平面几何经典难题及解答

经典难题（一）

1、已知：如图， 0是半圆的圆心， C E 是圆上的两点， CD 丄AB, EF 丄AB, EGL CO 求证：CD= GF.

4、已知：如图，在四边形 ABCD 中, AD= BC, M N 分别是AB CD 的中点，AD BC 的延长线

交MN 于E 、F .

求证：/ DEN=Z F .

2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内一点, 求

证：△ PBC 是正三角形

. PAD=Z PDA= 150. 3、如图，已知四边形 ABCD AiBCD 都是正方形, 的中

点.

求证：四边形A e B 2C 2C 2是正方形.（初二） A 、E 2、C 2、D 2 分别是 AA 、BB 、CG 、DD D

C

D

C

M

经典难题（二）

1、已知：△ ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），0为外心，且 OM L BC 于M.

(1) 求证：AH= 20M

(2) 若/ BAC= 600,求证: 2、设MN 是圆O 外一直线，过0作OAL MN 于A 自A 引圆的两条直线， 交圆于B 、C 及D E , 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q. 求证：AP = AQ （初二） 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC DE 设CD EB 分别交MN 于P 、Q.

求证：AP = AQ （初二） 4、如图，分别以厶 ABC 的AC 和BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG

AH= AO (初二)

H E

B C

M D G E

C

A

M N

P

O

点P是EF的中点.

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）

F

1、如图，四边形 ABCD 为正方形,

求证：CE = CF.（初二）

DE// AC, AE = AC, AE 与 CD 相交于 F .

2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE// AC,且CE= CA 直线EC 交DA 延长线于F . 求证：AE = AF.（初

二） 3、设P 是正方形 ABCD-边BC 上的任一点，PF 丄AP, CF 平分/ DCE

求证：PA = PF.（初二）

4、如图，PC 切圆0于C, AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线P0相交于 B D.求 证：AB= DC BC = AD （初三）

E

A D

C

1、已知：△ ABC 是正三角形，P 是三角形内一点， PA = 3, PB= 4, PC = 5. 求：/ APB 的度数.（初二）

2、设P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且/ PBA=Z PDA 求证：/ PAB=Z PCB （初二）

4、平行四边形 ABCD 中，设E 、F 分别是BC AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ,且 AE = CF.求证：/ DPA=Z DPC （初二）

3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证

: AB- CD^AD- BC = AC- BD.（初三）

B ---------------------------- C

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ ABC内任一点，L = PA + PB + PC ,求证：

B C

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+ PB+ PC的最小值.

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.

A D

4、如图，△ ABC中，/ ABC=Z ACB= 80°, D E分别是AB AC上的点，/ DCA= 30°, =20°,求/ BED的度数.

经典难题解答

经典难题（一）

1.如下图做GHL AB,连接EO由于GOFE四点共圆，所以/ GFH kZ OEG, 即厶OGE可得

■EO=GO=C°,又CO=EO所以CD=G碍证。

GF GH CD

2.如下图做厶DGC使与厶ADP全等，可得△ PDG为等边△，从而可得

△ DG QA APD^A CGP,得出PC=AD=DC和/ DCG N PCG= 15°所以/ DCP=30，从而得出△ PBC是正三角形

3.如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接C2F与AE并延长相交于Q点, 连接EB 并延长交C2Q于H点，连接FE2并延长交AQ于G点，

由AE=*AB=*BG= FB2 , EB=》AB=2B C=F C，又/GFQ亡Q=90 和

/ GE B^+Z Q=9C°,所以/ GE32=Z GFQ又/ BFC2=/A2EB ,

可得△ B2FC BA AEB2，所以A zR uBC b ,

又/ GFQ# HB2F=900和/ GFQ2 EBA , 从而可得/ A2B2 C2=900,同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形AB2GD2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q连接QN和QM所以可得/ QMF=/ F,/ QNM N DEN 和/

QMN/QNM 从而得出/ DEN=/ F。

经典难题(二)

1.(1)延长AD到F 连BF,做0G_ AF,

又/ F=/ ACB=/ BHD，

可得BH=BF从而可得HD=DF

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=20M (2)连接OB 0C既得/ BOC=120, 从而可得/ B0M=600 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。