、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是（）①图甲，DE ⊥AC ，BF ⊥AC②图乙，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点④图丁，E 是AB 上一点，EF ⊥ABA 。

3个B 。

4个C ．1个D 。

2个3、如图，在□ABCD 中，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC 交AC 于E 、F ，求证：四边形BFDE 为平行四边形。

4、如图，在□ABCD 中，EF 是对角线AC 的垂直平分线交AB 于E ，交CD 于F ，求证：四边形AECF 是菱形。

5、将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A ．①③⑤ B ．②③⑤ C ．①②③第2题图A B D E F E F A BD OD ．①③④⑤6、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.7、如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、 △BCE、△ACF ，请回答下列问题：（1）四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．8、如图，已知□ABCD 的对角线交点是O ，直线EF 过O 点，且平行于BC ，直线GH 过且平行于AB ，则图中能用字母表示的平行四边形共有( )个.A.10B.14C.16D.189、①若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m 的值是（）A 、－3B 、1C 、－3 或1D 、－1②若一个正数的平方根是2a －1和－a ＋2，则a ＝________③已知x 的平方根是2a ＋3和1－3a ，y 的立方根为a ，求x+y 的值.10、已知2a b -=，ab+c +8=0(a ≥b ，c ≥0),那么a+b=11、①直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长是连H E D G FC B A 续的自然数，则三角形周长为 ( )A ．130B ．131C ．132D ．133②一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的长为12、如图,AB ∥CD,E,F 分别为AC,BD 的中点,若AB=5,CD=3,则EF 的长是( )A.4B.3C.2D.1 13、如图，已知M 是Rt△ABC 斜边AB 的中点，CD=BM ，DM与CB 的延长线交于点E 。

平面向量练习题(附答案)之令狐文艳创作

平面向量练习题令狐文艳一．填空题。

1．+++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________．6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8.已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____12.已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是.14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为.二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋的模；（2）试求向量与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4.设向量)2,1(),1,3(-==，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.2.（－3，－4）3.74.90° （21，321）． 6.73．7.（－3，2）．8.－29.12 10.31-11.012.90°13.2-14.51--或（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26， AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos ＝＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1．① 又＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0．② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴（552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分)6,11(),7,14(=-==∴于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一. 20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。

2021年高中数学解析几何解题方法之令狐文艳创作

高考专题：解析几何常规题型及方法令狐文艳A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。

两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=。

又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得22201212x yy y x x ---=·。

又k y y x x y x =--=--121212，代入得24022x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是24022x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。

分析：（1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得r r c 122sin sin sin()αβαβ==+。

得r r c122++=+sin sin sin()αβαβ，（2）()()a ex a ex a ae x ++-=+3332226。